資料包絡分析法（DEA）

包絡線是 DEA 之理論基礎，是指在所有可能組合中，最有利之可能組 合所形成的邊界，如下圖 3.2 所示。DEA 最主要的特點是能夠以單一效率值 表示一受評估單位之投入產出項之間的關係，且不需事先預設各投入產出項 的權重，也不需要轉換各種不同產出及投入之單位，可同時考慮多個不同計 量單位之產出及投入項，其方法是以數學規劃的方式將所有被評估單位

（Decision making unit，DMU）之產出投入項映射到空間中，並以客觀的方 式給予各 DMU 最有利的權重，使各 DMU 所獲得之效率值相對於其他 DMU 為最大，並尋找其最低的邊界（最大產出或最小投入）所形成之包絡線，稱 為效率前緣(efficiency frontier)，亦即生產函數(production function)，因此分 析時不需預設邊界函數形式。凡落在最低邊界上之 DMU 即視為投入產出組 合達到最佳效率，而在最低邊界內之 DMU 視為相對無效率，必須調整投入 產出後才能達到最佳效率組合。

投入 產出

圖 3.2 最有利之可能組合所形成之包絡線

若是以一般投入產出來衡量生產力，效率值(E)為

= 產出

E

投入 (3.1) 而 DEA 之多項投入多項產出之觀念，則效率值(E)表示為

= 各產出項加權組合 各投入項加權組合

E (3.2)

以下本研究將針對 DEA 之基本兩種模式進行探討。

(一) CCR 模式

假設考慮 n 個受評估單位（r=1,…,k,…,n），使用 m 種投入要素 (

x i

_ik, = …1, ,

m

)及 s 種產出要素（

y

_jk,

j

= … ）， U 表各種投入之1, ,

s

權重，V 表各種產出之權重，則

h 表第 k 個 DMU 之效率值，

_k

x 為

_ik 第 k 個 DMU 的第 i 個投入項的投入值，

y 表第 k 個 DMU 的第 j

_jk 個產出項之產出值，因此第 k 個 DMU 之投入項加權組合與產出項 加權組合分別為

1 m

i ik i

U X

∑

= ^及 1 s

j jk j

V Y

∑

= ，則其效率值（E）表示為

1

1 s

j jk j

k m

i ik

i

V Y h

U X

=

=

=

∑

∑

CCR 之數學式如下

Maximize 1 1

j jk

k

V Y

U s h j

m x

i i ik

∑=

=

∑=

(3.3)

Subject to 1

1 1

k

V Y

U s j j jr

h m

i ir x i

∑=

= ≤

∑=

，r=1,…,n (3.4)

0< ≤ε

U

_i， 0< ≤ ，i=1,…,m，j=1,…,s，ε 表一極小正值 ε

V

_j 其中，

h 表第 k 個

_k DMU 之相對效率值

y 表第 k 個

jk DMU 的第 j 個產出項之產出值

x 表第 k 個

ik DMU 的第 i 個投入項的投入值

U 表第 i 個投入項之加權值

i

V 表第 r 個產出項之加權值

j

DEA 之方法是給予各個 DMU 最高效率值為 1，當效率值為 1 時表示以達最有效率之情況，若效率值越小則表示效率越差，因此 每個 DMU 實際產出與實際投入之比值將介於 0~1 之間，權重υ_i與u_r 將由上述之數學規劃模式中得到最佳值，不需事先給予其權重。因 此 DEA 本身在評估各 DMU 時並無最佳的理想投入和產出組合，由 於所有 DMU 皆進入同一目標與限制式中，所以得到之效率是屬於 相對比較下所獲得，稱為相對效率。

E

_k = ，表示該受評估單位相對1 達到最佳效率; 1

E

_k < 則表示該受評估單位相對未達到最佳效率。

為了求解方便，遂將上述數學式轉換成線性規劃模式，轉換成 線性模式後可區分為投入導向與產出導向，投入導向指於相同產出 水準下，比較投入資源的使用情形，即固定產出下，投入數量越少 則效率會越高;而產出導向指相同投入水準下，比較產出的達成情 形，即固定投入下，投入數量越多則效率越高。

