國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文
指 導 教 授：許天維 教授
線對稱概念的
van Hiele 層次及其 S-P 表
分析結果之研究
－以國小五年級學童的實作評量為例－
研 究 生：洪珮芬 撰
中 華 民 國 九 十 九 年 六 月
謝辭
回顧這兩年的研究歷程，真的是獲益甚多，期間難免遇到一些瓶頸，然而， 能完成人生的第一本論文，心中除了喜悅還有無限的感激。對於論文研究期間， 許多給予我協助和鼓勵的人，心中滿懷無限的感恩之情。 首先，非常感謝指導教授許天維老師這二年來的引導與鼓勵，在我一度想放 棄時激勵我，讓我能繼續支持下去，走到最後；在許老師耐心的指導中，讓我獲 得成長的機會，拓展了思維的層面，這對自己所從事的教育工作助益甚大，非常 感恩許老師。 感謝父母及數學輔導團夥伴弘卿，在我心情低落時，給予溫馨的安慰及鼓 勵；感謝學校同事宛俞、勻緹、文靜、家富等給予研究方面的建議與協助；感謝 妹妹珮珊、弟弟家祐論文格式的指導及口試前的特訓，一路走來，若沒有這些貴 人的相助，我可能就沒有動力走下去，順利完成論文、完成學業。 同時，也要感謝口試委員辛俊德博士、胡豐榮教授，在口試時提供的意見， 使我的論文更加完善與豐富。 最後，再次感謝給予我協助和鼓勵的人，您們的協助與支持是我能順利完成 論文的重要動力。在此，分享喜悅給所有幫助過我的人，感恩大家！ 文力 2010.06.12 于台中梧棲摘要
本研究的主要目的係在探究國小五年級學童於線對稱概念的學習情形，進而 提供教師教學之參考。研究者先依據國小九年一貫數學領域課程及van Hiele 幾何 思考發展模式編製一份具有信度與效度的線對稱概念實作評量作為施測工具，並 以臺中縣某國小一班五年級學童共 29 人為研究對象進行施測。施測後的結果進 行van Hiele 層次及 S-P 表分析，並加以探討，以期從中獲得學童學習線對稱概念 的情形。根據分析結果，本研究得到以下的結論： 一、學童在「線對稱圖形的辨別」方面之表現較佳，其次依序為：「找出線對稱 圖形的對稱軸」、「理解線對稱圖形的性質」、「找出對稱點、對稱邊、對稱角」、 「依據提示畫出線對稱圖形」、「完成線對稱圖形」，而以「應用線對稱圖形 的性質解決幾何問題」的表現最差。 二、受試學生線對稱概念未達層次一者佔10.34%；達層次一者最多，佔 44.84%； 達層次二者佔31.03%；達層次三佔 13.79%，測驗結果未有跳躍層次的學童。 三、線對稱概念整體的表現以層次三的學童表現最好，其次是層次二的學童；未 達層次一的學童除了「C 找出對稱點、對稱邊、對稱角」的概念表現得比層 次一的學童好之外，其餘概念皆表現得最差。 四、A 類型學生達層次一者佔 15.38%，層次二者最多，佔 61.54%，層次三者佔 23.08%。A'類型學生達到層次一、層次二、層次三者都各佔 33.33%。B 類型 學生未達van Hiele 幾何層次一者佔 27.27%，達層次一者最多，佔 72.73%。 C 類型學生全達到 van Hiele 幾何層次一。 最後根據研究的結果提出若干建議，提供教學者在教學活動、課程安排及未 來相關研究的參考。 關鍵字：線對稱概念、實作評量、S-P 表分析、van Hiele 幾何思考層次Abstract
The main purpose of this study was to explore the learning condition of line symmetry concepts of fifth-grade students in the elementary school and further to provide a reference for teaching. First, the researcher developed a performance assessment of line symmetry concepts with reliability and validity according to the mathematics area in Grade 1-9 Curriculum and the van Hiele model of thinking in geometry as a test instrument. Secondly, the researcher tested 29 fifth graders in an elementary school in Taichung County by the performance assessment of line symmetry concepts. Thirdly, the researcher analyzed the van Hiele levels of the students and the data by S-P chart analysis .
The findings of this study were summarized as follows:
1. The performance of the students in “distinguishing the line symmetry figures” was the best, in “finding out the axis of symmetry” second, and then followed by “comprehending the properties of line symmetry figure”, “indentifying the corresponding points, the corresponding sides, and the corresponding angles”, “according to the hints to draw out the line symmetry figure” and “completing the line symmetry figure”. The performance of the students in “applying the properties of the line symmetry figure to solve the geometric questions” was the worst.
2. 10.34% students did not reach level 1, 44.84% students belonged to level 1, 31.03% students belonged to level 2 and 13.79% students belonged to level 3, no students belonged to the concept jumper.
students belonged to level 2 were second. Students who did not reach level 1 performed worse than those belonged to level 1 except in “C indentifying the corresponding points, the corresponding sides, and the corresponding angles”. 4. 15.38% of type A students were at level 1, 61.54% were at level 2, 23.08% were at
level 3. Type A’ students achieved level 1, level 2, and level 3 respectively to account for 33.33%. 27.27% of type B students did not reach level 1, 72.73% were at level 1. Type C students were all at level 1.
Finally, according to results of the study made several suggestions for teaching activities, course design and future related research.
Keywords: line symmetry concepts, performance assessment, S-P chart analysis theory, the van Hiele levels of geometric thought
目次
