動態平衡與靜態平衡的主要差別在於它處於運動狀態，對於直線平移運動而言，通常 動態平衡的物體在靜態也可維持平衡，但轉動運動卻不一定，轉動動態平衡的物體不一定 能維持靜態平衡。因轉動動態平衡除了考慮物體的軸向對稱性外，也繫於角動量方向與軸 向角速度的一致性，即如剛體角動量 L 原理(1)式所示：
L I (1)
其中 I 表轉動慣量，表角速度。當繞軸轉動的角速度或轉動慣量相當大時，角動量也會變 得相當大，於是，基於角動量守恆，將驅使物體維持固定的軸向動態平衡，甚至原先無法 靜態平衡的物體(即淨外力矩不為零)，也可藉此方式維持固定軸向轉動的動態平衡，這種軸 向固定的轉動動態平衡特性常應用於航行方向定位(黃智賢, 2014)。不過，當角動量變小時，
則將會出現較為明顯的進動現象(即軸產生轉動)。因淨外力矩會造成角動量方向改變，導致 軸沿淨外力矩方向移動，形成所謂的進動。我們可根據陀螺儀示意圖(Benson, 2019)加以說 明，如圖 1a 所示。其中陀螺儀轉輪逆時針旋轉形成沿ˆi方向的角動量 L0，同時，軸又因 轉輪的重力形成外力矩，其會造成角動量變化L。由(2)式推導可知L 方向朝向ˆj，垂直 於 L0，合成的總角動量 Lf 如(3)式所示，而圖 1b 為其向量示意圖，可呈現合成的總角動量 Lf 朝ˆj方向偏轉角度。換言之，沿角動量方向的軸也會朝ˆj方向偏轉。實際上，由於
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陀螺儀轉動角速度遠大於其進動角速度，L0應遠大於L，因此，L 主要改變角動量方向，
對於角動量大小影響極小且形成的偏轉角度亦相當微小，瞬間角動量幾乎仍可視為守 恆。不過，如果考慮外力矩持續存在，則軸將持續偏轉，最後形成軸繞k 呈逆時針方向的 進動旋轉。
ˆ
ˆ ˆ L ˆ
r F ri mgk mgrj L t mgr tj
t
(2)
Lf L0 L (3)
圖 1：陀螺儀及其角動量向量示意圖
其進動角速度z可利用弧長與弳角度關係式，根據圖 1b 大略推導如下：
L L0 (4)
再將(2)式代入(4)式，即可得：
0 z
0
=
L L t
t L
(5)
由(5)式可知，若角動量 L0維持不變，則外力矩與進動角速度z成正比，而若外力矩維持 不變，則角動量 L0與進動角速度z成反比。換言之，當外力矩0 或角動量 L0，其進 動角速度z0，即進動現象不明顯，可傾向維持固定的軸向轉動動態平衡。
至於我們的圓盤風扇陀螺實驗裝置(馮兆筠等, 2019)如圖 2a 所示，結構類似圖 1a 的陀 螺儀，原理分析示意圖如圖 2b 所示，不同之處是風扇馬達固定於圓盤上，當風扇轉軸受到 外力矩作用產生進動運動，將會帶動圓盤旋轉。不過，由於風扇固定於圓盤上，轉軸是否 受到外力矩影響，必須取決於圓盤本身所受到的淨外力矩，而圖 2 未加附件的淨外力矩不
(a) (b)
為零，因圓盤背面的馬達與電池組質量比正面的風扇大，其產生的外力矩應比風扇大，故 圓盤所受到的淨外力矩驅使圓盤向後轉動，導致固定於圓盤正面的風扇轉軸亦隨之向上 轉，相當於風扇轉軸受外力 Fu向上，其如圖 2b 實線箭頭所示。若風扇角動量 L0朝 ˆi 方向，
則根據力矩方向判知，可產生朝ˆj方向的角動量變化量Lu，如角動量向量示意圖 3a 實線 所示，造成總角動量 Lu朝ˆj方向偏轉，即轉軸朝順時針方向進動旋轉。反之，若增加圓盤 正面的質量，導致背面外力矩小於正面，則形成的淨外力矩將驅使圓盤向前轉動，固定於 圓盤正面的風扇轉軸亦隨之向下轉，相當於風扇轉軸受外力 Fd向下，其如圖 2b 虛線箭頭所 示。此情形類似圖 1 結果，可產生朝ˆj方向的角動量變化L
d，如角動量向量示意圖 3a 虛 線所示，總角動量 Ld將朝ˆj方向偏轉，即轉軸會朝逆時針方向進動旋轉。然而，當風扇角 動量 L0反轉朝ˆi方向，根據角動量向量示意圖 3b 實線所示，原朝ˆj方向的角動量變化量
Lu仍構成總角動量 Lu朝ˆj方向偏轉，但卻變成逆時針方向進動旋轉。同理，原朝ˆj方 向的Lu角動量變化量則變成順時針方向進動旋轉，其如圖 3b 虛線所示。因此，風扇角動 量方向改變會造成圓盤進動旋轉方向的改變。
今圓盤黏附的固定配件有馬達、電池盒及風扇，但風扇葉片可黏貼鐵墊片或圓盤面吸 附磁鐵，甚至可改變風扇旋轉方向，進行淨外力矩與角動量大小或方向的改變，故我們的 圓盤風扇陀螺實驗裝置應可演示分析進動現象的相關物理機制。
圖 2：圓盤風扇陀螺裝置及其原理分析示意圖
(a) (b)
馮兆筠 李慧安 林倩鈺 張名宇 馮志龍 陳柄旭
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圖 3：角動量向量示意圖，其中(a)表風扇角動量 L0朝+i 方向；(b)表風扇角動量 L0朝i 方向