利用不同目標函數之演算法進行粗差偵測之研究 - 政大學術集成
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(2) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(3) 謝誌 時光匆匆，終於到提筆謝誌的時候了，在讀研究所的旅途中很慶幸還 算順利，也感謝一路上耳提面命及支持、鼓勵我的人。 首先謝謝指導老師甯方璽老師塞了平差的題目給我，讓我可以在讀研 究所時仍能繼續觸碰我所喜歡的數學，並且給予相當多的磨練；除了指導 老師外，也很感謝其他老師們在過程中給予的協助及肯定，讓我在做研究 的過程中一直保有一顆熱情的心，尤其是謝謝邱式鴻老師在測量平差特論. 政 治 大. 的課程中給予相當多的建議，無論是課程中或是校園的路上常常被我巴著. 立. 問問題，老師不吝嗇的指教相當受用，默默地幫助我度過相當多的撞牆期。. ‧ 國. 學. 除了老師們外，我也很慶幸一路上有很多好夥伴。一開始銜接研究所 時有些許的不習慣，但還好有學長姊的幫助才不至於驚慌失措，其中要特. ‧. 別謝謝東旂學長，一邊打嘴砲、一邊給予有建設性的意見，即便當初只是. y. Nat. io. sit. 隨便一句”來讀研究所阿~”，卻改變了我的人生。還有同屆的夥伴們，在研. n. al. er. 究所的課程中相互扶持、討論，偶爾也聽聽對方的抱怨然後落井下石，使. Ch. i Un. v. 得這段時光不是那麼的枯燥乏味，希望將來大家有空還能約在一起敘敘舊，. engchi. 聊聊當年子凱被玠穎老師罵的事情。而想對學弟妹說的就是，研究再忙也 別坐太久，這是來自坐骨神經痛的學長最真摯的建議。 最後要感謝我的家人還有女朋友，大家給予的肯定及支持也成為了我 堅強的後盾，讓我在準備國家考試及做研究時，化為為心靈的力量陪伴著 我度過難關；也謝謝女朋友時常聽我抱怨、當我的垃圾桶，並時常叮嚀我 很多小細節的部份。 要感謝的人太多，容我無法一一列舉，有時可能只是輕輕點過我的人 生，但卻泛起漣漪，雖然論文只有薄薄幾頁，但請接受我誠摯地邀請，一同 分享泛起波紋的這一刻。 I. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(4) 摘要 在測量領域中，最小二乘法為最常被使用的平差方法，然而最小二乘 法建立於觀測量僅含有偶然誤差的前提之下，當觀測量含有粗差時，最小 二乘法的成果容易受到影響。因此，本研究透利用不同演算法對不同目標 函數進行計算，並以統計檢定量分析各方法偵測粗差的能力。 本研究所使用的方法分別為等權最小二乘法、權迭代法、最小一乘法 及最佳化權矩陣。此外，本研究提出最小一乘法的反求權矩陣的概念，藉. 政 治 大. 此解決最小一乘法缺乏統計檢定量的問題。並以權重、標準化殘差及多餘. 立. 觀測分量分析各方法之成果。. ‧ 國. 學. 在模擬實驗中，當多餘觀測量較少時，最佳化權矩陣及最小一乘法的 反求權矩陣具有較佳的粗差定位能力，並降低含有粗差的觀測量之權重；. ‧. 當觀測量越來越多時，則是權迭代法具有較佳的成果。在實測資料的部分，. sit. y. Nat. 各方法之成果容易受到多餘觀測分量及後驗中誤差的影響，導致各方法皆. n. al. er. io. 無法順利定位粗差，而最佳化權矩陣及最小一乘法的反求權矩陣能夠使含. i Un. v. 有粗差的觀測量具有較大的標準化殘差，以利使用者後續對該觀測量優先 進行檢核。. Ch. engchi. 關鍵字：粗差定位、最小一乘法、權迭代法、最佳化權矩陣。. II. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(5) Abstract In the field of surveying, Least Square (LS) methods are often used in adjustment. However, LS built on observations usually show with random errors. If observations have gross errors, the solution of LS will be effected easily. So this study uses different objective functions to calculate with different algorithms, and analyzes the ability of gross errors detection with test statistic. The methods in this study are equal weight LS、Iteratively Reweighted LS. 政 治 大 This study proposes a concept “inverse weight matrix of LAD” to solve the 立. (IRLS)、Least Absolute Deviation (LAD) and Optimal Weight Matrix (OWM).. ‧ 國. 學. problem that LAD lacks test statistics. And assess the different methods’ results with weight value、 standardized residual and redundant observation component.. ‧. In simulated data, when observations have less redundant observations,. sit. y. Nat. OWM and “inverse weight matrix of LAD” have better ability of gross error. n. al. er. io. detection, and them make the gross errors have lower weight value. With more. i Un. v. observations, the IRLS has better result. In real data, the posteriori variance will. Ch. engchi. be effected easily, and lead to every methods can’t locate the gross error. However, OWM and “inverse weight matrix of LAD” can enlarge the standardized residual of gross errors and help user to check the observations.. Keywords： gross error, LAD, OWM, reverse weight matrix of LAD. III. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(6) 目錄 謝誌....................................................................................................................... I 摘要...................................................................................................................... II Abstract ...............................................................................................................III 目錄.................................................................................................................... IV 圖目錄................................................................................................................ VI 表目錄............................................................................................................... VII. 政 治 大 第一節 研究背景與動機 ........................................................................... 1 立 第二節 研究目的 ....................................................................................... 3. 第一章 緒論.........................................................................................................1. ‧ 國. 學. 第三節 論文架構 ....................................................................................... 4 第二章 文獻回顧.................................................................................................5. ‧. 第一節 粗差對最小二乘法的影響 ........................................................... 5 第二節 單一粗差的偵錯方法 ................................................................... 6 第三節 多個粗差時的偵測方法 ............................................................... 9. sit. y. Nat. n. al. er. io. 第四節 最佳化演算法與最佳化權矩陣 ................................................. 12 第五節 最小一乘法 ................................................................................. 14. i Un. v. 第三章 研究方法與理論基礎...........................................................................16 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節 第六節 第七節. Ch. engchi. 最小二乘法 ................................................................................. 16 李德仁權迭代法 ......................................................................... 18 最佳化權矩陣 ............................................................................. 