競爭均衡

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第二節 競爭均衡

經 濟 體 系 給 定 價 格 序 列 {𝑝_𝑡(ⅈ)、𝑤_𝑡、𝑟_𝑡、𝑉_1,𝑡、𝑉_2,𝑡}_𝑡=0^∞ 以 及 政 府 政 策 {𝜇、𝛽}_𝑡=0^∞ 之下，分權經濟體系進行資源的分配序列 {𝑐_𝑡(ℎ) 、𝑎_𝑡(ℎ)、𝑦_𝑡、𝑥_𝑡(ⅈ)、

𝐿_𝑥,𝑡、𝐿_𝑟,𝑡、𝑍_𝑡、𝓏、𝑠}_𝑡=0^∞ ，必須滿足以下條件 :

 給定 {𝑤_𝑡、𝑟_𝑡}下，家計單位 ℎ 極大化終身效用 𝑈(ℎ)；

 給定中間財價格 {𝑝_𝑡(ⅈ)} 下，最終財廠商決定最適中間財數量 𝑥_𝑡(ⅈ) ，並 極大化利潤 𝛱_𝑡^𝑦；

 給定 {𝑤_𝑡} 下，獨占中間財廠商決定最適勞動數量 𝐿_𝑥,𝑡 及中間財價格 𝑝_𝑡(ⅈ) ，並極大化利潤 𝛱_𝑡(ⅈ)；

 給 定 {𝑤_𝑡、𝑉_1,𝑡} 下 ， 新 一 代 R&D 廠 商 決 定 最 適 勞 動 數 量 𝐿_𝑟,𝑡 與最適品質提升幅度 𝓏，並極大化預期研發利潤 𝛱_𝑟,𝑡；

 滿足家計單位 ℎ 預算限制式 : 𝑎̇_𝑡(ℎ) = 𝑟_𝑡𝑎_𝑡(ℎ) + 𝑤_𝑡− 𝑐_𝑡；

 滿足勞動市場結清條件 : 𝐿_𝑥,𝑡+ 𝐿_𝑟,𝑡 = 1；⁵

 滿足勞動市場自由移動條件 : 𝑤_𝑥 = 𝑤_𝑟= 𝑤，𝑤 為勞動市場均衡的工 資水準；

5

勞動市場結清條件原本應該表示為∫ 𝐿

₀¹ 𝑥,𝑡

(ⅈ) ⅆⅈ + ∫ 𝐿

₀¹ _𝑟,𝑡

(𝑘) ⅆ𝑘 ，但因為每一間中間財廠商與

R&D 廠商均雇用相同的勞動數量，即 𝐿

_𝑥,𝑡

(ⅈ) = 𝐿

𝑥,𝑡

與 𝐿

_𝑟,𝑡

(𝑘) = 𝐿

𝑟,𝑡

，將此關係式帶入勞動市場結

清條件，即可得到 𝐿

_𝑥,𝑡

+ 𝐿

𝑟,𝑡

= 𝐿̅，𝐿̅ = 1。

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透過加總所有家計單位的預算限制式，並結合新舊兩代技術價值的無套利條 件式(19)以式(20)，再代入式(16)與式(17)，即可推得商品市場均衡條件(資源限制 式) :⁶

𝑐_𝑡 = 𝑦_𝑡 (30)

接著，我們討論在靜止均衡下，整個經濟體系由品質提升帶動的技術成長率 與經濟成長率之間的關係式。首先，將式(10)的中間財生產函數代入式(7)的最終 財生產函數，藉此將最終財的生產函數表示為 :

𝑦_𝑡 = ⅇ^{∫ 𝑞}₀^{1 𝑡}(ⅈ) 𝑙𝑛 𝓏 ⅆⅈ𝐿_𝑥,𝑡 (31)

令 ⅇ^{∫ 𝑞01 𝑡(ⅈ)𝑙𝑛 𝓏 ⅆⅈ} = 𝛧_𝑡，𝛧_𝑡 為衡量經濟體系技術進步的一個指標，據此可以將 𝛧_𝑡 解 釋為到 t 期為止，所有中間財品質提升的次數加總，最後再乘上品質提升的幅度，

即品質提升的加權平均數。接著，將 𝛧_𝑡 代入式(31)可推為下式 :

𝑦_𝑡 = 𝛧_𝑡𝐿_𝑥,𝑡 (32) 從式(32)可以看出，整個經濟體系的成長引擎取決於品質提升帶動的技術進步與 中間財廠商雇用的勞動數量。接著，將 𝛧_𝑡 取對數，則可得到下式 :

