幾何概念發展理論

在兒童幾何概念發展方面有三個對數學教育影響很大的認知發展理論，一是 Piaget 的空間發展理論，一是 van Hiele 幾何思考發展模式，另一個是 Duval 幾何 圖形的認知理解。本節將分別探討「Piaget 的空間發展理論」、「van Hiele 幾何思 考發展模式」以及「Duval 幾何圖形的認知理解」，以對兒童幾何概念之發展進行 初步的認識。

壹、Piaget 的空間發展理論

瑞士心理學家Piaget 認為學習是個體與外在環境之間的交互作用，透過不斷 的同化、調適、平衡三個循環歷程來建構知識，個體會依據先前的經驗來進行新 的學習，在同化、調適的過程中達成平衡，成為下一個階段學習的基礎，因此認 知結構會隨環境的需要與年齡的增長而改變（王文科，1991）。經由多年的觀察 研究，Piaget 發現自出生到青少年的成長期間，個體的認知發展，在連續中呈現 階段性的特徵。他依特徵把認知發展分成四個年齡期，分別為感覺動作期、前運 思期、具體運思期、形式運思期，雖然有的孩子認知發展快，有的孩子認知發展 較慢，但認知發展的順序是不會變的，無法跳過任何階段，茲將各期特徵簡述如 下（張春興，1994）：

一、感覺動作期：是指出生到兩歲嬰兒的認知發展階段。此時期的兒童透過感覺、

動作與環境互動，從最初本能性的反射，發展出目的性的活動。感覺動作末 期的兒童對物體認識已具有物體恆存性概念。

二、前運思期：是指兩歲到七歲兒童的認知發展階段。此時期的兒童能使用語言 表達概念、使用符號代表實物，但思惟方式不合邏輯，不能見及事物的全面，

缺乏守恆概念，只能主觀看世界，具有自我中心傾向。

三、具體運思期：是指七到十一歲兒童的認知發展階段。此時期的兒童能根據具 體經驗思惟以解決問題，他們已經具備了守恆的概念，能理解可逆性及守恆

的道理。兒童在分類思惟時，已具備了類包含的能力。

四、形式運思期：是指十一歲以上青少年的認知發展階段。此時期的青少年能做 抽象思考，能按假設驗證的科學法則解決問題，也能進行組合推理，按形式 邏輯的法則思惟問題。

由Piaget 的認知理論可知，兒童的學習及概念的發展是有階段、順序性的，

並且與年齡有關。Piaget 等人（Piaget & Inhelder, 1967）便從認知發展的觀點研究 學童發展幾何概念的思考模式，探討幾何概念形成的運思過程，發現其幾何概念 發展也有一順序，從最先的拓樸幾何概念到投影幾何概念再到歐幾里德幾何概念

（劉秋木，1996）。以下分別就這三個階段加以說明（張英傑，2001；黃雅琪，

2007）：

一、拓樸幾何概念（Topological concepts constructure）階段

此一階段的兒童屬於運思前期，約3 到 4 歲，他們對於幾何圖形的概念僅侷 限於基本的拓樸概念，亦即僅能分辨出圖形是開放或是封閉，完全沒有基本的 角、邊等概念，兒童對於直線和曲線，尚未具有嚴格的區分能力，對於長度和角 度的差異，也不能做詳細的觀察，圓形或四邊形對他們而言都是連續簡單的封閉 圖形，因此無法區隔。

二、投影幾何概念（Projectire geometry）階段

此時兒童相當於運思前期到具體運思期認知發展階段，約4 到 6 歲。此階段 的兒童能建構一種投射的空間，並且協調不同的觀點，自己所在的視覺觀點比其 他的條件佔優越的地位，凡是經過視覺所承認的事情，才認為是真實的存在，他 們深信各種形狀都會依視覺的感受而變化。

三、歐幾里德幾何概念（Euclidean geometry）階段

兒童一直到6~8 歲才有歐幾里德幾何概念，此一階段的兒童已經擺脫視覺的 迷惑，認為物體不管怎麼移動，其形狀、大小都不改變，隨著認知的發展，他們

概念。

本研究對象為國小五年級學童，根據Piaget 認知發展階段及空間發展理論，

此階段的學童正是處於的具體運思期，也已達到歐幾里德幾何概念階段，具備線 段長短、角度大小及面積大小的保留概念，能根據具體經驗思惟來解決問題，並 能進行簡單的邏輯思考，理解物體操作過程中可逆性存在及守恆的道理，且兒童 在分類思惟時，已具備了類包含的能力。

貳、van Hiele 幾何思考發展模式

荷蘭教育學家van Hiele 夫婦在 1957 年根據完形心理學的結構論以及 Piaget 的認知理論，提出一套幾何思考發展模式，主張將學習幾何的過程分成五個思考 層次，每個層次都有其發展特徵，經由教師適當的引導，其幾何思考層次可由較 低的層次逐步提升到較高的層次（van Hiele, 1986）。以下分別就van Hiele 幾何思 考層次、van Hiele 幾何思考層次的特性、van Hiele 幾何思考層次的行為特質、van Hiele 幾何思考層次之隸屬模式及 van Hiele 五階段學習模式加以說明：