19 最小一乘法 ................................................................................. 26 評估模式 ..................................................................................... 31 模擬資料設計 ............................................................................. 36 實測測資料 ................................................................................. 38. 第四章 實驗成果與分析...................................................................................43 第一節 模擬資料 ..................................................................................... 43 第二節 實測資料 ..................................................................................... 73 第五章 結論與建議...........................................................................................95 第一節 結論 ............................................................................................. 95 IV. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(7) 第二節 建議 .............................................................................................. 96 參考文獻 ............................................................................................................ 97. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. V. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(8) 圖目錄 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖. 1 2 3 4 5 6 7 8. 不含粗差及含粗差的兩個常態分布模型.............................................. 7 第 I 類錯誤 .............................................................................................. 7 第 II 類錯誤 ............................................................................................. 8 PSO 流程 ............................................................................................... 21 QPSO 流程圖 ........................................................................................ 24 單行法示意圖(方述誠，1993) ............................................................. 27 觀測量含有粗差時，機率密度函數的偏移(Lehmann,2013) ............. 32 模擬曲面觀測量的九個點位(單位：m) .............................................. 36. 圖 9 模擬觀測量的 6 個點位(單位：m) ...................................................... 37 圖 10 九筆台中市水準點點位分.................................................................. 38 圖 11 實測資料中 GPS 網型的未知點點位分布示意圖 ............................ 40. 立. 各方法以先驗中誤差進行計算(點雲) ............................................... 71 各方法以後驗中誤差進行計算(點雲) ............................................... 71. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 圖 12 圖 13. 政 治 大. Ch. engchi. i Un. v. VI. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(9) 表目錄 表 表 表 表 表 表 表 表. 1 2 3 4 5 6 7 8. 假說檢定 .................................................................................................. 6 α0 及βp 與臨界值 K 的關係(δ = 4) ......................................................... 8 QPSO 各參數計算出的後驗方差 ......................................................... 25 九筆台中市水準點點位資料(單位：m) .............................................. 38 九筆台中市水準點點位以 LS 計算之成果(σ0 = 2.65cm) ................ 39 實測資料中 GPS 網型控制點坐標(單位：m)(單位：m)(單位：m) . 40 隘寮溪專案之∆N基線向量(單位：m) ................................................. 41 隘寮溪專案之∆N基線向量以 LS 計算之成果 .................................... 42. 表 9 觀測量不含粗差時，各方法之成果表(曲面) ..................................... 44 表 10 觀測量含有一個粗差時，各方法之成果表(曲面,3σ) ...................... 45. 政 治 大. 表 表 表 表 表 表 表 表. 11 觀測量含有一個粗差時，各方法之成果表(曲面, 4σ)...................... 46 12 觀測量含有兩個粗差時，各方法之成果表(曲面, 3σ) ..................... 47 13 觀測量含有兩個粗差時，各方法之成果表(曲面, 4σ) ..................... 48 14 觀測量含有三個粗差時，各方法之成果表(曲面, 3σ) ..................... 49 15 觀測量含有三個粗差時，各方法之成果表(曲面,4σ) ...................... 50 16 觀測量之真誤差 (1 個粗差，網型，3σ) .......................................... 52 17 觀測量之真誤差 (1 個粗差，網型，4σ) .......................................... 52 18 各方法之成果表(1 個粗差，網型，3σ) ............................................ 53. 表 表 表 表 表 表 表 表 表 表 表. 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29. 各方法之成果表(1 個粗差，網型，4σ) ............................................ 53 觀測量之真誤差 (2 個粗差，網型，3σ) .......................................... 54 觀測量之真誤差 (2 個粗差，網型，,4σ) ......................................... 54 各方法之成果表(2 個粗差，網型，3σ) ............................................ 55 各方法之成果表(2 個粗差，網型，4σ) ............................................ 55 觀測量之真誤差 (3 個粗差，網型，3σ) .......................................... 56 觀測量之真誤差 (3 個粗差，網型，4σ) .......................................... 56 各方法之成果表(3 個粗差，網型，3σ) ............................................ 57 各方法之成果表(3 個粗差，網型，4σ) ............................................ 57 觀測量之真誤差 (4 個粗差，網型，3σ) .......................................... 58 觀測量之真誤差 (4 個粗差，網型，4σ) .......................................... 58. 表 表 表 表 表 表. 30 31 32 33 34 35. 各方法之成果表(4 個粗差，網型，3σ) ............................................ 59 各方法之成果表(4 個粗差，網型，4σ) ............................................ 59 觀測量之真誤差 (5 個粗差，網型，3σ) .......................................... 60 觀測量之真誤差 (5 個粗差，網型，4σ) .......................................... 60 各方法之成果表(5 個粗差，網型，3σ) ............................................ 61 各方法之成果表(5 個粗差，網型，4σ) ............................................ 61. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. VII. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(10) 表 36. 