重心法的一個新演算過程對教材地位圖的成效－以九年一貫幾何概念教材為例－

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國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

重心法的一個新演算過程對教材地位圖的成效

－以九年一貫幾何概念教材為例－

研究生：蔡育政撰

中華民國九十六年一月

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中文摘要

杉山公造(Kozo Sugiyama)於 1981 年提出重心法(Barycentric method; 簡稱：BC 法）以來，受到許多研究階層結構圖學者之青睞，例如：何氏圖、概念圖這方面之研究，均以重心法為主要之分析技術，來探究階層結構圖之實用性與可讀性。然而，目前使用重心法的情形，均以杉山公造所提出之演算流程為依據，來撰寫分析程式。但在判斷重心值相同之情況時，演算法往往無法有效解決交錯邊數過多之情形。基於此，本研究擬根據現有文獻，分析重心法的演算過程，擬提出有效克服同重心值問題時，所產生之瓶頸，並根據不一致性係數（Inconsistent coefficient）來檢視本研究所提出之重心演算法之成效。另一方面，由於目前國小正積極推動九年一貫課程改革，其中特別強調教師自編教材之能力。所以，提供可讀性高之教材地位圖，將有助於教師了解教材之地位，並增進教學效果。本研究之發現：（1）執行重心法的新步驟；（2）九年一貫『幾何主題』教材之可讀性高的教材地位圖。關鍵詞：BC 法、何氏圖、概念圖、不一致性係數、階層圖、教材地位圖

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The new calculation procedure of Barycentric Method to Learning level maps fruitage

Abstract

Since Kozo Sugiyama proposed Barycentric method (ie. BC Method) in 1981, BC Method has been highly regarded among the scholars studying hierarchy. Studies like the Forrester Diagram and concept maps are mainly analyzed with BC Method to discuss the practicability and readability of hierarchies.

However, BC Method is presently used to code analysis programs, based on the process of calculation proposed by Sugiyama. Nevertheless, algorithm is usually unable to effectively solve the problem of excessive numbers of crossings when ascertaining the identical Barycenter.

According to the available references, this research is to analyze the process of calculation and to bring up effective solutions to overcome the problem of the identical Barycenter. Followed by examining the results of Barycenter method with inconsistent coefficient proposed in this research.

On the other hand, elementary schools are undertaking educational reforms, the 1st-9th Grades Curriculum, in which teachers’ abilities to organize teaching materials are particularly requested. The learning level maps of teaching materials with high readability will be beneficial for teachers to understand the status of the teaching materials and also improve the results of teaching and learning.

The findings in this research includes that:

(1) two new procedures of performing BC method;

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Keywords: BC method, Forrester Diagram, concept maps, inconsistent coefficient, hierarchy, Learning level map

(5)

第一章緒論...1

第一節研就動機...1 第二節研究目的...2 第三節名詞釋義...3 第四節研究限制...5

第二章文獻探討...7

第一節重心法及其演算法則...7 第二節九年ㄧ貫幾何概念教材分析...25

第三章方法與步驟...31

第一節幾何教材地位圖之信效度分析...31 第二節重心法在幾何主題之分析步驟...32

第四章結果與討論...35

第一節重心法之成效分析...35 第二節九年ㄧ貫幾何概念教材地位圖...40

第五章結論與建議...43

第一節結論...43 第二節建議...43

(6)

參考文獻...45

附件一...48

附件二...49

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第一章緒論

第一節研究動機

國小課程的教學一向注重認知、情意、技能三種學習理論，因而，幫學生建立正確的學習知識，也就成為教師的首要目標。自九年一貫課程改革以來，新課程的實施，對於傳統式的教學也帶來不小的的衝擊。因此，教師在教學上必須給予學生良好的學習方式，使學生對於課程的意義能融會貫通，進而使學生得到較佳的學習成效。根據國內外學者的研究，利用概念圖或學習階層圖來探討學童的概念學習之成效，已有顯著的效益。主要是因為，概念圖或學習階層圖的理論，在各學科領域的概念上，仍然有著強烈的上下位連結與因果關係。如 Stice & Alvarez(1986)對幼稚園至國小四年級的學童進行概念圖教學，並發現此教學策略能有效提昇低成就學生的學習效果。Hawk(1986)則是以六年級及七年級的學生作為研究對象，以概念圖的方式教導實驗組學生學習生命科學，研究結果發現實驗組的學生在成就測驗上的表現優於對照組。而國內學者的研究，則如陳嘉成(民 87)曾以合作學習式概念構圖為教學架構，來進行教學實驗。結果顯示合作式概念構圖的學習成效優於個別學習式概念構圖，而個別學習式概念構圖學習效果又比傳統教學效果來的好。

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然而，概念圖或學習階層圖，在學習上雖有不錯的效益。但往往因為概念間的數量與階層數過於繁雜，容易使閱讀者產生不利理解的負面印象。因而，對概念圖或學習階層圖的效益也就大打則扣了。因此，為解決此繁雜的交錯問題，本研究採用杉山公造(K.Sugiyama)於 1981 年提出之重心法(barycentric method，簡稱 BC 法)，並提出解決同重心問題之演算法則，以求得較佳的概念圖或學習階層圖。由於教材地位圖對兒童之有效學習助益良多，且對九年一貫課程中，數學領域五大主題所作之教材地位圖，尚不夠完整，是以，本研究參考陳俊宏（民 95）對翰林版數學領域之數與量概念所進行之研究，擬針對幾何主題提供可讀性高之教材地位圖，作為幾何教學或補助教學之參考。

