國
立
交
通
大
學
電子物理學系
碩
士
論
文
體積全像光柵作為光譜儀分光元件之研究
Volume Holographic Gratings Utilized in the Dispersive
Element of Spectrometers
研 究 生：粘容蓉
指導教授：林烜輝 老師
許根玉 老師
體積全像光柵作為光譜儀分光元件之研究
學生：粘容蓉
指導教授：林烜輝 老師
國立交通大學 電子物理學系
摘要 本文闡述如何利用穿透式體積全像術的方式記錄於材料中，製作光柵光譜儀的繞射 光柵元件，是一篇體積全像光學元件應用的描述。這種製作分光光柵元件的設計與方 法，目的為改進傳統以薄光柵作為色散元件的解析度與頻譜響應。依據體積全像適用的 《耦合波理論》並經計算而發現，體積全像容易記錄成擁有比一般薄光柵較好的解析 度。而薄全像無法記錄成組合光柵，體積全像之繞射特性可以讓我們利用多工方式，在 同一介質內將其記錄成組合光柵。一般用於光譜儀的分光薄光柵，設計成以馬達驅動而 旋轉。（光柵所需轉動之角度是由單晶片擷取光電流訊號，將訊號轉為驅動馬達之電壓 回傳而決定。）若以體積全像記錄組合光柵，則固定一入射角，便可為一定頻譜範圍內 的多色光源作色散，讀取時無須轉動光柵。我們將設定如何製作此種分光光柵，包括記 錄時所選取的入射角度，以及材料所能涵蓋到的波長。Volume Holographic Gratings Utilized in the
Dispersive Element of Spectrometers
Student: RongRong Nien
Advisor: Shiuan-Huei Lin
Institute of Electro-Physics, National Chiao-Tung University
Abstract
The thesis, about an application of the volume holographic optical elements (VHOE), describes how to apply the technique of the transmission volume hologram recording to fabricate the diffraction grating elements for a spectrometer. The purpose of the designment and the method to produce dispersive grating elements is in order to improve the resolution and the spectral response of the dispersive thin grating elements. According to “the coupled wave theory” suitable for volume holographic gratings and due to calculating, we find volume gratings easily possess higher resolution than ordinary thin gratings after recording. For the thin hologram, however, the multiple gratings can not to be recorded. Due to the diffraction features of the volume hologram, we can utilize the trick of multiplexing to record multiple gratings in a medium. Generally, the thin holographic grating used in the spectrometer was designed rotatably by the driving motor. If we record multiple gratings to the volume
hologram, we can fix the incident angle to disperse any multicolor light source in some given spectral ranges without rotating the grating during reading out. We will set how to make this kind of gratings, including the angles of incidence we choose during recording, and what kinds of wavelength the medium can relate.
誌謝 感謝我的指導教授林烜輝老師、光電所教授許根玉老師，您們兩年來的諄諄教導， 讓我的研究生涯順利告一段落，任何課業上、生活上給予的指導與鼓勵，都成為我的寶 貴經驗。謝謝老師們。 謝謝實驗室朝夕相處的：男哥學長、俊華學長，您們平日為我好的關心與叨唸，對 於很多人事道理的教導在日後都是受用無窮，感謝且謹記在心；謝謝柏霖學長，兩年來 的師兄妹情，言說不盡，難忘的是在我口試前一天你的鼓勵，真的要謝謝一下；謝謝仁 崇學長，學業上、生活上的指教與以身作則，曾經這些給我的幫助莫大；阿倫學弟，謝 謝你我永遠記得請你幫忙時的義不容辭，無論是搬宿舍、準備口試，或者我們一起擔任 助教時的互相 cover，你給予的情誼值得珍惜。謝謝工五館的義勝學長、以及今年碩一 的啟新、翊安學弟，雖然我們認識不久，仍領受過你們幫助與建議，謝謝；更要謝謝我 的同學晟齊，兩年來的幫忙與分擔銘謝在心。 此外，同棟樓但不同實驗室的：邰瑛、孟秋、逸君、老王…，新竹哪裡好吃、好玩 因為認識你(妳)而經歷，不同實驗室卻時常在關鍵時刻相互鼓勵，點點滴滴都成了生活 中小小不可或缺的感動；侯朝、阿吉、帥哥…曾經相助過、共勉過的好同學；還有我的 大學學妹：皓皓、衣惟，打球時就會找到妳們！ 由衷感謝兩年來不論生活上、經濟上、心理上，在我遇到困挫適時的各種支持，使 我總算完成學業的全家人：爸爸、媽媽、弟弟，以及來參加我畢業典禮的阿姨、表妹…， 一切因為有你們的鼓勵。我的高中好友、我的大學好友，無形或有形的支持與幫助，一 路走來得到的愛與感動都是具體的。 ＂該感謝的人太多了，憶起國中課文，那就謝天吧！＂謝謝交大土地公伯伯，有拜 有保佑(台)……。
目錄 中文摘要……… i 英文摘要……… ii 誌謝……… iii 目錄……… iv 表目錄……… vi 圖目錄……… vi 第一章、序論……… 1 1.1 薄全像光柵之繞射特性……… 2 1.2 論文編寫順序……… 9 1.3 感光記錄材料與全像光學系統簡介……… 10 第二章、體積全像光柵繞射特性與分光原理……… 12 2.1 穿透式體積全像光柵……… 12 2.1.1 體積全像光柵之產生方法與光柵參數定義……… 12 2.1.2 耦合波理論……… 14 2.1.3 無吸收相位光柵……… 24 2.1.4 含吸收率之相位光柵……… 25 2.2 反射式體積全像光柵……… 28 2.2.1 體積全像光柵之記錄機制與耦合波分析……… 28 2.2.2 無吸收率變化之純相位光柵……… 28 2.2.3 反射式體積全像之色散關係……… 32 2.3 多工組合光柵簡介……… 34 2.4 體積光柵元件色散能力分析……… 37 第三章、體積全像光柵色散光學元件之設計……… 44 3.1 設計原理（一）……… 44 3.1.1 分光元件記錄方法……… 50 3.1.2 讀取波長色散情形模擬……… 51 3.1.3 系統元件優缺點的評估……… 54 3.2 設計原理（二）……… 55 3.2.1 元件設計與結果模擬……… 55
3.2.2 優缺點評估……… 59 3.3 設計原理（三）……… 60 第四章、結論……… 62 參考文獻……… 63 附錄……… 65 一、設計方法（一）的體積光柵繞射角度及繞射效率參數模擬……… 65 二、設計方法（二）的體積光柵繞射角度及繞射效率參數模擬……… 74