觀測量之真誤差 (6 個粗差,網型,3σ) ............................................... 62. 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46. 觀測量之真誤差 (6 個粗差,網型,4σ)................................................ 62 各方法之成果表(6 個粗差，網型，3σ) ........................................... 63 各方法之成果表(6 個粗差，網型，4σ) ........................................... 63 以先驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 66 以後驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 66 以先驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 67 以後驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 67 以先驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 68 以後驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 68 以先驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 69. 表 47 表 48 表 49. 以後驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 69 以先驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 70 以後驗中誤差進行計算(點雲，單位：%)........................................ 70. 50 51 52 53. 不加入粗差時，各方法之成果(台中市水準點) ............................... 74 加入 1 個粗差時，各觀測量之真誤差(台中市水準點，單位： m). 學. 表 表 表 表. 政 治 大 OWM 及 LAD+LPVS 運算時所花費的 CPU Time .......................... 72 立 不加入粗差時，各觀測量之真誤差(台中市水準點，單位： m) .. 74. ‧ 國. 表 表 表 表 表 表 表 表 表 表. ‧. .................................................................................................................... 75 表 54 加入 1 個粗差時，各方法之成果(台中市水準點) ........................... 75 表 55 加入 2 個粗差時，各觀測量之真誤差(台中市水準點，單位： m). y. Nat. sit. n. al. er. io. .................................................................................................................... 76 表 56 加入 2 個粗差時，各方法之成果(台中市水準點) ........................... 76 表 57 加入 3 個粗差時，各觀測量之真誤差(台中市水準點，單位： m). Ch. i Un. v. 表 表 表 表 表 表 表. .................................................................................................................... 77 58 加入 3 個粗差時，各方法之成果(台中市水準點) ........................... 77 59 加入 1 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) .. 80 60 加入 1 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ............................... 81 61 加入 2 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) .. 82 62 表加入 2 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ........................... 83 63 加入 3 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) .. 84 64 表加入 3 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ........................... 85. 表 表 表 表 表 表. 65 66 67 68 69 70. engchi. 加入 4 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) .. 86 表加入 4 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ........................... 87 加入 5 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) .. 88 表加入 5 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ........................... 89 加入 10 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) 90 表各方法之標準化殘差排序(10 個粗差) .......................................... 90 VIII. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(11) 表 71. 表加入 10 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ......................... 91. 表 72 表 73 表 74. 加入 15 個粗差時，各觀測量之真誤差(隘寮溪網型，單位： m) 92 各方法之標準化殘差排序(15 個粗差) .............................................. 92 表加入 15 個粗差時，各方法之成果(隘寮溪網型) ......................... 93. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. IX. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(12) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(13) 第一章 緒論. 第一節. 研究背景與動機. 最小二乘法(Least Square, LS)的理論基礎建立於觀測量中僅含有偶然 誤差，在滿足最大概似估計的條件之下，透過機率密度函數模型可知殘差 平方總和最小為出現機率最大的情況。但當觀測量含有粗差時，會使求解 的估計參數並非無偏估值，即觀測方程式中的估計參數矩陣求解受到影響。 因此，如何在 LS 計算中剔除或削弱粗差的影響是相當重要的環節。. 政 治 大. 過去以殘差大於三倍中誤差做為剔除粗差觀測量的標準，然而此種方. 立. 式容易造成誤判。當觀測量含有粗差時，觀測量將不再屬於常態分布，此. ‧ 國. 學. 時所計算出來的估計參數受到影響，使得統計檢定量與預期不同，隱含第 一類型錯誤(Type I error)及第二類型錯誤(Type II error)的機率，若是僅以三. ‧. 倍中誤差為標準，容易導致誤判。因此，僅以三倍中誤差為標準並不是判. sit. y. Nat. 斷粗差的理想方式。. io. er. 在粗差偵測理論中，Barrda 於 1968 年所提出的資料探測法 (Data Snooping)，透過計算觀測量的標準化殘差(Normalized Residuals)來判斷觀測. n. al. Ch. i Un. v. 量是否可能為粗差。若是觀測量中不含粗差，其計算後的成果應符合常態. engchi. 分布(t 分布)；由此為構想，計算各個觀測量的 T 檢定值，透過選定的顯著 水準α及檢驗功效β決定出相對應的臨界值(Critical Value)，將大於臨界值的 觀測量視為粗差剔除，但此種方法對於觀測量僅含有單一粗差時效果較佳。 當觀測量含有多個粗差時，Data Snooping 雖然可以透過迭代的方式， 將每次標準化殘差最大的觀測量視為粗差剔除，重複計算到整體觀測量符 合精度為止(Schwarz et al., 1993)；但當觀測量含有多個粗差時，其計算出來 的統計檢定量容易受到影響，每次剔除粗差後的統計檢定量亦有所不同。 因此，透過迭代的方式剔除粗差，容易忽略觀測量之間的相關性，在粗差 數量未知的情況之下，亦容易造成誤判。 當觀測量含有多個粗差時，應透過隨機模型來判斷各觀測量的精度， 1. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(14) 並給予不同的權重，藉此降低可能為粗差的觀測量在平差中的影響，而不 是將可能為粗差的觀測量剔除。穩健估值法(robust estimate)中的權迭代法， 根據殘差或其他的權函數決定下一次平差時各觀測量的權重；適當的權函 數能夠順利定位粗差，令含有粗差的觀測量的權值越來越小，甚至接近於 零，使平差的成果不易受到粗差的影響，而最終成果的統計檢定量將反映 出粗差的大小。由於此種方法不會剔除觀測量，故較能避免誤判粗差而剔 除的風險，但成果的好壞取決於權函數的設立。因此，如何決定適合的權 函數為權迭代法的關鍵。 蔡名曜於 2014 年提出最佳化權矩陣(Optimizing Weight Matrix, OWM) 的概念，認為每個觀測量應有屬於自己的權重，透過最佳化演算法以標準. 政 治 大. 化殘差總和最小為目標函數進行求解，藉此求得各觀測量相對應的權重（蔡. 立. 名曜，2014）。. ‧ 國. 學. 最小一乘法(Least Absolute Deviation, LAD)過去因絕對值而無法輕易微 分的問題已被克服，現在能夠透過線性規劃的方式進行求解，且逐漸被廣. ‧. 泛應用於不同層面。相較於一般的 LS，LAD 擁有較佳的穩健性，當觀測量 含有粗差時，透過 LAD 計算後的改正數，其大小較能夠反映觀測量的精度，. y. Nat. sit. 然而透過線性規劃求解的 LAD 缺乏統計檢定量。因此，趙言等人於 2016. n. al. er. io. 年以 LAD 做為權迭代法的初值進行計算，藉此克服缺乏統計檢定量難以與 其他方法進行比較的缺陷。. Ch. engchi. i Un. v. 而針對 LAD 缺乏統計檢定量的問題，本研究提出另一種觀點，本研究 認為當權重的比例達到一定程度時，LS 亦能夠透過權矩陣求得與 LAD 相 同的結果，並將此時 LS 的統計檢定量視為 LAD 的統計檢定量進行分析， 藉此克服 LAD 僅能以殘差進行分析的缺點。. 2. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(15) 第二節. 