第二節研究目的

對於重心法的使用情形，目前均以日本學者杉山公造所提出之演算流程為依據，來撰寫分析程式。但在判斷重心值相同之情況時，演算法往往無法有效解決交錯邊數過多之情形。因此，本研究之目的有二，其一乃企圖對重心法之演算方法加入新的步驟，以達到有效減少交錯邊數之效果，並根據不一致性係數（inconsistent coefficient）來檢視本研究所提出之重心法與杉山公造所提出之重心法的成效比較。

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本研究之另一目的，即利用改良後之重心法，應用於九年一貫課程中的數學領域之幾何概念，提供可讀性高之學習階層圖，使其能有助於教師了解教材之地位，並增進教學效果，或提供教師在進行補救教學時之參考。

第三節名詞釋義

一、階層圖一階層圖（hierarchy）G，乃由

{

L1,L2,L,Ln

}

與邊的集合E⊆V ×V所構成，簡記G=

(

V,E

)

，其中 i n i L V 1 = = U 且Li表示第i層頂點所成的集合。二、鄰接矩陣階層圖 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = L E G _i n i , 1 U 中，假設

{

}

i L i i i i u u u L = ₁, ₂,_L, ，其中 L_i 表示集合L_i之元素個數。則第i層與第i+1層之鄰接矩陣（adjacency matrix）Mi之定義如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + 1 1 1 1 11 i i i i L L L kl L i m m m m m M L O N M M N O L ，

(

( )

)

( )

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = + + . , , 0 , , , 1 1 1 E u u E u u m l i ik l i ik kl 若若三、鄰域令Nu_i₊₁ =

{

ui∈Li |

(

ui,ui+1

)

∈E

}

，則稱Nu_i₊₁為頂點ui+1之鄰域（neighborhood）。

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四、度 ∀u_i₊₁∈L_i₊₁，令 1 + i u d = 1 + i u N ，則稱 1 + i u d 為頂點u_i₊₁之度（degree）。五、重心本研究所指重心（barycenter），分成鄰接矩陣之行重心（column barycenter）與列重心（row barycenter）兩部分。鄰接矩陣Mi中，第l行（column）之行重心B_lC的計算方式如下： o L 1 1 1 , , 1 , ₊ = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × =

∑

i L k kl L k kl C l l L m m k B i i 同理，鄰接矩陣Mi中，第k列（row）之列重心 R k B 的計算方式如下： o L i L l kl L l kl R k k L m m l B i i , , 1 , 1 1 1 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × =

∑

+ + = = 六、交錯邊本研究所指的交錯邊(crossing edge)為兩有向邊之交點，此交點不為三個有向邊(含)以上之交點。亦即，無三線(含)以上共點之情形。七、不ㄧ致性係數對任意大於 1 之正整數m，令ri =

(

yi1,yi2,L,yim

) { } { }

∈ 0,1m\ 0 m 且滿足 ( ) ( )

∑

= + = + = = _≤ m k k i m k k i m k ik m k ik y ky y ky 1 1 1 1 1 1 _， 1 2 , , 2 , 1 − = m i _L 。又令

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( )

_{∑ ∑}

− = = + = 1 1 1 , m m j i j i r y y r C α β α β α ，1≤ ≠ ≤2m−1 j i ， ( ) ( ) ( )( )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 11 m m m m t t t t t Tm ij L O N M M N O L ，

( ) ( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > − < + = i j j i i j j i i j j i ij r r C r r C r r C r r C r r C r r C t , , , 0 , , , , , , 若若若。則不ㄧ致性係數（inconsistent coefficient）δ 之定義如下： m

(

)(

)

100% 1 2 1 2 − 1− × = _m m−_m₋ m N δ ，其中N_m− =

{

( )

i, j :t_ij =−,1≤i< j≤2m−1

}

。八、幾何概念九年一貫課程(1st -9th Grades Curriculum)乃教育部於民國九十一學年度頒布，並逐年於國中小施行之教育改革政策，課程包含七大領域（語文、健康與體育、社會、藝術與人文、數學、自然與科技及綜合活動），其中，數學領域包含「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」之五大主題，本研究所指之幾何概念為「幾何」主題。

第四節研究限制

本研究限制所考慮之 N 階階層圖，為不含有循環迴路，即不含有始點與終點相同之路徑。雖然，本研究所考慮之 N 階階層圖，不含有長邊，也就是跨過兩層(含)以上之有向邊，然而，透過加入虛擬點與虛擬邊之處理

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技術，所以，帶有長邊之 N 階階層圖，可以轉換成不含長邊之情況。因此，本研究對帶有長邊之 N 階階層圖，並不加以設限。另一方面，本研究基於一般性的 N 階階層圖過於複雜，因此，根據 matlab 程式隨機產生鄰接矩陣，再由鄰接矩陣繪製之 N 階階層圖為研究對象。故本研究之研究結論，在推論上，宜留意所要推論之 N 階階層圖，是否與本研究所探討之 N 階階層圖具有同構之性質。

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第二章文獻探討

為了探討重心法之演算法，以及將該演算法應用於九年ㄧ貫幾何概念之教材分析時，教材結構呈現之狀態，本章分成兩節來進行相關文獻之探究，第一節探討重心法及其演算法則，第二節為九年ㄧ貫幾何概念教材之分析。