1.投入導向模式(Input-Oriented)：

令

1

1

m

i ik i

U X

=

∑

= ，分別求各 DMU 產出的極大值

Maximize

1 s

k j jk

j

h V Y

=

= ∑

(3.5)

Subject to

1

1

m i ik i

U x

=

∑ =

(3.6)

0

1 1

j

Y

jr

U X

i ir

s m

V

j i

− ≤

∑ ∑

= = ，r=1,…,n (3.7)

0< ≤ε

U

_i， 0< ≤ ε

V

_j

其中 i=1,…,m，j=1,…,s ，ε 表一極小正值 2.產出導向模式(Ouput-Oriented)：

令 1

1

j jk

V Y

s j

∑ =

= ，分別求各 DMU 投入的極小值

Minimize

1

k i ik

h U X

m i

=

∑

=

(3.8)

Subject to 1 1

j jk

V Y s j

∑ =

= (3.9)

0

1 1

jYjr U Xi ir

s m

V

j i

− ≤

∑ ∑

= = ， r=1,…,n (3.10)

0< ≤ε

U

_i，0< ≤ε

V

_j

其中 i=1,…,m，j=1,…,s ， ε 表一極小正值 (二) BCC 模式

主要是修正 CCR 模式，擴大 CCR 模式的效率觀點以及其應用 範圍，不同於 CCR 模式假設固定規模之情形，BCC 模式是假設處 於變動規模效率之情形(Variable Return to Scale，VRS)，亦即生產可 能隨著規模增加而遞增或遞減，因為規模非固定時，將可能因為規 模不適當而導致無效率的情形，即當 DMU 為無效率時，可能原因 不只是純粹技術效率不佳而引起，亦可能為規模效率不佳所導致。

因此 BCC 模式主要是對生產可能集合之假設做修改，並加入 Shephard 所提出的距離函數觀念，將總效率再分解為純粹技術效率 (pure technical efficiency，PTE)和規模效率(scale efficiency，SE)的乘 積，推導可衡量純粹技術效率與規模效率的模式。

X(投入) Y(產出)

A

D C

B

u o ₀ u _o

CRS FRONT

VRS FRONT

E

F H I G

圖 3.3 不同規模報酬之受評估單位

假設有 A、B、C、D 四個受評估單位，如上圖 3.3 所示，其中 A、

B、C 位於效率前緣線上，具有最佳效率，D 位於效率前緣線內，即 表示未達到最佳效率。原點與 E 之連線（

u ＝0）

_o ，此線即為固定規 模報酬之效率前緣，表示當投入量增加，產出量也會以等比例增加。

由 A、B、C 連成的效率前緣線為變動規模之效率前緣線，其中包含 通過 A、B 兩點延伸交於 X 軸於

u ，且

_o

u <0，此時為規模報酬遞減

_o 及通過 B、C 兩點延伸交於 X 軸於

u ，且

_o

u >0 之規模報酬遞增兩種

_o 情況。以受評估單位 D 來說，其技術效率可從兩方面獲得，固定產 出則技術效率 TE=HG/HD，固定投入則 TE=FD/FE，亦即在既定產 出水準之下任一點到邊界之距離，規模效率為 SE＝HI/HG，亦即在 既定產出水準之下任一點到最適規模之距離。

BCC 模式亦可分為投入導向與產出導向兩方面，其數學式如下：

1.投入導向模式(Input-Oriented)：

Maximize 0

1 s

j

k jk

r

V Y u h

=

= ∑ −

(3.11)

Subject to

1

1

m

i ik i

U X

=

∑ =

(3.12)

0 0

1 1

V Y U X u

s m

j jr i ir

r i

− − ≤

∑ ∑

= =

， r=1,…,n (3.13)

0< ≤ε

U

_i， 0< ≤ ，ε

V

_j ε 表一極小正值

其中 i=1,…,m，j=1,…,s，

u 為一常數，可判斷其規模報酬

₀

u >0 表該 DMU 處於規模報酬遞減

0

u =0 表該 DMU 處於固定規模報酬

0

u <0 表該 DMU 處於規模報酬遞增

0

2.產出導向模式(Ouput-Oriented)：

Minimize

1

k i ik k

h m U X D

i

=

∑

+

=

(3.14)