研究目的. 由於以往粗差偵測皆以大於三倍中誤差之觀測量為判斷標準，然 含有粗差的觀測量會使成果產生偏誤，若再以三倍中誤差為標準，容易使 得粗差偵測方法產生誤判。因此，本研究將以不同方法對空間資訊資料進 行粗差偵測，並以權重、標準化殘差、多餘觀測分量進行評估。綜上所述， 本研究之目的主要如下： 一、以模擬資料進行測試，比較當觀測數量不同時，各方法定位粗差的能 力。 二、以實測資料進行測試，比較當觀測數量不同時，各方法定位粗差的能 力。. 政 治 大. 三、本研究提出了 LAD 反求權矩陣的概念，用以解決 LAD 缺乏統計檢定. 立. 量的問題，並利用統計檢定量分析 LAD 的優勢。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 3. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(16) 第三節. 論文架構. 本論文共分為五個章節，各章節內容簡述如下： 一、緒論： 包含本論文的研究背景與動機闡述，並提出本論文的最後目的。 二、文獻回顧： 本論文文獻回顧，由粗差對 LS 的影響開始，再對單一至多個粗差的偵 測方法進行回顧，並介紹 OWM 與 LAD。 三、研究方法： 介紹本研究進行比較的方法，分為五類，分別為： (一)等權最小二乘法 (二)最小一乘法. 立. 政 治 大. (三)以最小二乘法為初值的李德仁權法. ‧ 國. 學. (四)以最小一乘法為初值的李德仁權迭代法 (五)最佳化權矩陣. ‧. 四、實驗成果與分析：. y. Nat. 透過模擬資料及實測資料，分析在觀測量數量不同時各法之成果，並. n. al. er. io. 五、結論與建議：. sit. 透過權重、多餘觀測分量及標準化殘差評估各方法之定位粗差的能力。. Ch. i Un. v. 對研究成果進行討論，並提出結論及未來研究方向之建議。. engchi. 4. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(17) 第二章 文獻回顧 第一節. 粗差對最小二乘法的影響. Gauss 於 1809 年利用似然函數模型推導出 LS，並於 1823 年指出 LS 解 為最佳估值；而 Markov 於 1912 年利用最佳線性無偏估計估求模型參數亦 得到相同結論，因而有高斯-馬可夫定理(Gauss-Markov Theorem)。間接觀測 方程式透過 LS 模型應滿足： (1). ̃ 且 D(L) = σ20 P −1 E(L) = AX. ̃為估計參數的最優估值；D(L) E(L)為觀測量之期望值；A 為設計矩陣；X 為方差-協方差矩陣；P 為觀測量之權矩陣；σ0 為單位權中誤差。透過此模. 政 治 大. 型能夠求得未知參數的估值，並且進行精度評估。. 立. 測量上的誤差種類分為三種，系統誤差、偶然誤差及粗差；系統誤差的. ‧ 國. 學. 來源為某種機械性、物理性等固定模式所造成的；偶然誤差則是隨機且在 大小及正負號上沒有規律性，只有當觀測量相當多時才能體現一定的統計. ‧. 規律；粗差則是由於觀測者的疏忽所造成的錯誤結果或超限的誤差。例如：. sit. y. Nat. 觀測目標錯誤、讀數錯誤和記錄錯誤等。粗差的存在將影響平差結果的可. io. er. 靠性，甚至導致錯誤的結果。. 在實際測量中，粗差確實存在，有時甚至無法避免。在進行測量外業和. n. al. Ch. i Un. v. 內業的過程中，雖然可以透過幾何條件、閉合差等限制來發現粗差，但仍. engchi. 有可能有部分粗差存在。就統計層面而言，粗差為與研究中樣本的分布不 相同的觀測量，“An outlier is an observation which deviates so much from the other observations as to arouse suspicions that it was generated by a different mechanism.” Hawkins D (1980)，意即粗差為某觀測量與其他觀測量差異過 大，懷疑該觀測量是由不同機制所產生。因此，粗差不應與其他樣本共同 進行計算，應於平差前對觀測量進行檢驗，避免影響估值的解算。(方楊 等,2009). 5. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(18) 第二節. 單一粗差的偵錯方法. Baarda (1968)從單個備選假設為基礎，在僅考慮粗差而不考慮系統誤差 的假設下，研究平差的內外部可靠度。內部可靠度代表平差系統本身能夠 找到粗差的能力，而外部可靠度代表粗差對平差系統中參數估計的影響。 Baarda 由可靠度理論推導出檢驗粗差的資料探測法(Data Snooping)，利用 單個一維的備選假設，透過統計檢定量對觀測量之中誤差進行假說檢定， 檢驗該觀測量的中誤差是否與其他觀測量不同，藉此判斷該觀測量是否含 有粗差： H0 假設為：E(σ ̂2i ) = E(σ ̂20 ) ̂2 σ. v2i ∙Pi. 0. ̂ 20 ∙ri σ. 統計量Ti = σ̂i2 =. 政 治 大 其中，σ ̂ 表示該觀測量的中誤差；σ ̂ 為整體觀測量中誤差；v 即為該觀 立 測量之改正數；P 為該觀測量之權重；r 為該觀測量之多餘觀測分量。 i. 0. i. i. i. ‧ 國. 學. 當H0 假設成立時，表示該觀測量與整體觀測量屬於同一個常態分布布，. (2). y. Nat. 𝑣𝑖 𝑣𝑖 = 𝜎𝑣𝑖 √𝑟𝑖 ∙ 𝜎𝑙 𝑖. ωi |H0 ~N(0,1). er. io. sit. ωi =. ‧. 即該觀測量不含粗差，其標準化殘差ωi 將服從(0,1)的標準常態分布布。. al. v. n. 若ωi >臨界值 K，則表示該觀測量與整體觀測量為不同的常態分布，. i n C U hengchi 不滿足ωi |H0 ~N(0,1)的條件，即該觀測量含有粗差。. 臨界值 K 的選擇與顯著水準α及檢驗功效β有關，顯著水準與檢驗功效. 分別與第 I 類錯誤(type I decision error)及第 II 類錯誤(type II decision error) 有關，其關係如表 1。. 表 1 檢驗結果 H0 成立 Hap 成立. 假說檢定. 接受原假設H0 ωi ≤ K 正確信心水準為1 − α0 第 II 類錯誤的機率為1 − βp. 不接受原假設H0 ωi > 𝐾 第 I 類錯誤的機率為α0 正確檢驗功效為βp. 6. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(19) 當觀測量不含粗差，但卻因為ωi > 𝐾而被判斷為含有粗差的觀測量， 被稱為第 I 類錯誤發生的機率為α0 ；而當觀測量含有粗差，卻因為ωi ≤ K 而被判斷為不含粗差的觀測量，被稱為第 II 類錯誤發生的機率為1 − βp 。 由標準常態分布的所畫出圖形H0 ，為觀測量在不含粗差的情形之下所 形成的標準常態分布，再由 Hawkins D. 政 治 大 圖 1 不含粗差及含粗差的兩個常態分布模型 立. ‧ 國. 學. 在H0 中位於 K 值以外的資料，為第 I 類錯誤，即原本屬於布含粗差的. ‧. 觀測量卻被判斷為含有粗差，如圖 2 中的黑色部分。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi 圖 2. i Un. v. 第 I 類錯誤. 7. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(20) 在Ha 中位於 K 以外的資料，為第 II 類錯誤，即應屬於含有粗差的觀測 量卻被判斷為不含有粗差，如圖 3 的黑色部分。. 圖 3. 第 II 類錯誤. 治 政 大 在非中心化參數δ固定時，信心水準α 越大，檢驗功效β 越大，K 值越 立 小。透過α 及β 的選擇，可決定臨界值的 K 值，如表 2。 0. p. 學 α0 及βp 與臨界值 K 的關係(δ = 4). 0.1% 0.3% 1% 5%. 3.29 3.00 2.56 1.96. 76% 84% 93% 98%. io. n. al. Ch. engchi. y. βp. sit. K. Nat. α0. er. 表 2. ‧. ‧ 國. 0. p. i Un. v. 顯著水準α0 會決定臨界值 K 所在的位置，表示在分布 I 中會因為該統 計量ωi >K 值，而產生的第 I 類錯誤的比例；而檢驗功效βp 即為在分布 II 中，能夠透過 K 值所判斷出屬於分布 II 中的觀測量的比例，因此1 − βp 即 為因ωi ≤ K，而被判斷為分布 I 的分布 II 的比例。 資料探測法中的基本假設為"單個一維的備選假設"，為觀測量中僅含 有一個粗差的情況之下；在觀測量含有多個粗差時，Schwarz 等人於 1993 透過多次的資料探測法進行迭代，逐步剔除標準化殘差最大的觀測量，直 到觀測量整體精度達到標準，而此種方法又稱為迭代的資料探測法(Iterated Data Snooping)。. 8. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(21) 第三節. 多個粗差時的偵測方法. 當觀測量含有多個粗差時，雖然理論上能夠透過迭代的數據探測法進 行計算，在每次迭代後剔除標準化殘差最大的觀測量，直到精度符合標準， 但此種方法忽略了各觀測量之間的相關性，而每次計算後標準化殘差最大 的觀測量並不一定為粗差，若是將其剔除容易產生錯誤的結果(李德仁， 1984)。當觀測量含有多個粗差時，粗差偵測方法將不再剔除粗差，而是利 用隨機模型減弱粗差對平差系統的影響，而權迭代法為最常見的方法之一， 其概念為將含有粗差的觀測量當作與其他觀測量期望值差異相當大的母體 子樣本，利用不同權函數做為下一次迭代計算時的配權依據，使含有粗差 的觀測量的權重越來越小，此種方法除了能夠偵測含有粗差的觀測量外，. 政 治 大. 還能透過降權的方式，降低含有粗差對求解估值的影響。因此，如何給定. 立. 權函數是相當重要的環節 (劉文生等，2016)。 。. ‧ 國. 學. 以下對權法中的不同權函數進行簡單的介紹。以下將對權迭代法中的 不同權函數進行簡單的介紹。. , |Vi | > C. (3). er. io. sit. Nat. y. , |Vi | ≤ C. 1 C |𝑉𝑖 |. P(Vi ) = {. ‧. 一、Huber 法. 由 Huber 於 1981 年所提出，P(Vi )為權函數、Vi 為觀測量改正數、C 為. n. al. Ch. i Un. v. 一選定的常數。透過 Huber 的權函數，當改正數大於選定的臨界值時，給. engchi. 予相對應倒數的權重，若是偏移量相當大，|Vi |大於 C 相當多時，其權重將 會接近 0，表示該偏移量過大的觀測量對最終平差成果的影響非常小。 二、丹麥法(the Danish method) , |Vi | ≤ 2σ. 1 P(Vi ) = { −|Vi | e 2σ. , |Vi | > 2𝜎. (4). 由 Krarup 於 1980 所提出，P(Vi )為權函數、Vi 為觀測量改正數、σ為單 位權中誤差、e 為自然對數。透過式( 4 )中的|Vi |判斷是否收斂(即兩次計算 之改正數已無明顯變化)做為迭代終止條件，此時被降權之觀測量，其相應 之改正數大約即為錯誤的量(張裕民,1993)。 9. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(22) 三、 IGG 法 抗差估計法(Institute of Geodesy & Geophysics, IGG-I 方法)在粗差偵測 中的應用(牛國軍等，2005)，由於 LS 中的 V^T PV 矩陣對粗差過於敏感， 容易導致 LS 的求解受到影響。因此，權函數分為三個部分進行迭代，如式 ( 5 )： , |𝑉𝑖 | ≤ k 0 σ ̂0. Pi k0σ ̂0 𝑃 |𝑉𝑖 | 𝑖 0. P(Vi ) = {. , k0 σ ̂0 < |𝑉𝑖 | ≤ k1 σ ̂0. (5). , |𝑉𝑖 | > k1 σ ̂0. 