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 3 第三節 名詞釋義 ... 4 第四節 研究範圍與限制 ... 5 第二章 文獻探討 ... 6 第一節 實作評量的本質 ... 6 第二節 幾何概念發展理論 ... 16 第三節 線對稱概念相關研究 ... 27 第四節 國小線對稱教材分析 ... 32 第五節 S-P 表分析理論 ... 37 第三章 研究方法 ... 44 第一節 研究架構 ... 44 第二節 研究程序 ... 45 第三節 研究對象 ... 47 第四節 研究方法與工具 ... 48 第五節 資料處理 ... 57 第四章 結果與討論 ... 59 第一節 學童線對稱實作評量的表現分析 ... 59 第二節 各幾何認知期學童線對稱概念表現 ... 89 第三節 學童學習類型及其 van Hiele 層次的分布 ... 108 第五章 結論與建議 ... 111 第一節 結論 ... 111 第二節 建議 ... 120 參考文獻 ... 123 中文部分 ... 123 英文部分 ... 128 附錄 ... 131 附錄一 實作評量預試試題 ... 131 附錄二 專家內容效度問卷調查 ... 155 附錄三 初步的實作評量評分規準 ... 158附錄四 預試結果各關試題注意係數一覽 ... 162 附錄五 實作評量正式試題 ... 172 附錄六 受訪學生訪談內容逐字稿 ... 196
表目次
表2-1-1 數學實作評量之相關研究 ... 15 表2-4-1 92 年九年一貫課程綱要數學領域分段能力指標與分年細目對應 ... 33 表2-4-2 98 學年度各版本線對稱圖形教材安排 ... 35 表2-5-1 S-P 原始資料 ... 38 表2-5-2 依學生總分高低由上而下排序後的 S-P 表 ... 38 表2-5-3 再依試題總分高低由左而右排序的 S-P 表 ... 39 表2-5-4 完整的 S-P 表 ... 39 表3-4-1 試題之線對稱概念與 van Hiele 層次對照 ... 49 表3-4-1 試題之線對稱概念與 van Hiele 層次對照（續） ... 50 表3-4-2 試探性晤談結果 ... 52 表3-4-2 試探性晤談結果（續） ... 53 表3-4-3 國小線對稱概念實作評量之評分規準 ... 55 表3-4-3 國小線對稱概念實作評量之評分規準（續） ... 56 表3-4-3 國小線對稱概念實作評量之評分規準（續） ... 57 表4-1-1 A-1 概念的答題情況統計 ... 61 表4-1-2 A-2 概念的答題情況統計 ... 63 表4-1-3 A-3 概念的答題情況統計 ... 65 表4-1-4 「找出線對稱圖形的對稱軸」概念答題情況統計 ... 68 表4-1-5 「找出對稱點、對稱邊、對稱角」概念的答題情況統計 ... 72 表4-1-6 「理解與應用線對稱圖形的性質」概念的答題情況統計 ... 78 表4-1-7 「E-1、E-2、E-3、E-4」概念的答題情況統計 ... 84 表4-1-8 「E-5、E-6、E-7」概念的答題情況統計 ... 85 表4-1-9 「依據提示畫出線對稱圖形」概念的答題情況統計 ... 87 表4-2-1 van Hiele 幾何層次分布及作答統計 ... 89 表4-2-2 學童於各線對稱概念的平均答對率統計 ... 90 表4-2-3 學童於層次一試題的答對率統計 ... 92 表4-2-4 學童於「線對稱圖形的辨別」試題的答對率統計 ... 93 表4-2-5 學童於「找出線對稱圖形的對稱軸」試題的答對率統計 ... 95 表4-2-6 學童於「找出對稱點、對稱邊、對稱角」試題的答對率統計 ... 96 表4-2-7 學童於「理解與應用線對稱圖形的性質」試題的答對率統計 ... 98 表4-2-8 學童於「E-1、E-2、E-3、E-4」概念試題的答對率統計 ... 102 表4-2-9 學童於「E-5、E-6」概念試題的答對率統計 ... 104 表4-2-10 學童於「E-7」概念試題的答對率統計 ... 105 表4-2-11 學童於層次三試題的答對率統計 ... 106 表4-3-1 學生學習類型分布及作答統計 ... 108 表4-3-2 各學習類型學生診斷分析統計 ... 109圖目次
圖2-3-1 點 A、B 互為對稱點 ... 28 圖2-3-2 圖形甲、圖形乙對稱於直線 L ... 28 圖2-3-3 利用對稱軸垂直平分對稱點之連線的特性畫線對稱圖形 ... 30 圖2-4-1 國小線對稱圖形概念之教材架構圖 ... 36 圖2-5-1 試題診斷分析圖 ... 41 圖2-5-2 學生診斷分析圖 ... 42 圖3-1 研究架構圖 ... 44 圖3-2 研究流程圖 ... 46第一章
緒論
自從Gardner 於 1983 年提出多元智慧理論後，多元化的教學及評量已成為當 今熱門的議題，僅以紙筆測驗測量學生的能力，所得的訊息是有限的，因此，本 研究旨在編製一份具有良好信度與效度之線對稱概念實作評量，並藉此評量結果 探討國小五年級學童於線對稱概念的認知發展情形，期盼能獲得更多可供教師教 學參考的訊息。本章將接續說明研究動機、研究目的、名詞釋義，最後說明本研 究之研究範圍與限制。第一節
研究動機
幾何學是一門研究物體形狀、大小、位置及其相互關係的學科（朱建正、廖 淑麗、魯炳寰、謝堅，2006）。不論是為了測量土地的需要，或是對宇宙空間的 好奇與探索，還是追求「美」的表現，人類幾何概念的演進從未停歇，幾何學的 發展也使人類開始真正認識自己所生存的宇宙空間（吳志揚、陳文豪，2004）。 關於幾何圖形之間的關係認識，近代幾何學家最常使用的方法之一，就是將 幾何圖形變換成另一個更適合做幾何探討的圖形（朱建正等，2006）。一般幾何 圖形的基本變換包括平移、旋轉及線對稱變換，而平移與旋轉兩種變換均可經由 二次線對稱變換合成而得；在大自然中，我們也不乏看到線對稱關係的存在，因 此，線對稱是幾何的一個基本重要概念，常與生活經驗緊密結合。 早在 1960 年代，國外許多數學教育學者即相當重視學童對於線對稱概念的 發展，從線對稱概念的發展層次到對稱概念的完整性、影響對稱概念的因素及應 用對稱概念的能力皆有所研究（左台益、陳天宏，2002）；在國內也有不少關於 學童線對稱概念發展之研究，劉湘川與劉好（1992）以課程發展與設計的角度來 研究國小低年級與高年級學生線對稱概念之發展層次。陳莉萍（2002）以晤談方 式，分析國小五年級兒童平面線對稱的前置概念。王世鑫（2007）以自編的測驗 探討國小五年級學生在線對稱概念的知識結構。九年一貫數學領域能力指標（教育部，2003）中更明列線對稱概念的能力發展，如：S-2-06 能理解平面圖形的線 對稱關係（五年級）；S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題（國中二年級），顯 示線對稱概念在數學課程發展的重要性。 然而在數理教育中，有許多概念成就難以僅利用傳統的紙筆測驗來測量。歷 年來教育部所公告的課程標準或綱要，早已具有數學評量多元化的理念，其提供 評量方式包括：傳統紙筆式評量、操作、繪圖、說故事、遊戲、口頭報告、討論、 專題或分組報告等（教育部，1975）。教師在規劃評量和測驗時，應當衡量學科 屬性與學生需求。根據研究（李順源，1996；吳德邦，1998；黃雅琪，2007）指 出，學生需透過實物的操弄才能掌握幾何概念，因此操作在幾何學習過程中是一 個極為重要的程序，它包括觀察、分類、推理等能力，這些能力最好是用實作評 量的方法，才能測出其成就（張敏雪，1997）。在 82 年版課程標準中，更明確的 針對「幾何與實測」教材，建議適合的評量方式—幾何與實測教材應以製作、操 作做為評量的方法（教育部，1993)。即使許多教師們都知道多元評量的重要，可 是多年以來卻無法落實。國家教育研究院籌備處日前也指出，長年以來，學校偏 重紙筆測驗，忽略落實多元評量（張文華，2009）。由此可知，傳統紙筆測驗還 是教師最常用的評量方式。綜觀國內有關線對稱概念的研究也大多以紙筆測驗、 問卷或訪談為研究工具，未有完善的實作評量來檢測學生的線對稱概念，因此本 研究希望發展一份有良好信度、效度的實作評量，作為老師評量學生線對稱概念 的工具，以輔助紙筆測驗不足之處。 我國現行九年一貫數學課程中之幾何教材主要是依據 van Hiele 幾何思考層 次理論來編寫（朱建正，1996；莊月嬌、張英傑，2006）， van Hiele 的幾何思考 層次理論強調學生的學習及經驗，他還提出了五階段學習理論，讓教師能透過教 學提升學童的幾何思考層次，對學童學習圖形與空間概念具有很好的成效（吳德 邦、戴五騰、謝翠玲，2001）。van Hiele 的幾何思考理論，不只論及幾何思考層 van Hiele 之幾何思考發展模式設