第一節重心法及其演算法則

一、重心法之演算步驟重心法藉由計算重心值，將學習階層圖中，每一層內之概念節點，依照各概念節點之重心值，由小到大，由左到右之順序，重新排列。重心法之演算法則，基本上先建造於只有兩層之學習階層圖，之後再擴充到兩層以上之學習階層圖。（一）只有兩層之學習階層圖的演算法為方便描述演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹杉山公造教授之演算步驟。 1.函數定義 (1) K

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M _≤_≤ _≤ _≤ 為一鄰接矩陣，則

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( )

∑ ∑ ∑ ∑

− = = + − = = + = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 L j L j k L L k j m m M K α β α β α 。 (2) βC

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣，映到根據行重心值重新排列該矩陣的行後，所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M = _≤_≤ _≤ _≤ 且 C_j C_j C_j L B B B 2 2 1 < <L< ，則

( )

2 1,1 1 i L k L ij C M =N = m _k _≤_≤ _≤ _≤ β 。 (3) βR

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣，映到根據列重心值重新排列該矩陣的列後，所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M = _≤_≤ _≤ _≤ 且 _iR _iR _iR L B B B 1 2 1 < <L< ，則

( )

2 1,1 1 k L j L j i R M =L= m_k _≤ _≤ _≤ _≤ β 。 (4) RC

( )

⋅ ：令鄰接矩陣

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M = _≤_≤ _≤_≤ 滿足BC_j BC_j 2 1 = ，則

( )

2 1,1 1i L j L ij C M n R = _≤_≤ _≤ _≤ ，這裏

{

}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = = ∉ = 2 1 2 1 , , , , , , 1 2 j j m j j m j j j m n ij ij ij ij 若若若 (5) RR

( )

⋅ ：令鄰接矩陣

( )

2 1,1 1 i L j L ij m M = _≤_≤ _≤_≤ 滿足BR_j BR_j 2 1 = ，則

( )

2 1,1 1 i L j L ij R M n R = _≤_≤ _≤ _≤ ，這裏

{

}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = = ∉ = 2 1 2 1 , , , , , , 1 2 j j m j j m j j j m n ij ij ij ij 若若若 (6)交錯邊數：若給定第 i 層與第i+1層之鄰接矩陣 q p ij i m M =[ ] _× ，p= Li 且q= Li+1 ，

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則定義第 i 層與第i+1層之交錯邊數為

∑ ∑ ∑ ∑

− = = + − = = + = 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( p j p j k q q i k i j i m m M K α β α β α ， 則 n 階層的總交錯邊數為 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (M =K M1 +K M2 +K M3 + +K Mn−1 K _L ，其中 M 為鄰接矩陣。例如： a b c d e f g h i j k l m 第一層第二層第三層第四層圖一、擷取自 K.Sugiyama(1981)之文章的階層結構圖其中 0 1 0 0 c 1 0 0 0 b 1 1 0 1 a g f e d 1 = M ，K(M1)=2 0 1 1 0 g 0 0 1 0 f 0 0 1 0 e 0 1 0 1 d k j i h 2 = M ，K(M2)=3 1 1 k 0 1 j 0 1 i 1 1 h m l 3 = M ，K(M3)=3

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而 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 M M M M ，則 K(M)= K(M1)+K(M2)+K(M3) =2+3+3=8。 2.演算步驟杉山公造之演算法，分為兩階段逐步進行。 (1) 第一階段（重心值皆不相同時） a.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之次數（即疊代次數）r，然後計算K

( )

M₁ ，這裏M₁表示為第 1 層與第 2 層之鄰接矩陣。 b.步驟 2：令M2 =βR

( )

M1 。 c.步驟 3：若K

( )

M2 <K

( )

M1，則令M =M2 ∗ _，

( )

2 M K K∗ = 。 d.步驟 4：令M3 =βC

( )

M2 。 e.步驟 5：若K

( )

M₃ < K∗，則M∗ =M₃，K∗ =K

( )

M₃ 。 f.步驟 6：若M3 =M1或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段演算，進入第二階段演算。否則，回到第一階段的步驟 2。 (2) 第二階段（出現相同重心值時） a.步驟 1：令M4 =RC

( )

M3 。

(17)

b.步驟 2：M4之行重心值若不是由小到大排列時，則令 4 1 M M = ，且跳到第二階段步驟 5，否則進行步驟 3。 c.步驟 3：M5 =RR

( )

M4 。 d.步驟 4：M5之列重心值若不是由小到大排列，則令 5 1 M M = 且跳到第二階段步驟 5，否則結束執行。 e.步驟 5：若第二階段之疊代次數大於初始值時，則結束執行，否則跳到第一階段第 2 步驟。範例說明： b c d e f g h a 圖二、階層圖步驟 1：寫出鄰接矩陣 1 5 . 2 5 . 2 3 5 . 1 2 2 1 0 0 1 1 d 3 1 3 0 1 0 0 c 2 2 3 1 0 1 0 1 b 3 2 4 2 1 0 1 0 a h g f e 1 C l R k B B M = + = = + = + = ， K

( )

M1 =11 此鄰接矩陣計算出的列重心值，依照列重心值的大小，由上至下，由小至大依序排列。但因為出現相

(18)

同列重心值，因此，在排序時相同的列重心值必須兩兩互換，找出最少的交錯邊數。步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到 3 3 2 5 . 1 3 0 1 0 0 c 3 1 0 1 0 a 2 0 1 0 1 b 5 . 1 0 0 1 1 d h g f e 2 C l R k B B M = ， K

( )

M₂ =3 以及相同列重心值交換排序得到 4 5 . 2 5 . 2 5 . 1 3 1 0 1 0 a 3 0 1 0 0 c 2 0 1 0 1 b 5 . 1 0 0 1 1 d h g f e 3 C l R k B B M = ， K