其中，k 0 為判斷參數，一般取k 0 = 1.5; k1 為淘汰點，一般取k1 = 2.5， VT PV. 第一次迭代時σ ̂0為單位權中誤差(= ±√ n−m , n 為觀測量個數，m 為未知數. 立. 政 治 大 (t 為被剔除的觀測量個數)。. VT PV. 個數)，第一次迭代後σ ̂0 = ±√n−m−t. ‧ 國. 學. 四、 最小範數法. ‧. 由∑|Vi |q = min的概念而來，利用殘差及其次方項的變化進行迭代，其. 1. P(v) = |v|(2−𝑞). sit. Nat. y. 權函數如式( 6 )：. +𝐶. (6). al. n. 生，0 ≤ q < 2。. er. io. 其中，0 < 𝐶 ≪ 1，其目的為避免當改正數為零無法進行迭代的狀況發. Ch. engchi. i Un. v. 五、 李德仁權迭代法 由於僅用改正數無法準確的判斷粗差的位置，李德仁於 1984 年提出應 由標準化殘差取代改正數做為權函數的判斷標準，而標準化殘差與多餘觀 測分量(ri )及單位權中誤差(σ0 )有關，在進行迭代時，σ0 亦為影響的因素之 一，若僅以先驗中誤差進行計算，成果好壞較不穩定。因此，李德仁主張應 由後驗中誤差(σ ̂0 )在每次迭代的權函數中進行取代，並於迭代初期給予較嚴 格的門檻值，當迭代次數 n 大於 3 後再放寬，藉此取得較佳的成果，並透 過統計檢定量對含有粗差的觀測量進行降權，降低粗差對未知參數的影響， 使求解參數從有偏估值至無偏估值，權函數如式( 7 )：. 10. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(23) 1 , 𝑇𝑖2 1 , 𝑇𝑖2. 1 P(v) =. 1 { Ti. ≤𝑘. (7). >𝑘. 1 , n = 2,3 ，P 為權函數，𝑉i為改正數， 3.29 , n > 3. v2. 其中，Ti = σ̂2i∙r ，k = { 0 i. ̂0為後驗標準差，ri 為多餘觀測分量。 σ Lehmann(2013)對於測量界常使用的三倍中誤差為標準提出質疑。無論 是將粗差視為隨機性亦或是系統性，將臨界值(Critical value)設定為三倍中 誤差忽略了背後所隱含的風險，由於臨界值的給定會連帶決定第 I 類錯誤 及第 II 類錯誤的機率，在統計假說上，每個觀測量是否為粗差都會建立一 個備選假設，使得第 I 類誤差會隨著觀測量增加而倍增。因此，Lehmann 認. 政 治 大. 為，在大量觀測量的情況下，僅僅使用三倍中誤差為準則判定粗差有可能. 立. 會誤判許多正確的資料。李德仁等人(1984)將粗差視為隨機模型的一部分，. ‧ 國. 學. 利用標準化殘差等統計檢定量進行判斷，雖然比利用殘差進行判斷更準確， 但仍存在著假設錯誤的可能。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 11. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(24) 第四節. 最佳化演算法與最佳化權矩陣. 最佳化權矩陣為以標準化殘差總和最小為目標函數，利用最佳化演算 法進行計算，求得此時各觀測量的權重（蔡名曜，2014） ，並透過各觀測量 的權值及標準化殘差的大小來判斷該觀測量是否可能包含粗差，藉此達到 粗差定位的效果。 所謂的最佳化問題，是指一個問題具有無限多組解，但只有一個解為 符合條件的最佳解。在過去為了找到最佳解，須列出所有的可能並進行比 較，此種方法稱為窮舉法。但在實務上窮舉法並不可行，為了解決此類的 問題，因而開始發展出許多不同的最佳化演算法。 早期的最佳化演算法大多以梯度方式進行搜尋，對於問題的極值進行. 政 治 大. 求解具有很好的計算效率，但此種求解方法的成果好壞與初值有關，若搜. 立. 尋的初值位於全域最佳解的周圍，則能夠快速收斂到全域最佳解；反之，. ‧ 國. 學. 若起始的搜尋位置不好，則容易陷入局部最佳解中。(郭信川，2000) 為了避免梯度法因初值而導致成果不佳的缺點，因而陸續發展出不依. ‧. 賴梯度的最佳化演算法，如：基因遺傳演算法(Genetic Algorithms, GA)、模. y. Nat. 擬退火法(Simulate Anneal, SA)、螞蟻演算法(Ant Colony Optimization, ACO)、. io. sit. 粒子群優化演算法(Particle Swarm Optimization, PSO)及和諧搜尋演算法. n. al. er. (Harmony Search, HS)等，以上的演算法能在不依賴初值的情況下，得到比. Ch. i Un. v. 傳統梯度法更好的全域搜尋能力，在無梯度資訊下也能找到比使用傳統梯. engchi. 度法要更好的全域最佳解(顏上堯，2007)。. 粒子群演算法（Particle Swarm Optimization, PSO）為一種具有群體智 慧概念的仿生演算法，在問題空間中透過迭代的運算來搜尋全域最佳解， 其主要特色在於需要設定的參數較少及收斂速度快，且具有分散式搜尋、 記憶性及容易與其他演算法結合等特性，故粒子群優化演算法極具求解組 合最佳化問題的潛力(顏上堯，2007)。 量子行為粒子群演算法(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization, QPSO)則是 PSO 的優化演算法。Kenned 與 Eberhart 於 1997 年在 Swarm Intelligence 中提到”隨機性的程度決定了智能的高低”，透過隨機因子影響 粒子速度，藉此來體現鳥類等動物全體的智能性，在 PSO 演算法中，粒子 12. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(25) 的速度會影響其搜尋範圍及收斂效果。因此，相當多的研究對粒子速度提 出了不同的方法，例如 Shii 與 Eberhart 在 1998 年提出了帶有慣性權重ω的 PSO 演算法，利用時間方程式描述粒子速度的變化，但此種模式僅能用於 模擬低智能的動物群體，而人類的智能行為與量子空間中的粒子行為較為 相似。因此，孫俊等人於 2011 提出利用量子模型優化 PSO 演算法，並對 QPSO 與 PSO 進行比較。 在 PSO 與 QPSO 進行比較前，須先了解以下四個名詞： 一、 模擬測試：利用電腦模擬，對演算法進行測試，在已知最優解的 情形下，利用演算法進行求解。 二、 精確度：經由演算法所求得的最優解與實際最優解的接近程度。. 政 治 大 合精度的收斂次數即為收斂速度。 立. 三、 收斂速度：在預定好的精度之下，演算法計算之最優解收斂至符. ‧ 國. 學. 四、 成功率：在演算法進行中，所有的全局最優解能夠被成功找到的 百分比即為成功率。. ‧. 孫俊等人在進行仿真測試後，對精確度、收斂速度及成功率進行分析， 證明在不同維度時，QPSO 皆能比 PSO 更有效率。因此，本研究的最佳化. y. Nat. n. er. io. al. sit. 權矩陣，以 QPSO 作為最佳化演算法。. Ch. engchi. i Un. v. 13. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(26) 第五節. 最小一乘法. 最小一乘法(Least Absolute Deviation,LAD)，由 Boscovich 於 1755-1757 年提出，相較於 Gauss 在 1809 年所提出的 LS 早了 40 年，但由於 LAD 的 目標函數為殘差絕對值之總和，其中的絕對值難以透過微分方式進行計算， 求解相當困難，導致 LAD 在應用層面的發展停滯不前。但隨著科技發展、 演算法成熟，Charnes, Cooper W 和 Ferguson 等人於 1955 年，利用線性規 劃的方式進行求解，克服了 LAD 目標函數難以微分的問題，將 LAD 應用 於管理問題中，而後 LAD 才又開始被應用在不同領域中。 雖然 LS 的演算簡單、速度快，使得 LS 被廣泛應用，但在觀測量含有 粗差時，會使 LS 無法滿足高斯分布，導致成果受到影響(謝開貴等人，2002)；. 政 治 大. 而 LAD 利用線性規劃的方式進行求解，雖然使得解算的複雜度提高，但此. 立. 種方式能夠克服觀測量含有粗差的問題(Nobakhti et. al,2009)，使成果不易. ‧ 國. 學. 受粗差影響(王文峰，2006；Bektas,2010)，且具有較佳的穩健性。 許多不同的研究利用直線擬合來驗證"LAD 不易受粗差影響"的特性，. ‧. 例如在實驗的數據中加入粗差，並對 LAD 及 LS 的擬合成果進行評估，評. y. Nat. 估結果發現 LS 的迴歸直線並不通過任何一組數據點，而 LAD 則必通過其. io. sit. 中兩組數據點，越多的數據可以讓 LAD 挑選出更佳的兩個通過點(李仲來，. n. al. er. 1992)。當數據含有粗差時，LS 所計算出的成果與不含粗差的成果差異較. i Un. v. 大，而透過 LAD 所計算的兩個成果差異並不大，藉此展現 LAD 的穩健性 (謝開貴等人，2002)。. Ch. engchi. 雖然 LAD 具有穩健性，但缺乏統計上的指標，僅能以殘差進行比較， 並無法判斷可能為粗差的觀測量；在權迭代的計算方面，初值對於迭代結 果具有相當大的影響。因此，趙言等人於 2016 年利用 LAD 計算的成果作 為權迭代法的初值，增加權迭代法的偵錯能力，其實驗結果顯示，該方法 除了能夠具有 LAD 的穩健性外，亦能具有 LS 的統計指標，藉此彌補 LAD 無法對成果進行評估的缺陷。 針對 LAD 缺乏統計檢定量的問題，本研究提出一個新的概念”最小一 乘法的反求權矩陣”。在最小二乘的數學模型中，可分為函數模型及隨機模 型兩個部分，其中函數模型為觀測量期望值的描述，隨機模型則是觀測量 14. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(27) 精度的描述，而平差的目的即是求得未知參數的估計值，並估計各觀測量 的精度(李德仁，2002)。最小一乘法與最小二乘法的不同之處在於目標函數， 但所使用的函數模型是相同的，由前人文獻中可得知，當觀測量不含粗差 時，最小一乘法與最小二乘法所求得之期望值並無顯著性差異，但在觀測 量含有粗差時，最小一乘法的結果則較不易受到影響，而最小二乘法則須 配合適當的隨機模型才能降低粗差的影響。因此，本研究將最小一乘法視 為最小二乘法透過某種隨機模型所求出的期望值，透過最佳化演算法計算 LAD 的反求權矩陣，並利用此隨機模型所賦予的統計檢定量與其他方法進 行分析。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 15. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(28) 第三章 研究方法與理論基礎 本研究利用不同的目標函數進行粗差偵測之研究，此章分為三個 部分進行闡述。第一部分為個目標函數及演算法的理論基礎，所使用的計 算方法分別為最小二乘法(LS)、李德仁權迭代法(Lpvs )、最佳化權矩陣(OWM) 以及最小一乘法(LAD)，並對 OWM 所採用的演算法及解決 LAD 缺乏統計 檢定量的方法進行介紹；第二部分為成果評估的指標，分別介紹觀測量之 可靠度依據-多餘觀測分量，以及判斷該觀測量是否為粗差的指標-標準化殘 差；第三部分為實驗資料的介紹，分為模擬資料以及實測測資料。. 第一節. 立. 最小二乘法. 政 治 大. 由間接觀測量所建立的觀測方程式可用矩陣寫成：. ‧ 國. 學. 𝐿 X V A = × + m×1 m×n n×1 m×1. (8). ‧. y. Nat. L 為觀測量矩陣、A 為設計矩陣、X 為待求估計參數矩陣、V 為改正數矩. io. sit. 陣、m 為觀測量數目、n 為待求解之未知參數各數，且 m>n。. er. 由 Gauss 所提出的常態分布，其機率密度函數如式( 9 )：. n. al. (x−μ) 1 − ni f(x) = C h e 2𝜎 U σ√2πe n g c h i 2. v. 2. (9). 