計一份線對稱概念實作評量，藉由施測結果，了解五年級學童在線對稱概念的幾 何層次發展情形，作為教師提升學童幾何層次教學的參考。
從文獻中（游森期、余民寧，2006；Takeya, 1980; Tatsuoka, 1984）得知，日 本學者佐藤隆博（Takahiro Sato）於 1970 年代所提出之 S-P 表（student-problem chart）分析法適用於小樣本班級人數之形成性評量測驗分析，根據學生作答反應 所得之診斷資料可以知道試題是否恰當及學生的學習成效。所以，本研究擬以S-P 分析法分析本研究實作評量之結果，以瞭解學生於線對稱概念的學習情形。 綜合上述，本研究將以van Hiele 之幾何思考發展模式設計一份線對稱概念的 實作評量，讓學生實際操作解題，並根據此測驗的結果進行學童幾何層次及 S-P 表分析，藉此瞭解國小五年級學童線對稱概念的學習情形，進而提供教師教學之 參考。
第二節
研究目的
基於上節所述之研究動機，本研究旨在根據van Hiele 幾何思考發展模式編製 一份線對稱概念的實作評量，希望藉此實作評量探討國小五年級學童於線對稱概 念的認知發展情形及幾何層次分布情形，提供教師教學與提升學童線對稱概念幾 何層次之參考。茲將具體的目的分述如下： 壹、根據van Hiele 幾何思考發展模式，編製一份具有良好信度與效度之線對稱概 念的實作評量。 貳、探討學童線對稱概念的表現情形。 參、探討各層次學童在各幾何思考層次概念的發展情形。 肆、根據S-P 表分析瞭解學童學習類型及其 van Hiele 幾何層次的分布情形。第三節
名詞釋義
為使研究更具體明確，以下針對本研究中重要名詞分別界定與說明：壹、國小五年級學童
本研究之國小五年級學童係指依據國民教育法第2 條及第 3 條規定，由政府 設立的國民教育前六年之公立國民小學98 學年度五年級在籍學生。貳、線對稱概念
本研究中所指的線對稱概念包含下列內容： 一、能在具體示例中，判斷一圖形是否為線對稱圖形。 二、給定ㄧ線對稱圖形，能找出其對稱軸並數出對稱軸。 三、認識對稱點、對稱邊、對稱角；給定ㄧ線對稱圖形及一條對稱軸，能找出對 稱點、對稱邊、對稱角。 四、能完整的說明線對稱圖形的特性（對稱邊相等、對稱角相等，並知道對稱軸 兩側圖形全等，察覺對稱軸垂直且平分對稱點的連線段）。 五、能描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。 六、理解哪些常見平面圖形具有線對稱性質。參、
van Hiele 的幾何思考層次
van Hiele 夫婦將幾何思考發展的模式區分為五個發展層次，依序為層次ㄧ： 視覺的（visual）層次；層次二：描述的（descriptive）層次；層次三：理論的 （theoretical）層次；層次四：形式邏輯的（formal logic）層次；層次五：邏輯法 則本質的（the nature of logical laws）層次。肆、實作評量
本研究之實作評量是指研究者依據van Hiele 幾何思考發展模式所編製，可讓
力，來了解學童線對稱概念之學習表現，不僅重視評量的過程，也重視評量的結 果，並請專業人員依評分規則來評分。
伍、
S-P 分析法
S-P 表分析法（Student-Problem chart analysis）又稱為學生問題表分析法，由
日本學者佐藤隆博於 1970 年代所提出，是一種依據學生在試題上的作答反應組
型，計算出試題注意係數（caution index for items，簡稱 CP）及學生注意係數 （caution index for students，簡稱 CS），以診斷學生及試題良莠的分析方法。S-P 表分析技術，最適用於以班級為單位的少數人資料的分析，尤其適合用於形成性 評量的測驗資料分析（余民寧，2002）。
第四節
研究範圍與限制
基於人力、物力、時間及研究者能力尚有不足之因素，茲將研究範圍與限制 分述如下：壹、研究對象
本研究僅以臺中縣沙鹿地區ㄧ所國小之ㄧ班五年級學童為研究對象，推論的 結果不宜做過度解釋，亦無法將分析結果做普遍性的類推，僅能提供教師進行線 對稱教學與評量時之參考。貳、研究內容
本研究所編製之實作評量，其主要內容為 92 年版九年一貫數學課程國小五 年級線對稱圖形的相關概念。參、研究工具
本研究的主要研究工具為研究者自編之「國小線對稱概念實作評量」，雖經 與指導教授討論研究工具之內容，但礙於研究者本身能力及經驗，恐有疏漏之 處，這正是研究者所需克服的。第二章
文獻探討
本研究的主要目的是根據 van Hiele 之幾何思考發展模式設計一份線對稱概 念的實作評量，藉由S-P 表分析法瞭解國小五年級學童線對稱概念的學習成效， 並探討學生在線對稱概念的幾何層次發展情形，以提供教師教學，提升學童幾何 層次之參考。本章的文獻探討共分成五節：第一節探討實作評量的本質；第二節 探討幾何概念發展理論；第三節探究線對稱概念；第四節分析國小線對稱圖形教 材；第五節介紹S-P 表分析理論，以作為本研究設計實作評量工具及結果分析之 依據。第一節
實作評量的本質
本節將分別就實作評量（performance assessment）的意涵、類型、優點與限 制、編製步驟、數學實作評量的相關研究進行探討及說明。壹、實作評量的意涵
隨著社會的變遷，知識與資訊快速的成長，為了因應未來多元且複雜的社 會，各國的教育目標亦從重視基礎知識轉變成強調高層次認知與情意能力的培養 （Collison, 1992; Hambleton, 2000）。此外，認知學習理論的興起，取代行為主義 的學習理論，使得學習從強調記憶、被動的機械式重複練習轉而強調應用與有意 義建構的主動學習，兼顧內容知識和過程知識。然而傳統的紙筆測驗只能測量學 生「知道」什麼，無法知道學生「能做」什麼，對於教師的教學及學生的學習造 成偏差的影響，有鑑於此，美國的教育學者在 1980 年代末期開始探討一些能代 替傳統評量的方法，而實作評量便是其中最受重視的ㄧ種評量方式（盧雪梅， 1999；Collison, 1992; Hambleton, 2000）。 「實作評量」究竟是什麼？其定義多元，雖沒有一個共同的標準看法，不過 意涵相去不遠，茲將國內外專家學者對實作評量的定義，分述如下： 一、Stiggins（1987）認為實作評量的目的在評量學生將知識、理解化為行動的能力，強調學生善用有用的技能與知識，透過學生的計畫、建構及表達原始反 應來評定其學習結果，只要教師以觀察和專業判斷來評量學生學習成就的評量方 式即屬於實作評量。 二、桂怡芬與吳毓瑩（1997）認為實作評量是一種以學生在評量過程中的表 現或製作出的物品作為評量依據的評量方式，教師根據其判斷及事先指定的標準 來評定學生於評量工作項目上的實際行為表現，教師所要求學生表現的行為是與 重要的教學目標相符的，評量的目的在使教師能夠直接觀察學生達到結果的過 程，不只是結果的正確性。 三、Wiggins（1998）指出實作評量是一種根據學生表現所做的評量，教師可 以直接觀察學生表現，或是間接透過學生作品去評量學生。 四、鄒惠英（1998）提出實作評量是是一種由觀察跟判斷來評量學生成就的 一種評量方式，實作評量也強調學生將學到的知識與瞭解的事物，轉換成具體的 行動歷程與結果。 五、夏淑琴（1999）主張凡是以學生評量過程中的表現或成果作為評量的依 據，再根據老師的判斷，用事先指定的的標準來來評定等級的評量方式均可稱作 實作評量。 六、李虎雄與張敏雪（1999）主張實作評量就是教師設計相關的情境，由此 情境，針對學生所應達到的學習成果設計一些問題，讓學生在情境中實際操作或 觀察之後，以分組活動或個別思考的形式進行問題的解決，同時針對學生在過程 中的表現，以客觀的標準加以評分的一種評量方式。
七、Linn and Gronlund（2000）認為實作評量是評量學生執行一項工作時展 現出的過程和成果的有效程度。
八、李長柏（2002）認為實作評量是學生藉由實物操弄的觀察記錄來解題推 論以便獲得結論，是屬於高層次認知的表現。
學習結果應用於真實情境中的表現之間，在模擬各種不同真實程度的測驗情境 下，提供教師一種有系統的評量學生實作表現的方法。
十、張永杰（2003）認為實作評量是教師設計一個與實際生活經驗非常接近 的情境，以學生在情境中操弄的結果為依據，用事先指定的標準來評定等級的評 量方式。
十一、Linn and Miller（2005）認為實作評量包括文章寫作、科學實驗、語言 表達與運用數學解決問題，強調的是做，而不僅是知，要求歷程與結果並重。 十二、李坤崇（2006）認為實作評量是具相當評量專業素養的教師，編擬與 學習結果應用情境頗類似的模擬測驗情境，讓學生表現所知、所能的學習結果。 由以上各學者的定義可以發現，實作評量在情境方面，可以為不同真實程度 的測驗情境；在評量重點方面，強調歷程與結果並重；在評分方面，要求客觀標 準的評分規則及評分者的專業素養。因此，綜合各學者的觀點，本研究將實作評 量定義為：教師依其專業素養，根據教學目標設計相關的問題情境，學生藉由實 物操弄來解題、推論，以便獲得結論，教師則根據事先制定的計分規準來評定學 生在情境中操弄的過程及結果的評量方式。
