第三章、 體積全像光柵色散光學元件之設計
3.1 設計原理（一）
3.1.2 讀取波長色散情形模擬
表 3.2 系統參數
m_th 第一張 第二張 第三張 第四張 第五張 第六張 第七張 第八張 第九張
色散中心波長(um) 0.2036 0.2859 0.3682 0.4503 0.532 0.6137 0.695 0.7756 0.8554 線色散率(cm/um) 6.4837 6.5037 6.5272 6.5542 6.71581 6.6171 6.6548 6.6997 6.7527 系統解析度(nm) 0.0463 0.0461 0.0460 0.0458 0.0456 0.0453 0.0451 0.0448 0.0444
以這種方法記錄，於介質外 15 度入射，其第一張光柵可使 0.2036um 的波長有最大 繞射效率，第二張光柵可使 0.2859um 的波長有最大繞射效率，依此類推。而對每張光 柵而言，線色散率大約為 6.5cm/um，以 6mm x 8mm 的 CCD 偵測，解析度的理論值為 0.045nm 上下。我們以選取這些入射角組合九張光柵所能涵蓋的頻譜範圍，約為 200nm-900nm。
上節所述以這樣的方式記錄之下，讀取時，各色光於材料外部 15 度角入射，各波 段的繞射效率如圖 3.4 分布，並依據繞射角度公式(2.33)式模擬出各波長繞射之發散角 與繞射效率於附錄一。
圖 3.4 為九張光柵的繞射效率，效率之峰值的位置代表該光柵分光所對應的中心波 長。一張光柵分光的頻寬約為 82nm。在這樣的記錄架構下，參照圖 3.4 與附錄一，我們 以第五張光柵為例，光柵色散具最大繞射效率的中心波長即為 0.532um，其繞射角之於 x 軸為 15 度，繞射效率為 0.09832。而與中心波長鄰近的 0.531um 與 0.533um 大小的波 長，各發散到 14.94 度與 15.06 度的方位，繞射效率同為 0.09827。第五張光柵對波長 大小 0.45um 及 0.614um 及其鄰近波長的繞射效率幾乎為零，故這些範圍的波長是分別 利用第四張、第六張光柵來分光。入射後 0.45um 之於 x 軸的繞射角為 10.30 度，繞射 效率為 0.09839；而 0.614um 的繞射角為 19.78 度，繞射效率為 0.09839。表 3.2 為套 用此記錄方式的光柵其光柵光譜儀系統的分光能力數值資料，表中解析度為 CCD 平面上 的光譜解析度。
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
wavelength(um)
diffraction efficiency
圖 3.4 設計方法（一）繞射效率與頻寬
將表 3.1 的參數代入(2.79)式電腦作圖，得到不同波長的繞射圖樣分布如圖 3.5，
為 ( ,y zd d)平面上各波長繞射光點所在的位置，區域中心點處為(0,0)，【a】至【d】每格
的刻度設定各有差異。圖【a】設定的參數為θ θi
=
2= 15
、λ= 0.532
，結果為 0.532um 波長在(0,0)位置的分布；圖【b】設定的參數為θ θi=
2= 15
、λ= 0.5318um
，其結果為 0.5318um 的波長在(0,-20um)的位置；圖【c】設定的參數為θ θi=
2= 15
、λ= 0.45um
，結果位置在(0,-8000um)；圖【d】設定的參數為θ θi
=
2= 15
、λ= 0.614
，繞射結果位置 在(0, 8000um)。由此可知不同波長的光點雖在同一平面但位置差距甚大，可藉由平移 CCD 位置或在同一平面上置放多組同規格的 CCD 來解決。yd(0.1 um) zd(0.1 um)
【a 】 0.532 um
200 400 600 800 1000
100
200 400 600 800 1000
100
200 400 600 800 1000
20
【d】 0.532um , 0.614um
200 400 600 800 1000
20 約在(0,-10um)與(0,-3000um)處有兩個繞射極大值。【註：縱軸的中心為原點，一個刻
度標記大小為 100um。該座標(0,-3000um)的估計方法是：（130-100）x 100um】
圖 3.6 0.5um 波長對相鄰兩張光柵的繞射分布 3.1.3 系統元件優缺點的評估
雖然各張組合的光柵各對應到其響應的波段，但相鄰的兩張組合光柵可色散的波長 有重疊的部分。換句話說，這個問題即是針對特定波長而言，可以同時對「第 m 張」與
「第(m+1)張」光柵繞射。故這種設計方式有可能使單一頻率繞射成兩組圖樣(兩個光點 以上)，但對一個光譜儀之系統功能來說，只要確知繞射點位於 CCD 上哪個位置，我們 就得以推測出該光源是何種頻率。