一、van Hiele 幾何思考層次

van Hiele（1986）提出幾何發展理論包含五個幾何思考的層次，每一個層次 都有其發展的特徵，茲將其概略特徵分述如下（吳德邦，1999；林軍冶，1992；

劉秋木，1996；盧銘法，1996）：

（一）層次一：視覺的（visual）層次

此層次的學童是透過視覺觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形，他們 可以使用非標準的或標準的數學語言來描述圖形的形狀，但是卻無法理解這些數 學語言的定義。例如：長方形是瘦瘦長長的，像門的形狀是長方形。

（二）層次二：描述的（descriptive）層次

此層次的學童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖 形的基本要素與這些圖形之間的關係，可是卻無法說明這些圖形特徵之間有何關 係存在，如：能察覺到正方形的四個邊等長，四個角都是直角，但不能解釋這些

看出不同類圖形間的關係。如：不認為正方形也是長方形。

（三）層次三：理論的（theoretical）層次

此層次的學童已經能夠了解構成各種圖形的要素，並且能夠進一步探求各種 幾何圖形的內在屬性以及各個圖形之間的包含關係，依據圖形的性質進行非正式 的推演，但是還不能進行有系統的證明。例如：知道正方形是菱形的一種；三角 形的內角和是180°，四邊形可以分成二個三角形，所以四邊形的內角和是 360°，

n 多邊形的內角和為 180°×（n-2）。

（四）層次四：形式邏輯的（formal logic）層次

此層次的學生能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。他 們可以在一個公設的系統中建立理論，並且能夠證明與理解一個定理可以有很多 不同證明的方法，此外他們能夠理解幾何定理的充分或必要條件的內在關係，並 發現正逆命題間的差異性。例如：正五邊形的邊長均等長，內角亦均相等，但邊 長均等長的五邊形不一定是正五邊形。

（五）層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次

此層次的學生可以在不同的公設系統中建立定理，並分析比較這些定理的特 性，他們能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，也能互相比較不同公 設系統，甚至可以自創一套幾何公設系統。例如：能區分歐幾里德幾何與非歐幾 里德幾何的差異。能達到此層次的人並不多，即使是數學方面專業人士亦不易達 成。

根據van Hiele 的理論，上述五個層次都有其次序性和固定的特徵，學習者必 須擁有前一個層次的概念與策略，才能有效地進行下一個層次的學習活動，而各 層次與年齡不一定具有相關。

在幾何發展層次方面，Senk（1989）指出有比視覺層次更基本的層次存在，

稱為水準0 前期（pre-level 0）。Clements and Battista（1992）則提出建議，認為 在van Hiele 的幾何層次理論中，應該還有一個更早於視覺期的層次，此時期稱 為Level 0，指的是 Prerecognitive level，在這一個層次中，學童雖然能察覺幾何

圖形，但因為知覺能力不足，只注意到圖形部分的視覺特徵，而不能完全知道一 些常見的圖形，或對相同種類的圖形作分類。Clements, Swaminathan, Hanniba and Sarama（1999）調查 3 到 6 歲學齡前兒童辨識圖形的情形並做進一步訪談，其結 果也支持了Prerecognitive level 的存在。

二、van Hiele 幾何思考層次的特性

van Hiele 於 1986 年指出：幾何思考層次具有一些固定的特性，國內外學者 對van Hiele 幾何思考層次的特性有不同的描述，綜合學者的說法，茲將 van Hiele 幾何思考層次的特性分述如下（吳德邦，1999；盧銘法，1996；Usiskin, 1982;

Crowley, 1987; Wu, 1994）：

（一）次序性（Fixed sequential/Sequential）

幾何思考層次發展是循序漸進的，學生在達到任何一個層次之前，必須擁有 前一層次的概念。

（二）造詣性（Attainment/Advancement）

學生幾何思考層次的提升受到教材和教學的影響比年齡成長的影響來的 大，適當的教學可以提昇學生的幾何思考概念，但卻無法使其直接跳過某一層 次，如果要教導高程度的學生超過其實際層次的能力，是可行的，即降低教材內 容至較低的層次，但他們無法理解。

（三）毗連性（Adjacency/Intrinsic and Extrinsic）

某一層次的內在元素會變成下一層次的外在元素，例如：當學生在第一層次 時，僅由圖形的外觀來辨認圖形，而分析圖形的基本要素與這些圖形之間的關係 在這一層次是屬於內在元素，尚未出現；若學生達到第二層次時，就能分析圖形 並發現其組成要素及特性。

（四）特異性（Distinction/Linguistics）

每一個層次均有其特定的語言符號及聯結這些符號的關聯系統，因此，在某 一層次是正確的關係，於其他層次可能需要修改，如：正方形也是長方形，在描 述層次的學生可能無法將上述觀念概念化，但到了理論層次才能理解此概念及其 伴隨的語言。

（五）分離性（Separation/Mismatch）

如果學生的思考層次與教學層次不同，所期望的學習和發展就不會產生，尤

如果學生的思考層次與教學層次不同，所期望的學習和發展就不會產生，尤