表目錄 表 1.1 商用光譜儀規格比較表……… 8 表 3.1 參數模擬……… 51 表 3.2 系統參數……… 51 表 3.3 系統參數模擬……… 57 表 3.4 傾斜角參數……… 61 圖目錄 圖 1.1 光譜分析儀結構圖……… 1 圖 1.2 反射式（Czerny-Turner）光柵光譜儀……… 2 圖 1.3 Bessel 函數各階隨參數的變化……… 4 圖 1.4 薄光柵之各階繞射……… 4 圖 1.5 穿透式光柵光譜儀系統……… 5 圖 1.6 全像記錄系統裝置圖……… 11 圖 2.1 記錄光之角度與光柵週期性條紋的傾斜角……… 12 圖 2.3 單一張體積光柵之色散分光示意圖……… 20 圖 2.4 體積光柵的繞射能力與材料之物理性質及幾何形狀關係……… 21 圖 2.5 繞射光的相位失配與角度偏移關係……… 22 圖 2.6 繞射光的相位失配與波長偏移關係……… 23 圖 2.7 相位光柵的 DE 是波長選擇性的函數……… 25 圖 2.8 介質吸收率對「無吸收調變之純相位光柵」DE 的影響……… 27 圖 2.9 吸收性質對相位光柵最大繞射效率的影響……… 27 圖 2.10 反射式光柵的記錄……… 28 圖 2.11 反射式光柵的繞射效率……… 31 圖 2.12 反射式光柵的繞射能力與材料參數之關係……… 32 圖 2.13 反射式光柵記錄條件……… 32 圖 2.14 角度選擇性為多工記錄光柵的角度選擇依據……… 35 圖 2.15 繞射效率對讀取光波長作圖……… 35 圖 2.16 角度多工記錄、讀取向量圖……… 36 圖 2.17 全像光柵記錄系統、讀取系統……… 39 圖 2.18 厚度改變對光點大小的影響……… 42
圖 3.1 組合光柵的色散向量……… 45 圖 3.2 擬似彩色體積全像記錄波向量圖……… 45 圖 3.3 光柵向量與波向量幾何……… 47 圖 3.4 設計方法（一）繞射效率與頻寬……… 52 圖 3.5 不同波長在 CCD 平面上的繞射分布……… 53 圖 3.6 0.5um 波長對相鄰兩張光柵的繞射分布……… 54 圖 3.8 光柵向量圖……… 55 圖 3.9 設計方法（二）的繞射效率與頻寬……… 58 圖 3.10 波長 0.526um 與 0.538um 的繞射……… 59 圖 3.11 0.45um、0.532um、0.614um 波長繞射在 CCD 上不同列……… 61
一、序論
光譜學是研究物質本身所發出的電磁波輻射或物質與電磁波間交互作用的科學，由 於不同物質含有不同元素或化合物，因此任何物質之光譜皆具專一性：來自特定物質的 光譜，好比人類的指紋一樣，對個體而言都是獨一無二的，讓光譜分析特別適合用以研 究原子、分子、晶體、有機物質等的組成及結構，另外，由於光譜分析的方法具有非入 侵性、非破壞性、快速數據分析、高鑑別率以及高靈敏度等好處，讓光譜分析物質組成 的應用蓬勃發展推展到不同的領域中，如：材料分析、物質檢定、行星探測、生醫檢測 等等科技領域。然而，要分析光譜特性都必須要使用光譜儀來將待測之電磁波分光量測 不同波長的相對強度關係。 一般光譜儀結構分為五部分的基本組成，各為：光源、準直元件、分光元件（單色 器）、聚焦元件(或偵測器)及放大器(圖 1.1)。其光源依應用的不同通常分成兩種，一種 是激發被測物質的發射光譜，另一是於研究物質的吸收、拉曼、或螢光光譜，作用為照 射被測物，多以鎢絲燈或鹵素燈為光源。準直元件的作用為將一般點光源校正成平行光 束始投射至分光元件，一般可為透鏡、瞄準器(collimator)、或凹面鏡。分光器為可進 行色散之光學元件，可為三稜鏡或光柵。而色散後，為提高光譜儀量測的精確度、靈敏 度及速率，絕大多數的儀器多使用光電、電熱元件、或氣體接收器作為偵測、接收元件。 而分光後的單色光束能量傳遞至光電轉換元件，即可經由電訊號放大作量測與讀出。如 圖 1.2 為 Czerny-Turner 型式的光譜儀示意圖。 圖 1.1 光譜分析儀結構圖 準直器 分光器 偵測器 放大器 光源圖 1.2 反射式（Czerny-Turner）光柵光譜儀 要得到較佳的分光效果，系統結構中的分光器必須要有高的色散能力，一般以具有 高密度的週期性繞射元件來達成所需，稱之為繞射光柵元件。繞射光柵的種類繁多，可 依其不同的型式、用處、甚至製作方式分門別類。像是因材料介面對光徑作用之方向不 同，分為穿透式光柵、反射式光柵；因調制材料的吸收率或折射率等不同的物理量，分 為振幅光柵、相位光柵；甚至因製作方法不同，分為蝕刻光柵、複製光柵、全像光柵等。 然而，由光柵繞射理論可知，光柵的週期愈密，分光效果愈好，以蝕刻或鑽石刀刻劃的 製程方法由於技術的限制均無法製作很高密度的光柵(<11um)，全像干涉的方法是另一 種選擇，其利用全像記錄方式讓兩道光波於材料干涉曝光改變介質的介電常數(亦即折 射率)或吸收率，使其在材料產生與干涉條紋相對應的週期性分佈，得以改變入射讀取 光束的相位或振幅，亦使入射光繞射分光。 當兩道光夾角夠大時，干涉條紋的間距可輕易小於 1um 以下，達到記錄光波波長量 級，產生極佳的分光效果。因此，本論文將採用此優點，探討以穿透式體積全像光柵來 作為光譜儀分光元件之研究。 穿透式全像光柵依其記錄底片之厚度不同可分成薄光柵與體積光柵，在此我們先以 薄全像光柵說明光柵之繞射分光特性，以作為接下來研究基礎。
1.1 薄全像光柵之繞射特性
薄光柵和體積光柵的繞射機制大不相同，薄光柵遵守 Raman-Nath 繞射，體積光柵 遵守 Bragg 繞射。一個薄光柵因折射率的影響，其入射光與穿透光可記為： 光源 聚焦面鏡 反射式光柵 CCD 光譜 準直面鏡( ) 0 ( ) 0 i t k r i i t k r t E E e E E e ω ϕ ω − ⋅ − + − ⋅ = = (1.1) 其中，E 為光波振幅，0 ω為光波角頻率， k為入射光波向量，ϕ 為光束通過光柵後的相 位變化量，我們可以用沿光前進方向對光柵介質內折射率與路徑乘積積分求得，假設對 一個純相位光柵折射率的調變量可寫成∆ =n n1cos(Κ ⋅ r)，可得 sec 0 1 sec cos( ) cos cos( ) i d i i nds c d n c d n r c r θ ω ϕ ω θ ω θ δ = ∆ = ∆ = Κ ⋅ = Κ ⋅
∫
(1.2) 其中，θ 為入射角，d 為光柵厚度，i ∆n為調制折射率，n 為調制的振幅，1 Κ = 2π ˆz Λ 為光 柵波向量，Λ為光柵週期，且 1 cos i d n c ω δ θ ≡ ，故穿透光可以化簡如下： ( ) 0 cos( ) ( ) 0 i i t k r t i r i t k r E E e E e ϕ ω δ ω − + − ⋅ − Κ⋅ + − ⋅ = = (1.3) 上式可由下式 Bessel 函數展開式化簡之， cos ( ) ( ) i x m imx m m e δ i J δ e ∞ − − =−∞ =∑
− (1.4) 其中，m 可為整數，可得到穿透光光場為 ( ) 0 [ ( ) ] 0 [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] 0 0 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t k r m im r t m m m i t k m r m m i t k r i t k r i t k r E E e i J e E i J e iJ E e J E e iJ E e ω ω ω ω ω δ δ δ δ δ ∞ − ⋅ − Κ⋅ =−∞ ∞ − + Κ ⋅ =−∞ − −Κ ⋅ − ⋅ − +Κ ⋅ − = − = − = + + − +∑
∑
(1.5) 我們可以看到上式中對不同的 m 值，會產生不同方向傳播之平面光波，相當於將入射平 面光波繞射到不同方向，我們可以定義不同的 m 值，為 m 階繞射光，故各繞射階的波向 量 k+ Κm ，恰對應到 Bessel 函數的階數，得到各皆之繞射效率為ηm =Jm( )δ ，可以求 出各階的繞射效率如下圖所示。0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 delta di ff rac ti on ef fi c ienc y Bessel function m=0 m=1 m=2 圖 1.3 Bessel 函數各階隨參數的變化 從圖中我們可以看到不論δ 值如何變化，光柵最大繞射效率為第 1 階的 30%左右，無法 將入射光有效的分光解析，在光譜儀應用時，需要較靈敏的偵測器來偵測，是一個不利 的因素，要克服此問題我們可以用體積光柵增加厚度來增加繞射效率，留待下一章說 明。其次，說明薄光柵的色散特性： 圖 1.4 薄光柵之各階繞射 上圖為薄光柵色散分光的示意圖，若有波長為λ 光波入射至該光柵，從上小節之分 析我們可以得到第 m 階繞射光之波向量kd 將滿足kd = + Κk m 的關係，因此若光柵波向 量Κ沿 z 軸方向不傾斜，則入射光與 x 軸方向夾角θ 與第 m 階繞射光與 x 軸方向夾角i θm 將滿足薄光柵繞射方程式：
