第二章 文獻探討
第四節 議題涉及的數學與科學概念分析
一、議題涉及的概念
由於本研究欲佈置一個非同步網路互動的平台，在平台中提供具數學概念的 科學新聞議題，讓參與的學生能針對研究者所佈的問題提出自身的看法，並輔以 支持論點的證據。而研究者則從其對話內容中，分析他們論證能力的發展與數學 概念的理解。那麼，當前有什麼議題是具有數學概念的呢？依據 2013 年 8 月 29 日《今日新聞》報導(http://www.nownews.com/p/2013/08/29/654628)，康健雜誌公 布自行抽驗國內 6 大連鎖手搖飲料店的翡翠檸檬茶結果，坊間手搖茶飲店「清玉」
主打的翡翠檸檬標榜「黃金比例」，其 1 杯熱量等於吃下 15 顆方糖，引起普羅 大眾一片嘩然，如圖 2-3-1。而此社會議題正蘊涵數學概念（例如：溶解比例、
熱量計算、黃金比例）於其中，因此，本研究欲以此作為本研究鋪陳的議題。
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圖 2-4-1 康健雜誌公布實測國內店家手搖飲料店的翡翠檸檬結果
再者，本研究的科學新聞議題「翡翠檸檬飲料中含有 15 顆方糖甜度是否合 理？」所涉及的數學概念為何呢？整體而言，研究者以此議題設計了三個題組提 供學生進行討論。以下，依研究者所佈的題組內容以及各題目所內含的數學概念 彙整如下表 2-4-1 所示：
表 2-4-1 本研究所佈題組及內含數學概念、科學概念分析
題目 內含數學概念 內含科學概念
題組 1：
(1)據報導【http://ppt.cc/y26O】一杯翡 翠檸檬中含了 15 顆方糖的甜度，你/
妳覺得用這種說法描述甜度合理 嗎？為什麼？
水與糖的比例。 水溶液的濃度
(2)如果你/妳覺得這種描述甜度的說法 不合理，那麼，怎樣的說法才算合 理？
(3)你/妳認為「飲料甜度」跟「飲料所 含熱量」代表的意義相同嗎？以你/
妳的想法試著說明兩者之間的相同 與相異。
糖的溶解量與所產生的熱量 是否為相同概念。
(4)要判斷這杯飲料是否比較健康你/妳 會從哪些訊息作判斷？請說明你/妳 使用這些標準作判斷的理由。
飲料甜度高低對身體的影響。
題組 2：
(1)你/妳知道清玉飲料店所販售的翡翠 檸檬宣稱的「黃金比例」是什麼嗎？
請說說看它代表的意義是什麼？你 贊同店家這樣的說法嗎？
綠茶、檸檬、糖的最佳比例。
37 (2)數學上也有「黃金比例」的概念，它
的內容是在說些什麼？
黃金比例 = ≅1.618 (3)除了清玉的「黃金比例」外，你/妳
還知道哪些其他店家所宣稱的比例 名稱？他們所使用的比例內容有何 不同？
綠茶、檸檬、糖的比例。
題組 3：
(1)請你利用所知道的訊息(可使用網路 搜尋或查詢書籍)推估平均喝一杯翡 翠檸檬可以攝取到多少熱量？並說 明你/妳計算的方式。
飲料中形成熱量的成分。
(2)就你/妳所知道有販售翡翠檸檬的店 家，將其所含熱量由多至少排出順 序，並說說看為何你/妳會這樣排，
若有查詢網路資料，請附上資料來源 網址。
研究者設計這些題目的目的，主要在引導學生從「翡翠檸檬茶飲含糖程度」
的議題中，思考水溶液溶解方糖的程度，延伸至濃度與比例的相關數學概念，例 如：題組 1 的第 1 題與題組 2 的 3 個小題即是如此。此外，除了濃度、比例之外，
另一個重要的討論議題是熱量，熱量與甜度的關係以及與健康的關係，例如：題 組 1 的第 3 題與題組 3 的 2 個小題即是如此。研究者預期這些議題所延伸的討論 問題將引起學生們的討論。但是，每位學生所抱持的意見不盡相同，研究者認為 這可以經由討論後得到共識。
此外，依據教育部（2003）所公布的國民中小學課程綱要內容來看，其將教 學目標分成四個階段。在國民中學階段對於數學領域的要求為：