𝑙𝑛𝛧_𝑡= (∫ 𝑞₀¹ _𝑡(ⅈ) ⅆⅈ) 𝑙𝑛𝓏 (33)

透過大數法則(the law of large numbers)可以推得，∫ 𝑞₀¹ _𝑡(ⅈ) ⅆⅈ = ∫ 𝜆₀^𝑡 𝜏ⅆ𝜏。⁷其中

∫ 𝑞₀¹ _𝑡(ⅈ) ⅆⅈ 代表目前為止所有中間財廠商提升品質的次數，而 ∫ 𝜆₀^𝑡 _𝜏ⅆ𝜏 則是第 0

6

詳細推導請見附錄 C。

7

詳細的詮釋，請見賴景昌 (2015)。

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式(39)決定均衡研發成功率 𝜆 。為了確保 𝜆 一定大於零，沿襲 Chu and Pan (2013)，

在研發生產力 𝜑 上加入限制條件。令式(39)等號兩邊的 𝜆 等於 0，即可求得研發 生產力條件 :

研發生產力條件 : 𝜑 > ^4𝛽𝜌

𝜇−1

最後，透過式(39)可知，等號左邊 𝜑(𝜌 + 𝜆) 為 𝜆 的遞增線性函數，而等號右邊 𝛽 [^{(2𝜌+𝜆)2}

𝜇−1 + 𝜆(2𝜌 + 𝜆)] 為 𝜆 的遞增凸函數，等號兩邊相交將得出唯一的均衡研發 成功率 𝜆。因此，可以推得均衡的研發成功率 𝜆 :

𝜆 = Φ + √Φ²+^𝜌

𝜇[^4𝜇−1

𝛽 − 4𝜌] (40)

Φ ≡¹

𝜇[^{𝜑(𝜇−1)}

2𝛽 − 𝜌(𝜇 + 1)]

式(40)中，Φ 為複合參數(composite parameter)，並顯示均衡研發成功率 𝜆 會受到 專利廣度 𝜇 以及衡量阻礙式專利的參數 𝛽 所影響。

接著，我們將以圖三來證明，均衡研發成功率 𝜆 會隨著 𝛽 上升而下降。圖三 縱軸為式(39)等號的左邊與右邊，橫軸為阻礙式專利的參數 𝛽。其中，LC 線為 滿足式(39)等號左邊 𝜑(𝜌 + 𝜆) 所有可能的組合所形成的軌跡，RC 線為式(39)滿

足等號右邊 𝛽 [^{(2𝜌+𝜆)2}

𝜇−1 + 𝜆(2𝜌 + 𝜆)] 所有可能的組合所形成的軌跡。期初 𝛽 = 𝛽₀ 時，RC 與 LC 相交於 A 點。當 𝛽 從 𝛽₀ 上升至 𝛽₁ 時，會促使 RC 線上移，並與 LC 線相交於 B 點，使得均衡研發成功率從 𝜆₀ 下降至 𝜆₁。因此，我們得知隨著 𝛽 上升，將導致均衡研發成功率 𝜆 下降。

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圖三、均衡研發成功率的決定

在底下分析中，我們將以經濟邏輯探討專利廣度 𝜇 、阻礙式專利的參數 𝛽 與 經濟成長率 𝛾̃ 之間的關係。

首先，我們討論專利廣度 𝜇 與經濟成長率 𝛾̃ 之間的關係。從式(36)可知，經 濟成長率 𝛾̃ 會受到研發成功率 𝜆 以及品質提升幅度 𝓏 所影響，因此我們將分別探 討 𝜇 透過 𝜆 及 𝓏 對 𝛾̃ 造成的影響。在研發成功率 𝜆 的方面，由式(39)可以發現，

專利廣度 𝜇 越高，則式(39)等號右邊就會越大，等號左邊的研發成功率 𝜆 將隨之 上升。直觀上，專利廣度 𝜇 越高，對領導技術專利權的保護程度也就越高，使領 導廠商能夠收取更高的加碼程度，並由式(16)得知， 𝜇 提高將使中間財廠商利潤 𝛱_𝑡 上升，且透過式(20)知，新一代技術的藍圖價值 𝑉_1,𝑡 也將隨著 𝛱_𝑡 增加。當潛 在 R&D 廠商看見藍圖價值上升時，將會配置更多研發勞動力 𝐿_𝑟 進行研發，推升 研發成功率 𝜆。最後，由式(36)得知，隨著研發成功率越高，經濟成長率上升得 越多，此即為專利廣度 𝜇 對經濟成長率 𝛾̃ 產生的正面效果。

