階層線性模型

第一節 階層線性模型

在不動產估價方面應用特徵價格法有相當多的文獻，眾多使用特徵價格法來估計 影響住宅價格因素中也包括區域特徵，但這些研究大多將各影響因素視為獨立且互不 相干擾的變數，同時也將誤差項假設為各自獨立且同質分配的特性 (independent identical distribution, iid)。迴歸分析最重要的一個假設－「獨立性」假設，當依變數 所受之自變數影響來自群體特質（如公司或學校）而非個體特質時，將會進而忽略層 級間之差異，歸類於同層級，導致錯誤的推論結果。Basu and Thibodeau (1998) 認為 當特徵價格方程式的誤差項存在著空間自我相關時，會使得參數估計結果產生偏誤，

使得模型中的解釋變項產生不正確的係數，導致結論謬誤。Case and Mayer (1996) 指 出 住 宅 在 空 間 上 的 位 置(location) 是 獨 一 無 二 ， 它 的 區 域 特 徵 不 能 被 複 製 。 Fotheringham et al. (1988) 認為由於每宗土地對區域特徵的敏感度不同，所以無法以 靜態的固定係數來建立住宅價格預測模型。階層線性模式即針對上述問題發展而成，

其可考慮每一個總體層級單位（公司或學校）之下的個體層級單位（員工或學生）互 為相依的情形；並將自變數歸類至不同層級之中，以進一步探討其對依變數影響之脈 絡效果(contextual effects)。模型發展臻至成熟後，許多領域包括都市計畫與不動產、

社會科學、組織、公共衛生、社會工作、教育及心理學等領域，由於常需探討群體關

係對個人表現之影響，因此逐漸開始以此探討自變數之層級從屬與巣套之關係。

Brown and Uyar (2004)利用階層線性模型HLM (hierarchical linear model)來探討 住宅實體特徵與鄰里地區特徵對於住宅價格的影響，住宅實體特徵使用「面積」做為 第一層的預測變數，鄰里特徵則使用「到市中心的時間」做為第二層的預測變數，其 發現鄰里特徵對住宅價格有直接的影響效果外，間接會對住宅實體特徵與住宅價格產 生調節效果的影響(moderator effect)。Nguyen(2010)分析都市蔓延對社會資本的影 響，以三階層之階層線性模式進行實證。Brisson and Usher(2007)利用階層線性模式分 析低收入地區社會資本與住宅所有權屬之關係；國內有張瑋珊(2010)、林蕙鈺(2009)、

李春長、童作君(2010)與張媛婷(2008)等以階層線性模型應用於都市計畫與不動產實 證上。

國人在租屋、購屋或投資住宅時，除了自身的租屋、購屋金額外，會優先考量地 區的公共設施、交通狀況，並且會衡量其生活便利性以確保其良好的生活品質，亦即 生活圈的大小，亦即房價資料具有巢套結構之特性，此現象顯示住宅實體特徵，內屬 (nested structure) 於地區內(Goodman and Thibodeau,1998; Jones and Bullen, 1994;

Orford, 2000)。是以，影響租購屋之鄰里環境及附近之公共服務設施，是否對於收益 資本化率產生影響，又其影響之程度為何。由於社會科學研究的樣本往往具有資料鑲 嵌或內屬（nested）的結構特性，例如在組織層次存在組織層次構念，在個體層次存 在個體層次構念，這兩個層次的構念具有互動關係，於是產生了脈絡效果（contextual effects）與跨層級交互作用（cross-level），而階層線性模式（hierarchical linear modeling;

HLM）能夠處理一般線性模型及結構方程模型所忽視的脈絡效果與跨層級交互作用

（溫福星、邱皓政，2009）。本研究利用此原理來探討收益資本化率，亦及租金與房 價比之關係，藉以了解收益資本化率在不同行政區與不同住宅類型上的固定效果與隨 機效果，以降低投資與購屋的風險。本研究有關解釋變項之選取，個體層次包含屋齡、