1.數：能夠認識負數與根號的數概念與計算方式，並能理解座標的意義。
2.代數：要熟練代數的運算、解方程式，且熟悉常用的函數關係。
3.幾何：學習三角形與圓形的基本性質，認識線對稱圖形、有縮放圖形的概 念，且能做簡單的幾何推理。
4.統計與機率：能理解統計與機率的意義，且認識簡易的統計方法。
若能達成上述教學目標，將能培養學生的運算能力、抽象思考、推論能力以 及溝通，學生能夠學習應用問題的解決方式，並為高中階段的數學奠定基礎（教
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育部，2003）。本研究所採用的「翡翠檸檬含糖程度」議題，是探討水溶液中的 濃度、成分之間的比例關係等相關概念，與國中七年級數學課程第二冊第 6 單元
「比和比例式」相關，以下，茲列出課綱中相關的能力指標。
表 2-4-2 國民中學七年級比和比例式相關能力指標
能力指標 內容敘述
N-4-03 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。
N-4-04 能熟練比例式的基本運算。
A-4-04 能理解生活中常用的數量關係(例如：比例關係、函數關係)，恰當運用 於理解題意，並將問題列成算式。
在國民中學比與比例式的單元中，學生須理解比例關係、正比、反比的意義 並能夠將其運算、面對應用問題時能理解題意，從題目中找出數量間的關係列出 解題的算式。據此，研究者從課程綱要的七年級分年細目中，擇取與本研究選擇 議題相關的分年細目如下：
表 2-4-3 國民中學七年級比和比例式分年細目表
分年細目 內容敘述
7-n-13 能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比例的問 題 (對照能力指標 N-4-03)。
7-n-14 能熟練比例式的基本運算 (對照能力指標 N-4-04)。
7-n-15 能理解連比、連比例式的意義，並能解決生活中有關連比例的問題 (對 照能力指標 N-4-03 、N-4-04)。
本研究的科學新聞議題除了涉及數學單元比與比例式的概念之外，也涉及自 然與生活科技領域八年級課程「水溶液」單元中的溶解、濃度等相關概念。因此，
研究者整理出與本研究議題相關的能力指標如下：
1. 2-4-4-3 知道溶液是由溶質與溶劑所組成的，並瞭解濃度的意義。
2. 2-4-5-1 觀察溶液發生交互作用時的顏色變化。
3. 2-4-5-5 認識酸、鹼、鹽與水溶液中氫離子與氫氧離子的關係，及 pH 值的大小與酸鹼反應的變化。
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40 3.中點座標
4.中點連線
9-s-05 能利用相似三角形對應 邊成比例的觀念，解應 用問題。
依據上表 2-4-4 所顯示本研究科學新聞議題所涉及的相關內容以及分年細目，
研究者繪製本研究科學新聞議題與九年一貫課程綱要數學、自然與生活科技領域 分年細目的關係如圖 2-4-2 所示。
圖 2-4-2 本研究科學新聞議題涉及的相關概念關聯圖
研究者選擇的研究對象為國中一年級學生，他們學習過國小的比和比值相關 概念：五年級下學期的「比率與百分率」、六年級下學期的「比、比值、成正比」，
並能夠運用比和比值的概念解決或解釋生活情境的問題。研究者預期參與本研究 進行科學新聞議題討論的學生，能夠依據他們所具備的數學與科學概念在「社會 性數學議題之系列問題」題組進行論證。
翡翠檸檬含 糖量合理性 7-n-13、7-n-14、7-n-15
議題涉及的數學概念 5-n-09、5-n-14、6-n-04、6-n-09、
6-n-10、6-s-02 過去學過的數學概念
9-s-01、9-s-02、9-s-03、