Subject to

1 1

j jk

V Y s j

∑ =

=

(3.15)

0

1 1

jYjr U Xi ir Dr

s m

V

j i

− − ≤

∑ ∑

= = ， r=1,…,n (3.16)

0< ≤ε

U

_i， 0< ≤ ，ε

V

_j ε 表一極小正值 其中 i=1,…,m，r=1,…,s，

D 為一常數

_k

D >0 表該 DMU 處於規模報酬遞減

k

D =0 表該 DMU 處於固定規模報酬

k

D <0 表該 DMU 處於規模報酬遞增

k

(三) BCC 模式與 CCR 之比較

CCR 模式與 BCC 模式最主要之差異即為截距

u ，如下圖 3.4、

₀ 3.5 所示。若

u =0，則受評估單位處於固定規模報酬;若

₀

u >0，則受

₀ 評估單位處於規模報酬遞增;而當

u <0，受評估單位即處於規模報酬

₀ 遞減。而 CCR 模式所計算出之效率值，在 BBC 模式中為總效率值，

BBC 模式所計算出之效率值則屬於技術效率值。

X(投入)

Y(產出) A

B

0

CRS FRONT

VRS FRONT

圖 3.4 固定規模下生產可能的集合

X(投入)

Y(產出) A

B

0

CRS FRONT

VRS FRONT

圖 3.5 變動規模下生產可能之組合

(四) DEA 之特性與限制 1.特性

DEA 目前應用在效率評估、資源分配、策略選定…等，範圍 極廣深入各個領域，主要是利用 DEA 不需預設權重且可以處理 多項投入及多項產出的特性，較為客觀。以下為本研究參考楊永 嘉【18】、高強【11】、馬裕豐【10】等學者及多篇實證文章，整 理出 DEA 主要之特性及其限制。

（1）DEA 融入生產力觀念，以單一值（效率）表示一個 DMU 之 投入與產出關係。給予各 DMU 最高之效率值為 1，小於 1 則 代表無效率。

（2）DEA 可處理多項產出及投入，可容納不同計量單位的投入產 出項，只要各受評估單位均為相同計量單位，便不需轉換。

（3）DEA 為無母數方法，不需預先給予權重、生產函數與預估參 數，並且能夠處理非計量之因素，如顧客滿意度。

（4）投入產出項之權重由線性規劃中獲得，無主觀人為因素存在，

較公平且方便使用。

（5）DEA 所求的是效率前緣，結果為一綜合性之相對效率指標，

非傳統平均數之觀念，因此可以表現出其資源使用情形，以 經濟學中伯拉圖最佳化之概念，判斷任一 DMU 是否有效率，

可作為經營管理者判斷投入及產出需要增或減之決策參考。

（6）採用相對效率之概念，給予各 DMU 相對於其他 DMU 最有 利的效率值，即相對於其他 DMU 為最大，而非絕對效率。

（7）資料處理上較為彈性，可以處理比率尺度與順序尺度之資料。

並可加入外生變數，可在不同評估環境下作效率評估。

（8）可因應受評估單位之不可控制因素加以調整，必要時也可加

入主觀判斷，結合其他評估方式。

2.限制

（1）DEA 為相對效率之觀念，因此若當 DMU 非為真正有效率時，

便會造成壞中取較不壞的情形，即爛蘋果中挑比較不爛的情 形發生。

（2）DEA 認為誤差皆因無效率所造成，因未納入隨機誤差之因 素，所以容易受到離群值(outlier)影響，若各 DMU 之間差異 過大，效率值會受離群值影響而改變甚大 ，因此必須嚴格篩 選 DMU 以避免有極端值出現。

（3）受評估單位相似度越高，亦即同質性越高，其評估結果越佳，

因此同質性影響其評估結果甚鉅，因此必須針對同性質的單 位作評估才較具意義。

（4）DMU 的數量、投入產出項的選擇，皆會造成效率前緣的位 置不同與形狀變化，根據 Golany 與 Roll 所提出的觀念，DMU 數量至少應為投入產出項個數加總之兩倍為基礎。

（5）DEA 無法處理產出項為負的情形，並且只能判斷 DMU 相對 有無效率，無法對有效率單位作排序。

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 34-43)