貳、實作評量的類型
Gronlund（1993）依據實作評量施行情境的真實程度，將教學情境下常用的 實作評量分成五個類型，茲分別陳述如下： 一、紙筆的實作評量 此評量有別於傳統的紙筆測驗，它更強調在模擬情境中應用知識與技能的能 力，時常使用設計、擬定、編製、撰寫、製造、創造等行為動詞，如：設計海報、 擬定活動流程、撰寫讀書報告等。 二、辨認測驗 此測驗要求學生辨認解決實作作業問題所需的知識或技能，如：辨認未知的化學物質、辨認機器故障的原因、辨認數學解題的正確程序等。 三、結構化表現實作評量 此評量是要求學生在標準、控制的結構化情境下完成實作作業，要求每位學 生都能表現出相同的反應動作，如：遵守安全守則來啟動一部機器，學生必須完 全遵守程序。 四、模擬實作評量 此評量是要求學生在模擬情境中，完成與真實作業相同的動作，如：在駕駛 訓練模擬儀器上展現駕駛技能的評量。 五、工作樣本實作評量 此評量是要求學生表現實際作業情境所需的真實技能，評量內容包括全部表 現中最重要的元素，並在控制良好的情境下進行，如：操作機器、修復儀器設備 等。 除了根據測驗情境之真實程度區分實作評量外，亦有研究者將實作評量分成 限制反應實作評量與擴展反應實作評量（Linn & Gronlund, 1995）。限制反應實作 評量要求學生的表現較為狹隘，且明確指出希望學生表現的形式與限制，其結構 性較高且計分也較容易，然而缺點是較難評量學生資料統整及創造能力；擴展反 應實作評量則是讓學生自由展現其選擇、組織、統整及評鑑訊息與概念的能力。
參、實作評量的優點及限制
一、實作評量的優點 實作評量是兼顧歷程與結果的評量，所關心的是學生在真實情境下應用知識 與技能的能力，近年來受到相當的重視，主要是因為它具有以下優點（余民寧， 2002；李坤崇，2006；詹元智，2002；盧梅雪，1999；Linn & Gronlund, 2000; Linn & Miller, 2005）：（一）評量的內涵與真實生活相結合 實作評量的內涵與真實生活相關，因此能夠增進學生學習的動機、提高學生 參與和投入的程度、幫助學生建構有意義的學習情境、發展問題解決能力、批判 性思考和表達自我的能力，讓學生學以致用，使得知識、能力能更充分應用於日 常生活。 （二）兼重評量的結果與歷程 實作評量不僅強調評量的結果，也重視學生解題的歷程，能彌補傳統紙筆測 驗過於僵化、內容與現實脫節、重視結果而忽略過程等缺失。 （三）評量高層次認知思考與問題解決能力 實作評量不僅評量學生的理解能力，更強調學生統整運用知識以解決問題的 歷程與結果，較能評量高層次認知思考與問題解決的能力。 （四）完整反應學生的學習結果，具有診斷功能 實作評量能讓教師更了解每位學生對問題瞭解的程度、投入的程度、解決的 技能和表達自我的能力，完整的反映出學生的學習結果，對於教和學均能提供較 完整的回饋訊息，有助於教師教學品質和學生學習成就的提升。 （五）促進學生自我決定與負責 實作評量要求學生將學習結果運用於日常生活情境，學生能自由選擇、應用 所學的知識和技能，自行建構出解決問題的方法，可促進學生自我決定與負責的 態度，成為有意義建構的主動參與者。 （六）教學與評量結合 實作評量也可以做為一種教學策略，透過實作評量的內涵、具體的表現及計分規 準，除了能釐清學習目標外，更能提供學生明確的回饋，使其主動學習、內省，提高學 習興趣和學習結果。 二、實作評量的限制
寧，2002；李坤崇，2006；陳英豪、吳裕益，1992；詹元智，2002；盧梅雪，1999； Linn & Gronlund, 2000; Linn & Miller, 2005）：
（一）試題編製困難 實作評量不僅要求學生了解評量內涵，更要求其運用知識解決問題的能力， 使得試題設計需兼顧了解、應用、分析等認知層次，在編製上較為困難。 （二）評分標準訂定不易 評量和觀察重點的掌握和評分標準的訂定也是一個難題，尤其是對非結構性 的作業項目進行評量時。 （三）發展的成本過高 時間方面，實作評量在實施上和計分上所需的時間比較多；經費方面，實作 評量的花費通常比紙筆測驗來的多，有時需要購置一些器材或儀器，在空間的需 求和器材的保管及維護上也可能遇到問題；人力方面，計分時較紙筆測驗費力， 較難以機械計分。 （四）信效度較具爭議 在信度方面，評分者對實作評量觀察重點的掌握和評分標準解讀不一，評分 較紙筆測驗主觀、複雜，且易受評分者個人特質影響，評分者間評分的一致性通 常不高；在效度方面，由於實作評量的實施通常需較多的時間，因此題目通常較 少，取樣的題目是否具代表性，令人有所疑慮。 雖然實作評量近幾年來受到重視，但實作評量與傳統紙筆測驗並非相對立， 而是互補的工具（陳華傑，2000；楊銀興，2000）。實作評量強調知識整合及應 用的優點可以彌補傳統紙筆測驗僅重視的知識、結果的缺失；但相對的，實作評 量在編製及評分上的限制也將使其效果大打折扣，這也是本研究在設計及實施實 作評量時需加以克服、改進的。
肆、實作評量的編製步驟
測情境中產出作品及展現成果，然而實作評量的情境難以充分控制，也不易標準 化，其準備工作及實施均較費時，評分也難客觀、公正，若是活動或作業設計不 夠完整，評分規準不夠具體明確，都可能導致實作評量無法達到預期的評量效果 （鄒慧英，1998），因此想要設計一份好的實作評量試卷，下述步驟是編製實作 評量時的有效方式（余民寧，2002；李坤崇，2006；陳英豪、吳裕益，1992；鄒 慧英，1998；盧雪梅，1999；Stiggins, 1994; Airasian, 1996; Linn & Miller, 2005）。 一、確立實作評量的目的 設計實作評量前必須根據教學目標及教材內容來決定評量的目的，並依評量 的結果做決定。隨著使用目的不同，所採用的觀察方法和評分方式也就有所不 同。若評量的目的是給學生評分，可用評定量表觀察成果的優劣；若欲診斷學生 學習情形，教師應針對學生學習的每個歷程逐一檢核，分析其優缺點，並針對缺 點改善教學或施予補救教學。 二、釐清評量內涵 確定實作評量的目的後，便要釐清評量內涵，包括：界定重要的學習內容和 技能、選擇所要評量的實作表現類型，以及界定評量的表現標準（performance criteria），茲將細節分述於下。 （一）界定重要的學習內容和技能 發展實作作業時，教師應依據評量目的對作業項目加以分析，辨認操作中能 代表重要學習結果的內容與技能，以便找出具代表性的工作樣本。 （二）選擇所要評量的實作表現類型 所選取的實作表現類型可以是歷程、成果或兩者兼顧，端視評量者認為何種 表現類型可做為評量學生表現的最佳證據。 （三）界定評量的表現標準 表現標準（performance criteria）是否能夠被清楚的界定、觀察和測量，是影
明確列出這些表現或成果的重要層面，以可觀察到、可測量到及能以數量化呈現 的學生行為或成果特質等術語，來界定各層面表現的標準。 三、設計實作評量的內容 界定表現標準後，隨即便是設計實作評量內容。教師可採用教室內自然發生 的活動，也可設計結構化的作業，引發學生表現。一般選擇時，需考慮二個因素： （1）教室中自然發生表現的頻率。（2）依評量結果所做決定的重要性。至於需 要多少訊息才能做決定，這也是設計實作評量內容時應考量的重點，實作作業的 數目不宜太多，通常在十至十五項之間，教師可依據決定的重要性、作業代表性、 完成每個作業所需的時間及教師是否已收集足夠學生表現的行為樣本而定。 四、設計評分計畫 為了提高實作評量的信度與效度，教師需審慎設計評分計畫。以下就制定評 分規準（scoring rubrics）、擬定評分程序、決定評量人員、選擇評定方法、決定 計分方式加以說明。 （一）制定評分規準 評分規準（scoring rubrics）是評鑑表現的準則，通常以等級量表的形式呈現， 包含四個項目：1.做為評斷行為表現的重要行為特質或層面。2.行為特質或層面 的操作行定義。3.用來評斷表現行為的計分量表。4.不同等級行為表現的表現標 準。制定完的評分規準需經過不斷的試用與修正才會可行。 （二）擬定評分程序 擬定標準化的評分程序及各項評分等級的實例解析，能有效管控評分程序， 提高評分的精確性與一致性。 （三）決定評分人員 實作評量的評分者可為教師、專家、同學、受試者本身，但不論由何人進行 評分，評分者都需接受嚴謹的評分者訓練，掌握評分標準，以提高評分的精確性