這個設計的解析度不錯是一項優點。通常商用元件的全像光柵，因可以具有極高的 條紋密度，光柵光譜儀的系統解析度通常在 0.1nm 上下。根據表 3.2，小角度的記錄方 法可達到 0.045nm 的高解析光柵。
雖然以夾小角度的方式來記錄組合光柵的繞射效率峰值較低，但極大的波長選擇性 頻寬使我們輕易涵蓋到、甚至超出於一般商用光譜儀的頻譜範圍。少張數的組合也可以 讓全像材料的動態範圍不被消耗太多，有較佳的光柵強度。
3.2 設計原理（二）--零點重合法
承上節的設計方法，這次的設計原則是為了試著克服前者串音干擾的問題與增加繞 射效率，所使用的方法目的在使對不同兩張光柵的繞射效率於峰值不同側的第一零點波 長重合。並附帶嘗試以大角度記錄，縮小條紋之間距且提高繞射之峰值。讓第一零點重 合的設計，可使相鄰兩張光柵之間的串化雜訊(crosstalk) 大大降低，入射時除了對符 合布拉格條件的光柵繞射外，理論上很難對其他張光柵產生繞射，限制了各張間的干 擾。若要使同一波長對兩張光柵皆不能繞射，則記錄的原則我們可把原本相鄰的三張光 柵中間的一張抽掉不計，如下圖所示：
圖 3.8 光柵向量圖
三個中心波長原本各差
∆
λ，將此相鄰的三張光柵抽掉中間一張Κc不計，於是原本由Κc
繞射的中心波長λ 對另外兩張光柵的繞射效率皆為零，而偵測不到c λ 波長的繞射光。 c 3.2.1 元件設計與結果模擬
若我們欲在同一介質內記下共 M 張光柵，則參考光角度需改變 M 次，物體光角度亦 需改變 M 次。假設於介質外部，記下第 m 張光柵的記錄參考光入射角度為θ 、與第 m1m 張記錄物體光的入射角度θ ，可依(3.8)、(3.12)式作出下表數據： 2m
步驟一
我們以λ =0 0.532um記錄、布拉格角外角θ1
= 60
。設定 for 迴圈的起始值：初始的記錄 α∆
λ
∆
參考光入射角設定為 60 度(θ11= )、初始物體光入射角設定為 60 度(θ1 θ21
=
θ2= 60
)，且初始繞射光為初始物體光的重建，繞射角設定為θd1=θ21。初始波長改變量
∆ =
λ0
， 將中心波長λm=
λ(m−1)+ ∆
λ也寫入同一個迴圈。以上設定不包括於表 3.3。步驟二
將步驟一資料代入(3.12)式，則可運算
θ
d2 =θ
d1+ Λ2 1sinφ
1 1/d2−n12/(λ
02cosθ
1cosθ
d1) 與中心波長λ2 = + ∆ 的數值。將輸出的數值代入(3.8)式，則可得另一組記錄參考光λ1 λ12 與物體光的角度數值，即 for 迴圈程式輸出的第二個參考光入射角數值θ 與第二個物12 體光入射角數值θ 等等。這為第一筆資料，作為表 3.3 的第八行。 22步驟三
將第八行資料再輸入(3.12)式，求得θd3 =θd2+ Λ2 2sinφ2 1/d2−n12/(λ02cosθ1cosθd2)與
3 2 23
λ =λ + ∆λ 的數值。將數值代回(3.8)式，則可得 for 迴圈輸出的第二筆資料，但不鍵
入表 3.3。將第二筆資料輸入(3.12)求
θ
d4 =θ
d3+ Λ2 3sinφ
3 1/d2−n12/(λ
02cosθ
1cosθ
d3) 與λ4 =λ3+ ∆λ34的數值。將數值代回(3.8)式，則可得 for 迴圈輸出的第三筆資料，為表 3.3 的第九行。隔行生效的填表數據資料，依此類推。表 3.3 即為我們以選取這些入射角組合十四張光柵所能涵蓋的頻譜範圍：約為
450nm-650nm。若我們必須以達到 350nm-900nm 的分光範圍為目標，則我們必須以此方 法組合 42 張光柵，則可涵蓋到這個頻譜範圍。
表 3.3 系統參數模擬
m_th 記錄參考光入射角(DEG) 記錄物體光入射角(DEG) 色散的中心波長(um) 線色散率(cm/um)
第一張 82.8347 47.5975 0.4512 24.915
第二張 76.6761 49.2819 0.4639 25.1368
第三張 72.5202 51.0319 0.4765 25.3698
第四張 69.1376 52.8557 0.4891 25.6149
第五張 66.1996 54.7637 0.5015 25.873
第六張 63.5609 56.7692 0.5138 26.1454
第七張 61.1425 58.8896 0.526 26.433
第八張 58.8897 61.1426 0.538 26.7347
第九張 56.7708 63.5616 0.55 27.0515
第十張 54.7699 66.2031 0.5618 27.3874