𝜆 LHS

RHS

LC RC(𝛽₀) RC(𝛽₁)

𝜆₀ 𝜆₁ B

A˙

˙

‧

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義，阻礙式專利對經濟成長率產生的避免侵權效果(escape-infringement effect)。

綜合以上，可以得知阻礙式專利對經濟成長率 𝛾̃ 的效果可能正可能負。

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圖四、阻礙式專利與經濟成長率關係圖

依據以上的分析，所以我們得到以下的命題 :

命題二. 阻礙式專利透過品質提升幅度 𝓏 與研發成功率 𝜆 兩種渠道，對經濟成長 率 𝛾̃ 產生正負兩種效果。因此，隨著

𝛽 的變動，

阻礙式專利對經濟成長率的影響 可能正可能負。¹⁰

10

命題一與命題二和 Chu and Pan (2013)的命題差異在於加入了異質家計單位。

𝛽 𝛾̃

𝛽₀ 𝛽₁

B A

𝜌 + 𝜆 2𝜌 + 𝜆

𝜑(𝜇−1) 4𝜌

PP )

˙ ˙

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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 不均等分析

第一節 資產分配

本章依循 García-Peñalosa and Turnovsky (2006)之處理異質家計單位期初有 不同資產之方法，來討論專利保護政策如何影響經濟體系的資產不均度、所得不 均度及消費不均度。相同於 García-Peñalosa and Turnovsky (2006)，我們令期初(第 0 期)，異質的家計單位 ℎ 期初擁有資產佔總資產的比例 𝜃_𝑎,0(ℎ) =^𝑎0(ℎ)

𝑎0 ，𝑎₀ 為總 資產，並令 𝜃_𝑎,0(ℎ) 的平均數為 1 且標準差為 𝜎_𝑎。接著，由式(2)可推得所有家計 單位的預算限制式 :

𝑎̇_𝑡 = 𝑟_𝑡𝑎_𝑡+ 𝑤_𝑡− 𝑐_𝑡 (43)

式(43)中，𝑎_𝑡 = ∫ 𝑎₀¹ _𝑡(ℎ) ⅆℎ 為第 t 期所有家計單位擁有的總資產價值，並且我們 於附錄 C 證明出 𝑎 = (𝑉₁+ 𝑉₂)。相同於期初 𝜃_𝑎,0(ℎ) =^𝑎0(ℎ)

𝑎0 的定義，令第 t 期家 計單位 ℎ 擁有資產佔總資產的比例為 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) =^{𝑎𝑡(ℎ)}

𝑎𝑡 。接著，將第 t 期資產比例 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) 取對數，並對時間進行微分，再代入式(2)與式(43)可以得出下式 :

𝜃̇𝑎,𝑡(ℎ)

𝜃𝑎,𝑡(ℎ)=^{𝑎̇𝑡(ℎ)}

𝑎𝑡(ℎ)−^𝑎̇𝑡

𝑎𝑡= ^{𝑐𝑡−𝑤𝑡}

𝑎𝑡 −^{𝑐𝑡(ℎ)−𝑤𝑡}

𝑎𝑡(ℎ) (44)

我們可以將式(44)進一步轉換成下式 :

𝜃̇_𝑎,𝑡(ℎ) =^{𝑐𝑡−𝑤𝑡}

𝑎_𝑡 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) −^{𝜃𝑐,𝑡(ℎ)𝑐𝑡−𝑤𝑡}

𝑎_𝑡 (45)

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其中，𝜃_𝑐,𝑡(ℎ) ≡^{𝑐𝑡(ℎ)}

𝑐𝑡 為第 t 期家計單位 ℎ 消費佔總消費的比例，𝜃_𝑐,𝑡(ℎ) 為穩定的 變數，因為從式(6)可以推得 ^{𝑐𝑡̇ (ℎ)}

𝑐_𝑡(ℎ)=^𝑐𝑡̇

𝑐_𝑡，此關係式代表 ^{𝜃̇𝑐,𝑡(ℎ)}

𝜃_𝑐,𝑡(ℎ)= 0，顯示家計單位 ℎ 各期的消費比例皆相同，即 𝜃_𝑐,𝑡(ℎ) = 𝜃_𝑐,0(ℎ), ∀t。

式(45)為跳躍變數 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) 的一階微分方程，描述 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) 在給定 𝜃_𝑎,𝑜(ℎ) 下的動態 變化，並配合正根 ^{𝜕 𝜃̇𝑎,𝑡(ℎ)}