（四）選擇評定方法 一般用來收集和記錄學生表現的方法有：檢核表、評定量表、作品量表、軼 事記錄表、檔案評量等，需視所評量之實作表現性質而定，其中以檢核表和評定 量表最常見，不但可將觀察與判斷結合，且適用於過程與結果的評量。 （五）決定計分方式 教師宜視評量目的所做的決定來選擇評分方式，若是要分組、篩選或評定成 績，僅需要單一的整體分數，可採用整體評分法（holistic scoring）；若是要診斷 學生的學習困難或了解其精熟表現水準，就需分別呈現每項實作表現標準的分 數，此時採用分析評分法（analytic scoring）較為恰當。 六、製作使用說明 最後是製作使用說明，使用說明的內涵可包括評量單元、資料來源、評量目 標、評量項目、評量方法、實施步驟、檢核或評量標準、計分方式、結果運用等 項目，教師可依自己的評量專業素養加以調整，但一定要明確具體，不可因人而 異，以增加測驗情境標準化的程度。 總之，為了確保實作評量的品質，「評量目的」的澄清與確定是必要的；「評 量內容」或「評量對象」的取樣代表性，更是影響評量效度的重要因素；清楚的 「表現標準」、完整的「評分者訓練」和詳實執行的「評分程序」則直接影響評 量的信度（鄒惠英，1998），因此本研究在發展線對稱概念實作評量時，必須謹 守這幾個基本原則，以編製出具有效度及信度的線對稱概念實作評量。
伍、數學實作評量的相關研究
本研究蒐集數學實作評量之相關研究，依發表年代整理如表2-1-1：表2-1-1 數學實作評量之相關研究 文獻來源 研究主題 研究結果 時間 陳怡如 實 作 評 量 在 國 小 數 學科之應用研究 實施實作評量時，學生的數學學習動機比較 高，數學焦慮比較低；實作評量能測到學生 更多高層次的能力。 1999 洪之昀 數 學 科 實 作 評 量 對 國 小 高 年 級 學 童 學 習策略影響之研究 實作評量對學生學習策略的整體使用具有 明顯的增進效果。 2000 陳濱興 國 小 數 學 解 題 策 略 實 作 評 量 與 後 設 認 知之相關研究 數學實作評量能評量出學生的解題及後設 認知能力。 2001 高毓婷 多 元 評 量 對 國 中 數 學 學 習 的 影 響 與 研 究 實作評量可以看到學生「概念建構」、「基本 運算」、「推理思考」等能力的展現及發展。 2001 蔡菁玲 國 小 一 年 級 數 學 領 域 實 作 評 量 之 行 動 研究 經由實作評量的實施，學生在技能、情意、 認知的學習成果表現，有明顯的進步；實作 評量讓原本紙筆測驗成績不佳的學生能有 表現的空間與機會。 2002 李長柏 國 小 數 學 簡 單 機 率 解 題 實 作 評 量 與 後 設認知之相關研究 國小數學簡單機率解題實作評量可以有效 的評量出學生數學解題和後設認知能力。 2002 詹元智 國 小 數 學 科 實 作 評 量之效度探討 實作評量對學生的數學解題能力和數學學 習有正面的影響。 2002 王秀琲 實 作 評 量 在 國 小 數 學科之應用-以五年 級學童分數為例 實作評量能實際測出學童的分數概念，從實 作評量中，學童能展現自行所建構的解題策 略，所獲得的訊息比紙筆測驗多。 2003 石千奇 國 小 六 學 童 在 數 學 實 作 評 量 中 的 小 組 解題歷程分析 小組成員喜歡在實作評量中以小組解題的 模式解題，覺得這樣的評量方式可以幫助解 題。 2004 陳淑惠 van Hiele 幾何思考 的 評 量 方 式 比 較 與 後設認知之研究 在較高層次的能力表現，學童在實作評量的 表現優於紙筆評量。實作評量方式能提昇學 童的幾何思考能力表現。 2004 從以上數學實作評量的相關研究中，發現實作評量確實能評量出紙筆測驗所 不能測出之能力，學生能展現自行建構的問題解決能力，在技能、情意、認知的 學習成果表現也有明顯的提升。因此，本研究將採用實作評量方式，期望能測出 學生在線對稱概念的幾何思考能力。
第二節
幾何概念發展理論
在兒童幾何概念發展方面有三個對數學教育影響很大的認知發展理論，一是 Piaget 的空間發展理論，一是 van Hiele 幾何思考發展模式，另一個是 Duval 幾何 圖形的認知理解。本節將分別探討「Piaget 的空間發展理論」、「van Hiele 幾何思 考發展模式」以及「Duval 幾何圖形的認知理解」，以對兒童幾何概念之發展進行 初步的認識。
壹、
Piaget 的空間發展理論
瑞士心理學家Piaget 認為學習是個體與外在環境之間的交互作用，透過不斷 的同化、調適、平衡三個循環歷程來建構知識，個體會依據先前的經驗來進行新 的學習，在同化、調適的過程中達成平衡，成為下一個階段學習的基礎，因此認 知結構會隨環境的需要與年齡的增長而改變（王文科，1991）。經由多年的觀察 研究，Piaget 發現自出生到青少年的成長期間，個體的認知發展，在連續中呈現 階段性的特徵。他依特徵把認知發展分成四個年齡期，分別為感覺動作期、前運 思期、具體運思期、形式運思期，雖然有的孩子認知發展快，有的孩子認知發展 較慢，但認知發展的順序是不會變的，無法跳過任何階段，茲將各期特徵簡述如 下（張春興，1994）： 一、感覺動作期：是指出生到兩歲嬰兒的認知發展階段。此時期的兒童透過感覺、 動作與環境互動，從最初本能性的反射，發展出目的性的活動。感覺動作末 期的兒童對物體認識已具有物體恆存性概念。 二、前運思期：是指兩歲到七歲兒童的認知發展階段。此時期的兒童能使用語言 表達概念、使用符號代表實物，但思惟方式不合邏輯，不能見及事物的全面， 缺乏守恆概念，只能主觀看世界，具有自我中心傾向。 三、具體運思期：是指七到十一歲兒童的認知發展階段。此時期的兒童能根據具 體經驗思惟以解決問題，他們已經具備了守恆的概念，能理解可逆性及守恆的道理。兒童在分類思惟時，已具備了類包含的能力。
四、形式運思期：是指十一歲以上青少年的認知發展階段。此時期的青少年能做 抽象思考，能按假設驗證的科學法則解決問題，也能進行組合推理，按形式 邏輯的法則思惟問題。
由Piaget 的認知理論可知，兒童的學習及概念的發展是有階段、順序性的，
並且與年齡有關。Piaget 等人（Piaget & Inhelder, 1967）便從認知發展的觀點研究 學童發展幾何概念的思考模式，探討幾何概念形成的運思過程，發現其幾何概念 發展也有一順序，從最先的拓樸幾何概念到投影幾何概念再到歐幾里德幾何概念 （劉秋木，1996）。以下分別就這三個階段加以說明（張英傑，2001；黃雅琪， 2007）：
一、拓樸幾何概念（Topological concepts constructure）階段
此一階段的兒童屬於運思前期，約3 到 4 歲，他們對於幾何圖形的概念僅侷 限於基本的拓樸概念，亦即僅能分辨出圖形是開放或是封閉，完全沒有基本的 角、邊等概念，兒童對於直線和曲線，尚未具有嚴格的區分能力，對於長度和角 度的差異，也不能做詳細的觀察，圓形或四邊形對他們而言都是連續簡單的封閉 圖形，因此無法區隔。 二、投影幾何概念（Projectire geometry）階段 此時兒童相當於運思前期到具體運思期認知發展階段，約4 到 6 歲。此階段 的兒童能建構一種投射的空間，並且協調不同的觀點，自己所在的視覺觀點比其 他的條件佔優越的地位，凡是經過視覺所承認的事情，才認為是真實的存在，他 們深信各種形狀都會依視覺的感受而變化。 三、歐幾里德幾何概念（Euclidean geometry）階段 兒童一直到6~8 歲才有歐幾里德幾何概念，此一階段的兒童已經擺脫視覺的 迷惑，認為物體不管怎麼移動，其形狀、大小都不改變，隨著認知的發展，他們
概念。 本研究對象為國小五年級學童，根據Piaget 認知發展階段及空間發展理論， 此階段的學童正是處於的具體運思期，也已達到歐幾里德幾何概念階段，具備線 段長短、角度大小及面積大小的保留概念，能根據具體經驗思惟來解決問題，並 能進行簡單的邏輯思考，理解物體操作過程中可逆性存在及守恆的道理，且兒童 在分類思惟時，已具備了類包含的能力。
貳、
van Hiele 幾何思考發展模式
荷蘭教育學家van Hiele 夫婦在 1957 年根據完形心理學的結構論以及 Piaget 的認知理論，提出一套幾何思考發展模式，主張將學習幾何的過程分成五個思考 層次，每個層次都有其發展特徵，經由教師適當的引導，其幾何思考層次可由較 低的層次逐步提升到較高的層次（van Hiele, 1986）。以下分別就van Hiele 幾何思 考層次、van Hiele 幾何思考層次的特性、van Hiele 幾何思考層次的行為特質、van Hiele 幾何思考層次之隸屬模式及 van Hiele 五階段學習模式加以說明：
一、van Hiele 幾何思考層次 van Hiele（1986）提出幾何發展理論包含五個幾何思考的層次，每一個層次 都有其發展的特徵，茲將其概略特徵分述如下（吳德邦，1999；林軍冶，1992； 劉秋木，1996；盧銘法，1996）： （一）層次一：視覺的（visual）層次 此層次的學童是透過視覺觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形，他們 可以使用非標準的或標準的數學語言來描述圖形的形狀，但是卻無法理解這些數 學語言的定義。例如：長方形是瘦瘦長長的，像門的形狀是長方形。 （二）層次二：描述的（descriptive）層次 此層次的學童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖 形的基本要素與這些圖形之間的關係，可是卻無法說明這些圖形特徵之間有何關 係存在，如：能察覺到正方形的四個邊等長，四個角都是直角，但不能解釋這些
