蟻群最佳化演算法的流程

為了方便解釋蟻群最佳化演算法，本研究將蟻群最佳化演算法搭配 Sold命名 為 ACO_S_new；而搭配 S_new命名為 ACO_S_old。而兩種搭配其演化流程基本上都相 同。因此本研究將先介紹 ACO_Snew，然後再介紹 ACO_Sold。

6.1.1 ACO_Snew的進化流程

考慮一個有 N 個工件的排程問題。Snew是一個單一區段且代表整個工件的排 序；而經過解碼機制，此排序可以得到兩個決策：(1) 工件在工件族中的排序，

(2) 工件族之間的排序。一個好的染色體表示其結果是最小最大完工時間。而

ACO_Snew 得目的是得到一個好的染色體排序；而為了達成這樣的目的，本研究

將此排程問題看成是一個旅行者問題(TSP)。給定一個虛擬起始節點(Node_0)，

此演算流程必須經過 N 個節點。演算法流程得目的是找到一個好的旅行者途徑 (也就是這 N 個節點的經過排序)，而此途徑也就是一個好的染色體(工件排序)。

為了解釋一個世代的旅行途徑，本研究假設有一個 N+1 個節點的網絡(包含 了 Node_0)。在此網絡中，每兩個節點之間都有一個路徑，如此會產生總共C(𝑁, 2) 條路徑，如圖 6.1 所示。而每條路徑都有一個「總和特性」(也稱作績效指標)；

其代表會選擇經過該條路徑的偏好程度。在本研究中，我們定義績效指標為𝜆_𝑖𝑗來 表示從節點 i 到節點 j 路徑上的指標。如果𝜆_𝑖𝑗越大，表示選擇經過此條路徑的機 率越高。而𝜆_𝑖𝑗包含了兩個重要的特性指標—𝜏_𝑖𝑗和𝜂_𝑖𝑗；而這兩個指標將在之後做 詳細地描述。

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圖 6.1 蟻群最佳化演算法的例子，其所有的路徑總數為C(𝑁, 2)

給定一個蟻群最佳化網絡，每一個世代產生一個旅程路徑的方式將介紹如下。

假設一個銷售員目前在節點 i，且還有 m 個節點尚未經過；也就是說此銷售員有 m 條路徑(也就是 m 個節點)可以選擇。在 ACO_Snew 中採用輪盤法(Dorigo &

Gambardella 2000) 來 選 擇 下 一 個 節 點 ； 因 此 ， 選 擇 節 點 k 的 機 率 為 p_ik = 𝜆_𝑖𝑘⁄(∑^𝑗=𝑚_𝑗=1 𝜆_𝑖𝑗)。而每個銷售員都是從同一個虛擬起始節點開始進行旅程，不斷 重複上述的方式來選擇下一個節點，最後可以獲得一個旅行途徑。如果有 S 位不 同的銷售員進行旅程，我們經由輪盤法的機率性原因，使我們可能獲得 S 條不同 的旅行途徑。而在過去文獻中，銷售員通常又稱為螞蟻，這也是為何此種演算法 稱為蟻群最佳化演算法的原因。

在 ACO_S_new網絡中的績效指標是會不斷地更新；本研究定義被更新的網絡 狀態為 Wt，所以 W0為最初始的網絡狀態而 t 代表網絡被更新過的次數。此外，

W_t和 W_t+k的網絡組成是相同的，但其每條路徑上的績效指標(𝜆_𝑖𝑗)卻不相同。而 Wt+1的產生是以每隻螞蟻在 Wt所產生的回饋為依據來產生。亦即，本研究會先 在 W_t世代送出 S 隻螞蟻(銷售員)來進行旅程，然後產生 S 條旅行途徑；而每一條 旅行途徑可能會有不同的績效(最大完工時間)。然後將這 S 條不同旅行途徑的績 效綜合起來，用來改變𝜆_𝑖𝑗以獲得 W_t+1；而改變𝜆_𝑖𝑗的方式介紹如下。

如前所述，𝜆_𝑖𝑗包含了兩個重要的特性指標—𝜏_𝑖𝑗和𝜂_𝑖𝑗。其中，𝜂_𝑖𝑗是一個穩態 的特性指標，其表示路徑從節點 i 到節點 j 的相對重要性，且在不同的 Wt其數值 都是相同的。在 ACO_S_new中，本研究定義𝜂_𝑖𝑗 = 1 (𝑠⁄ _𝑖𝑗+ 𝑝_𝑗)，其中𝑝_𝑗代表工件 j

Node_3

Node_4

Node_2 Node_0

Node_1

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47 Step 3: Update ACO network Wt

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 Send S ants to travel through network Wt;

 Obtain S traveling routes (chromosomes) and their makespans;

 Obtain Wt+1 by using the ACO network updating method;

 Record the best chromosome 𝜔_{𝑏𝑒𝑠𝑡}(𝑡) and its makespan 𝐿_{𝑏𝑒𝑠𝑡}(𝑡).

Step 4: Termination Check

 If 𝐿_{𝑏𝑒𝑠𝑡}(𝑡_𝑛) = 𝐿_{𝑏𝑒𝑠𝑡}(𝑡_𝑛+ 1) = ⋯ = 𝐿_{𝑏𝑒𝑠𝑡}(𝑡_𝑛+ 𝑇_𝑓), STOP;

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在 ACO_S_old中，染色體是透過一隻螞蟻旅行整個組合式的蟻群最佳化演算 法網路來獲得，因此每一隻螞蟻都必須依序的旅行完每個子網絡。每當螞蟻走完 一個子網絡，它會自動的轉移到下一個子網絡的虛擬起始節點。透過螞蟻旅行完 整個組合式的蟻群最佳化演算法網路，我們就可以獲得其染色體。

而如前所述，ACO_S_old 和 ACO_S__new基本上是相同的進化流程，但是套用 不同的解表達法。所以 Procedure ACO_Sold和 Procedure ACO_Snew幾乎是一樣的，

除了 W_t在 ACO_S_old是一個組合式的蟻群最佳化演算法網路。在 ACO_S_old中，我 們也定義𝜂_𝑖𝑗 = 1 (𝑠⁄ _𝑖𝑗+ 𝑝_𝑗)且針對每一個子網絡都套用最短加工時間的法則來計 算𝜏_𝑖𝑗(0)。比較特殊的是在第一個區段中，其加工時間是以每一個工件族的所有 工件加工時間總和為基準。