( )

M₃ =3 步驟 3：將行重心值按大小次序排列，且相同行重心值也需交換排序以得到最小交錯邊數，因此， i.由鄰接矩陣M2得到 3 3 2 5 . 1 4 1 0 0 0 5 . 2 0 1 1 0 a 5 . 2 1 0 0 1 b 5 . 1 0 0 1 1 d g h f e 4 C l R k B c B M = ， K

( )

M₄ =3 此鄰接矩陣經由行列重心值排序與交換同重心位置所得到的最少交錯邊數與K

( )

M3 皆等於 3，所以演算步驟結束。

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ii.由鄰接矩陣M3得到 4 5 . 2 5 . 2 5 . 1 5 . 3 1 1 0 0 a 2 0 0 1 0 c 5 . 1 0 0 1 1 b 2 0 1 0 1 d h f g e 5 C l R k B B M = ， K

( )

M₅ =3 此鄰接矩陣依照行重心值排序後，其列重心值的大小順序已改變，因此，需再做一次列重心值排序。步驟 4：將鄰接矩陣M5的列重心值再次依照大小次序排列，得到兩矩陣M 與6 M 。如下： 7 4 3 2 1.5 3.5 1 1 0 0 a 2 0 0 1 0 c 2 0 1 0 1 d 1.5 0 0 1 1 b h f g e 6 C l R k B B M = ， K

( )

M₆ =2 此鄰接矩陣的行列重心值皆依照大小順序排序，因此，最小交錯邊數為 2。以及由鄰接矩陣M5另一相同列重心值交換排序後，得到 4 5 . 3 1.5 2 3.5 1 1 0 0 a 2 0 1 0 1 d 2 0 0 1 0 c 1.5 0 0 1 1 b h f g e 7 C l R k B B M = ， K

( )

M₇ =2 此鄰接矩陣經過列重心值排序後，行重心值的大小

(20)

順序須再一次排序。步驟 5：將鄰接矩陣M7的行重心值再次依照大小次序排列，得到 4 5 . 3 2 1.5 3.5 1 1 0 0 a 2.5 0 1 1 0 d 1 0 0 0 1 c 1.5 0 0 1 1 b h f e g 8 C l R k B B M = ， K

( )

M₈ =1 此鄰接矩陣經過行重心值排序後，列重心值的大小順序須再一次排序。步驟 6：將鄰接矩陣M8的列重心值再次依照大小次序排列，得到 4 5 . 3 2 1.5 3.5 1 1 0 0 a 2.5 0 1 1 0 d 1.5 0 0 1 1 b 1 0 0 0 1 c h f e g 9 C l R k B B M = ， K

( )

M₉ =0 此鄰接矩陣的行列重心值皆依照大小順序排序，因此，最小交錯邊數為 0。且比較各K

( )

Mi ，i=1L9，得到最少交錯邊數為 0 的最佳階層圖如下： b d a g e f h c 圖三、階層圖

(21)

（二）兩層以上之學習階層圖的演算法假設該學習階層圖有n層，n>2，底下為演算步驟： 1.固定第 1 層，根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 2 層中頂點之順序。 2.固定排序完後之第 2 層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第 3 層中頂點之順序。 3.依此類推，直到排完第n層為止。 4.固定第n層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第n−1層中頂點之順序。 5.固定排序完後之第n−1層，再根據壹、一、（一）、2 之演算法排第n−2層中頂點之順序。 6.依此類推，直到排完第 1 層為止。範例說明： a b c d e f g _h _i j k l 第層1 第層2 第層3 第層4

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步驟 1：寫出鄰接矩陣G ₀ M(1) M(2) M(3) 1 2.5 0 0 1 c 0 0 1 b 0 1 0 a f e d 0 c l B G = 0 1 0 f 1 1 1 e 0 0 1 d i h g 0 0 0 i 0 1 1 h 1 0 0 g l k j ， K(G₀)=5 其中，M(1)是第 1 層與第 2 層的鄰接矩陣，M(2)是第 2 層與第 3 層的鄰接矩陣，M(3)是第 3 層與第 4 層的鄰接矩陣。步驟 2：固定第 1 層，排第 2 層頂點之順序，將列重心值按大小次序排列，得到 (1) M M(2) M(3) 5 . 2 1 0 1 0 c 0 1 0 b 0 0 1 a f d e 1 c l B G = 1 2 5 . 1 0 1 0 f 0 0 1 d 1 1 1 e i h g c l B 0 0 0 i 0 1 1 h 1 0 0 g l k j ， K(G₁) =5 步驟 3：固定排序完後之第 2 層，排第 3 層頂點之順序，將列重心值按大小次序排列，得到 (1) M M(2) M(3) 0 1 0 c 0 1 0 b 0 0 1 a f d e 2 = G 2 5 . 1 1 1 0 0 f 0 1 0 d 1 1 1 e h g i 2 3 3 0 1 1 h 1 0 0 g 0 0 0 i l k j ， K(G₂) =3