看出不同類圖形間的關係。如：不認為正方形也是長方形。 （三）層次三：理論的（theoretical）層次 此層次的學童已經能夠了解構成各種圖形的要素，並且能夠進一步探求各種 幾何圖形的內在屬性以及各個圖形之間的包含關係，依據圖形的性質進行非正式 的推演，但是還不能進行有系統的證明。例如：知道正方形是菱形的一種；三角 形的內角和是180°，四邊形可以分成二個三角形，所以四邊形的內角和是 360°， n 多邊形的內角和為 180°×（n-2）。 （四）層次四：形式邏輯的（formal logic）層次 此層次的學生能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。他 們可以在一個公設的系統中建立理論，並且能夠證明與理解一個定理可以有很多 不同證明的方法，此外他們能夠理解幾何定理的充分或必要條件的內在關係，並 發現正逆命題間的差異性。例如：正五邊形的邊長均等長，內角亦均相等，但邊 長均等長的五邊形不一定是正五邊形。
（五）層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次
此層次的學生可以在不同的公設系統中建立定理，並分析比較這些定理的特 性，他們能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，也能互相比較不同公 設系統，甚至可以自創一套幾何公設系統。例如：能區分歐幾里德幾何與非歐幾 里德幾何的差異。能達到此層次的人並不多，即使是數學方面專業人士亦不易達 成。 根據van Hiele 的理論，上述五個層次都有其次序性和固定的特徵，學習者必 須擁有前一個層次的概念與策略，才能有效地進行下一個層次的學習活動，而各 層次與年齡不一定具有相關。 在幾何發展層次方面，Senk（1989）指出有比視覺層次更基本的層次存在， 稱為水準0 前期（pre-level 0）。Clements and Battista（1992）則提出建議，認為
在van Hiele 的幾何層次理論中，應該還有一個更早於視覺期的層次，此時期稱
圖形，但因為知覺能力不足，只注意到圖形部分的視覺特徵，而不能完全知道一 些常見的圖形，或對相同種類的圖形作分類。Clements, Swaminathan, Hanniba and Sarama（1999）調查 3 到 6 歲學齡前兒童辨識圖形的情形並做進一步訪談，其結 果也支持了Prerecognitive level 的存在。
二、van Hiele 幾何思考層次的特性
van Hiele 於 1986 年指出：幾何思考層次具有一些固定的特性，國內外學者 對van Hiele 幾何思考層次的特性有不同的描述，綜合學者的說法，茲將 van Hiele 幾何思考層次的特性分述如下（吳德邦，1999；盧銘法，1996；Usiskin, 1982; Crowley, 1987; Wu, 1994）： （一）次序性（Fixed sequential/Sequential） 幾何思考層次發展是循序漸進的，學生在達到任何一個層次之前，必須擁有 前一層次的概念。 （二）造詣性（Attainment/Advancement） 學生幾何思考層次的提升受到教材和教學的影響比年齡成長的影響來的 大，適當的教學可以提昇學生的幾何思考概念，但卻無法使其直接跳過某一層 次，如果要教導高程度的學生超過其實際層次的能力，是可行的，即降低教材內 容至較低的層次，但他們無法理解。
（三）毗連性（Adjacency/Intrinsic and Extrinsic）
某一層次的內在元素會變成下一層次的外在元素，例如：當學生在第一層次 時，僅由圖形的外觀來辨認圖形，而分析圖形的基本要素與這些圖形之間的關係 在這一層次是屬於內在元素，尚未出現；若學生達到第二層次時，就能分析圖形 並發現其組成要素及特性。
（四）特異性（Distinction/Linguistics） 每一個層次均有其特定的語言符號及聯結這些符號的關聯系統，因此，在某 一層次是正確的關係，於其他層次可能需要修改，如：正方形也是長方形，在描 述層次的學生可能無法將上述觀念概念化，但到了理論層次才能理解此概念及其 伴隨的語言。 （五）分離性（Separation/Mismatch） 如果學生的思考層次與教學層次不同，所期望的學習和發展就不會產生，尤 其是當教師在教學時，教材內容、教具的選擇、語彙的應用等，均高過學生的層 次時，學生是無法理解其過程的。 三、van Hiele 幾何思考層次的行為特質
Fuys, Geddes and Tischler（1988）依據van Hiele幾何思考層次理論，進一步 探究每一個層次中學生所能達到的水準，並提出學生在每個van Hiele幾何思考層 次所能表現或達到的具體行為能力，茲將各層次的行為特質說明如下： （一）層次一：視覺層次（visualization） 1.能依據整體外貌辨識出某一形狀。 2.未能分析圖形組成之要素，未能考慮某些性質當成是這類圖形之特徵。 3.能手繪或複製一個圖形。 4.能依據圖形整體外貌，比較和分類形狀，並能用語言描述其形狀。 （二）層次二︰描述層次（descriptive） 1.能確認並檢驗圖形組成要素之間的關係。 2.能說出組成要素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。 3.能依據組成要素之間的關係，比較兩圖之異同。 4.能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之。 5.能利用圖形的已知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。
（三）層次三︰理論的層次（theoretical） 1.能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。 2.形成並使用某類圖形之定義。 3.能提出非形式化的論證。 4.能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同。 5.不了解定義及基本假設的需要。 6.尚未建立定理網路間的內在關係。 （四）層次四︰形式邏輯的層次（formal logic） 1.能辨識出正式定義的特性和等價的定義。 2.在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。 3.學生在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、公理、定義、 定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了解定理與逆定理的區別和 證明的必要與充分條件，可寫出邏輯證明。
（五）層次五︰邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws）
1.學生能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些系統。 2.找出解決一組問題的一般性方法。
3.比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。 四、van Hiele 幾何思考層次之隸屬模式
英國倫敦大學 Chelsea 學院在社會科學研究會（SSRS）的贊助下，於 1974
年開始進行五年的中學數學與科學概念（Concepts in Secondary Mathematics and Science，簡稱 CSMS）研究計畫內容中，對於 van Hiele 思考層次的隸屬標準，訂 定了六項評準，隸屬同一層次的題目，則必須滿足這些評準（Hart, 1981）： （一）難度相近。
（二）題目間的同質性係數，需達可接受的水準。