由式( 9 )可知，若要使出現機率最大則必須使 e. −. (x−μ)2 2𝜎2. = max. ( 10 ). 由於 e 為大於 1 的實數，則次方項需為最大值 (x − μ)2 − = max 2𝜎 2. ( 11 ). 由於負數最大值為最接近 0 的負數，可得 (x − μ)2 = min 2𝜎 2. ( 12 ). 16. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(29) 其分母𝜎為標準差，為一固定值，因此分子部份必須為最小值，進而得出 ( 13 ). (x − μ)2 = min. x 即為觀測量、μ即為最優估值、(x − μ)即為殘差 V，當殘差平方和最小時， 為出現的機率最高的狀況。因此，可將 LS 的觀測方程式( 8 )進一步改寫為： ( 14 ). V = L − AX. 並以殘差平方之總和最小為目標函數，可對目標函數進一步推導 V T PV = min V T PV = (L − AX)T P(L − AX) = (LT − X T AT )P(L − AX) ( 15 ). = LT PL − LT PAX − X T AT PL + X T AT PAX 而後對 X 偏微分求V T PV極值可得. 政 治 大. ∂V T PV = −2AT PL + 2AT PAX = 0 ∂X. 立. ‧ 國. 學. 移項後可得. ( 16 ). AT PAX = AT PL. U =. AT PA. y. AT P𝐴. sit. Nat. N =. ‧. 令式( 17 )中的. ( 17 ). n. al. X = N−1 U. Ch. engchi. er. io. N 為一n × n的方陣，可求得逆矩陣N−1 ，得式( 18 )：. i Un. v. ( 18 ). 17. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(30) 第二節. 李德仁權迭代法. 由文獻回顧可知，由於僅用改正數無法準確的判斷粗差的位置，若是 以此為權函數則有可能誤判觀測量。因此，將觀測量納入隨機模型，透過 權函數判斷觀測量精度後，降低可能為粗差的觀測量之權重，藉此降低該 觀測量的影響。 李德仁(1984)利用 Baarda 於 1968 年所提出的 Data Snooping 的概念， 將標準化殘差做為權迭代法中的權函數，而標準化殘差與多餘觀測分量(ri ) 及單位權中誤差(σ0 )有關。因此，在迭代的過程中σ0 亦為影響的因素之一， 若只以最初的先驗中誤差做為判斷標準，容易有誤判的情形發生。因此， 應由前一次計算出的後驗中誤差(σ ̂0 )在權函數中進行取代，且在迭代初期應. 政 治 大. 給予較嚴格的限制，當迭代次數 n 大於 3 後再放寬限制，藉由統計檢定的. 立. 方式，對含有粗差的觀測量進行降降權，降低粗差對未知參數的影響，使. ‧. ‧ 國. 學. 求解參數從有偏估值至無偏估值，其權函數如式( 7 )。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 18. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(31) 第三節. 最佳化權矩陣. 由 LS 所得之X矩陣為： X = (AT PA)−1 AT PL. ( 19). V = L − A(AT PA)−1 AT PL. ( 20 ). 將其代入式( 14 )可得. ̂)， 當觀測量不含粗差時，權矩陣的變化並不會影響 X 矩陣的期望值E(X ̂ X為無偏估值；但當觀測量包含粗差時，不同的權矩陣則會影響估計參數的 求解。因此，各觀測量精度不同，應給予不同的權重，以降低含有粗差的 觀測量對最終求解成果的影響。 不同於權迭代法，最佳化權矩陣利用最佳化演算法進行計算，以標準. 政 治 大. 化殘差之總和最小為目標函數，求得權重於何種分布時為數據最集中的狀. 立. 態，而非透過統計檢定的方式在迭代中對觀測量進行降權。. ‧ 國. 介紹。. 學. 以下將針對本研究所使用的最佳化演算法 PSO 及優化後的 QPSO 進行. ‧. 一、 粒子群優化演算法. y. Nat. 粒子群優化演算法(Particle Swarm Optimization, PSO)為 Kennedy &. io. sit. Eberhart 於 1995 年提出基於群體智慧所進行的演算法。PSO 利用多個粒子. n. al. er. 所組成的粒子群，在給定的搜尋空間(search space)中搜尋粒子的最佳位置，. i Un. v. 並將其視為整體最佳解。在 PSO 演算的過程中，每個粒子的位置都被視為. Ch. engchi. 一組目標函數(objective function)的解，在迭代過程中不斷地更新粒子位置 及速度，藉此在空間中找到粒子最佳位置，並將其視為目標函數的最佳解。. 19. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(32) PSO 目標函數為f(x)，且假設在 D 維的搜尋空間下，每一維度都有 M 個粒子組成立子群，每個粒子為Xi,1 , Xi,2 , … X i,D , i = 1,2, … , M ;接著由式( 21 ) 更新粒子的速率及位置： Vij (t + 1) = Vi,j (t) + c1 ∙ r1,i,j (t) ∙ (Pi,j (t) − Xi,j (t)) + c2 ∙ r2,i,j ∙ (Gj (t) − Xi,j (t)) ( 21 ). Xi,j (t + 1) = Vi,j (t + 1) + Xi,j (t). 其中，Vij 為粒子的速率；t 為迭代次數；Pi,j為粒子所搜尋到的最佳位置； Gj 為粒子群搜尋到的最好位置；r1,i,j 與r2,i,j為兩個獨立且介於 0~1 的隨機數； c1、c2 為個體與群體間互動的相關係數。每次迭代後，各粒子更新個體最佳 位置的判斷式為： Pi,d (t + 1) = {. Pi,d (t), X i,d (t + 1),. if f[Xi,d (t)] ≥ f[Pi,d (t + 1)] if f[Xi,d (t + 1)] < f[Pi,d (t + 1)]. 政 治 大 而粒子群所找到的全體最佳位置的公式為： 立 (t)]},. ( 23 ). g ∈ {1,2, … , m}. 學. ‧ 國. g = arg min {f[Pi,d. Gd (t) = Pg,d (t). ( 22 ). ‧. PSO 流程如圖 4 所示。. ( 24 ). n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 20. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(33) 演算法開始. 初始化粒子群 迭帶次數 for t = 1 to n. 計算各粒子的 當前適應值. 粒子當前適應值 是否優於前一次結果. 學. ‧ 國. 立. 政 治 大 粒子位置維持不變. ‧. n. er. io. sit. Nat. 粒子更新坐標位置. y. 是. al. 否. Ch. i Un. v. e n g更新群體最佳位置 chi. 利用速度及位置更新公式 更新粒子速度及位置. 是否達到最大迭 帶次數. 否. 輸出成果. 演算法結束. 圖 4. PSO 流程 21. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(34) 二、 量子行為粒子群演算法 量子行為粒子群演算法(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization, QPSO)為孫俊等人於 2004 提出，為 PSO 的優化演算法，在 PSO 中引入量 子行為，將粒子移動的方式機率化，藉此避免 PSO 只能夠確保收斂於區域 的極值(區域最佳解)，使演算法能夠具有更佳的全域搜索能力。 粒子的測不準原理(uncertainty principle)即是粒子的動量及位置無法同 時被確定，當位置的不確定性越高，動量的不確定性越小，反之亦然。因 此，量子空間中，粒子的形態需要透過波函數的形式來描述，而孫俊等人 透過比較後發現δ勢阱能夠使粒子能有更佳的全域收斂效果。因此，QPSO 以δ勢阱做為粒子的運動方程。. 政 治 大 張係數α(constraction-expansion coefficient)，利用α做為平均粒子最佳位置與 立. QPSO 在參數設定上除了與基本 PSO 的參數外，還另外增加了收縮擴. ‧ 國. 學. 粒子當前位置的距離加權量；當α越大時，表示粒子速度較快，此時的粒子 搜尋範圍較大，適合全域式的搜索；相反地，當α越小時，表示粒子速度較. ‧. 慢，此時的粒子較容易收斂。因此，α可以視為一種搜尋策略的參數，能夠 透過線性遞減或是固定值等不同方式給予，若採用線性遞減，則表示搜索. y. Nat. sit. 策略由大範圍逐漸變小，α公式如式(26)：. n. al. er. io. α = (α𝑚𝑎𝑥 − α𝑚𝑖𝑛 ) × (t 𝑚𝑎𝑥 − t 𝑚𝑖𝑛 ) ÷ t 𝑚𝑎𝑥 + α𝑚𝑖𝑛. Ch. engchi U. v ni. ( 25 ). α𝑚𝑎𝑥 與α𝑚𝑖𝑛 為最大及最小的收縮擴張係數、t 𝑚𝑎𝑥 與t 𝑚𝑖𝑛 為最大迭代次 數與目前迭代次數。一般而言，最大及最小的α值通常設定為 1.0 及 0.5， 依問題的複雜程度而給予不同的值。 假設在 d 維的搜尋空間中有 M 個粒子群，第 i 個粒子的位置及速度分 別為：X𝑖,1 、Xi,2 … X i,d，V𝑖,1 、Vi,2 … Vi,d，i = 1,2 … , M。在 QPSO 中，粒子依 照下式更新下一次迭代的位置(孫俊等人，2011)： 𝑀. 1 mbest d = ∑ 𝑃𝑖,𝑑 𝑀. ( 26 ). 𝑖=1. 𝑝i,d = 𝜑 ∙ Pi,d + (1 − 𝜑) ∙ 𝐺𝑑 , φ = rand(0,1) 𝑋𝑖,𝑑. ( 27 ). 1 = pi,d ± 𝛼 ∙ |mbest d − 𝑋𝑖,𝑑 | ∙ ln ( ) , 𝑢 = rand(0,1) u. ( 28 ). 22. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(35) 其中，mbest d 為 d 維空間中所有粒子的最佳位置的平均值；Pi,d為第 i 個粒子在 d 維空間中的最佳位置；𝐺𝑑 為群體最佳位置；𝑝i,d 為𝐺𝑑 及Pi,d之間 的吸引子(local attractor)；𝜑為常態分布之下介於 0~1 之間的隨機數；u 則是 另一個常態分布之下介於 0~1 之間的隨機數；而α即為前述的收縮擴張係 數。 將 QPSO 最終的粒子最佳位置視為該目標函數的最佳解，即本研究的 最佳化權矩陣。 QPSO 的計算過程如下： 1.. 隨機給予各粒子初始位置。. 2.. 利用上式計算各維度的平均最好位置𝐦𝐛𝐞𝐬𝐭 𝐝 。. 3.. 決定各粒子的當前最佳位置𝐏𝐢,𝐝 。. 比較迭代後與迭代前一次之群體最佳位置，若是優於前一次迭代. 學. 5.. 𝒅. ‧ 國. 4.. 政 治 大 決定各維度的群體最佳位置𝑮 。 立 值，則進行取代，否則維持原位置。 計算介於𝑮𝒅 與𝐏𝐢,𝐝 間的隨機吸引子。. 7.. 利用步驟 6 計算的吸引子，計算各粒子的更新位置。. 8.. 重複步驟 2~7，直到迭代次數結束。. ‧. 6.. n. Ch. sit er. io. al. y. Nat. QPSO 流程如圖 5。. engchi. i Un. v. 23. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(36) 演算法開始. 初始化粒子群 迭帶次數 for t = 1 to n. 計算各粒子的 當前適應值. 政 治 大 計算平均最佳位置 mbest. 立. ‧ 國. 學. 粒子當前適應值 是否優於前一次結果. 否 粒子位置維持不變. ‧. 是. 更新群體最佳位置. n. al. Ch. engchi. er. io. sit. y. Nat. 粒子更新坐標位置. i Un. v. 