[
]
(
m)
1 2 2 sin ( ) sin ( ) sin sin i m m π θ λ θ π λ λ θ λ − θ + = Λ ⇒ = − (1.6) x z 1 m= − 0 m= 1 m= i θ Κ其中，下標 m 代表一整數，表示「第 m 階」繞射。因此，由此公式知在某一階下， 不同波長的入射光波的繞射角度不同，波長愈大繞射角度也愈大，故可將不同波長的光 波分散到不同的角度。這為薄光柵的分光原理，也就是各式光柵用於光譜儀應用之基礎 原理。 利用式(1.7)的光柵分光原理，配合圖 1.1 及 1.2 的光譜儀架構，我們可以將基礎 的光譜儀分光示意圖等效成下圖的型式，以作為本論文設計分光光柵元件之光學分析系 統。S 為狹縫，L1 為瞄準透鏡，G 為穿透式光柵，L2 為聚焦透鏡。其波長將成像於 CCD 平面上的不同點。 圖 1.5 穿透式光柵光譜儀系統 CCD 全名為「感光耦合元件」(Charge-coupled Device)，一種可記錄光線變化的半 導體，通常以「百萬像素」為單位。CCD 的解析度，指的是其上有幾百萬個像素，即多 少感光元件。此系統的工作概念說明如下：系統中以狹縫 S 限制入射光成點光源做為整 個光譜儀成像分光系統的目標物，此標的物發出的線光源經由準直透鏡 L1 形成一平行 的準直光束，此光束經過繞射光柵 G 後色散分光，再經由聚焦透鏡 L2 將不同波長之色 光聚焦在 CCD 不同位置上，換言之，我們只要看到 CCD 上光點出現位置，即可判定其波 長。因此，光譜儀系統的各種特性將由狹縫 S 寬度、成像系統的總像差、繞射光柵之週 期密度Λ、及 CCD 大小及像素解析度來決定，說明如下： S G L1 L2 CCD f1 f1 f2 f2 1, 2, 3,.... λ λ λ 1 λ 2 λ 3 λ 3 λ 2 λ 1 λ
1. 頻譜響應範圍 指的是光譜儀可量測的光波波長範圍。取決於光柵 G 的繞射能力、聚焦透鏡 L2 的 大小焦距以及 CCD 之大小，假設 CCD 之橫向大小為 D，聚焦透鏡為理想之無窮大透鏡， 則可量測之波長範圍∆λ為 sin 2 D m f λ Λ ∆ < ，換言之，光柵密度愈高，分光所用之繞射 階數愈大，範圍愈小。 2. 角色散率 角色散率的定義為 d d D d θ θ λ ≡ ，表示從色散系統中繞射出不同的兩波長，在空間上彼 此分開的程度。角色散率的單位為 rad/nm，其數值愈大，代表光柵的色散能力愈大，光 譜儀分光之解析度愈大。對上述系統而言，分光的角色散率與階數 m 有關，為： cos m m d m D d θ θ λ θ = = Λ (1.7) 換言之，要增加光柵的解析能力，需要更高密度之光柵。 3. 線色散率 線色散率指的是在測量系統的 CCD 平面上，不同波長之光波分開的程度。因此，若 為某波長光波繞射角，則在 CCD 平面上將會距參考點l= f2θm之距離，故線色散率之定 義與角色散率稍異，為 l dl D fD dλ θ ≡ = (1.8) f 為聚焦透鏡的等效焦距，故光柵的線色散率可寫為： cos l m dl mf D dλ θ ≡ = Λ (1.9) 換言之，繞射光柵的密度愈大(即週期愈小)，則線色散率愈高。實際的應用上，光譜儀 的色散能力通常以線色散率之倒數（單位：nm/mm）判斷，數值愈小代表分光能力愈好。 4. 解析度 解析度又稱辨色率，表示系統可解析兩波長很接近的譜線的能力。定義為 min ( ) R λ λ ≡ ∆ (1.10) λ ∆
畫素大小限制，因為系統中我們利用 CCD 上亮點之位置來判定波長，所以系統不可能分 辨出小於一個畫素的資訊，若 CCD 的畫素大小為∆，則(∆λ)min推導可得為： min 2 2 cos ( ) m f Dθ f m θ λ ∆ ∆Λ ∆ = = (1.11) 第二個限制為光柵繞射光波在 CCD 上波形分布之限制，因為光柵有一定的大小，故經過 L2 透鏡聚焦後，繞射光波之分布為一個 sinc 函數，可以寫成 2 2 ( ) sinc d N E z z f λ Λ ∝ ，其 中NΛ為光柵橫向大小。這樣之分佈與光學繞射極限類似，因此可以 Rayleigh criterion 作為判斷法則，亦即在 CCD 上相鄰可分辨波長所造成的 sinc 函數分布最小可重疊之距 離為 z f2 N λ ∆ = Λ ，故此光學極限限制之(∆λ)min可以寫成： 2 2 min cos ( ) cos m m l z f mf N D mN λ θ λ λ θ ∆ ∆ = = = Λ Λ (1.12) 所以，系統分光解析度為上述兩個因素中，取較大(∆λ)min代入(1.12)式中，可得 2 min cos ( ) cos m m mf R mN λ θ λ λ θ ∆Λ ≡ = ∆ (1.13) 兩者中較小者。 從上面的分析來看，影響光譜儀分光特性除了系統元件幾何限制外，最主要的因素 為光柵的週期Λ及繞射階數 m。而對於薄光柵繞射而言，因厚度限制較小，會產生多階 繞射，一般常用高階繞射 m 來增進其特性，但同時這會引起倍頻信號混合，造成波長誤 判。 舉例來說，我們分析第一階和第二階的繞射光，若兩個不同波長λ 及λ 同時入射至' 系統中，則由薄光柵色散方程式，此λ 波長之光波在第一階繞射角度θ λ 及1( ) λ 波長之' 光波在第二階繞射角度θ λ 分別滿足下式關係： 2( ')
[
]
(
)
[
]
(
)
1 2 sin ( ) sin sin ( ') sin 2 ' i i θ λ θ λ θ λ θ λ Λ + = Λ + = (1.14)因此若 ' 2 λ λ = ，則θ λ1( )=θ λ2( ')，表示λ 第二階繞射光與' λ 第一階繞射光有同樣大小的 發散角，λ 會繞射到' λ 第一階繞射光的位置，兩波長信號會混合在一起無法判斷。 綜合來說，本小節所建立之光柵繞射分光基本特性應都適用於厚記錄介質的體積光 柵，因為它們均是利用繞射分光為基礎，所不同的是體積光柵因厚度的限制，定性來說 會產生所謂的布拉格繞射條件，只能產生 m=1 階之繞射，也因此會改變其繞射分光細部 特性，這可能是一種優點，或者是缺點。 同時，在本小節中，我們亦指出以薄光柵來進行色散分光會產生繞射效率不佳及倍 頻信號干擾等問題，這些在現今的商用光譜可以用改善其他元件或是加入濾波器的方法 來改進，會增加系統設計之複雜度。 因此，本論文即著眼於此，研究是否能以體積全像光柵來取代薄全像光柵，進行色 散分光，來改進光譜儀分光特性。下表我們整理出三種商用光譜儀中，分光光柵之特性。 表 1.1 商用光譜儀規格比較表(來源資料)
公司 Newport Andor Shimadzu
型號 LineSpec_TM Shamrock_303 UV-2450
光譜儀種類 Czerny-Turner Czerny-Turner Czerny-Turner
光柵類型 Ruled holographic blazed holographic
溝槽密度 600g/mm 1800g/mm 900g/mm 頻譜範圍 450-2000nm 350-900nm 190-1100nm 最大繞射效率 >20% 62% 55% 金屬鍍膜 Aluminum (不詳) Aluminum Spectral Resolution 0.43nm 0.1nm 0.1nm 來源資料 http://gratings.newport.com/products/table1.asp http://www.shimadzu.com/products/opt/dif/oh80jt0000001nm8.html 由此表可以看到：對於較高密度之分光光柵元件是用全像技術來製作的薄光柵。因
此，在論文中，我們將以 Andor 公司的 Shamrock_303 在光譜儀作為目標，設計並分析 我們的體積全像光柵分光器。分析的準則即採用本小節上述的 4 個標準特性：頻譜響應 範圍、角色散率、線色散率、以及光柵分光解析度。
1.2 論文編寫順序