（四）具有一致的數學特性。 （五）若學童答對該層次試題三分之二以上即算通過該層次。通過某一層次的學 童，應能通過所有比此層次為低的層次。通過高層次而未通過所有較低層次的人 數必須少於學生樣本的7%。 （六）以同樣的方式分析各年齡組的結果，不應有嚴重偏差。 在相關的研究中，專家學者評定學童幾何思考層次發展的方式主要有兩類： 1.基於回答測驗上答對數目為評量標準（Usiskin, 1982; Gutierrez & Jaime, 1988; Mayberry, 1983）；2.依據學童在晤談期間在每個活動上所呈現的思考水準，依據 思考水準加以計分。但大部分的研究都以受試者在測驗表現上答對的數目為評定 的標準。如：林軍治（1992）採取某一層次平均分數 70 分，作為達到該層次的 標準；Usiskin（1982）以某一層次答對的題數是全部題數的五分之三或五分之四 作為達到該層次的標準。在van Hiele 理論中，指派學生到第 n 層次，必須通過第 n 層次並且也要通過之前所有的層次，所以當學童為第三層次時，代表該學童有 通過層次一、層次二、層次三。若學童在van Hiele 幾何思考層次測驗中未能達到 層次一水準，卻能達到層次二或層次三水準，或是未能達到層次二水準，卻能達 到層次三水準則稱為跳躍現象。本研究在評定學生幾何層次發展時則採用第一類 評定方式，評定的標準為每一層次答對題數超過該層次的五分之四為達到該層次 的標準。 五、van Hiele 五階段學習模式 van Hiele 認為學生幾何思考層次的提升受到教材和教學的影響比年齡成長 的影響來的大，適當的教學可以提昇學生的幾何思考概念，為了促使學生從一個 思考層次提昇到另一個較高思考層次，van Hiele（1986）提出「五階段學習模式」 （five-phase learning model），分別為：學前諮詢（information）、引導學習方向 （guided orientation）、解說（explicitation）、自由探索（free orientation）、統整 （integration）。說明如下（朱莉文，2005；吳德邦，2004；盧銘法，1996；Hoffer, 1983）：
第一階段：學前諮詢 教師在教學之前，先與學生雙向溝通，經由觀察與詢問，來了解學童的先備 知識，以作為教學準備之參考。教師與學童從事圖形保留的活動，經由觀察及問 題探討，再介紹此一層次之特殊語言符號。在這階段中，教師和學生在探討主題 的對話中，所使用的語言與介紹的幾何術語，對於本階段的學習相當重要。 第二階段：引導學習方向 教師引導學童探索、操作，例如：排列、組合、積木、摺紙等活動，在學童 探索活動過程中，教師宜有計畫的依序引導，使其了解幾何的概念。 第三階段：解說 這個階段的學童，已逐漸了解幾何圖形的關係，能從觀察的現象，彼此交換、 討論和發表自己的觀點，亦能使用術語相互討論。此階段教師的角色即在引導學 童正確使用適當的術語討論學習的主要內容，使其幾何概念提升到理解的層次。 第四階段：自由探索 進入這個階段的學童，教師可以選擇適當的教材以及幾何問題，鼓勵學生思 考與解答這些幾何問題。學童面對一個需要多步驟才能解決的複雜題目，或是可 以使用很多不同方式來解決的問題時，他們往往會從解題的活動中獲得經驗。 第五階段：統整 學童在此階段能經由觀察圖形，歸納各圖形的屬性，統整其所學會的幾何概 念與知識，並予以內化。在這階段，教師的主要工作是提供整體的概念來幫助學 生將所學的知識轉化成綜合概念，鼓勵並啟發學童理解與運用幾何概念，並不需 呈現任何新的概念給學生。 Van Hiele 的五個幾何思考層次，每一個層次都需要經過上述五階段學習模 式，透過教師適當的教學與引導，經過這五階段學習後，使學生更容易的提升到 下一個更高的層次。
參、
Duval 幾何圖形的認知理解
Duval（1995）認為幾何圖形的瞭解（appprehesion）可分成知覺性、構圖性、論述性、操弄性四種，分別說明如下（左台益、陳天宏，2002；朱莉文，2005）： 一、知覺性瞭解（Perceptural apprehension） 知覺性的瞭解是個體認知到圖形的組織法則與繪圖線索，並將這些訊息組織 成一個整體性的辨識。當提起一個圖形或圖案，必定會引起知覺性的瞭解，我們 可以把知覺的圖形以平面或透視的方式區分和辨識出圖形中的子圖形，例如：長 方形被對角線分割出的兩個直角三角形，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的 結構上。 二、構圖性瞭解(Sequential apprehension) 當我們在構圖的過程或是描述該圖形的結構時，必須對圖形作構圖性的瞭 解，構圖性理解是個體構造一個圖形或是描述其結構的一種認知歷程，即是在構 圖的過程中，圖形的不同單位元件則會依序浮現，藉由構圖時幾何元件的浮現， 可以更明確領悟到幾何概念。構圖性的瞭解主要和繪圖工具（如：尺、圓規）的 限制有關，若是因為繪圖工具的侷限而無法表達出圖形性質間的關係時，圖形則 無法容易被瞭解。 三、論述性瞭解（Discursive apprehension） 論述性理解是個體透過語言或文字來描述一個圖形所具有的性質，或是利用 文字語言的陳述來進行推理的認知歷程。對於同一個圖形而言，每個人所見的脈 絡與性質都不盡相同，單由知覺性的瞭解，並不能使所有人對圖形的幾何性質達 到共同的理解。圖形所代表的數學特質並不能完全靠著繪圖來呈現，在所有的幾 何表徵中，對於其幾何性質的辨認仍然必須建立在敘述上，藉由敘述幾何的性 質，可以近一步釐清自己的幾何概念，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形 表現了什麼。論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變，在學生學習幾 何知識上，達到更明確的幾何學習目標。 四、操作性瞭解（Operative apprehension）
形時，可以透過操弄圖形或是幾何形體來得到幾何概念，而在以不同的方式變換 圖形之後，得到操弄性的瞭解。變換圖形的方式則大致分為下列幾種：1.分解組 合圖形；2.放大縮小圖形；3.平移旋轉圖形等，這些變換可在心智或實體世界中 操作，這些操弄可使圖形具有啟發性的功能，在操弄的過程中，突顯出圖形的變 化而得到某個證明步驟或解題的靈感。 左台益（2003）提到，這四種圖形認知理解方式，並沒有優劣之分，都能提 供學習者對於圖形的思考，教師教學時應儘可能設計各方面的教學活動，讓學生 能接觸多樣化的理解方式，從不同的觀點去探索線對稱之概念。 由上可知，皮亞傑的幾何概念發展理論是屬於兒童的自然概念發展，為年齡 取向的階段論；van Hiele 的幾何思考層次理論是從歐氏幾何架構上發展出的幾何 思考發展理論，較強調學生的學習及經驗；至於Duval 則是提出四種幾何圖形的 認知理解方式。其中，van Hiele 的幾何思考層次理論認為學生幾何思考層次的提 升受到教材和教學的影響比年齡成長的影響來的大，為了提升學童的幾何思考層 次，他更提出了五階段學習理論。而我國自 1993 年教育部公佈實施之國小數學 課程至現行九年一貫數學課程中之幾何教材主要是依據 van Hiele 幾何思考層次 理論來編寫（朱建正，1996；莊月嬌、張英傑，2006），可見 van Hiele 幾何思考 理論相當受到重視。 從國內有關幾何發展的研究（吳德邦，1999；林軍治，1992；盧銘法，1996） 得知，國小學童之幾何發展層次大多介於第一到第三層次之間，國小低年級學童 大都均在第一層次，中年級學童大致可達到第二層次，高年級學童大約在第二層 次到第三層次的過渡時期。本研究對象為國小五年級學生，其幾何概念發展應已
到達Piaget 幾何思考的歐幾里德階段，以及 van Hiele 幾何發展理論的第二層次到
第三層次之間，因此本階段的學童在進行線對稱圖形學習時，大致已具有以下特 質：
1.已具有豐富的視覺辨識經驗和能力，能察覺幾何圖形的組成要素。
線對稱圖形。 3.能依據組成要素之間的關係，比較兩圖形之異同，並依圖形的性質進行分類。 如：能分辨出線對稱圖形與非線對稱圖形。 4.知道幾何圖形透過移動、翻轉、旋轉，其線段長短、角度大小及面積的大小不 會改變，即具有線段長短、角度大小及面積大小的保留概念。 5.能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之。 6.能利用圖形的已知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。 因此，本研究擬以van Hiele 幾何思考層次理論為基礎，考量國小五年級學童 之特質，以不超過此階段學童幾何概念發展為原則，進行實作評量試題之編製， 並於實施評量時，藉由觀察與晤談進一步瞭解其是否能理解線對稱圖形的性質及 其學習困難之處。
第三節
線對稱概念相關分析
本節將分成線對稱的概念、線對稱概念相關之研究二部分來探究。壹、線對稱的概念