𝜕𝜃𝑎,𝑡(ℎ) = ^{𝑐𝑡−𝑤𝑡}

𝑎𝑡 > 0，¹¹可知動態體系裡將只有唯一的一條收斂 路徑。準此，在靜止均衡下， 𝜃̇_𝑎,𝑡(ℎ) = 0, ∀t 是唯一且長期穩定的條件，表示 𝜃_𝑎,0(ℎ) = 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ), ∀t，每一個家計單位 ℎ 資產佔總資產的比例不會改變，因在期 初即給定擁有的資產數量。因此，可以判斷出資產不均等的程度取決於期初異質 家計單位分配到的資產比例。準此，我們可以得到以下的命題 :

命題三. 期初給定家計單位 ℎ 擁有的資產比例 𝜃_𝑎,0(ℎ) 後，未來就固定不再改變，

即 𝜃_𝑎,0(ℎ) = 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ), ∀t。因此，期初資產比例 𝜃_𝑎,0(ℎ) 將決定異質家計單位間資 產不均等的程度。¹²

11

後續在式(54)中，我們證明出 𝑐

_𝑡

= 𝜌𝑎

_𝑡

(ℎ) + 𝑤

𝑡

，因此

^{𝑐𝑡−𝑤𝑡}

𝑎_𝑡

> 0 ，一定會為正根。

12

命題三相同於 Chu and Pan (2013)的命題三。

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第二節 所得分配

本節將討論兩項政府的 R&D 政策，專利廣度與阻礙式專利對所得不均等造 成的影響。首先，令家計單位 ℎ 的所得 𝐼_𝑡(ℎ) 為資產報酬 𝑟_𝑡𝑎_𝑡(ℎ) 加上薪資所得 𝑤_𝑡 ， 並配合 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) =^{𝑎𝑡(ℎ)}

𝑎𝑡 可以推得下式 :

𝐼_𝑡(ℎ) ≡ 𝑟_𝑡𝑎_𝑡(ℎ) + 𝑤_𝑡 = 𝑟_𝑡𝑎_𝑡𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) + 𝑤_𝑡 (46) 透過式(46)可得出所有家計單位的總所得 :

𝐼_𝑡 = 𝑟_𝑡𝑎_𝑡+ 𝑤_𝑡 (47) 令家計單位 ℎ 所得佔總所得的比例為 𝜃_𝐼,𝑡(ℎ)，並表示成 :

𝜃_𝐼,𝑡(ℎ) =^{𝐼𝑡(ℎ)}

𝐼𝑡 =^{𝑟𝑡𝑎𝑡𝜃𝑎,𝑡(ℎ)+𝑤𝑡}

𝑟𝑡𝑎𝑡+𝑤𝑡 (48) 接著，我們透過資產比例 𝜃_𝑎,𝑡(ℎ) 的分配，可以推得所得比例 𝜃_𝐼,𝑡(ℎ) 的平均 數為 1，並得出標準差 𝜎_𝐼,𝑡 為 :

𝜎_𝐼,𝑡 = ^{𝑟𝑡𝑎𝑡}

𝑟𝑡𝑎𝑡+𝑤𝑡𝜎_𝑎 = ^{𝑟𝑡𝑎𝑡/𝑤𝑡}

1+𝑟𝑡𝑎_{𝑡/𝑤𝑡}𝜎_𝑎 (49) 我們利用所得比例的標準差 𝜎_𝐼,𝑡 來衡量所得不均等的程度，因為 𝜎_𝐼,𝑡 越大就代表 異質家計單位間所得的差距越大；換句話說，即代表所得不均等的程度越加嚴重。

另外，在式(49)中，我們運用 ^{𝑟𝑡𝑎𝑡}

𝑤𝑡 來捕捉利率及資產價值的變動對所得不均等的 影響。

接著我們將尋求在靜止均衡下的標準差 𝜎_𝐼。首先，將式(24)代入式(25)並結 合式(23)，可以將中間財利潤函數重新整理成 𝛱 = 𝑤^𝓏

𝜑[^(𝜌+𝜆)2

𝜌+𝜆−𝑠𝜌]。再將式(23)、式 (24)以及 𝛱 代入式(49)，並結合式(6)與式(30)，則可以推得下式 :