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步驟 4：固定排序完後之第 3 層，排第 4 層頂點之順序，將列重心值按大小次序排列，得到 (1) M M(2) 5 . 2 1 2 0 1 0 c 2 0 1 0 b 1 0 0 1 a f d e 3 c l R k B B G = 2 5 . 1 1 3 1 0 0 f 2 0 1 0 d 2 1 1 1 e h g i c l R k B B (3) M 3 3 2 2.5 1 1 0 h 1 0 0 1 g 0 0 0 i k j l c l R k B B ， K(G₃)=1 步驟 5：由於有相同重心出現，所以將 e 與 d 互換再探討其交錯邊數 (1) M M(2) 3 5 . 1 0 1 0 a 0 0 1 c 0 0 1 b f e d 5 c l B G = 5 . 2 1.5 2 1 0 0 f 1 1 1 e 0 1 0 d h g i c l B (3) M 1 1 0 h 0 0 1 g 0 0 0 i j k l ， K(G5)=1

(24)

步驟 6：在 ( )2 M 中，將列重心值按大小次序排列，得到 (1) M M(2) 3 5 . 1 0 . 2 0 1 0 a 0 . 1 0 0 1 c 0 . 1 0 0 1 b f e d 6 c l R k B B G = 5 . 2 2 5 . 1 3 1 0 0 f 2 1 1 1 e 1 0 0 1 d h i g c l R k B B (3) M 3 3 1 5 . 2 1 1 0 h 0 0 0 i 1 0 0 1 g j k l c l R k B B ， K(G6) =0 由於有相同重心出現，所以必須將兩元素相互交換，在探討其交錯邊數。因為K(G₃)>K(G₆)，因此，取G 為最後之鄰₆ 接矩陣。 a b c d e f g _i _h j k l 第層1 第層2 第層3 第層4 圖五、擷取自 K.Sugiyama(1981)之排序後階層結構圖

(25)

二、重心法演算步驟之問題點與其實例說明（一）鄰接矩陣M 中，出現過多相同重心值時，演算步驟第二階段中之RC

( )

M 或RR

( )

M ，將面臨無法定義的問題。實例說明： a b c d e f g h i j 圖六、階層圖步驟 1：寫出鄰接矩陣 3 5 . 3 3 . 3 5 . 3 3 2 0 0 1 1 1 e 5 . 3 0 1 1 0 0 d 5 . 4 1 1 0 0 0 c 2 0 0 0 1 0 b 2 0 0 1 0 1 a j i h g f 1 c l R k B B M = ， K

( )

M1 =18 此鄰接矩陣產生三個相同列重心的值，故無法有效判斷其先後次序，因此，必須將此三個元素兩兩交換，並同時探討交換後所產生的交錯邊數。下列將交換後產生之交錯邊數較少者，提出討論。

(26)

步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到 5 5 . 4 3 2 5 . 2 5 . 4 1 1 0 0 0 c 5 . 3 0 1 1 0 0 d 2 0 0 1 1 1 e 2 0 0 1 0 1 a 2 0 0 0 1 0 b j i h g f 2 c l R k B B M = ， K

( )

M2 =4 步驟 3：將行重心值按大小次序排列，得到 5 5 . 4 3 5 . 2 2 5 . 4 1 1 0 0 0 c 5 . 3 0 1 1 0 0 d 2 0 0 1 1 1 e 5 . 2 0 0 1 1 0 a 1 0 0 0 0 1 b j i h f g 3 c l R k B B M = ， K

( )

M3 =3 步驟 4：行重心值經大小次序排列後， 5 5 . 4 3 2.5 1.5 5 . 4 1 1 0 0 0 c 5 . 3 0 1 1 0 0 d 5 . 2 0 0 1 1 0 a 2 0 0 1 1 1 e 1 0 0 0 0 1 b j i h f g 4 c l R k B B M = ， K

( )

M4 =1 因為行重心值與列重心值都已經按大小次序排列，故可以得到最少交錯邊數為 1。其最後排列的圖形如下： b e a d c g f h i j 圖七、依照重心法排序後所產生的階層結構圖

(27)

（二）若演算步驟不是先固定第 1 層（最上層），然後逐一排到最後一層(最下層)，而是先固定最後一層(最下層)，再逐一排到第 1 層（最上層）時，減少交錯邊之效果不同。實例說明： a e b c d f g h 圖八、階層圖 1.若先固定下層，再依照重心法演算法則排序。過程如下所示：步驟 1：寫出鄰接矩陣 5 . 2 2 2 3 1 2 5 . 2 1 0 0 1 d 3 0 1 0 0 c 5 . 1 0 0 1 1 b 3 2 2 1 1 0 1 a h g f e 1 C l R k B B M = ， K

( )

M1 =9 步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到 5 . 2 5 . 3 1 2 3 0 1 0 0 c 3 2 2 1 1 0 1 a 2.5 1 0 0 1 d 1.5 0 0 1 1 b h g f e 2 C l R k B B M = ， K

( )

M2 =6

(28)

步驟 3：將行重心值按大小次序排列，得到 5 . 3 5 . 2 2 1 4 1 0 0 0 c 3 1 1 1 0 a 5 . 2 0 1 1 0 d 5 . 1 0 0 1 1 b g h e f 3 C l R k B B M = ， K

( )

M₃ =1 因為行重心值與列重心值都已經按大小次序排列，故可以得到最少交錯邊數為 1。其最後排列的圖形如下： b f d a c e h g 圖九、階層圖 2.若先固定上層，再依照重心法演算法則排序。過程如下所示：步驟 1：寫出鄰接矩陣 5 . 2 3 5 . 1 3 2 2 5 . 2 1 0 0 1 h 2 0 1 0 1 g 2 0 0 1 0 f 3 1 2 1 0 1 1 e d c b a 1 C l R k B B M = ， K

( )

M1 =9 步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到 5 . 3 2 2 3 5 . 2 1 0 0 1 h 3 1 2 1 0 1 1 e 2 0 1 0 1 g 2 0 0 1 0 f d c b a 2 C l R l B B M = ， K