有關線對稱的概念，分成三部分來敘述：第一為線對稱的意義，第二為線對 稱圖形的作圖策略，第三為完整的線對稱概念內涵，依序說明如下： 一、線對稱的意義 （一）日本數學教育協會（1987）將線對稱定義為（引自林宜臻，2000）： 1.一平面圖形以直線 L 為摺線，於空間翻轉 180°後，完全重合，稱之。 2.兩平面圖形以直線 L 為摺線，於空間翻轉 180°後，其中一個與另一個完全重合， 稱之。 （二）國小數學教材分析-幾何將線對稱定義為（朱建正等，2006）： 1.平面上有一點 A，一條直線 L，將直線 L 視為對稱軸，由 A 點向直線 L 做垂直 線，交點是O 點，延長線段 AO，可以在直線 L 的另一側找到一個點 B，使得 AO 等於線段 OB，則 B 點稱為 A 點對直線 L 的對稱點，A 點也是 B 點對直線L 的對稱點，一般也說 A、B 兩點對稱於直線 L，如下圖 2-3-1 所示。 圖2-3-1 點 A、B 互為對稱點 2.平面上有一圖形甲，一條直線 L，將直線 L 視為對稱軸，圖形甲上的每一個點 P，都可以找到一個對應於直線 L 的對稱點 P'，假設所有 P'點所成的集合是圖形 乙，則圖形乙是圖形甲對直線L 的對稱圖形，圖形甲也是圖形乙對直線 L 的對 稱圖形，一般也說圖形甲、圖形乙兩個圖形對稱於直線L，如下圖 2-3-2 所示。 圖2-3-2 圖形甲、圖形乙對稱於直線 L （三）國民小學數學科新課程概說（高年級）平面教材的處理中將線對稱定義為 （劉好，1998）： 1.操作型定義 若一圖形可沿著某一直線對摺，使直線兩側完全重合，這種圖形稱為關於此 摺線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。 2.幾何上的定義 一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中一半內的任何點都
被平分此圖形的直線垂直平分，則此圖形為一線對稱圖形。 能將線對稱圖形平分成可重合的兩半之直線，稱為此線對稱圖形的對稱軸。 分別在對稱軸之兩邊的兩個點，若其連成的直線段恰好被此對稱軸垂直平分，這 兩個點稱為關於此對稱軸的對稱點。沿著對稱軸對摺後，重疊的邊，稱為關於此 對稱軸的對稱邊，重疊的區域，稱為關於此對稱軸的對稱區域。若對稱軸通過該 對稱圖形內部，則在對稱軸上的點的對稱點即為其本身。 二、線對稱圖形的作圖策略 線對稱圖形的作圖通常可以下列三種方法完成，說明如下（劉好，1998）： （一）剪圖法 將一張紙對摺，在其上依所要的圖形之一半的形狀剪下（使透過兩半）， 然後展開，則可得一個線對稱圖形。 （二）描繪法 利用雙面複寫紙畫出線對稱圖形。將一張白紙對摺，將複寫紙插入對摺紙 之中間，然後在對摺紙的表面畫出所要的對稱圖形的一半圓形，畫好之後，將 複寫紙取出，展開白紙，即出現所要的對稱圖形。 （三）利用對稱軸垂直平分對稱點之連線的特性 在一張白紙上畫出一條直線當做對稱軸（如圖2-3-3 之（1）），接著於軸 線的一邊畫出所要的對稱圖形的一半圖形（如圖2-3-3 之（2）），定出一些關 鍵點（如圖 2-3-3 之（3）中的 A、B、C），過每一個關鍵點分別畫出和軸垂 直的直線段，使其通過軸線至另一側的適當位置，於此直線段上取一點使其至 軸之距離等於原關鍵點至軸的距離，則此點即為原關鍵點的對稱點（如圖2-3-3 之（4）中的 D、E、F）。接著利用這些關鍵點連出原來的一半圖形中各邊之 對稱邊，即得一個線對稱圖形（如圖2-3-3 之（4））。
（1） （2） （3） （4） 圖2-3-3 利用對稱軸垂直平分對稱點之連線的特性畫線對稱圖形 三、完整的線對稱概念內涵 依照Küchemann（1981）的看法，完整的線對稱概念應包含下列成份： 1.給定物與對稱軸，會畫出物的對稱圖形。 2.給定兩物，能判斷是否存在對稱軸。 3.能完整的說明經過對稱後，物與其對稱圖形的特性。 4.能將物與對稱軸儲存於腦中，進行抽象的變換操作。 5.有逆變換的觀念。
貳、線對稱概念之相關研究
茲將國內外有關線對稱概念之研究文獻作整理分析，從下列三方面說明主要 研究成果。 一、對稱之知覺性了解方面 我國學者劉寶元（1996）的研究則指出學童受到日常生活中常接觸到的線對 稱圖形影響，在找線對稱圖形的對稱軸及畫線對稱圖形時，垂直、水平對稱圖形 的表現比傾斜對稱圖形的表現好。陳莉萍（2002）指出當對稱軸傾斜 30∘、45∘、 60∘時，學童在解題上容易發生困難。朱莉文（2005）的研究也顯示五年級學童 對於對稱軸為鉛直方向的線對稱圖形之對稱關係大都清楚，對於辨認對稱軸為水 平或傾斜方向的線對稱圖形較為困難。二、對稱概念之發展方面
Levy and Ridderheim（1958）認為 12 歲以下的學童無足夠利用對稱概念的能 力，但隨年齡之增加，此種概念能力則有增加的趨勢（Furth, 1961）。國內學者在 學童線對稱概念發展的研究發現，當二年級學童升到三年級後，對於線對稱圖形 及其特徵之辨認能力已較為提高，中年級學童的幾何思考能力大都屬於van Hiele 的視覺層次與描述層次的水準（劉湘川、許天維、劉好、易正明，1993）。劉湘 川、劉好（1992）發現學童的對稱概念發展，愈高年級發展得愈完整，高年級學 童大約在描述層次到理論層次的過渡時期。蔡坤定（2007）則指出學生於線對稱 概念之知識發展結構如下：數出圖形對稱軸個數是最下位概念，其次是線對稱圖 形的辨別、認識對稱軸，製作線對稱圖形是最上位概念；線對稱圖形對稱關係是 最下位概念，其次是線對稱圖形的性質，而畫出線對稱圖形的另一半是最上位概 念。 三、影響線對稱之作答因素方面
英國CSMS（Concepts in Secondary Mathematics and Science）數學研究小組 （1981）提出四個影響學生線對稱作答情形的因素：對稱軸的傾斜程度（鉛垂或 水平方向較為容易，傾斜則較不容易）、格子出現與否（格子能指引距離與方向）、 物件之複雜度（單獨點的對稱較為容易，當物件愈複雜，孩子愈難正確作答）、 物件之傾斜度。國內學者林福來（1987）的研究也發現對稱軸的傾斜度、物件與 對稱軸的相對位置、方格紙與白紙（題目印在方格紙和白紙上最大的影響是學生 的解題策略）、物件的結構（物件結構的複雜性，從點、線段、折線到三角形， 需掌握的關鍵元素依次增加，故試題的難度亦逐漸增加）等四點為影響學生處理 鏡射的因素。王世鑫（2007）指出對稱軸傾斜程度影響學童完成線對稱圖形的情 形，以對稱軸為垂直者最容易，接著是對稱軸為水平者，最難的是對稱軸為傾斜 者。施政宏（2006）也提出與對稱軸的遠近是影響學童答對與否的關鍵因素。
綜合上述，我們可以發現： 1.學童隨年齡之增加，線對稱概念能力有增加的趨勢，其線對稱概念知識發展結 構順序為：數出圖形對稱軸個數→線對稱圖形的辨別、認識對稱軸→製作線對 稱圖形；線對稱圖形對稱關係→線對稱圖形的性質→畫出線對稱圖形的另一半。 2.學童在學習線對稱概念時，有四個影響學生作答的因素：對稱軸的傾斜程度、 格子出現與否、圖形之複雜度及圖形與對稱軸的相對位置。 3.學童於對稱軸為鉛直的圖形較易掌握，接著是對稱軸為水平者，而對於對稱軸 為傾斜者較不易掌握。 因此，本研究將參考學童線對稱概念知識發展結構順序及影響學生線對稱作 答的四個因素編輯有層次的題型，並由易而難安排試題，此外，設計了對稱軸數 目不同的作圖題，以瞭解學生在不同對稱軸數目的題目中完成線對稱圖形的情 形。
第四節
國小線對稱圖形教材分析
本節先將 92 年九年一貫課程綱要中關於國小線對稱概念之能力指標及其對 應的分年細目做一詮釋與分析，再對國小現行四個教科書版本之五年級線對稱圖 形教材做分析比較，最後歸納出本研究所欲測量之線對稱概念的內涵。壹、
92 年九年一貫課程綱要國小線對稱概念之能力指標及其對應
的分年細目之詮釋與分析
現行國小五年級線對稱圖形教材是依據 92 年九年一貫課程綱要編輯而成， 有關國小線對稱概念之能力指標及其對應的分年細目（教育部，2003）如表 2-4-1 所示。表2-4-1 92 年九年一貫課程綱要數學領域分段能力指標與分年細目對應表 分段能力指標 分年細目 S-2-06 能 理 解 平 面 圖 形 的 線 對 稱 關 係。（第二階段：4-5 年級） 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖 形的線對稱性質。 5-s-04 分年細目的詮釋，如下： 1.能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱軸（可能不只 一條）。理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性質。 2.知道線對稱圖形的對稱邊相等、對稱角相等，並知道對稱軸兩側圖形全等（不 需證明）。 3.知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。 由以上分析可看出，92 年九年一貫課程綱要強調以具體物與活動來進行線對 稱圖形的教學，讓學生理解平面圖形的線對稱關係與性質，知道如何描繪簡單平 面圖形的線對稱圖形。
