體積光柵元件色散能力分析

第二章、體積全像光柵繞射特性與分光原理

2.4 體積光柵元件色散能力分析

分析過程中均假設入射光波與繞射光波為平面波，且光柵的橫剖面無窮大，因此無法有效得到繞射光波光場在系統中 CCD 輸出平面上分布的型式，自然無法進一步得到光柵解析度之參數，來說明其分光能力。

進一步檢查圖 1.5 所示，我們所使用的穿透式光柵光譜儀光學系統，實際上是一個記錄與讀取平面光波的體積全像系統。記錄用的兩道平面光波是利用將兩點波源分別放置在參考平面 (y_R,z_R)及輸入信號平面(y z₀, ₀)來產生，偵測系統與信號光波對稱。依據波恩近似法則與近軸光學，重建時之繞射光場分布為

( ) '

^j ^r _r

E r

^ ≈ ∫

dr e^{− Κ⋅}^{ }

∆

ε ^(2.71)

其中

Κ = − 

σ ρ

 

為光柵向量，並根據全像理論，儲存 2M+1 張光柵於介質後，材料中的折射率會被調制，可寫成

* . .

r m m

m M

R S c c

ε

=−

∆ =

∑

+ ^(2.72)

上式中，R 為在參考光平面上的「第 m 次」記錄所對應之點光源，經過透鏡 L1 之後等_m

效成第 m 個入射角度的平面光波，分別對應為不同記錄角度的參考光波入射。S 為物_m 體光波，經透鏡作一次傅氏轉換後於記錄平面上的分布。這樣的系統適合用來分析影像的儲存。

而本論文所使用記錄光柵的系統可參照圖 1.6，本論文的光柵設計，是將折射定律考慮進去，光束於介質外部入射角與內部角度不同。雖然實際上兩光干涉所形成光柵之幾何結構，是與兩記錄光介質內部之夾角有關，但對元件外部的整個系統而言，所要討論的皆為外部角度，我們在此所討論的角度為外角。本論文光學系統的物體光為平面光波，記錄時於介質內與另一平面波(參考光波)干涉。由於本論文的讀取系統為圖 1.5，

記錄系統為圖 1.6，將記錄、讀取分開來看，如圖 2.17 所示，先將圖 1.6 之記錄光平面波等效成點光源加一透鏡。θ 為透鏡 L1 之光軸與光柵元件對稱軸的夾角、_1m θ 為透鏡 L_2m 之光軸與光柵元件對稱軸的夾角，用於第 m 次記錄。而將圖 1.5 穿透式光譜儀系統表為圖 2.17 之讀取系統，θ 為固定的讀取光入射角、以任意波長 λ 讀取，並假設聚焦透鏡_i

出使用近軸近似。令θ 為初始的參考光記錄角、₁ θ 為初始的物體光記錄角，在此已經把₂

0 0 0 0

dxe dye dze

x d

rect rect

sinc 2

cos cos sin

2 cos cos sin

( , ) sinc 2

cos cos sin

2 cos cos sin

2 cos sin sin cos sin sin

2 2

如圖 2.18 說明：

y_d(0.01 um) zd(0.01 um)

d=38um

200 400 600 800 1000

100

200 400 600 800 1000

100

200 400 600 800 1000

100

cos cos

( ) cos sin

cos sin

sin sin cos

2 0 min

0 2

sin cos ( ) sin

cos cos

f R n

N n

λ φ λ θ

φ λ

θ θ

 Λ∆

≡ ∆ = 



(2.82)

但解析度的計算通常是哪一個？經由實際的數值代入（3.1.2 節），會發現對成像系統之解析度而言，其(∆λ)_min大於對光學解析度而言的(∆λ)_min，故解析度多以 ²

sin cos _d R f

λ φ

= θ

∆ Λ 公式計算。

三、體積全像光柵色散光學元件之設計

關於體積全像光柵作為分光元件，本論文提供三種不同設計法則，其記錄原理皆將描述於下，並包含繞射結果的模擬。若用感光材料(HRF-150x001)作記錄，依此感光底片的規格，皆以光柵材料厚度 d=38um，平均折射率n₀ =1.5，調制折射率n₁