( )

M2 =8

(29)

以及相同列重心值交換排序得到 5 . 3 1 5 . 2 3 2 2 5 . 2 1 0 0 1 h 3 1 2 1 0 1 1 e 2 0 0 1 0 f 2 0 1 0 1 g d c b a 3 C l R k B B M = ， K

( )

M3 =8 步驟 3：將行重心值按大小次序排列， (1) 由鄰接矩陣M2得到 5 . 3 3 2 2 5 . 3 1 1 0 0 h 3 2 2 1 1 0 1 e 5 . 2 0 1 1 0 g 1 0 0 0 1 f d a c b 4 C l R k B B M = ， K

( )

M4 =3 以及相同行重心值交換排序得到 5 . 3 3 2 2 5 . 3 1 1 0 0 h 3 1 1 1 0 e 2 0 1 0 1 g 2 0 0 1 0 f d a b c 5 C l R k B B M = ， K

( )

M₅ =3 鄰接矩陣M4已照重心法演算法則之大小順序排列，故結束演算步驟。而鄰接矩陣M5依照行重心值排序後，產生相同列重心值。因此，需再次交換相同列重心值的排序，故得到鄰接矩陣

(30)

5 . 3 3 2 2 5 . 2 1 5 . 3 1 1 0 0 h 3 1 1 1 0 e 2 0 0 1 0 f 2 0 1 0 1 g d a b c 6 C l R k B B M = ， K

( )

M6 =3 鄰接矩陣M6已依照重心法演算法則之大小順序排列，故結束演算步驟。 (2) 由鄰接矩陣M3得到 5 . 3 3 2 2 5 . 2 1 5 . 3 1 1 0 0 h 3 1 1 1 0 e 2 0 0 1 0 f 2 0 1 0 1 g d a b c 7 C l R k B B M = ， K

( )

M7 =3 鄰接矩陣M7中，有相同的列重心值，須做相同列重心值交換排列。但比對鄰接矩陣M7與M6，發現兩矩陣一樣。因此，結束此鄰接矩陣的重心法之演算步驟。故比較交錯邊數K

( )

Mi ，i =1L7，得到最少交錯邊數為 3 的最佳階層圖M7（交錯邊數為 3 的有數個，任取一個）。其圖形如下： c g b a d f e h 圖十、階層圖

(31)

綜觀上述兩種選取法則所得到之階層圖（十一）與（十二）及其交錯邊數，發現「先固定下層，再依照重心法演算法則排序」與「先固定上層，再依照重心法演算法則排序」，得到的交錯邊數有明顯的不同。

第二節九年ㄧ貫幾何概念教材分析

一、九年一貫幾何領域能力指標（一）S-1-01：能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。（二）S-1-02：能描繪或仿製簡單幾何形體。（三）S-1-03：能認識周遭物體中的角、直線和平面。（四）S-1-04：能認識平面圖形的內部、外部及其周界。（五）S-1-05：能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。（六）S-1-06：能描述物體的相對位置。（七）S-1-07：能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。（八）S-2-01：能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。

(32)

（九）S-2-02：能理解垂直與平行的意義。（十）S-2-03：能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。（十一）S-2-04：能認識平面圖形全等的意義。（十二）S-2-05：能理解旋轉角的意義。（十三）S-2-06：能理解平面圖形的線對稱關係。（十四）S-2-07：能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（十五）S-2-08：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（十六）S-3-01：能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。（十七）S-3-02：能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。（十八）S-3-03：能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（十九）S-3-04：能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（二十）S-3-05：能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。（二十一）S-3-06：能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（二十二）S-4-01：能利用形體的幾何性質來定義某一類形體。（二十三）S-4-02：能指出合於所給定性質的形體。

(33)

（二十四）S-4-03：能描述複合形體構成要素間的可能關係。（二十五）S-4-04：能利用形體的性質解決幾何問題。（二十六）S-4-05：能運用面積計算導出勾股定理。（二十七）S-4-06：能理解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。（二十八）S-4-07：能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。（二十九）S-4-08：能理解三角形的幾何性質。（三十）S-4-09：能理解多邊形的幾何性質。（三十一）S-4-10：能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。（三十二）S-4-11：能理解平行線的定義與相關性質。（三十三）S-4-12：能檢驗兩平面圖形是否相似。（三十四）S-4-13：能運用相似三角形的性質進行測量。（三十五）S-4-14：能理解圓的幾何性質。（三十六）S-4-15：能利用三角形及圓的性質作推理。二、九年一貫幾何概念教材分析本研究中，以翰林 94 年版，國小一到六年級教材中，與「幾何」概念有關的單元，經分析整理後，如下所示。（一）第一冊第一單元，單元名稱：比長短

(34)

（二）第一冊第四單元，單元名稱：方向和順序（三）第二冊第五單元，單元名稱：認識形狀（四）第三冊第七單元，單元名稱：鋪地板（面積的大小）（五）第四冊第二單元，單元名稱：速度和方位（六）第四冊第四單元，單元名稱：公分、周長（七）第四冊第七單元，單元名稱：重量（克）、體積（八）第五冊第二單元，單元名稱：方位與圖形（九）第五冊第五單元，單元名稱：容量、重量和長度（十）第五冊第七單元，單元名稱：面積（平方公分）（十一）第六冊第三單元，單元名稱：角與角度（十二）第六冊第五單元，單元名稱：正方體與長方體（十三）第七冊第一單元，單元名稱：周長與全等（十四）第八冊第三單元，單元名稱：角度（十五）第八冊第六單元，單元名稱：圓與方位（十六）第八冊第七單元，單元名稱：面積（十七）第九冊第一單元，單元名稱：四邊形（十八）第九冊第四單元，單元名稱：三角形（十九）第九冊第八單元，單元名稱：柱體與椎體（二十）第十冊第六單元，單元名稱：體積與表面積