第十一張 52.8705 69.1491 0.5735 27.7436
第十二張 51.0605 72.5502 0.5849 28.1219
第十三張 49.3306 76.7489 0.5962 28.5236
第十四張 47.6735 83.0601 0.6073 28.9506
上表包括記錄方法與分光能力的度量參數。我們以 DuPont 的 HRF 材料參數與計算 角度的作法，模擬出此方法記錄的角度條件，求得夾大角度（相較於前一節兩光之間夾 角平均約為 30 度，上表兩記錄光之間的夾角皆約為 120 度）記錄後，光柵與系統的分 光效果。經由電腦計算，這個記錄方法可達到的解析度為 0.01nm。
依sinc2
1
60
θ
=
函數的特性，當兩記錄光的夾角變大，實際上於光柵內部的條紋間隔會縮 小，讀取光的繞射效率會變高，即函數的峰值變大且寬度變窄，繞射效率對波長的變化 亦更明顯地驟升驟降，如圖 3.9 的繞射效率分布。由圖可知有些頻率系統不能讀取出，
如 520nm、532nm、544nm，其繞射效率明顯極低，因而可以判斷某些光源是屬於這些波 長，亦是頻譜推測之準確性的一種依據。圖 3.9 配合附錄二，告訴我們若所有波長於介 質外部角 入射，對第七張和第八張光柵而言，0.526um的波長會發散到 57.83 度 的繞射角去，0.538um的波長會發散到 62.31 度的繞射角，上述兩波長各為此兩張光柵 的中心波長，繞射效率約 14%。然而，0.532um波長理論上會繞射到 59.99 度的方位，但 對第七張或第八張光柵的繞射效率皆趨近於零。
0.45 0.5 0.55 0.6 0.02
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
wavelength(um)
diffraction efficiency
圖 3.9 設計方法（二）的繞射效率與頻寬
依上圖，一張光柵分光的頻寬約為 6nm，這種方法我們需要組合較多張光柵才能涵 蓋到所要的頻譜範圍。大角度的記錄方式，則需要組合更多張光柵。圖 3.10 為兩不同 波長對此光柵組合的繞射圖樣電腦作圖，參照表 3.3，圖(a)設定的參數為θ θi
=
2= 60
、0.526
λ
=
得到的繞射圖形；圖(b)設定的參數為θ θi=
2= 60
、λ= 0.538
得到的繞射圖 形。由圖，此兩中心波長約相距 8000um。yd(0.1 um) z d(100 um)
2000 4000 6000 8000 10000
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.538um
0.526um
~8000um
圖 3.10 波長 0.526um 與 0.538um 的繞射 3.2.2 優缺點評估
這種設計方法優點是有較高的繞射效率，且繞射效率大小隨波長的變化亦較明顯，
鄰近的波長更容易被偵測元件分別。但由於波長選擇性的頻寬較小，我們需要組合更多 張光柵才能達到較廣的頻譜範圍。
讓繞射第一零點重合，這樣的想法也有些缺點。其一為零點附近的波長，理論上為 單一繞射，但繞射效率太小，可能偵測不出。另一缺點則是，若一個單頻光源入射至此 組合光柵讀出的繞射效率為零，我們推測此光源可能是零點的波長，卻不能知道其波長 是哪個零點。針對這個設計的小結論是：比較好的做法仍是讓所有光皆有繞射效率，確 實讓所有波長都能讀取出，某些光源才得以分辨。
3.3 設計原理（三）--傾斜法
在這個設計原則裡，我們欲動用 y 軸向的記錄條件，將原本設計（一）侷限於 z 軸 向上可能重疊的繞射光點，分隔到「高度」的維度去。設計的原則是欲使第 m 張組合光 柵所響應的波長，剛好會繞射到 CCD 讀取介面的「第 m 列」上。在這個設計方法之中，
我們將套用設計原理（一），將其做個改進。所用的方法簡言之，就是記錄時，使其中 一道記錄波的光徑不平行於桌面，依據全像重建原理，我們則可以混合波長的重建光重 建出多道具有傾斜度的繞射光而投射到偵測平面的不同列。
這裡我們仍將記錄參考光源固定於 y=0 之平面，而記錄所用物體光源以一傾斜角入 射及與參考光干涉，即第 m 次記錄物體光入射時對 x-z 平面的傾斜角ϕ ≠ ，而0m 0 ϕ = 。m 0 由公式(2.79)，若ϕ 不等於零則0m y 有值，將0m y0m= −f tanϕ0m代入，求得表 3.4 的記錄 參數與結果，此資料即為表 3.1、表 3.2 的延伸。
將參數
λ
=0.45um, 0.532um, 0.614um代入，表 3.1 之第四張的傾斜度y04 = −20um、 第六張的傾斜度y06 =20um，與表中的記錄角度代入(2.79)式，將三個函數疊在同一張將參數