第三章 研究方法與理論基礎
第五節 評估模式
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第五節 評估模式
本研究分析各方法之成果，除了前述方法所計算出的權重外，另以假 說檢定推導出的標準化殘差做為判斷粗差的標準，而在計算標準化殘差時，
亦與多餘觀測分量有一定的關係，且Baarda 於 1968 年透過多餘觀測分量，
進一步推導出內、外部可靠度。因此，本研究將透過多餘觀測分量探討可 靠度、以標準化殘差判斷粗差。
可靠度評估
(一)多餘觀測分量由式( 20 )
V = L − A(ATPA)−1ATPL 可改寫為：
V = (AN−1AT − P−1)PL = (QVVPll)L ( 38 ) 由式( 38 )所得結果，可得知改正數V與觀測量L間有QVVPll的比例關係，
透過此矩陣可得知當觀測量L增加時，會有多少比例反應在改正數V上。
QVVPll為方陣，但並不一定為對稱矩陣；當第i個觀測量有誤差存在時，假設 存在誤差εi，對自身改正數的變化可以透過下列公式計算：
∆Vi = Vi− V′i= (QVVPll)ii(Li+ εi) − (QVVPll)iiLi
= (QVVPll)iiεi
= ri∗ εi ( 39 ) 由此可知改正數∆Vi反應觀測量Li誤差的比例為ri，即多餘觀測分量，為 QVVPll矩陣中的對角線元素。多餘觀測分量ri介於0~1之間，若是ri = 0，代 表該觀測量為必要觀測；若ri = 1，表示該觀測量為完全多餘觀測，不參與 平差。
由上述可知，ri除了與幾何分布的A矩陣有關外，P矩陣亦有影響，而本 研究希望能對於不同配權模式進行比較，對於不同配權模式所計算出的成 果，以ri做為各觀測量的可靠度評估。
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(二)內部可靠度
所謂的內可靠度指的是平差系統中能夠找出粗差的下界值，下界值越 小，表示該平差系統的內部可靠度越高。若假設觀測量Li含有粗差量∇Li， 此時該觀測量的標準化殘差Ti將會產生一段偏移δi，即為非中心化參數 (non-centrality parameter)，如圖 7 中的eg。
圖 7 觀測量含有粗差時，機率密度函數的偏移(Lehmann,2013) 透過多餘觀測分量可以看出觀測量本身的誤差對自身改正數的影響。
因此，粗差對觀測量的改正數可以寫成：
∇vi = −𝑟𝑖∇𝐿𝑖 ( 40 )
∇vi為改正數因粗差∇𝐿𝑖而產生的差異量，再由標準化殘差公式進一步 計算非中心化的偏移量：
δi = −∇vi
𝜎𝐿𝑖√𝑟𝑖 =∇𝐿𝑖
𝜎𝐿𝑖 √𝑟𝑖 ( 41 ) 將上式移項後可以得到：
∇0𝐿𝑖 = 𝜎𝐿𝑖 δ0
√𝑟𝑖
( 42 )
∇0𝐿𝑖即為第 i 個觀測量所能發現的粗差的下界值；δ0為零假設及備選假設 間的最短距離，與信心水準α及檢驗功效β有關。Baarda 的建議為α = 0.1%、
β = 80%，此時的δ0 = 4.13。
由於各觀測量本身的中誤差不同，無法在同一個基準之下進行比較。
因此，將觀測量的中誤差從式中去除可以得到：
δ’0,i =∇0𝐿𝑖 𝜎𝐿𝑖 = δ0
√𝑟𝑖 ( 43 )
δ’0,i稱為可控性數值，其意義為觀測量𝐿𝑖上的粗差至少為中誤差的多 少倍，才可以在給定的機率(信心水準α及檢驗功效β)下被偵測出來(李德仁
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Snooping 所使用的標準化殘差：
Ti
1
2 = 𝜔𝑖 = |𝑉𝑖| 𝜎0√𝑟𝑖
( 62 )
每次迭代的過程中，應以後驗中誤差取代先驗中誤差進行計算，使每 次計算出的統計檢定量更符合當時觀測量的分布情形，能有更佳的效果(李 德仁，1984)。因此，標準化殘差應為：
Ti
1
2 = 𝜔𝑖 = |𝑉𝑖| 𝜎0
̂√𝑟𝑖
( 63 )
標準化殘差越大的值，越有可能拒絕假說檢定，表示該觀測量越有可 能為粗差。因此，本研究亦以標準化殘差作為判斷粗差之依據。