9-s-04、9-s-05 未來延伸的數學概念
2-4-4-3、2-4-5-1、2-4-5-5 議題涉及的科學概念
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表 2-4-5 比與比例式教材地位分析以康軒版為例
過去所學概念 單元核心概念 未來單元應用
比率與百分率 比例式 比例線段與縮放圖形
分數的除法 連比例 相似與相似三角形
比、比值、成正比 正比與反比 相似三角形的應用
二、比和比值相關研究
本研究設計的「社會性數學議題之系列問題」涉及的數學概念為「比」、「比 值」、「黃金比例」。民國 82 年國民小學課程標準（教育部，1993）將比界定為「並 置的兩對應關係量的紀錄」，九年一貫課程綱要將比視為「除的意涵」。Behr 與 Post (1988)表示比值是用一個量值來代表兩個數量之間的關係。Ohlsson (1988)則 認為比可以分成兩種，表示兩個量的比是比較於同一個層面，例如班級內男女生 的人數比，稱為內在比；另外一種為外在比，表示兩個量的比試比較於不同層面，
例如個人的學生人數與教室數量的比。再者，比率的概念與比值不同，Lamon (1999)說明比率是由兩個不同的量數合成的一個新量數，比值則沒有這個條件，
可以是相同量數，也可以是不同量數，因此，比率是被包含在比值之內一種特定 的比的關係。如圖 2-4-2 所表示的關係。
圖 2-4-3 比值與比率的關係(Lamon, 1999)
關於比例的問題，從問題的結構角度分析，可以分成單一比例、多重比例、
連比例三種類型（劉祥通，2007）。單一比例類型為「A：B=C：□」；多重比例 涉及三個度量空間，類型如同「A1：B1：C1=A2：B2：C2」；連比則是三個數以上
比值
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的比，基本的型態為把兩個比例式合併在一起，例如「A：B = X1：Y1，B：C
= X2：Y2」，將兩者結合後得到「A：B：C = X1X2：X2Y1：Y1Y2」。而學生在 面對比例問題時，選用的解題策略有單價法(between strategy)、倍數法(within strategy)、累加法(repeated addition)、數量分解法(decomposing methed)以及公式法 (formula strategy)這幾種類型（劉祥通，2007）。以下介紹各項方法的內容：
（一）單價法
解比例問題時，先求出單位量，再將單位量乘以單位數，即為單價法。
要以單價法成功解題，學生須具備「單位化」的能力。
（二）倍數法
解比例問題時，是以倍數的方式思考。例如「機車加 3 公升的汽油可以 行走 100 公里，那麼 9 公升的汽油可以讓機車行走多少公里？」題目中 9 公升為 3 公升的 3 倍，因此 9 公升汽油能行走的距離為 3 公升汽油的 3 倍，所以得到 100×3=300（公里）的結果。
（三）累加法
累加法是以推算的方式進行解題，例如「買 2 支棒棒糖需花 15 元，那 麼班上同樂會需要的 14 支棒棒糖需要花多少錢？」的問題，買 2 支棒 棒糖花 15 元，那麼買 4 支棒棒糖則花 30 元，買 6 支棒棒糖花 45 元，
如此繼續進行推算，可以推算出 14 支棒棒糖需要花 105 元。
（四）數量分解法
問題給予的數量先分解為兩個以上的數量，將其分別計算後再加以組合。
例如「10 匹馬每小時可以喝掉 3 公升的水，4 頭牛每小時可以喝掉 1 公 升的水。請問每小時馬與牛哪一種動物喝的水較多？」學生的解法：假
例如「10 匹馬每小時可以喝掉 3 公升的水，4 頭牛每小時可以喝掉 1 公 升的水。請問每小時馬與牛哪一種動物喝的水較多？」學生的解法：假