= 1.4 10 ×

⁻³，光柵橫向大小 D=2cm，且以綠光(波長 0.532um)記錄等等作計算。市售的 CCD 規格，若長寬大小 8mm x 6mm，通常為 5 百萬像素，故一個畫素之大小以

∆ = 3um

計算。除了分光元件的參數，系統皆以等效焦距 f₁ = f₂ =10cm，CCD 畫素間距 3um 作計算。

3.1 設計原理（一）--擬似波長多工

這個設計最根本的想法是為了可以將θ 入射的不同波長_i λ 色散到不同角度 ( )_i θ λ ，_d _i 所利用的方法是逐次改變記錄角度，以達到每一張光柵的布拉格波長之讀取限制，實行類似「波長多工」組合光柵的概念。

在進行詳細的分析前，我們先說明記錄的原理與讀取的過程。在全像記錄介質內，

參考光入射角θ 且物體光入射角₁ θ 以₂ λ 在介質記錄後，此時這張光柵若讀取光以₀ θ 入₁ 射，其布拉格繞射的中心波長為λ 。由於此光柵元件設計之目的必須適合使各色光自相₀ 同方向入射來讀取，假設讀取光的入射角度θ ，令_i θ θ_i = ，若以不同於₁ λ 的波長來讀取，₀ 則其繞射效率皆比λ 波長之繞射效率來得低。令任何波長的讀取光於₀ θ 入射，₁ λ 為讀取₁

Κ1

的中心波長，若以對第一張光柵Κ1

繞射之繞射效率第一零點所對應到的波長

1 12

λ + ∆ 作為讀取第二張光柵λ Κ2

的布拉格繞射中心波長λ ，經由改變原先記錄光入射角₂ 等條件記錄下第二張光柵Κ2

，則對Κ2

繞射的中心波長：λ₂ ≡ + ∆ ，第 m 張光柵的λ₁ λ₁₂ 中心波長以此類推。配合λ 波長以₂ θ 入射₁ Κ2

所對應到的布拉格條件，就會發生圖 3.1 的繞射結果示意圖。這是於 k-space 下作圖的色散情形說明，簡言之，於θ θ_i = 入射的₁

λ 、1 λ 各自與光柵₂ Κ1

、Κ2

有布拉格條件的匹配，並且λ 、₁ λ 附近的波長也有接近鋒值₂

的繞射效率，於不同的繞射角度發散出，這為組合光柵的色散原理。

圖 3.1 組合光柵的色散向量

圖 3.2 擬似彩色體積全像記錄波向量圖

因為各不同的波長難以取得，我們不以各種波長記錄多張光柵來擴張頻譜範圍，而是利用「擬似彩色全像」的概念(pseudo-color hologram)，以單一波長變化不同的記錄角度，記下對應不同色散中心的各張光柵。記錄的原則如圖 3.2，我們只以單一波長λ₀ 來記錄，對Κ1

這張光柵而言，其中心波長λ λ₁= 。若以波長₀ λ₂ =λ₀+ ∆ 於λ θ 入射來讀₁ 取，則在介質的 x 軸向會產生一相位失配量

∆

α，故在對應於波長λ₀+ ∆ 的 k-space 圓λ

θ

Κ2

Κ1 1, 2, 3,...

λ λ λ

∆ ρ

σ^

Κ1



Κ3

Κ2

∆

λ

θ1

上我們畫出一張光柵Κ2

1 2 1 2

cos sin

2 2

sin sin

2 2

' ' sin sin

2 2

光柵，此光柵皆為其 k-space 圓上的弦( AB 、 CD )，角平分線PQ



sin sin

2 2

其中，θ 為_dm λ 於_m θ 角度入射₁ Κm

cos cos cos

1 1

cos cos 2 cos

2 cos

cos cos

R S

cos cos

dm d m m m

3.1.1 分光元件記錄方法

上面已經說明若我們欲在同一介質內記下共 M 張光柵，則參考光角度需改變 M 次，

物體光角度亦是。假設於介質外部，記下第 m 張光柵的記錄參考光入射角度為θ 、與_1m 第 m 張記錄物體光的入射角度θ ，可依(3.8)、(3.12)式作出下表數據。說明如下： _2m