屋齡平方、面積、所處樓層、總樓層數、住宅類型1、住宅類型2等7個變數，總體層

次包含公共設施面積比例、百貨公司數量、商業區面積比例與人口密度等4個變數。

以台北地區為住宅次市場 (housing submarkets) 空間範圍，利用階層線性模型來探討 住宅特徵與住宅收益資化率之關係，以探討住宅特徵 (含實體特徵與區域環境) 對於 台北地區收益資本化率之變異的解釋度、相互關係，透過多層次模型估計其結果之差 異，以階層線性模型來探討降低迴歸模型係數估計偏誤之效果。如圖3-1總體層次 (公 共設施面積比例、百貨公司數量、商業區面積比例與人口密度等)對收益資本化率有 跨層次直接之影響效果。

總體層次

個體層次

圖3-1 階層線性分析圖 1. 公共設施面積比例

2. 商業區面積比例 3. 人口密度

4. 百貨公司數量

1. 屋齡 2. 屋齡平方 3. 面積 4. 所處樓層 5. 總樓層數 6. 住宅類型 1

7. 住宅類型 2 收益資本化率

第二節 實證模型之設定 一、特徵價格模型的設定

為取得收益資本化率，我們以房租除以房價來表示。然而，實務上，在運用收

益法估價時，欲同時取得同一房屋之房租與房價資料的實例不易。且房屋為一異質 性商品，每棟房屋都具有其特性，因此在探討房價與房租時，品質控制將是相當重 要的一環。在探討房屋品質控制 (constant quality)的問題上，通常是以重複交易法 (repeat sales method)與特徵性價格法 (hedonic price method)二種方式處理。而大多數 的學者在探討房價問題時皆採用特徵性價格法，Lancaster (1966)與 Rosen (1974)二人 最具代表性。首先，本研究將對房租(R)與房價(P)分別進行估計，自變數包括屋齡 (AGE)、屋齡平方(AGE2)、總樓層數(TFLOOR)、面積(AREA)、所處樓層(FLOOR)、

住宅類型(TYPE1 與 TYPE2)與區位(LOC)等變數，詳細變數定義參見表 3-1，其方程 式如下：

二、階層線性模型設定

本研究利用階層線性模型HLM 來討論 20 個行政區內，其收益資化率是否存在

有地區的差異，亦即以探討行政區特徵與住宅屬性對於收益資本化率之影響。

(一)、零模型

在跨層級研究的分析過程中，必須先檢視跨層級效果的存在，即依變數間的群間 與群內變異成分必須顯著。因此，首先進行零模型的分析，在HLM的分析過程中，

零模型(null model)分析可以檢驗各組之間收益資本化率是否有差異，估計總變異量中 有多少變異是由組間的變異所造成，並提供初步訊息，做為進一步分析其他模式時的 比較參照之用(Kreft and de Leeuw, 1998)。本模型又稱為具隨機效果的單因子變異數 分析模型(oneway ANOVA with random effect)，其模型設定如下：

Level 1：

CAP_ij =β0_j +r_ij,r_ij ~ N

(

0,σ²

)

(3) Level 2：

β0_j =γ00+μ0_j,μ0_j ~N

(

0,τ00

)

(4) 將(4)式代入(3)式得到混合模型：

ij j

ij r

CAP

Mixed: =γ₀₀+μ₀ + (5) 其中，_CAPij為第 j 個行政區中的第 i 個收益資本化率；_β0j為第 j 個行政區之平均收益 資本化率；

r 為第 j 個行政區中的第 i 個不動產之誤差項，假定其平均數為0，變異數

_ij 為σ²，且為獨立同質(independently identically distributed, iid)之常態分配。(4)式中，

γ

₀₀ 為各行政區收益資本化率之總平均；

μ

_0j為第 j 個行政區之平均收益資本化率之誤差 項，假定其平均數為0，變異數為

τ

₀₀，且為獨立同質之常態分配。(5)式為隨機ANOVA

模 型 ， 檢 定 各 行 政 區 的 平 均 收 益 資 本 化 率 是 否 有 所 差 異 。 如 隨 機 部 分(random component)

μ

_0j的檢定結果達到顯著水準，則表示各行政區間的平均收益資本化率是 不同的，因此必須考慮各行政區間之差異。

在零模型中ρ=

τ

₀₀ /（

τ

₀₀ + σ²），ρ稱為組內相關係數(intraclass correlation coeffcient； ICC) 或稱為群集效果(cluster effect) (Raudenbushand Bryk, 2002) ，即收 益資本化率間空間自我相關(autocorrelation)的程度(Skinner et al., 1989)。該係數並可 用來說明行政區間變異占總體變異的比例，代表依變項的變異量可以被行政區間差異 解釋的程度，用來表示依變項與組間的關連程度(McGraw and Wong, 1996)。所以利用 本模型可檢測：1)各行政區平均收益資本化率之差異是否達到統計上的顯著水準；2) 收益資本化率的總變異中有多少的變異是由於各行政區間的差異所造成的。