(35)

（二十一）第十一冊第一單元，單元名稱：平面圖形的性質（二十二）第十一冊第四單元，單元名稱：面積

（二十三）第十二冊第一單元，單元名稱：立體圖形的面（二十四）第十二冊第四單元，單元名稱：圓周長

(36)

三、九年一貫幾何概念教材地位圖根據教材分析後之結果，經教學經驗豐富之國小教師討論上下位階層關係後，再商請台中教育大學教授修正認可，得到圖十一之教材地位圖。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 17 18 19 20 比長短方向與順序認識形狀積的大小 ) 鋪地板 ( 面速度和方位公分、周長體積重量 ( 克 ) 、方位與圖形和長度容量、重量公分 ) 面積 ( 平方角與角度方體正方體與長周長與全等角度圓與方位面積四邊形三角形柱體與椎體積體積與表面性質平面圖形的面積面積立體圖形的圓周長圓面積圖十一、幾何概念之教材地位圖

(37)

第三章方法與步驟

根據第二章的重心法之理論基礎與演算法則，利用 Matlab 6.5 軟體來撰寫演算法則的程式，以探討幾何主題的教材地位圖減少交錯邊數之問題，本章分成兩節來述說信效度與執行步驟之分析，第一節為幾何教材地位圖之信效度分析，第二節則詳述重心法在幾何主題之分析步驟。

第一節幾何教材地位圖之信效度分析

一、信度分析本研究所指之信度，乃指幾何概念教材地位圖，經數學與數學教育兩個領域之專家鑑定後，根據評分者信度，來呈現幾何概念教材地位圖是否具有一致性。因此，本研究商請大學數學與數學教育之教授各三名，以及三位國小數學科輔導員，來對教材地位圖根據附件一之表格進行評分，計算評分者信度。二、效度分析本研究所指之效度，乃指幾何概念教材地位圖，經教材內容分析後，來呈現幾何概念教材地位圖是否具有一定程度之有效性。為了解幾何概念教材地位圖具有一定程度之有效性，本研究根據附件二之檢核表格，來進行內容效度分析。

(38)

第二節重心法在幾何主題之分析步驟

一、建立鄰接矩陣資料之方法

（一）利用 Microsoft Office Excel 2003 建立鄰接矩陣之資料 1. 本程式是以每一層之結點數均相同的情形下來撰寫。然而，實際上之階層圖或教材地位圖其每層的點數未必相等，故以階層圖中節點數最多的一層為每層應有的節點數，不足節點數的階層則以虛擬節點補齊，致使每層的節點數皆相同，形成新的階層圖或教材地位圖。 2. 在階層圖或教材地位圖中，可能會出現具有跨階層關係之連邊情況，本程式利用相鄰在跨階層的之中間層加上虛擬點，其跨層的情況有兩種，如下： (1) 若被跨層的節點數不是最多點數的一層，則依照一、（一）、1 的步驟在該層中加入虛擬點，使得每層的節點數皆相同。 (2) 若被跨層的節點數是最多點數的一層，同樣在該層中加入一虛擬點，但最多節點數之層又增加一虛擬點，因此，其他層也必須增加節點數，致使所有的階層的節點數都相同。

(39)

3. 從新的階層圖或教材地位圖之最下層節點，由左至右，由下至上，依序填入鄰接矩陣的行與列中。 4. 在鄰接矩陣中，依照新的階層圖或教材地位圖中相鄰的兩層，其對應的位置之值，若有連邊則標記為 1，否則為 0。 5. 從一、（一）、4 所得到的鄰接矩陣中，由於未具有連邊關係的值為 0，其數量過多不宜一一鍵入。因此，我們先將矩陣的範圍反白，再從功能表中選取的「編輯」中的「取代」功能，取代成「0」，即可節省鍵入鄰接矩陣的時間。（二）利用 Matlab 模擬一個隨機鄰接矩陣之資料呼叫程式檔 rand_pro_matrix，可隨機創造一個鄰接矩陣的資料，其中必須設定階層數以及每層之節點數。二、將鄰接矩陣之資料存成 M-file 檔

在 Matlab 執行程式時，必須先將 Microsoft Office Excel 2003 得到的鄰接矩陣資料轉寫入於 M-file 檔內，其步驟如下：（一）將鄰接矩陣定義一個名稱，型如name=

[ ]

。其次，把在 Excel 中的鄰接矩陣資料複製過來，貼於矩陣符號

[ ]

內。（二）定義一個n×1的矩陣 layer，即是把鄰接矩陣中概念的編號依據其所在層區分出來，第 1 層的概念節點均輸入「1」，第 2 層的概念節點均輸入「2」，以此類推。（三）將 M-file 命名存檔並輸入於程式中。

(40)