在上述的目標下，吾人將論文章節順序安排如下：第一章為序論，除了前述這些基 礎描述外，1.3 節將說明論文研究中我們用來記錄體積全像的材料及記錄光學系統。 第二章為體積全像光柵之繞射特性分析，我們將採用 2 種不同的方法，耦合波理論 及純量繞射之波恩近似法則來分析體積全像光柵之繞射特性，作為設計我們的色散分光 元件之基礎。 第三章為體積全像色散分光元件之設計，說明我們如何以第二章之基礎來設計與 Andor 公司之光譜儀規格相仿所需的分光元件。我們將提出三種設計方法，說明其製作 記錄方法並分析模擬分光情形，同時比較其優缺點。 第四章為結論。1.3 感光記錄材料與全像光學系統簡介
在體積全像儲存的應用方面，所用之材料的選擇有諸多要求，其參數包括：光敏感 度(sensitivity)、照光後的收縮率(shrinkage)、動態範圍(dynamic range，記為 M/#)， 光柵強度(strength)、穩定度(stability)等。近年來，因感光高分子材料發展出具有 高繞射效率與低雜訊的良好光學性質，在光學元件製作上及資訊儲存、處理、顯示上， 感光高分子是常選用的材料媒體。如今全像記錄物質的選擇，感光高分子也成為最普遍 利用的介質材料。 感光高分子(photopolymer)物質是單體(monomer)、聚合體(polymer)、光啟始劑 (photoinitiator)，與其餘不活潑的化學成分(binder)等的組成。在曝光程序裡，光啟 始劑接收光子產生自由基，促使單體開始聚合，稱作「光聚合」(photopolymerization)。 全像干涉條紋的記錄為不均勻曝光，愈高聚合體濃度之生成，是經由曝照較強的曝光能 量而來。因而介質內聚合體的濃度不均勻，在空間分布上形成濃度梯度，導致未反應的 單體在介質內發生擴散，往聚合體濃度較高的區域移動。聚合體濃度高的部分為亮區 (bright regions)，即全像干涉圖樣亮紋的位置。藉由聚合體分布不均勻的濃度梯度， 使介質內直接關係到整體折射率的其他成份也開始擴散至暗區(dark regions)，調控了 介質折射率在空間上的分布，而得到相位光柵。 單體移動至亮區的過程，止於反應完畢或定影(fixing)發生。定影可經由記錄後， 將全像片均勻曝光的程序而完成。這步驟是為消耗照光後介質內未反應的殘餘單體，使 其完全聚合。感光高分子因聚合物的濃度不均勻，使材料的其他化學組成在介質內擴 散，形成介質折射率的不均勻分布。在全像記錄過程中，因為介質分子的移動及聚合， 提升了介質材料原始的折射率，即先前稱之的平均折射率。故記錄後除了調制折射率生 成外，平均折射率的量值也增加了，但增加微量，且能經由全像塊材因照光產生收縮之 兩效應相互抵制，故在理論計算上不考慮這個量。 本論文希望採用的感光高分子為DuPont公司開發的HRF-150x001 藥膜，是一種適於 用來記錄穿透式體積全像純相位光柵的材料。該材料遵從上述殘餘單體會往亮區擴散的反應機制。在文獻上過去的光學實驗中，通常以 488nm波長的雷射光波為記錄光源，但 是其對 532nm也感光，所以本論文將以此波長作為記錄光源來設計，另外，已知此材料 的厚度 38um、可產生的折射率調制量n 約為 101 -3 θ ，本論文也將以此材料參數作為設計參 數來模擬我們所設計的體積全像光柵分光器之特性。 以此記錄材料，我們設計如下圖為體積全像光柵的記錄系統，將 HRF(全像記錄膜) 用透明膠帶固定於載玻片玻璃上，置放兩光交會點之處，記錄下平面波干涉條紋，藉由 改變不同的夾角 ，我們可產生不同的體積全像光柵。 圖 1.6 全像記錄系統裝置圖 ⊙ Ar laser WP1 SF PBS S2 WP2 M2 M1 HRF Glass Plate S1 θ CCD2 CCD1 R ⊙ ⊙
二、體積全像光柵繞射特性與分光原理
2.1
穿透式體積全像光柵
如前所述，本論文之目標是希望以體積全像光柵來取代傳統光譜儀之薄光柵分光 器，來增進光譜儀之特性，因此本章中我們將採用兩種方法：耦合波理論及波恩近似法 則來說明穿透式體積全像光柵之繞射特性，作為我們設計色散分光元件之基礎。首先， 說明我們的體積光柵。 2.1.1 體積全像光柵之產生方法與光柵參數定義 假設我們的感光材料在 x 方向上的厚度為 d，於 y、z 方向分布無限大，以兩道空氣 中波長皆為λ 的同調光記錄全像光柵，入射角各為0 θ 、i1 θ ，於 x-z 平面為記錄平面，i2 如圖 2.1 所示。 圖 2.1 記錄光之角度(左)與光柵週期性條紋的傾斜角(右) 通常為了討論上的方便，我們會假設介質外的折射率與介質材料內部的平均折射率 相同，光通過介面時，因而沒有角度偏折的問題。但為了更整體的情況，且所用的材料 之平均折射率與空氣之折射率亦有差異，可用 Snell 定律來換算。因此，介質內部實際 上的角度為θ 、1 θ ，與入射時的角度具下列之關係： 2 0( ) 1 0 1 0( ) 2 0 2 sin sin sin sin air i air i n n n n θ θ θ θ = = (2.1) 因材料非為磁性物質，µ ≅ ，所以r 1 n0 = εr0 為材料未經調制時的折射率，即平均折射 率。 2 i θ 1 i θ 2 θ 1θ
1/ 22
θ
1 i θ 1 θ Κ φ ρ σ xz
Λ令β為記錄光的波數( 0 0 2nπ β λ = )，則穿透介質的兩道平面波，電場可以寫為 1 1 2 2 ( cos sin ) 1 01 ( cos sin ) 2 02 j x z j x z E E e E E e β θ θ β θ θ − − − + = = (2.2) 又介電常數的週期性調制與其光場強度變化成正比，可寫為 2 r E ε ∆ ∝ (2.3) 因此 2 2 2 2
1 2 1 2 2 01 02cos[ (cos 1 cos 2) (sin 1 sin 2)]
E = E +E = E + E + E E xβ θ − θ −zβ θ + θ
(2.4)
上式 E12+ E2 2為背景光，2E E01 02cos[xβ(cosθ1−cosθ2)−zβ(sinθ1+sinθ2)]為干涉條紋的
強度變化，我們可以定義一參數
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1/ 2
ˆ (cos cos ) ˆ (sin sin )
ˆ ˆ
2 sin sin 2 sin cos
2 2 2 2
ˆ ˆ
2 sin ( cos sin )
x z x z x z β θ θ β θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ β β β θ φ φ Κ = − − + + + − + − = + = + (2.5) Κ 為光柵向量(grating vector)，表示一垂直於「介質內之介電常數值相等處所形成之 各平行的平面」的向量。可發現2π =2 sinβ θ1/ 2 Λ 及 1 2 90 2 θ θ φ = − − ，其中Λ為於入射平 面上觀看的條紋間距，φ為條紋之傾斜角，θ 為記錄參考光與物體光兩光所夾角度之1/ 2 半( 1 2 1/ 2 2 θ θ θ = + )。 由這個算法歸納出，當記錄光的入射條件給定時，可算得所記錄下之光柵的兩項參 數資訊： 0 1/ 2 1 2 0 1 2 sin 2 sin 2 90 2 n λ π β θ θ θ θ θ φ Λ = = + − = − (2.6) 其中的θ 、1 θ 為記錄光打在介質內部的角度，此角度是將外部的入射角經由 Snell 定律2 換算一次。