步驟一

我們以λ =₀ 0.532um記錄、布拉格角外角θ₁

= 15

^。設定 for 迴圈的起始值：初始的記錄

參考光入射角設定為 15 度(θ₁₁= )、初始物體光入射角設定為 15 度(θ₁ θ₂₁

=

θ₂

= 15

^)，

且初始繞射光為初始物體光的重建，繞射角設定為θ_d₁=θ₂₁。初始波長改變量

∆ =

0

，將中心波長λ_m

=

λ₍_m₋₁₎

+ ∆

λ也寫入同一個迴圈。以上設定則為表 3.1 的第五行。

步驟二

將第五行資料代入(3.12)式，則可運算θ_d₂ =θ_d₁+ Λ2 ₁sinφ₁ 1/d²−n₁²/(λ₀²cosθ₁cosθ_d₁) 與中心波長λ₂ = + ∆ 的數值。將輸出的數值代入(3.8)式，則可得另一組記錄參考光λ₁ λ₁₂ 與物體光的角度數值，即 for 迴圈程式輸出的第二個參考光入射角數值θ 與第二個物₁₂ 體光入射角數值θ 等等，為第二筆資料，作為表 3.1 的第六行。 ₂₂

步驟三

將第六行資料再輸入(3.12)式，求得

θ

_d₃ =

θ

_d₂+ Λ2 ₂sin

φ

₂ 1/d²−n₁²/(

λ

₀²cos

θ

₁cos

θ

_d₂)與

3 2 23

λ =λ + ∆λ 的數值。將數值代回(3.8)式，則可得 for 迴圈輸出的第三筆資料，為表 3.1 的第七行，依此類推。

須注意的是，所得數據皆經過內角、外角的換算，將用於分析光柵元件的介質內部角度，

表 3.1 參數模擬

m_th 記錄參考光入射角(DEG) 記錄物體光入射角(DEG) 條紋傾斜角(DEG) 條紋間距(um)

第一張 24.6171 5.7222 83.8441 1.0246

第二張 22.1739 8.0093 85.3785 1.0262

第三張 19.7568 10.3181 86.9172 1.0272

第四張 17.3651 12.6480 88.4584 1.0278

第五張 15 15 90 1.0277

第六張 12.6498 17.3669 91.5416 1.0277

第七張 10.3257 19.7636 93.0825 1.0268

第八張 8.0305 22.1917 94.6202 1.0249

第九張 5.7675 24.6529 96.1521 1.0219

依照上表，第一張以入射角為 24.62 度的參考光與入射角為 5.72 度的物體光來記錄，則產生一張條紋間距

Λ

為 1.025um 且傾斜角

φ

為 83.84 度的光柵。接著，須將參考光之角度變化成 22.17 度，且物體光的角度變為 8.01 度兩相干涉，產生另一張條紋間距

Λ

為 1.026um 且傾斜角

φ

為 85.34 度的光柵。記錄的順序依上表計算出的角度依次感光。在第五次記錄的時候，物體光的入射角度與參考光的入射角度相同，則產生一張條紋傾斜角

φ

為 90 度的「對稱型」光柵。

3.1.2 讀取波長色散情形模擬

表 3.2 系統參數

m_th 第一張第二張第三張第四張第五張第六張第七張第八張第九張

色散中心波長(um) 0.2036 0.2859 0.3682 0.4503 0.532 0.6137 0.695 0.7756 0.8554 線色散率(cm/um) 6.4837 6.5037 6.5272 6.5542 6.71581 6.6171 6.6548 6.6997 6.7527 系統解析度(nm) 0.0463 0.0461 0.0460 0.0458 0.0456 0.0453 0.0451 0.0448 0.0444

以這種方法記錄，於介質外 15 度入射，其第一張光柵可使 0.2036um 的波長有最大繞射效率，第二張光柵可使 0.2859um 的波長有最大繞射效率，依此類推。而對每張光柵而言，線色散率大約為 6.5cm/um，以 6mm x 8mm 的 CCD 偵測，解析度的理論值為 0.045nm 上下。我們以選取這些入射角組合九張光柵所能涵蓋的頻譜範圍，約為 200nm-900nm。

上節所述以這樣的方式記錄之下，讀取時，各色光於材料外部 15 度角入射，各波段的繞射效率如圖 3.4 分布，並依據繞射角度公式(2.33)式模擬出各波長繞射之發散角與繞射效率於附錄一。