(二)、以平均數為結果的迴歸模型

以平均數為結果的迴歸模型（mean-as-outcomes regression）是設定第一層迴歸模 型為零模型，然後將第一層零模型的截距項作為第二層迴歸模式的依變項，並且將第 二層次解釋變項，來解釋第一層模式截距項的差異。本研究第二層為行政區，代表行 政區的特徵變數包括百貨公司數量 (STORE)、商業區面積比例 (COMMERCE)、人 口密度(PEOPLE)、公共設施面積比例(FACILITY)模型設定如下：

Level 1：

CAP_ij =β_oj+r_ij,r_ij ~N

(

0,σ²

)

(6) Level 2：

(7)

( 00)

0 0 4 04

3 03

2 02

1 01

00 γ γ γ γ μ ,μ ~ 0,τ

γ

βoj = + STORE j + PEOPLE j + COMMERCE j+ FACILITY j + j　 j N

將(7)式代入(6)式得到混合模型：

r FACILITY

COMMERCE PEOPLE

STORE CAP

Mixed：

ij j j j

j j

ij =γ₀₀+γ_{01 1} +γ_{02 2} +γ_{03 3} +γ_{04 4} +μ₀ +

(8) (7)式是以各行政區的平均收益資本化率(β_oj )當成依變項，加入第二層次變項

STORE₁j、 PEOPLE_2j、COMMERCE_3j與FACILITY_4j ，來檢定第二層次變項是否影響各 行政區的平均收益資本化率。同樣的，在以平均數為結果的迴歸模型中，隨機誤差項 μ0j 的變異數τ₀₀ ，表示在控制第二層次變項後，第一層次β_oj的條件化變異(conditional variance), β_oj仍具有可變性(Bryk and Raudenbush, 1992)。在零模型中，隨機誤差項

μ0j =β_oj ^－γ₀₀ , 此時截距項β_oj與總平均γ₀₀ 的差距，是因為加入第二層次變項後所減 少的殘差變異，可視為第二層次變項在第二階層的解釋量。因此，利用本模型可檢定：

1)各行政區的特徵變項是否會影響各行政區的平均收益資本化率；2)控制第二層次變 項所能解釋的變異量之後，各行政區之平均收益資本化率是否仍有顯著差異。

(三)、隨機係數迴歸模型

隨機係數迴歸模型（random coefficients regression model）是假設第二層沒有解釋 變項，只有第一層的迴歸模型存在依變項與解釋變項，將第一層的迴歸係數包含截距 與斜率項在第二層的迴歸模式都設定為隨機效果，此一分析模式旨在檢驗第一層次迴歸 模式的截距與斜率是否存在。第一層解釋變數包括面積(AREA)、所處樓層(FLOOR)、

總樓層數(TFLOOR)、屋齡(AGE)、屋齡平方(AGE2)與住宅類型(TYPE) ，並將第一 層各變數之係數設為隨機，其模型設定如下：

Level 1：

以截距為結果的迴歸模型(intercepts as outcomes regression model)是第一層項截 距當成依變項，而第二層次解釋變項當成自變項代入，其模型設定如下：

Level 1：

j STORE PEOPLE COMMERCE FACILITY

μ

第三節 變數設定說明

本研究所選取之變數定義如表3-1所示，以房租與房價特徵方程式來評估住宅收 益資本化率水準之分析，以下分別就二式說明所選取之變數的含義。應變數方面，房 租特徵式之依變數，以各筆租賃案例出租人一年期要價租金金額及押金利息合計成為 該租賃案例之年租金收益。房價特徵式之依變數為住宅市場成交總價。不動產成交總 價乃由建物面積乘上單價，而建物面積因為建築物型態不同，其面積是否包含車位、

公設等不易區分，如果採用單價模型可能會有偏誤，故本研究應變數採用不動產成交

公設等不易區分，如果採用單價模型可能會有偏誤，故本研究應變數採用不動產成交

在文檔中 行政區特徵與住宅類型對收益資本化率之影響 (頁 33-0)