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從式(52)等號右式可知，專利廣度 𝜇 對所得不均等存有兩種效果，分別是利率效 果與資產效果，右式第一項是透過對資產報酬率 𝑟 產生的利率效果，第二項是透 過新一代技術藍圖價值 𝑉₁ 與薪資 𝑤 產生的資產效果，第三項是透過舊一代技術 藍圖價值 𝑉₂ 與薪資 𝑤 產生的資產效果。

首先探討利率效果對所得不均等造成的影響。由式(41)的經濟邏輯可知，專 利廣度 𝜇 越大，則研發成功率 𝜆 就越高，並促使經濟成長率 𝛾̃ 上升；但另一方面，

𝜆 上升會導致 R&D 廠商決定調降品質提升幅度 𝓏，導致經濟成長率 𝛾̃ 下降。綜 合以上，可以發現專利廣度 𝜇 對經濟成長率 𝛾̃ 具有正負兩種效果，代表專利廣度 𝜇 對所得不均等造成的利率效果可正可負。

我們以正向利率效果為例，討論利率效果如何影響所得不均等。隨著專利廣度 𝜇 越大，促使經濟成長率 𝛾̃ 增長，同時當 𝛾̃ 增長時會使得資產報酬率 𝑟 上升。最後 由式(46)可知，𝑟 上升時將促使資產比例 𝜃_𝑎,0(ℎ) 較高的家計單位 ℎ 增加較多的資 產報酬 𝑟𝑎(ℎ)，進而加劇異質家計單位間所得的差距。同理，負向利率效果將減 緩異質家計單位間所得的差距。因此，專利廣度 𝜇 產生的利率效果可能加劇也可 能減緩所得不均等的程度。

接著探討資產效果對所得不均等造成的影響。參考式(41)經濟邏輯，隨著專 利廣度 𝜇 越大，研發成功率 𝜆 就越高，但同時會導致品質提升幅度 𝓏 下降。前面 已知，每單位新舊技術藍圖的專利權能換取的薪資皆為 ^𝓏

𝜑，而當 𝓏 下降時，每單 位新舊技術藍圖的專利權能換取的薪資 ^𝓏

𝜑 會越少。綜合以上，隨著專利廣度 𝜇 越 大，則每單位新舊技術藍圖的專利權能換取的薪資 ^𝓏

𝜑 就越少；換句話說，每單位 新舊技術藍圖的專利權相對於薪資的資產價值會因此下降。最後從式(46)得知，

資產較多的家計單位 ℎ 相對於資產較少的家計單位 ℎ，其資產價值將會減少得更

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多，同時損失更多的資產報酬。因此，專利廣度 𝜇 造成的資產效果有助於改善所 得不均等的程度。

綜合以上，專利廣度 𝜇 產生的利率與資產效果能否改善所得不均等的程度，

取決於專利廣度 𝜇 對經濟成長率 𝛾̃ 造成的影響。當 𝜇 上升導致 𝛾̃ 下降時，將對所 得不均等形成負向的利率效果，此時提高專利廣度 𝜇 就能改善異質家計單位間所 得不均等的狀況。另外，不同於 Chu and Cozzi (2018)認為專利廣度一定會促使經 濟成長率增長與擴大所得不均度的結論。在此模型中，我們認為專利廣度也有可 能縮減所得不均度，其中的差異來自於品質提升幅度的內生化，使得專利廣度對 經濟成長率的影響可能正也可能負，進而促使利率效果可正可負；而資產效果的 部分，同樣由於品質提升幅度內生化的緣故，隨著專利廣度越強，則品質提升幅 度越小，每單位新舊技術藍圖的專利權相對於薪資的資產價值也就因此下降。依 據以上的分析，我們得到以下的命題 :

命題四. 當利率效果會擴大異質家計單位間收入的差距，則專利廣度對所得不均 度的影響將取決於利率效果與資產效果的相對大小；反之，當利率效果會縮減異 質家計單位間收入的差距，則專利廣度就必定會縮小所得不均度。

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當經濟成長率 𝛾̃ 下降導致資產報酬率 𝑟 降低時，將減緩所得不均等的程度。因此，

阻礙式專利產生的利率效果可能加劇也可能減緩所得不均等的狀況。

接著討論阻礙式專利造成的資產效果與所得不均等之間的關係。參考式(42)

接著討論阻礙式專利造成的資產效果與所得不均等之間的關係。參考式(42)

在文檔中 阻礙式專利與所得不均等： R&D品質提升模型的分析 - 政大學術集成 (頁 29-0)