圖 3.4 為九張光柵的繞射效率，效率之峰值的位置代表該光柵分光所對應的中心波長。一張光柵分光的頻寬約為 82nm。在這樣的記錄架構下，參照圖 3.4 與附錄一，我們以第五張光柵為例，光柵色散具最大繞射效率的中心波長即為 0.532um，其繞射角之於 x 軸為 15 度，繞射效率為 0.09832。而與中心波長鄰近的 0.531um 與 0.533um 大小的波長，各發散到 14.94 度與 15.06 度的方位，繞射效率同為 0.09827。第五張光柵對波長大小 0.45um 及 0.614um 及其鄰近波長的繞射效率幾乎為零，故這些範圍的波長是分別利用第四張、第六張光柵來分光。入射後 0.45um 之於 x 軸的繞射角為 10.30 度，繞射效率為 0.09839；而 0.614um 的繞射角為 19.78 度，繞射效率為 0.09839。表 3.2 為套用此記錄方式的光柵其光柵光譜儀系統的分光能力數值資料，表中解析度為 CCD 平面上的光譜解析度。

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

wavelength(um)

diffraction efficiency

圖 3.4 設計方法（一）繞射效率與頻寬

將表 3.1 的參數代入(2.79)式電腦作圖，得到不同波長的繞射圖樣分布如圖 3.5，

為 ( ,y z_d _d)平面上各波長繞射光點所在的位置，區域中心點處為(0,0)，【a】至【d】每格

的刻度設定各有差異。圖【a】設定的參數為θ θ_i

=

₂

= 15

^、λ

= 0.532

，結果為 0.532um 波長在(0,0)位置的分布；圖【b】設定的參數為θ θ_i

=

₂

= 15

^、λ

= 0.5318um

，其結果為 0.5318um 的波長在(0,-20um)的位置；圖【c】設定的參數為θ θ_i

=

₂

= 15

^、λ

= 0.45um

，

結果位置在(0,-8000um)；圖【d】設定的參數為θ θ_i

=

₂

= 15

^、λ

= 0.614

，繞射結果位置在(0, 8000um)。由此可知不同波長的光點雖在同一平面但位置差距甚大，可藉由平移 CCD 位置或在同一平面上置放多組同規格的 CCD 來解決。

y_d(0.1 um) zd(0.1 um)

【a 】 0.532 um

200 400 600 800 1000

100

200 400 600 800 1000

100

200 400 600 800 1000

【d】 0.532um , 0.614um

200 400 600 800 1000

20 約在(0,-10um)與(0,-3000um)處有兩個繞射極大值。【註：縱軸的中心為原點，一個刻

度標記大小為 100um。該座標(0,-3000um)的估計方法是：（130-100）x 100um】

圖 3.6 0.5um 波長對相鄰兩張光柵的繞射分布 3.1.3 系統元件優缺點的評估

雖然各張組合的光柵各對應到其響應的波段，但相鄰的兩張組合光柵可色散的波長有重疊的部分。換句話說，這個問題即是針對特定波長而言，可以同時對「第 m 張」與

「第(m+1)張」光柵繞射。故這種設計方式有可能使單一頻率繞射成兩組圖樣(兩個光點以上)，但對一個光譜儀之系統功能來說，只要確知繞射點位於 CCD 上哪個位置，我們

在文檔中體積全像光柵作為光譜儀分光元件之研究 (頁 45-0)

第二章、 體積全像光柵繞射特性與分光原理

2.4 體積光柵元件色散能力分析

( ) '

 ≈ ∫

∆

Κ = − 

 

ε

∑

cos cos sin

2

cos cos sin

( , ) sinc 2

cos cos sin

2

cos cos sin

2

cos sin sin cos sin sin

2 2

cos cos

( ) cos sin

cos sin

= 1.4 10 ×

∆ = 3um

∆

θ

λ



sin sin

2 2

cos cos cos

1 1

cos cos 2 cos

2 cos

cos cos

= 15

=

= 15

∆ =

0

=

+ ∆

θ

θ

φ

λ

θ

θ

Λ

φ

Λ

φ

φ

=

= 15

= 0.532

=

= 15

= 0.5318um

=

= 15

= 0.45um

=

= 15

= 0.614

第二章、體積全像光柵繞射特性與分光原理

^ ≈ ∫