計算隨機吸引子. 計算每個粒子的新位置. 輸出成果 否. 是否達到最大迭 帶次數 演算法結束. 圖 5. QPSO 流程圖 24. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(37) 三、QPSO 參數設定 QPSO 參數設定大致分為： (1)收縮擴張係數α的上下界設定；(2)權重 的上下界設定；(3)粒子群數目；(4)粒子移動的迭代次數；(5)總迭代次數。 收縮擴張係數α與迭代時粒子的速度有關，為了使粒子能夠在的迭代初 期搜索較大的範圍，並於迭代的後期能夠順利收斂。因此，本研究以孫俊 等人於文中的建議，α上界設定為 1，α下界設定為 0.1，以此進行量子行為 粒子群演算法。 各觀測量之間的權重屬於一種相對關係，若數值不同但比例相同則會 算出相同的結果，為了避免收斂範圍過大及權重不易比較的問題，故本研 究將權重的範圍設定在 0~1 之間，而權重即為 QPSO 中的未知數，也就是. 政 治 大 粒子群數目、粒子移動的迭代次數及總迭代次數，則是影響演算法速 立. 將未知數設定於 0~1 之間。. ‧ 國. 學. 度相當重要的條件，雖然粒子數目越多、粒子移動的迭代次數越多越能夠 確定成果的好壞，但所花費的時間相對較長。因此，本研究亦嘗試不同參. ‧. 數設定並比較結果，利用模擬資料中的曲面擬合，發現各參數到一定上限 時σ ̂的變化將不在明顯，參數試驗成果如表 3，最終決定將粒子數目 M 設 0. y. Nat. n. al. er. io. 10 次。. sit. 定為 20、粒子移動的迭代次數 iteration 設定為 100 次，總迭代次數設定為. 表 3. iteration=. i Un. v. QPSO 各參數計算出的後驗方差. Ch. 100. 200. 4.5089 4.2070 3.9485 3.7855 3.7985 3.8333 3.5157 3.5675 3.3811 3.4198 3.7533 3.4139 3.4074 3.3667. 5.0513 4.0629 3.8157 3.6979 3.8914 3.4571 3.4763 3.3961 3.3804 3.3800 3.3688 3.3804 3.3634 3.3929. e300n g 400 chi. 500. 1000. 2000. 5000. 10000. 4.8559 4.0063 4.1807 3.8201 3.7862 3.5006 3.3798 3.3762 3.3590 3.3691 3.3641 3.3682 3.3838 3.3700. 4.9512 3.9227 4.1522 3.5745 3.3852 3.4243 3.3802 3.3530 3.3580 3.3375 3.3531 3.3390 3.3637 3.3619. 4.4789 4.2477 3.9103 3.7434 3.4620 3.3737 3.3582 3.3749 3.3622 3.4174 3.3208 3.3426 3.3489 3.3644. 4.7844 4.4547 3.5387 3.5301 3.3819 3.3409 3.3462 3.3605 3.3629 3.3376 3.3576 3.3260 3.3169 3.2942. 4.5667 4.2570 3.7599 3.4979 3.6028 3.3491 3.3462 3.3346 3.3656 3.4540 3.3317 3.3407 3.3014 3.3005. M= 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50. 5.5245 4.6909 3.8518 3.7034 3.5739 3.5196 3.4256 3.3961 3.3714 3.4259 3.3551 3.3721 3.3754 3.3684. 5.2632 4.9438 3.8108 3.8499 3.5509 3.3713 3.4016 3.3700 3.3664 3.3619 3.3746 3.3611 3.3717 3.3571 25. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(38) 第四節. 最小一乘法. LAD 所使用的函數模型與 LS 相同，如式 ( 8 )。LAD 的目標函數(Objective Function)為殘差 V 的絕對值總和最 小： ( 29). S = ∑|Vi | = min 一、線性規劃原理. 線性規劃的問題由線性目標函數及約束條件組成，並在每個決策變數 的”特定非負實數”之間進行比較，求得滿足所有約束條件且目標函數為最 小值的解。其標準型式為：. 政 治 大. 目標函數 𝑀𝑖𝑛. 𝑧 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛. 立. ( 30 ). 學. ‧ 國. 約束條件 s.t.. a11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1. a21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2. ‧. ⋮. y. n. al. sit. io. 其中 x1 , x2 , … , 𝑥𝑛 ≥ 0. ( 31 ). er. Nat. am1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚. i Un. v. 式中的x1 , x2 , … , 𝑥𝑛 為待求解的決策變數，線性規劃中的決策變數須為非負. Ch. engchi. 實數；c1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 為目標函數的係數，目標函數為𝑧 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 為極小值(Min)，且須為線性且不含常數項的方程式。而∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚為第 i 個線性約束條件（章棟恩等，2008；林怡君，2013） ， 其中aij ( 𝑖 = 1,2, … , 𝑚. ；𝑗 = 1,2, … , 𝑛)為約束係數，bi ( 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 )為. 右端項（Right-hand-side）係數。 將上述線性規劃以矩陣的形式表示： Min = c T 𝑥 s. t.. Ax = b. ( 32 ) ( 33 ). 其中，x ≥ 0 各矩陣分別為： 26. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(39) 目標函數的係數矩陣（Cost Vector） 決策變數矩陣（Solution Vector）. c = [c1. x = [x1. 右端項係數矩陣（Right-hand-side Vector）. cn ]T. c2 …. x2 …. xn ]T. b = [b1. b2 …. 𝑎11 約束條件的係數矩陣（Constraint Matrix） A = [ ⋮ 𝑎𝑚1. ⋯ ⋱ ⋯. bn ]T 𝑎1𝑛 ⋮ ] 𝑎𝑚𝑛. 二、線性規劃解 由目標函數及約束條件等線性條件組成可行域(F)，並於可行域中找出 最優解即為線性規劃問題。而線性規劃具有的特性為(方述誠，1993；林怡 君，2013)： (1)線性規劃的可行解的集合，若非空即合則含有頂點。. 政 治 大 因此線性規劃的解法可分成下列三個步驟(方述誠，1993)： 立 (2)而各個頂點可能為最佳解。. ‧ 國. 學. 步驟一： 找出可行域(F)的各個頂點。. 步驟二： 計算各個頂點所對應的目標函數值，即CT 𝑋。. ‧. 步驟三： 找出目標函數值最小的頂點，該頂點即為線性規劃的最優解。 單行法由 George Dantzig 於 1947 年提出，為線性規劃中最常被使用、. y. Nat. sit. 且較有效率的方法之一，其構想為，先找尋可行域中的一個頂點，並比較. n. al. er. io. 各個鄰近頂點的目標函數值，若有目標函數值更低的頂點，則往該頂點移. i Un. v. 動，依照此規則依序檢視頂點，最終將找出目標函數值較鄰近頂點低或相. Ch. engchi. 當的頂點(方述誠，1993)。圖 6 為單行法示意圖，在可行解中有多個頂點 (x1 、x 2 …)，單行法由其中一個頂點(x k )開始搜索，沿著邊界移動到另一個 頂點(x k+1 )，值到找到最佳解(x ∗ )為止。. 圖 6. 單行法示意圖(方述誠，1993). 27. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(40) 三、MATLAB 線性規劃及矩陣設計 觀測方程式L = AX + V中，待求解的未知數矩陣為 X 及 V，而矩陣內 的元素有可能為負值，由於線性規劃中的代求解參數須為非負實數。因此， 將未知參數矩陣以兩個非負實數相減表示，藉此解決參數為負值的狀況， 例如： 未知參數矩陣： 5 X=[ 0 ] −5 則將其表示為兩個非負實數矩陣X + 、X − ，兩矩陣分別為： 0 5 X + = [0] 、X − = [0] 5 0. 政 治 大 並以兩個非負實數矩陣相減表示原本的未知參數矩陣，即： 立 linprog ， 格 式 為. x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)，函數中包含：. Nat. 約制條件 s.t.： A ∙ x ≤ b. n. Aeq x = beq. er. io. sit. y. 目標函數： min = c’x. al. ( 34 ). ‧. ‧ 國. 中 的 線 性 規 劃 函 數 為. 學. MATLAB. X = X+ − X−. ni C hlb ≤ x U engchi. v. 若有不需用到的約制條件，可直接以空集合取代。x 為 LAD 中各個代求解 未知數，即為 X、V 矩陣，由於參數可能為負值，故在 LAD 中的 x 矩陣需 設計為： 𝑋+ − 𝑥 = [𝑋 + ] 𝑉 𝑉− 目標函數為∑|𝑉𝑖 | = min，可改寫為∑(𝑉𝑖+ + 𝑉𝑖− ) = min。因此，目標函 數中的 c，可由零矩陣與單位矩陣組合而成： 0 𝑐 = [0] 𝐼 𝐼 28. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(41) 而約制條件中，只需設計兩個部分，一個是觀測方程式中的等式L = AX， 第二個是待待求解矩陣中的各項元素皆大於等於 0。因此： Aeq = [ 𝐴 − 𝐴 − 𝐼. 𝐼 ]、beq = 𝐿. 0 lb = [ ⋮ ] 0 將設計完成的矩陣依格式輸入，即可求得 x 矩陣，再將X + 減去X −、V + 減去V − ，即可求得未知參數X及改正數V。. 四、結合最小一乘法與權迭代法 由於在迭代計算的過程中，給予的初值對於最終收斂結果具有相當大. 政 治 大 權函數能夠更合理的反應隨機模型，趙言等人(2016)利用 LAD 解做為權迭 立 的影響，不好的初值可能造成結果不如預期。因此，為了使迭代過程中的. 代法的初值，解決 LS 在含有粗差時容易因初值不正確而導致權迭代法成. ‧ 國. 學. 果不佳的問題。. ‧. 另一方面，LAD 由線性規劃的方式進行求解，缺乏統計模型等檢定量， 難以與其他方法進行比較，僅能單從改正數判斷可能為粗差的觀測量，無. Nat. sit. y. 法利用多餘觀測分量、標準化殘差評估可靠度及建立一個判斷觀測量是否. er. io. 為粗差的標準。但若是將 LAD 抗粗差能力較佳的解，做為權迭代法的初值，. al. iv n C 綜合上述優缺點及權迭代法的比較，本研究另以 LAD 解做為李德仁權 hengchi U n. 即可在迭代後納入最小二乘的統計模型，使其具有統計檢定量。. 迭代法的初值，並利用最終計算後的統計檢定量與其他方法進行比較。. 