感光後，若為像位光柵記錄材料，則介質中介電常數ε 為具空間週期性分布： r 0 1cos( ) r r r r ε =ε +ε Κ ⋅ (2.7) 其中 r為空間座標 ˆ ˆ( , )x z ，ε 為介質之平均介電常數，r0 ε 為介電常數的調制振幅，且r1 1 0 r r ε <<ε ，則記錄物質材料之折射率變化，如下： 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 2 cos( ) 2 cos( ) r r r r r r r r r r r r r n r r r r n n r ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = = + Κ ⋅ = + Κ ⋅ ≈ + Κ ⋅ = + Κ ⋅ = + Κ ⋅ (2.8) 其中，n0 = εr0 為材料內部之平均折射率， 1 1 0 2 r r n ε ε = 為介質折射率之調制振幅。於是 可推知此光柵之折射率 n，亦有空間週期調制的情形。 同理，介質之吸收係數α 亦可以具空間週期性。將介質材料之吸收係數α以電導率 之週期調制σ σ= 0+σ1cos(Κ ⋅ r)展開： 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 cos( ) 2 cos( ) 2 2 cos( ) r r r r c c r c c r r µ σ α ε µ σ σ ε µ σ µ σ ε ε α α ≡ = + Κ ⋅ = + Κ ⋅ = + Κ ⋅ (2.9) 其中 0 0 0 0 2 r c µ σ α ε = 、 0 1 1 0 2 r c µ σ α ε = ，各為材料吸收係數的平均及調制值。 2.1.2 耦合波理論 耦合波理論分析描述的是，既定入射條件的參考光電磁波入射至體積全像光柵，其
布拉格繞射之特性，以及布拉格角度與波長的選擇性(Bragg selectivity)。 由 Maxwell 方程式導出，介質(非導電體)內的波動方程式為
2 2
(∇ +k )E= 0 (2.10)
E 為電場函數，也就是此波動方程式的解。將 Kogelnik 的耦合常數(coupling coefficient/ coupling constant)可以寫成：
0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 ( ) 4 2 2 2 2 r r r r r r c j c j n j µ σ πε κ λ ε ε µ σ ε π λ ε ε π α λ ≡ − = − = − (2.11) 利用(2.7)、(2.9)、及上式，並由電磁學理論推導，得(2.10)式中 2 2 0 2 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos( ) cos( ) 2 2 2 2 cos( ) cos( ) 2 2 2 2 2 r r r r r r r r r r k j c k r jk c r r j c j c r c c j j ω ε ωµ σ ε ε µ σ σ π ε π ε π µ σ π µ σ λ λ λ λ π ε µ σ π ε π ε µ σ β λ ε λ λ ε = − = + Κ ⋅ − + Κ ⋅ = + Κ ⋅ − − Κ ⋅ = − + −
(
)
1 0 2 0 cos( ) 2 2 r i r i r r j e e ε β βα κβ Κ⋅ − Κ⋅ Κ ⋅ = − + + (2.12) 即得到其波數為包含耦合常數的波動方程式，光波於不同位置而有不同相位。 設介質中的波動方程，其解為參考光與訊號光兩波的疊加，令為 ( ) j r ( ) j r E=R x e− ρ⋅ +S x e−σ⋅ (2.13) 其中ρ為讀取參考光波向量，σ為訊號光波向量，具相同大小 ρ 2n0π σ λ ≡ = 。且 R(x)、 S(x)各自為參考光及訊號光之電場振幅，僅因 x 方向上的位置不同而變化。因所用之座 標是令介質的厚度平行 x 軸，而將介質的長寬視為一個無限大平面，如此一來振幅的衰 減或變化，只歸因於 x 軸向上能量的吸收或交換之影響，將電場振幅為 y、z 之函數的可能去除了。 欲從電磁波動方程式得我們耦合波方程，首先將(2.12)、(2.13)代回(2.10)，則可 將波動方程式化簡得
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 j r j r x x j r j r j r j r d R dR j j R e dx dx d S dS j j S e dx dx R e e S e e ρ σ ρ ρ σ σ ρ β ρ α β σ β σ α β κβ κβ − ⋅ − ⋅ − −Κ ⋅ − +Κ ⋅ − −Κ ⋅ − +Κ ⋅ − + − − + − + − − + + + + = (2.14) 其中ρ 、x σ 為 ρx 與σ在 x 方向之分量。令ρ σ β= = ，又與光波振動ρ 、x σ 比起來，x 參考光、訊號光兩波之間的振幅隨位置變化非常緩慢，因而式中的二階微分項可忽略不 計： 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 j r j r x x j r j r j r j r dR x dS x j j R x e j j S x e dx dx R x e R x e S x e S x e ρ σ ρ ρ σ σ ρ α β σ α β κβ κβ κβ κβ − ⋅ − ⋅ − −Κ ⋅ − +Κ ⋅ − −Κ ⋅ − +Κ ⋅ − − + − − + + + + = (2.15) 將上式依次同乘以 j r e ρ⋅ 、 j r e σ ⋅ 後對 z 積分，得到： 0 [( ) ( ) ] 0 ( ) ( ) [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) x x z z x z x z x x x z z z x x x z z z x j x z x j x z j x z j x z j x z dR x j j R x dz dx dS x j j S x e dz dx R x e R x e S x e S x e ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ α β σ α β κβ κβ κβ κβ − + − Κ +Κ − Κ +Κ − −Κ + − −Κ − +Κ + − +Κ − − + − − + + + + ∫
∫
0 dz =∫
(2.16.1) 與 [( ) ( ) ] 0 0 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) x x z z x x x z z z x x x z z z x z x z j x z x x j x z j x z j x z j x z dR x j j R x e dz dx dS x j j S x dz dx R x e R x e S x e S x e ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ α β σ α β κβ κβ κβ κβ − − + − − − −Κ + − −Κ − − +Κ + − +Κ Κ +Κ − Κ +Κ − − + − − + + + + ∫
∫
0 dz =∫
(2.16.2)檢查上兩式，我們可以看到除非入射光波及繞射光波之波向量與光柵向量Κ間的關係式 須符合∆ ≡β ρ σz − z + Κ = ，否則波動方程式中的 R(x)與 S(x)將不會有非零解而得不z 0 到耦合波方程式，故： z z z σ =ρ + Κ (2.17) 這個關係一般稱其為布拉格條件(Bragg condition)。進一步將此條件代入，則(2.16) 式化簡為 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 0 x x x x x x j x x j x x dR x j j R x S x e dz dx dR x z j j R x S x e dx ρ σ ρ σ ρ α β κβ ρ α β κβ − +Κ − +Κ − − + = − − + =
∫
(2.18.1) 與 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 0 x x x x x x j x x j x x dS x j j S x R x e dz dx dS x z j j S x R x e dx ρ σ ρ σ σ α β κβ σ α β κβ − − +Κ − − +Κ − − + = − − + =∫
