第二章 文獻探討
第一節 重心法及其演算法則
一、重心法之演算步驟
重心法藉由計算重心值，將學習階層圖中，每一層內之概念節點，依 照各概念節點之重心值，由小到大，由左到右之順序，重新排列。重心法 之演算法則，基本上先建造於只有兩層之學習階層圖，之後再擴充到兩層 以上之學習階層圖。
（一）只有兩層之學習階層圖的演算法
為方便描述演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹杉山 公造教授之演算步驟。
1.函數定義
(1) K
( )
⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。令
( )
2 1,1 1 i L j L
mij
M ≤≤ ≤ ≤ 為一鄰接矩陣，則
( ) ∑ ∑ ∑ ∑
−則定義第 i 層與第i+1層之交錯邊數為
而
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
3 2 1
M M M
M ，
則 K(M)= K(M1)+K(M2)+K(M3) =2+3+3=8。
2.演算步驟
杉山公造之演算法，分為兩階段逐步進行。
(1) 第一階段（重心值皆不相同時）
a.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之次數（即 疊代次數）r，然後計算K
( )
M1 ，這裏M1表示為第 1 層與第 2 層之鄰接矩陣。b.步驟 2：令M2 =βR
( )
M1 。c.步驟 3：若K
( )
M2 <K( )
M1，則令M∗ =M2，K∗ =K( )
M2 。 d.步驟 4：令M3 =βC( )
M2 。e.步驟 5：若K
( )
M3 < K∗，則M∗ =M3，K∗ =K( )
M3 。 f.步驟 6：若M3 =M1或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段演算，進入第二階段演算。否則，回到第一階 段的步驟 2。
(2) 第二階段（出現相同重心值時）
a.步驟 1：令M4 =RC
( )
M3 。b.步驟 2：M4之行重心值若不是由小到大排列時，則令
4
1 M
M = ，且跳到第二階段步驟 5，否則進行步驟 3。
c.步驟 3：M5 =RR
( )
M4 。d.步驟 4：M5之列重心值若不是由小到大排列，則令
5
1 M
M = 且跳到第二階段步驟 5，否則結束執行。
e.步驟 5：若第二階段之疊代次數大於初始值時，則結 束執行，否則跳到第一階段第 2 步驟。
範例說明：
b c d
e f g h
a
圖二、階層圖
步驟 1：寫出鄰接矩陣
1 5 . 2 5 . 2 3
5 . 2 1
2 0 1
0 1 1 d
1 3 0 3 1 0 0 c
2 2 3 0 1
1 0 1 b
2 3 4 1 2
0 1 0 a
h g f e
1
C l
R k
B
B
M
+ =
= + = + =
= ， K
( )
M1 =11此鄰接矩陣計算出的列重心值，依照列重心值的大 小，由上至下，由小至大依序排列。但因為出現相
同列重心值，因此，在排序時相同的列重心值必須
ii.由鄰接矩陣M3得到
順序須再一次排序。
（二）兩層以上之學習階層圖的演算法
假設該學習階層圖有n層，n>2，底下為演算步驟：
1.固定第 1 層，根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 2 層中頂 點之順序。
2.固定排序完後之第 2 層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法 排第 3 層中頂點之順序。
3.依此類推，直到排完第n層為止。
4.固定第n層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第n−1層中 頂點之順序。
5.固定排序完後之第n−1層，再根據壹、一、（一）、2 之演算 法排第n−2層中頂點之順序。
6.依此類推，直到排完第 1 層為止。
範例說明：
a b c
d e f
g h i
j k l
第 層1
第 層2
第 層3
第 層4
步驟 1：寫出鄰接矩陣G 0
步驟 4：固定排序完後之第 3 層，排第 4 層頂點之順序，將列重心值
步驟 6：在M( )2 中，將列重心值按大小次序排列，得到
二、重心法演算步驟之問題點與其實例說明
（一）鄰接矩陣M 中，出現過多相同重心值時，演算步驟第二階段中 之RC
( )
M 或RR( )
M ，將面臨無法定義的問題。實例說明：
a b c d e
f g h i j
圖六、階層圖
步驟 1：寫出鄰接矩陣
3 5 . 3 3 . 3 5 . 3 3
2 0 0 1 1 1 e
5 . 3 0 1 1 0 0 d
5 . 4 1 1 0 0 0 c
2 0 0 0 1 0 b
2 0 0 1 0 1 a
j i h g f
1
c l
R k
B
B
M = ， K
( )
M1 =18此鄰接矩陣產生三個相同列重心的值，故無法有效判斷其先 後次序，因此，必須將此三個元素兩兩交換，並同時探討交 換後所產生的交錯邊數。下列將交換後產生之交錯邊數較少 者，提出討論。
步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到
（二）若演算步驟不是先固定第 1 層（最上層），然後逐一排到最後
步驟 3：將行重心值按大小次序排列，得到
以及相同列重心值交換排序得到
綜觀上述兩種選取法則所得到之階層圖（十一）與（十二）及其交錯 邊數，發現「先固定下層，再依照重心法演算法則排序」與「先固定上層，
再依照重心法演算法則排序」，得到的交錯邊數有明顯的不同。