五、 最小一乘法的反求權矩陣 而本研究提出另一個解決 LAD 缺乏統計檢定量的方法，稱為最小一乘 法的反求權矩陣，透過前面章節的論述可整理出幾個重點： 1. LS 以∑ 𝑉 2 = min為目標函數，但是這必須建立在觀測量不含粗 差的情況之下，當觀測量含有粗差時，將不適合在以∑ 𝑉 2 = min為目標進行求解。 2. LAD 抗粗差能力較佳，但缺乏統計檢定量。 3. QPSO 在求解複雜多項式的問題時，為較有效率的演算法。 29. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(42) 綜合上述重點，本研究利用 LAD 所求的估計參數矩陣，並令其為 LS 在某種隨機模型下的解，以 QPSO 作為反求權矩陣的演算法。其概念方程 式如式(35)： XLAD = (AT PLAD A)−1 AT PLAD L ( 35 ) XLAD 為 LAD 所求出的待求估計參數矩陣；A為 LS 的設計矩陣；L 為 觀測量；PLAD 為 LAD 解在 LS 中的權矩陣，也是式中唯一的未知矩陣。由 於式中的PLAD，無法透過微分、移項等方式進行求解，且與設計矩陣相乘後 再進行逆矩陣的計算，使得利用迭代的方式求解相當困難，如( 36 )： XLAD = [AT (Pn LAD + ∆PLAD )A]−1 AT (Pn LAD + ∆PLAD )L ( 36 ). 政 治 大 P 為第 n 次迭代時的權矩陣；∆P 為每次迭代時權矩陣的增量。 立 + ∆P )A] 難以計算，透過迭代時無法求 由於法方程的逆矩陣[A (P n LAD. LAD. T. n LAD. LAD. −1. ‧ 國. 學. 得每次迭代時的差量，且逆矩陣的存在亦使微分線性化後迭代求解的方式 難以執行。因此，本研究不採用迭代的方式求解，而是利用最佳化演算法. ‧. 進行計算，求出 LS 與 LAD 差異量最小的權矩陣，此時最佳化演算法的目. 目標函數為： ∑ |𝑉𝐿𝑆,𝐿𝐴𝐷 | = min. n. al. Ch. er. io. 𝑉𝐿𝑆,𝐿𝐴𝐷 = XLAD − (AT P≈LAD A)−1 AT P≈LAD L. sit. y. Nat. 標函數如式( 37 )：. i Un. v. ( 37 ). 本研究將 LAD 解視為 LS 中的其中一種隨機模型，即在權矩陣為P≈LAD. engchi. 時的 LS 解，如此一來，即可賦予 LAD 解統計意義，與其他方法之成果進 行比較。. 30. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(43) 第五節. 評估模式. 本研究分析各方法之成果，除了前述方法所計算出的權重外，另以假 說檢定推導出的標準化殘差做為判斷粗差的標準，而在計算標準化殘差時， 亦與多餘觀測分量有一定的關係，且 Baarda 於 1968 年透過多餘觀測分量， 進一步推導出內、外部可靠度。因此，本研究將透過多餘觀測分量探討可 靠度、以標準化殘差判斷粗差。 可靠度評估 (一)多餘觀測分量 由式( 20 ) V = L − A(AT PA)−1 AT PL 可改寫為：. 立. 政 治 大. ( 38 ). V = (AN−1 AT − P −1 )PL = (QVV Pll )L. ‧ 國. 學. 由式( 38 )所得結果，可得知改正數V與觀測量L間有QVV Pll 的比例關係， 透過此矩陣可得知當觀測量L增加時，會有多少比例反應在改正數V上。. ‧. QVV Pll為方陣，但並不一定為對稱矩陣；當第i個觀測量有誤差存在時，假設. y. Nat. 存在誤差εi ，對自身改正數的變化可以透過下列公式計算：. n. Ch. = ri ∗ εi. engchi U. er. io. al. = (QVV Pll )ii εi. sit. ∆Vi = Vi − V′i = (QVV Pll )ii (Li + εi ) − (QVV Pll )iiLi. v ni. ( 39 ). 由此可知改正數∆Vi 反應觀測量Li 誤差的比例為ri，即多餘觀測分量，為 QVV Pll矩陣中的對角線元素。多餘觀測分量ri 介於0~1之間，若是ri = 0，代 表該觀測量為必要觀測；若ri = 1，表示該觀測量為完全多餘觀測，不參與 平差。 由上述可知，ri 除了與幾何分布的A矩陣有關外，P矩陣亦有影響，而本 研究希望能對於不同配權模式進行比較，對於不同配權模式所計算出的成 果，以ri 做為各觀測量的可靠度評估。. 31. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(44) (二)內部可靠度 所謂的內可靠度指的是平差系統中能夠找出粗差的下界值，下界值越 小，表示該平差系統的內部可靠度越高。若假設觀測量Li 含有粗差量∇Li ， 此時該觀測量的標準化殘差Ti 將會產生一段偏移δi ，即為非中心化參數 (non-centrality parameter)，如圖 7 中的eg 。. 圖 7 觀測量含有粗差時，機率密度函數的偏移(Lehmann,2013) 透過多餘觀測分量可以看出觀測量本身的誤差對自身改正數的影響。. 立. 政 治 大. 因此，粗差對觀測量的改正數可以寫成：. ‧ 國. 學. ∇vi = −𝑟𝑖 ∇𝐿𝑖. ( 40 ). ∇vi 為改正數因粗差∇𝐿𝑖 而產生的差異量，再由標準化殘差公式進一步. 𝜎𝐿𝑖 √𝑟𝑖. =. ∇𝐿𝑖 √𝑟 𝜎𝐿𝑖 𝑖. ( 41 ). er. io. 將上式移項後可以得到：. y. −∇vi. sit. Nat. δi =. ‧. 計算非中心化的偏移量：. n. a∇l 0𝐿𝑖 = 𝜎𝐿 δ0 iv n C h √𝑟𝑖 engchi U 𝑖. ( 42 ). ∇0 𝐿𝑖 即為第 i 個觀測量所能發現的粗差的下界值；δ0 為零假設及備選假設 間的最短距離，與信心水準α及檢驗功效β有關。Baarda 的建議為α = 0.1%、 β = 80%，此時的δ0 = 4.13。 由於各觀測量本身的中誤差不同，無法在同一個基準之下進行比較。 因此，將觀測量的中誤差從式中去除可以得到： δ’0,i =. ∇0 𝐿𝑖 δ0 = 𝜎𝐿𝑖 √𝑟𝑖. ( 43 ). δ’0,i 稱為可控性數值，其意義為觀測量𝐿𝑖 上的粗差至少為中誤差的多 少倍，才可以在給定的機率(信心水準α及檢驗功效β)下被偵測出來(李德仁 等人，1984)。 32. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(45) (三) 外部可靠性 所謂的外部可靠性，指的是無法發現的粗差對於平差成果的影響。由 李德仁 1984 年所推導出的外部可靠度，在各觀測量不相關時，第 i 個觀測 量含有不可發現的粗差對平差成果的影響可以寫成： 𝑃𝑖 − 𝑃𝑖 (𝑄𝑉𝑉 𝑃)𝑖𝑖 1 − 𝑟𝑖 δ̅0,i = 𝛿0 √ = 𝛿0 √ 𝑃𝑖 (𝑄𝑉𝑉 𝑃)𝑖𝑖 𝑟𝑖. ( 44 ). 探討粗差對於平差系統的影響時，可分為內部可靠度及外部可靠度， 分別為發現粗差的能力、無法發現的粗差對整體平差的影響，由上述可知， 內、外可靠度皆與多餘觀測分量有關，且多餘觀測分量之值介於 0~1 之間， 當多餘觀測分量值越高，內可靠數值越低，表示能夠發現的粗差下界越低，. 政 治 大 不了的粗差對平差成果影響較小。因此，本研究對於不同演算法計算成果 立 較容易發現粗差；當多餘觀測分量數值越高，外可靠數值越低，表示發現. ‧ 國. 度越好。. 學. 的可靠度，以多餘觀測分量進行評估，多餘觀測分量越高表示其可靠度程. ‧. 標準化殘差. 標準化殘差是 Baarda 在 Data Snooping 中，由假說檢定所推導出來的. y. Nat. sit. 統計檢定量，透過高斯模型對於單個多維的備選進行假說檢定。. al. n. ( 45 )：. er. io. 首先由不含粗差的觀測量及含有粗差的觀測量可列出兩方案，如式. Ch. engchi. ̃ H0 ：E(L|H0) = AX. i Un. v. ̃ + 𝐻∇𝑠̃ Ha ：E(L|Ha ) = AX. ( 45 ). H 矩陣用以表示加入粗差的觀測量位置；∇𝑠̃ 為選定加入的粗差。由不 含粗差的觀測方程式可經由 LS 計算出下列參數： ̃ = (𝐴𝑇 𝑃𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑃𝐿 X. ( 46 ). ̃)T P(L − AX ̃) Ω = (L − AX. ( 47 ). V = (QVV P)L. ( 48 ). QVV = P. −1. 𝑇. −1 𝑇. − 𝐴(𝐴 𝑃𝐴) 𝐴. ( 49 ) ̃ X為估計參數，Ω為殘差平方和，V為改正數，QVV 為改正數的協因數矩陣。 而含粗差的觀測方程式可列為： 33. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(46) ̃ + 𝐻∇𝑠̃ + V , L = AX. Pss. ( 50 ). 利用分割矩陣將其列為： ( 51 ). 𝐴𝑇 𝑃𝐻 ] [ ̃ X ] = [𝐴𝑇 𝑃𝐿 ] 𝐻 𝑇 𝑃𝐻 𝑇 ∇𝑠̃ H T PL. 𝑇 [ 𝐴 𝑇𝑃𝐴 𝐻 𝑃𝐴. 此時估計參數 X 的估值為： ( 52 ). ̂ = (AT PA)−1 (AT PL − AT PH ∇ŝ) X 而改正數的平方和為：. ( 53 ). ̂ − H ∇ŝ)T P(L − AX ̂ − H ∇ŝ) Ω1 = (L − AX 權矩陣Pss 可寫為 −1 Pss = 𝑄𝑠𝑠 = H T 𝑃𝐻 − 𝐻 𝑇 𝑃𝐴(𝐴𝑇 𝑃𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑃𝐻. = H T 𝑃(𝑃−1 − 𝐴(𝐴𝑇 𝑃𝐴)−1 𝐴𝑇 )𝑃𝐻. 政 治 大. ( 54 ). = H T 𝑃𝑄𝑉𝑉 𝑃𝐻. 立. 接下來對∇ŝ進行假說檢定。. ‧ 國. 學. H0 假設： E(∇ŝ|𝐻0 ) = 0. Ha 假設： E(∇ŝ|𝐻𝑎 ) = ∇s̃. ( 56 ). ‧. 將H0 假設寫成誤差方程式：. y. 𝑃𝑠𝑠. Ω2 = ∇ŝ 𝑇 𝑃𝑠𝑠 ∇ŝ. ( 57 ). sit. Nat. ∇ŝ + V𝑠 = 0,. ( 55 ). n. al. er. io. ( 58 ) V𝑠 為H0 假設的誤差方程式之改正數；Pss 為H0 假設的誤差方程式之權矩 陣；Ω2 為H0 假設的誤差方程式之改正數平方和。. Ch. engchi. i Un. v. 由於上述式( 55 )、式( 56 )為互相獨立，可得： Ω = Ω1 + Ω2. ( 59 ). 在已知單位權中誤差σ20 時，可以列出統計檢定量 T1 =. −1 𝑇 Ω2 V T PHPss 𝐻 𝑃𝑉 = ~𝜒 2 (𝑝, 𝛿 2 ) 2 2 σ0 σ0. ( 60 ). 滿足自由度為𝑝的非中心化𝜒 2 分布。 假設只有單個粗差存在於第 i 個觀測量時： H = ei = [0 0 … 0 1 0 … 0]𝑇 T1 =. (𝑒𝑖𝑇 𝑃𝑉)2 σ20 (𝑒𝑖𝑇 𝑃𝑄𝑉𝑉 𝑃𝑒𝑖 ). ( 61 ). 此為單個粗差的檢驗量。在將上式( 61 )進一步簡化後，即可得到 Data 34. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
(47) Snooping 所使用的標準化殘差： 1 Ti2. = 𝜔𝑖 =. ( 62 ). |𝑉𝑖 | 𝜎0 √𝑟𝑖. 每次迭代的過程中，應以後驗中誤差取代先驗中誤差進行計算，使每 次計算出的統計檢定量更符合當時觀測量的分布情形，能有更佳的效果(李 德仁，1984)。因此，標準化殘差應為： 1 Ti2. = 𝜔𝑖 =. ( 63 ). |𝑉𝑖 | 𝜎 ̂0 √𝑟𝑖. 標準化殘差越大的值，越有可能拒絕假說檢定，表示該觀測量越有可 能為粗差。因此，本研究亦以標準化殘差作為判斷粗差之依據。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 35. DOI:10.6814/THE.NCCU.LE.016.2018.A05.
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