(2.18.2) 上式要對所有的 z 都成立，所以 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 0 x x x x x x j x x j x x dR x j j R x S x e dx dS x j j S x R x e dx ρ σ ρ σ ρ α β κβ σ α β κβ − +Κ − − +Κ − − + = − − + = (2.19) 換言之，訊號光與讀取光之光強度的變化關係會滿足一組耦合波方程式，如下： ( ) 0 ( ) 0 x x x x x x j x x j x x dR R j Se dx dS S j Re dx ρ σ ρ σ ρ α κ β σ α κ β − +Κ − − +Κ + = − + = − (2.20) 若將方程組中角度參數定義如下： 1 2 cos cos x R x S c c ρ θ β σ θ β ≡ ≈ ≡ ≈ (2.21)R c 、c 為記錄光的角度因子，或稱傾斜度。(2.20)式可化簡為 S ( ) 0 ( ) 0 j x R j x S dR c R j Se dx dS c S j Re dx α α α κ α κ ∆ − ∆ + = − + = − (2.22)
其中∆ ≡α ρ σx− x+ Κ 稱為相位失配量(phase mismatching value)，要從耦合波方程組x 中解出 R(x)與 S(x)，首先將上式移項 ( ) 0 j x R c dR j j R e S dx α α κ κ − ∆ + = (2.23.1) ( ) 0 j x S c dS j j S e R dx α α κ κ ∆ + = (2.23.2) 並且微分
(
)
(
)
2 ( ) 0 0 2 2 ( ) 0 0 2 1 1 j x S S j x R R dR d S dS jc j c S e dx dx dx dS d R dR jc c j R e dx dx dx α α α α α α κ α α α α κ − ∆ − ∆ = + − ∆ − ∆ = + ∆ + + ∆ (2.24) 代回(2.22)得(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 R S R S R S R R S R S R S S d S dS c c c c jc c j c S dx dx d R dR c c c c jc c j c R dx dx α α α α κ α α α α α α κ α α + + + ∆ + + + ∆ = + + − ∆ + + − ∆ = (2.25) 即將一階微分方程轉變為二階方程組，並去除了相位係數。微分方程式的通解如下：[
1 2]
2 2 0 0 0 0 ( ) sin( ) cos( ) 1 1 ; 4 2 2 sx s s s R S R S R S S x e A x A x s j j c c c c c c γ γ α α α γ κ α α α = + = − + + ∆ = − − + ∆ (2.26) 已知穿透式光波的邊界條件為 (0) 0S = ，故A2 = ： 0 1 ( ) sxsin( s ) S x = A e γ x (2.27) 代入(2.23.2)得(
)
1 0 0 0 ( ) sin( ) cos( ) 1 2 rx S s S s s R S j R x A c s x c x e r j c c α γ γ γ κ α α α = + + = − + − ∆ (2.28) 因此，我們可將繞射光 S(x=d)處之強度與入射光 R(x=0)處強度之相對關係定義為光柵 之繞射效率： 2 2 2 1 2 2 1 sin( ) ( ) 1 sin( ) (0) sd sd S s S s R S s R R s S c A e d c S d e d c c c R j c A c γ κ γ η γ γ κ ≡ = = (2.29) 此時 2 2 0 0 0 0 1 1 ; 4 2 R S s 2 R S R S s j j c c c c c c α α α γ κ α α α = − + + ∆ = − − + ∆ (2.29.1) 1. 色散角發散關係 若我們要將此體積光柵應用於光譜儀，必須知道其色散關係，已知讀取光入射角 1 i θ θ= ，可以(2.17)與Κ =2π ( cosxˆ φ+zˆsin )φ Λ ，導出 0 1 2 sin sin 2 2 sin sin z z z i n σ ρ π ρ θ φ π θ π φ λ = + Κ = − + Λ = − + Λ (2.31) 而比較 0 0 0 2 2 ˆ ˆ ( ) n cos d x n sin d z λ λ π π σ λ θ θ λ λ ≈ = + (2.32) 由此可知當多色光通過光柵後，其繞射光的偏折角θ 與讀取波長有關，其關係如下： d 0 0 1 1 1 0 2 2 2sin sin sin
( ) sin sin sin
d d n n n π θ π θ π φ λ λ λ θ λ − φ θ + = Λ ⇒ = − Λ (2.33) 故複合光束中因各波長稍有差異，而發散至不同角度如圖：
圖 2.3 單一張體積光柵之色散分光示意圖 大小稍微不同的波長，可經由同一張光柵繞射到不同的位置，這為單一張體積光柵的分 光原理。 另外，由於記錄光的波向量條件會符合k0 =kR+ Κ ，其中kR 為記錄參考光波向量， 0 k 為記錄物光波向量，對各張光柵的記錄皆成立。因而在以下的計算皆可套用 0 1 2 0
cos cos cos
n λ θ θ φ − + = Λ 且 0 1 2 0
sin sin sin
n λ θ + θ = φ Λ 兩個等式來代入。 除了上式，又因布拉格條件σz =ρz+ Κ 的守恆，故z 0 0
sin i sin d sin
n λ θ + θ = φ Λ ，其中θi 為讀取光於介質內側的入射角，θ 為介質內側的繞射光角度。 d 2a. 相位匹配情況 發生於∆ =α 0的情況，故ρ σx− x+ Κ = ，此時x 0 θ θi = 且1 θd = θ2 0 1 2 0 0 1 2 0
cos cos cos
sin sin sin
n n λ θ θ φ λ θ θ φ − + = Λ + = Λ (2.34) 1 θ 、θ 為記錄條件，需滿足上式。 2 設光柵沒有吸收變化，為一單純之相位光柵，則繞射效率變成： 2 sin R S d c c κ η= (2.35) 呈正弦變化如圖 i θ Κ ( ) d θ λ ρ ( ) σ λ
0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 kd di ff rac ti on ef fi c ienc y 圖 2.4 體積光柵的繞射能力與材料之物理性質及幾何形狀關係 2b. 相位失配情況 0 α ∆ ≠ ，發生於入射角或讀取波長稍微偏離布拉格角θ 或布拉格波長1 λ 的記錄條0 件。在波長未偏離的例子中，θ θi = − ∆ ，已知 1 θ 0 1 2 0 0 0
cos cos cos
sin i sin d sin
n n λ θ θ φ λ θ θ φ − + = Λ + = Λ (2.36) 為了滿足上式，則θd =θ2+ ∆ ，故失配量為 θ
[
]
(
)
(
)
(
)
0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 0 2 2 2cos( ) cos( ) cos
2 2
cos( ) cos( ) cos
2 2 2
cos cos cos sin sin
2 sin sin 2 sin x x x n n n n n n α ρ σ π θ θ π θ θ π φ λ λ π θ θ θ θ π φ λ π θ θ π φ π θ θ θ λ λ π θ θ θ λ π φ θ ∆ = − + Κ = − ∆ − + ∆ + Λ = − ∆ − + ∆ + Λ = − + + + ∆ Λ = + ∆ = ∆ Λ (2.37) 如下圖，為角度變化造成相位失配的情形。
圖 2.5 繞射光的相位失配與角度偏移關係 在滿足布拉格角，角度未偏離的例子中，θ θi = 且1 λ λ= 0+ ∆ ，故 λ 0 1 2 0 0 1 0 0
sin sin sin
sin sin d sin
n n n λ θ θ φ λ λ θ θ φ + = Λ ∆ + = + Λ Λ (2.38) 在滿足上式的條件下，算得
(
)
0 1 2 2 0 0 2 0 2 2 0 2sin sin cos sin sin
