邊界條件

Flow direction

圖 2-1 進料區塊(feedblock)幾何形狀

Γ

exit N

Γ

Wall

Γ

Symmetry plane

Γ

in

:Fluid I

^D

(1) Γ_in(面ABCD及面EFGH)：入口邊界給一入口流量Q_in，假設其為全展流 狀態(fully-developed flow)。

(2) Γ_exit(面NOPQ)：出口邊界亦假設為全展流狀態，忽略出口效應影響。

(3) ΓSymmetry plane(面BIOPJGFM)：幾何對稱面。

(4) Γ_Wall(面AHLD、面ELKH及面HNQK)：為有效觀察流體界面彎曲情況，

在雙層流體匯流後之矩形流道壁面假設為滑動邊界(slip boundary)，使 流體界面與壁面之接觸線(contact line)不會固定在壁面上，流體匯流前 之壁面則使用不滑動邊界。

除了上述幾何區域之邊界條件外，雙層流體於HIJK平面匯流後形成一 流體自由界面，對此界面做以下假設：

(1) 運動學狀態(Kinematic condition)：運動學狀態用來描述流體自由界面之 運動狀態。假設流體切線速度(tangential velocities)在界面上為連續，即 為假設雙層流體在界面上無相對滑動(relative slip)；另外流體不穿透界 面，故流體在界面上之法線速度(normal velocities)為零。

1 1 位切線向量(unit tangential vector)，n為界面上之單位法線向量(unit normal vector)。

(2) 動力學狀態(Dynamic condition)：由於高分子塑料黏度極大，故忽略界 面之表面張力(surface tension)效應；且在界面上流體之法向應力(normal stress)及切向應力(tangential stress)為平衡狀態，其表示法向應力及切向

其中σ^I

及 σ

^II

分別為下層及上層流體之總應力張量(total stress tensor)，n

為界面上之單位法線向量(unit normal vector)，t 為界面上之單位切線向 量(unit tangential vector)。

2.1.3 流體自由界面與壁面接觸線(contact line)處理

在共押出模擬中，最大的難處之ㄧ是壁面接觸線之邊界設定。接觸線 定義為雙層流體界面與壁面之交叉線。一般在壁面使用不滑動(no-slip)邊 界，會造成在壁面形成無限大之剪切應力，流體在壁面速度消失，使得運 動學狀態(kinematic condition)也隨之消失，無法正確預測出界面在壁面處 之變形及彎曲情形，更影響三維界面包覆現象之觀察。如圖2-2，界面與壁 面接觸線(流體/流體/壁面邊界)無法移動，造成流體界面在壁面附近產生摺 疊現象(bending)。

圖 2-2 使用不滑動(no-slip)壁面假設之流體界面

流體界面

壁面 摺疊現象

在過去文獻之研究中，提出幾個方法以處理接觸線之問題，包括外插 法 及 滑 動 邊 界 ； Dheur 、 Karagiannis_[59]、Gifford_[53]等 人 使 用 外 插 法 (extrapolation method)預測接觸線位置，此方法優點是用外插法來計算接觸

線位置可以避免因使用非滑動面(no-slip)所造成的難以收斂的問題，同時 也是預測界面接觸線最簡單快速的方法，但卻忽略了壁面(wall effects)造成 的界面扭曲及其對接觸線附近流體流動情形之影響。如圖2-3[59]，A為接觸 點位置，A'為使用外插法得到之接觸點位置。

圖2-3 使用線性外插法處理壁面接觸線[59]

接觸點(contact point) 壁面

線性外插法如下：

( )( ) /(

c A B A c A B A

z

−

z

=

z

−

z y

−

y y

− ) (2-9)

y

相對於以下之二階外插法，線性外插法僅用 B、C 兩點作外插求取流體界 面在壁面之接觸點位置。而二階外插法如下：

2

A A A

z = ay + by + c

(2-10)

二階外插法可由B、C、D三點得到a、b、c係數後，進而求取流體界面在 壁面之接觸點z_A。在數學觀點上，二階外插法應能得到較準確之接觸點 (contact point)位置。

因為用外插法會難以描述流體在壁面之流動行為，故本論文使用滑動 邊界設定壁面(Γ_wall)，使流體自由界面接觸線(contact line)可在壁面上移 動，且壁面對流動系統之影響(wall effect)不會被忽略。

滑動模型為描述流體在壁面滑動之關係式，本論文使用generalized Navier’s law_[71]設定壁面(Γ_wall)之滑動邊界，其表示式如下：

( )

^slip 1

t slip w all t t w all

f = F v − v v − v

^{ε −} (2-11)

其中

f

_t 為高分子塑料接觸壁面產生之摩擦力；F_slip及

ε

_slip為滑動參數(slip parameter)；當Fslip＝0 時，流體在壁面產生完全滑動(full slip)，亦即無壁面 摩擦力；當Fslip→ ∞ 時，壁面邊界趨近於不滑動(no slip)狀態，亦即壁面摩 擦力趨近無限大；εslip=1時，(2-11)式為線性式，0＜εslip＜1時，(2-11)式為 冪次模型(power law model)；vt 為流體在壁面之切線速度，其速度值假設為

極小；vwall 為壁面切線速度(壁面速度vwall 設定為零)。

由於在文獻中並未有關滑動係數之量測值，在決定滑動係數上本論文 以逐漸增加滑動係數之方式並做以下幾項假設來求取適當之滑動係數

F

slip：

(1) 假設壁面摩擦力極大而造成極大之流體剪切應力，且流體在靠近壁面之 速度約為平均速度<v>的1%左右，以準確模擬出真實流動系統於壁面之 流動行為。

(2) 由於(1)之假設，故只需求出流體在靠近壁面之速度即可得到所求之滑動 係數，因此模擬時將流體界面固定以縮減計算量，並可避免由於自由界 面迭代之影響造成發散。

本論文取上述假設(流體在靠近壁面之速度約為1%之平均速度)，由於 不同的滑動係數會造成壁面摩擦力不同而使得壁面速度不同，在之後的討

論我們將取多個滑動係數Fslip來探討不同滑動係數值對於共押出進料區塊 模擬結果之影響。

在文檔中 以PTT黏彈模式對共押出進料區塊進行三維有限元素模擬 (頁 29-34)