cos sin sin cos d n n n n λ λ θ θ θ θ φ φ λ θ θ φ φ θ θ θ θ λ θ ∆ ⇒ + + ∆ = + Λ Λ ∆ ⇒ ∆ = Λ = + ∆ = + ∆ Λ (2.39) 則失配量 β σ ρ Κ β σ ρ Κ α ∆ θ ∆
(
)
[
]
(
)
(
)
0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 2 1 2 2 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 0 2 2 2cos cos( ) cos
2
2 cos cos( ) cos
1 2
2 cos cos sin cos
2 2
1 cos cos sin cos
2 cos cos x x x n n n n n n α ρ σ π θ π θ θ π φ λ λ λ λ π π λ λ θ θ θ φ λ π π θ θ θ θ φ λ λ π λ θ θ θ θ π φ λ λ π θ θ λ − ∆ = − + Κ = − + ∆ + + ∆ + ∆ Λ = + ∆ − + ∆ + Λ ∆ = − − + ∆ + Λ ∆ = − − + ∆ + Λ = − 2
(
1 2)
2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 1 2 2 0 2cos cos sin cos
2 sin cos sin cos 1 2 2 sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2 n n n n λ θ θ θ θ π φ λ π λ λ φ θ φ λ λ λ θ π φ θ π φ λ λ λ θ θ φ π φ θ θ θ −∆ − + ∆ + Λ ∆ ∆ = + Λ Λ = + ∆ Λ Λ = + + Λ
(
2 2)
2 1 2 0 2 1 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2cos cos sin sin
cos sin 2 cos 90 2 cos sin 2 cos n n n λ π φ θ θ φ λ θ θ θ θ θ π θ λ θ θ θ π λ θ ∆ = + ∆ + Λ − = − − ∆ + Λ = ∆ Λ (2.40) 我們也可以從布拉格繞射常用的波向量關係圖，來說明相位失配的意義如下圖所示。 圖 2.6 繞射光的相位失配與波長偏移關係 σ ρ α ∆ Κ β σ ρ Κ λ ∆
由(2.37)、(2.40)式，相位失配量為一與偏離量有關之參數，整理如下： 0 1 2 0 2 2 sin ; ; cos i n π φ θ λ λ α π λ θ θ θ ∆ = Λ ∆ = ∆ = Λ (2.41) 如圖所示，我們可以看到當入射讀取光波長變大時，為滿足布拉格條件繞射光之角度產 生變化，引起ρ與σ產生一失配量∆α。 2.1.3 無吸收相位光柵 設光柵沒有吸收變化，為一單純之相位光柵，介質的吸收係數及調制量α0 =α1= ，0 而耦合常數 1 0 n π κ λ = 。繞射效率變為： 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 2 ( , ) 4 R S R S R S d c c c c c c κ κ α η λ θ κ α + ∆ ∆ = + ∆ (2.42) 其中
(
0)
2 0 2 2 sin cos n π φ π α θ λ λ θ ∆ = ∆ = − Λ Λ (2.43) 0 λ 為記錄光之波長，可視為對應特定光柵的中心波長。若為 532nm，且設定θ θ1= 2 =30 ， 我們可計算不同厚度下光柵繞射效率隨之變化情形，如下圖，除了符合布拉格條件波長 的光波通過光柵，還有稍微偏離原記錄波長的光能以較低的強度繞射出來。0.524 0.526 0.528 0.53 0.532 0.534 0.536 0.538 0.54 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 wavelength (um) nor m al iz ed di ff rac ti on ef fi c ienc y d=80um;DEmax=0.4783 d=160um;DEmax=0.9981 d=200um;DEmax=0.8897 圖 2.7 相位光柵的 DE 是波長選擇性的函數 對不同厚度參數的光柵而言，繞射效率之最大值不同，且亦造成波長(或角度)選擇 性的不同。體積光柵繞射效率的特性為波長的sinc2 0 0, 1 0 α ≠ α = 函數，愈厚的材料函數寬度愈小，可 將此函數主峰(main lobe)的半高寬視為光柵色散的頻寬。故得厚度愈大，光柵可用分 光之頻率範圍愈小，此為體積全像光柵不利分光之因素之一。 2.1.4 含吸收率之相位光柵 若考慮介質吸收對相位光柵繞射特性的影響，則在此將 代入，而耦合 常數仍為 1 0 n π κ λ = 。則繞射效率為
0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 2 2 1 sin( ) 1 sin 4 2 1 4 2 1 sin 4 1 2 1 R S R R S sd s R S s d R S R S c c R S R S R S R d c R S R S c c R S e d c c d j c c c c e c c j c c c c d c d jd c c c c d e c c α α α κ γ η γ α α κ α κ α α κ α α κ α κ − + − + = − − + ∆ = − − + ∆ − − + ∆ = ( )
(
)
(
)
( )(
)
(
)
0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 4 1 2 1 sin 4 1 2 1 4 1 2 2 sin 4 2 R R S R S R S D C R S R S S R R S R S R S R S D C R S d c d jd c c c c d D C jd c c d e c c d D C jd c c d c c j c c c c c c c c d e c c α κ α κ α κ κ α α α κ α α κ − + − + − − + ∆ − − + ∆ = − − + ∆ − − − ∆ + − ∆ =(
)
(
)
2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 4 2 R S R S S R R S R S d c c j c c c c c c c c α α κ α α − − − ∆ + − ∆ (2.44) 在此定義 0 0 R d D c α ≡ 為吸收因子，與材料之吸收係數有關； R S c C c ≡ 為角度因子。發現當 R S c = (對稱記錄)或c ∆ =α 0(相位匹配)時，sinc 函數之變數沒有虛部項。而在非特例 的情況中，對任何吸收率不可忽略的介質而言，繞射效率η 亦為相位失配量 α∆ 的函數， 用同樣之參數，我們計算繞射效率隨∆α變化在不同吸收係數α 下之情形，如下圖所示。 0-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 dephasing nor m al iz ed di ff rac ti on ef fi c ienc y D=1.6 (考 慮 吸 收 率); DEmax=0.0107 D=0 (無 考 慮 吸 收 ); DEmax=1 圖 2.8 介質吸收率對「無吸收調變之純相位光柵」DE 的影響 從圖中，我們可以看到高吸收(D0 =1.6)性質對光柵的最大繞射效率有顯著的影 響，使其明顯降低，但卻對角度、波長選擇性頻寬的影響程度輕微，幾乎沒有變化。另 外，我們亦可相位匹配(∆ =α 0)的最簡形式，討論吸收大小對光柵整體繞射效率造成的 改變情形。此時繞射公式為 ( )
(
)
(
)
0 2 2 2 2 0 2 2 1 max 0 2 2 2 0 2 2 sin 1 4 ( , ) 1 4 S R R S R S R S D C S R R S R S d c c c c c c c c D C e c c c c c c α κ κ η α κ − + − − = − − (2.45) 如下圖： 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 slant factor C m ax im um di ff rac ti on ef fi c ienc y ( D E m ax ) D=0 D=0.2 D=1 D=1.6 圖 2.9 吸收性質對相位光柵最大繞射效率的影響 考慮穿透式光柵，設定 C 值大於 0。很符合常理地，吸收數值愈大，則繞射效率愈降低。2.2 反射式體積全像光柵
2.2.1 體積全像光柵之記錄機制與耦合波分析 假設介質的 x、y 方向均勻分布，則振幅不隨 x、y 方向變化，只為 z 的函數。令 x x x ρ =σ =β ，此時電場函數可寫為 ( ) ( ) x z z j x j z j z E=e− β R z e− ρ +S z e−σ (2.46) 上式代入波動方程式(2.10)，要使方程式有非零解，以如同(2.14)至(2.19)式的近似與 推導方法歸論邊界條件σx =ρx+ Κ 為必要條件，可得到屬於反射式的耦合波方程組 x ( ) 0 ( ) 0 z z z z z z j z z j z z dR R j Se dz dS S j Re dz ρ σ ρ σ ρ α κ β σ α κ β − +Κ − − +Κ + = − + = − (2.47) 差別的是，此時 z z z β ρ σ ∆ = − + Κ (2.48) 為方程式的相位條件。 下圖為反射式光柵的記錄模型： 圖 2.10 反射式光柵的記錄 此時θ 、1 θ 為介質內部光束與 x 軸向條紋的夾角，與入射角的定義無關。 2 2.2.2 無吸收率變化之純相位光柵 2 i θ 1 i θ ρ θi1 σ x z Λ 2 i θ 2 θ 1 θ 1 θ 2 θ由(2.47) ( ) 1 0 ( ) 2 0 sin sin j z j z dR R j Se dz dS S j Re dz β β θ α κ θ α κ ∆ − ∆ + = − + = − (2.49) 將上式移項 ( ) 0 1 ( ) 0 2 sin sin j z j z dR j j R e S dz dS j j S e R dz β β α θ κ κ α θ κ κ − ∆ ∆ + = + = (2.50) 並微分
(
)
(
)
2 ( ) 2 2 0 2 0 2 ( ) 1 2 1 0 0 1 sin sin 1 sin sin j x j x dR d S dS j j S e dz dz dz dS d R dR j j R e dz dz dz β β θ α θ β α β κ θ θ β α α β κ − ∆ − ∆ = + − ∆ − ∆ = + ∆ + + ∆ (2.51) 代回(2.49)，可得(
)
(
)
2 2 2 1 2 2 0 1 0 2 1 2 0 0 1sin sin d S sin sin jsin sin dS j sin S 0
dz dz θ θ + α θ α+ θ + θ θ β∆ + α +κ + α θ β∆ = (2.52.1)
(
)
(
)
2 2 2 1 2 2 0 1 0 2 1 2 0 0 2sin sin d R sin sin jsin sin dR j sin R 0
dz dz θ θ + α θ α+ θ − θ θ β∆ + α +κ − α θ β∆ = (2.52.2) 先將(2.52.1)微分方程式求得通解如下
(
1 2)
2 2 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 1 ;2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin
sz sz sz s S z e A e A e s j j γ γ α α β γ α α β κ θ θ θ θ θ θ − = + ∆ = − + + ∆ = − + − (2.53) 由反射式的另一邊界條件 ( ) 0S d = ，故A e1 γsd +A e2 −γsd =0，令
1 2 ' ' s s d d A A e A A e γ γ − = = − (2.54) ' A 為一常數。代回(2.53)式，得到
(
)
[
]
( ) ( ) ( ) ' sinh ( ) s z d s z d sz sz s S z A e e e Ae z d γ γ γ − − − = − = − (2.55) A 為另一常數，由上式代入(2.50)亦得到(
)
[
]
[
]
{
2 0 2}
0 0 1 2( ) sin sinh ( ) sin cosh ( )
1 2 sin sin rz s s s j R z A s z d z d e r j θ α γ γ θ γ κ α α β θ θ = + − + − = − + − ∆ (2.56) 經介質作用行進 d 的距離，入射光轉換為繞射光，反射式的繞射效率定義為： 2 2 (0) (0) S R c S c R η ≡ (2.57) 已知 0 2 sin 2 s α j β θ ∆ = − − ，故這個例子下，其繞射效率
(
)
2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sinh( ) (0)(0) sin cosh( ) sin sinh( )
sinh( )
sin cosh( ) sin sinh( )
2 sinh ( ) sin cosh ( ) sinh ( ) 2 s s s s s s s s s s s s d S R d s d d d j d d d d κ γ η γ θ γ θ α γ κ γ β γ θ γ θ γ κ γ θ β γ γ γ = = − + = ∆ + = ∆ + (2.58) 其中 2 2 2 sin 2 s κ β γ θ ∆ ≡ − (2.58.1) 故(2.58)式可再化簡為
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sinh ( ) sin
cosh ( ) cosh ( ) sinh ( )
sin 2 2 sinh ( ) cosh ( ) 2 sin s s s s s s d d d d d d κ γ θ η κ γ β γ β γ θ γ β κ γ θ = ∆ ∆ − + = ∆ − (2.59) 若此時 2 sin d κ θ 值固定，則繞射效率隨∆ 變化。以β ∆βd為横軸，可作下圖： -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 dephasing nor m al iz ed D E kd=0.5 kd=1.5 圖 2.11 反射式光柵的繞射效率 發現反射式光柵具有類似穿透式的繞射特性。 若∆ = ，則 β 0 2 2 tanh sin d κ η θ = (2.60) 為相位匹配時之繞射效率，即最大繞射效率。下圖為最大繞射效率隨 2 sin d κ θ 變化之曲線。
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 kd DE m a x 圖 2.12 反射式光柵的繞射能力與材料參數之關係 2.2.3 反射式體積全像之色散關係 由於反射式光柵除了邊界條件不同外，其餘則完全跟從穿透式光柵的推導邏輯，故 在此將條件式或角度關係快速帶算過，便不作多餘解釋。公式意義皆可參照上節。 因為已知記錄時的條件，由幾何關係，反射式光柵可寫出以下的公式： 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
sin sin sin
n n n n π θ π θ π φ λ λ π θ π θ π φ λ λ − = − Λ + = Λ (2.61) 即 0 1 2 0 0 1 2 0
cos cos cos
sin sin sin
n n λ θ θ φ λ θ θ φ − = − Λ + = Λ (2.62) 如下圖： 圖 2.13 反射式光柵記錄條件 re ρ re σ Κ φ β