三、Matlab 分析（一）呼叫已撰寫好的主程式檔 main_BC，此程式檔是分析此鄰接矩陣利用重心法重新排序後之總交錯邊數。（二）主程式檔 main_BC 中，應用到程式 temp_perm，而此程式在計算行重心值與列重心值，並依其大小重新排序。（三）主程式檔 main_BC 中，應用到程式 BC_adj，此程式在執行的 動作是將第 i 層與第i+1層所產生的鄰接矩陣擷取出來，並定義為一新的矩陣。四、output 分析（一）原交錯邊數計算原交錯邊數需呼叫程式檔 subcross，此程式檔只能分析鄰接矩陣的總交錯邊數，而後，在程式區塊 (Command Window) 輸入 subcross(A)，其中 A 為鄰接矩陣代號，即可計算出此鄰接矩陣之總交錯邊數。因此，利用此程式檔來計算階層圖之原交錯邊數。（二）新交錯邊數利用主程式檔 main_BC，在程式區塊中輸入 main_BC(A,layer)，其中 A 為鄰接矩陣代號，此即可計算出新交錯邊數。五、製圖本研究所撰寫的程式中有兩個程式檔可以執行繪圖功能，如下：（一）呼叫程式檔 iter_BC，此程式檔是以 main_BC 為主要依據，可計算利用 BC 法重新排序後之總交錯邊數，並繪製出圖形。（二）亦可呼叫程式檔 picture，其主要用途為繪製原來的學習階層圖，以及利用重心法重新排序過後的教材地位圖。

(41)

第四章結果與討論

由於杉山公造所提出的重心法演算法則在計算行列重心值時，若產生過多的相同重心值，則會使得演算過程繁雜且耗費時間。因此，本研究於演算法則中加入判別重心值相同時，以決定選取同重心值之節點優先順序。

第一節重心法之成效分析

一、改良後之演算法步驟本研究改良杉山公造之重心法演算法則如下：（一）第一階段 a.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之次數（即疊代次數）r，然後計算K

( )

M₁ ，這裏M₁表示為第 1 層與第 2 層之鄰接矩陣。 b.步驟 2：令M2 =βR

( )

M1 。 c.步驟 3：若K

( )

M2 <K

( )

M1 ，則令M =M2 ∗ _，

( )

2 M K K∗ = 。 d.步驟 4：令M3 =βC

( )

M2 。 e.步驟 5：若K

( )

M₃ < K∗，則M∗ =M₃，K∗ =K

( )

M₃ 。 f.步驟 6：若M3=M1或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段

(42)

演算，進入第二階段演算。否則，回到第一階段的步驟 2。（二）第二階段若M3有兩個以上元素具有相同重心值時，其判別法則如下： a.若u(i+1)p與u(i+1)q之重心值相同，則根據du(i+1)p 與du(i+1)q之值的大小，來決定頂點u(i+1)p與頂點u(i+1)q的順序，數值小的頂點排在數值大的頂點之前。 b.若u(i+1)p與u(i+1)q之重心值相同，且du(i+1)p= du(i+1)q，則將元素相互交換，並同時探討其交錯邊數。實例說明：採用第二章、第一節、二、（一）之問題點的圖六步驟 1：寫出鄰接矩陣 3 5 . 3 3 . 3 5 . 3 3 2 0 0 1 1 1 e 5 . 3 0 1 1 0 0 d 5 . 4 1 1 0 0 0 c 2 0 0 0 1 0 b 2 0 0 1 0 1 a j i h g f 1 c l R k B B M = ， K

( )

M1 =18 此鄰接矩陣中的a、b、e列，其列重心值均為 2，無法有效判斷其先後次序。因此，加入同重心值的判別法則，a列的連邊數有 2，b列的連邊數有 1，e列的連邊數有 3。

(43)

步驟 2：將列重心值按大小次序排列，若有同重心值時並依照連邊數的大小排序，由小至大，由上至下，即可得到 5 5 . 4 3 2 5 . 2 5 . 4 1 1 0 0 0 c 5 . 3 0 1 1 0 0 d 2 0 0 1 1 1 e 2 0 0 1 0 1 a 2 0 0 0 1 0 b j i h g f 2 C l R k B B M = ， K

( )

M2 =4 步驟 3：將行重心值按大小次序排列，若有同重心值時並依照連邊數的大小排序，由小至大，由左至右，即可得到 5 5 . 4 3 5 . 2 2 5 . 4 1 1 0 0 0 c 5 . 3 0 1 1 0 0 d 2 0 0 1 1 1 e 5 . 2 0 0 1 1 0 a 1 0 0 0 0 1 b j i h f g 3 C l R k B B M = ， K

( )

M3 =3 步驟 4：將列重心值按大小次序排列，可得到 5 5 . 4 3 5 . 2 5 . 1 5 . 4 1 1 0 0 0 c 5 . 3 0 1 1 0 0 d 5 . 2 0 0 1 1 0 a 2 0 0 1 1 1 e 1 0 0 0 0 1 b j i h f g 4 C l R k B B M = ， K

( )

M4 =1 因為行重心值與列重心值都已經按大小次序排列，故可以得到最少交錯邊數為 1。雖與第二章、第一節、二、（一）之問題點的圖七之交錯點數及排序圖形一樣，但其在具有同重心

(44)

列的圖形如下：

b

e

a

d

c

g

f

h

i

j

圖十二、依照重心法排序後所產生的階層圖二、改良後之演算法與杉山公造演算法之成效比較（一）改良後之演算法在程式運算時間上，少於杉山公造之演算法。（二）改良後之演算法具有區辨同重心之功能。（三）改良後重心法與重心法之實例分析比較根據改良後之重心法演算法與原重心法演算法，實際模擬二階階層圖之資料，得到改良後重心法之不一致性係數MBCδ 與原m 重心法之不一致性係數BCδ 如下： m

( )

60 . 2 60 . 2 2094081 113547 1926100 54434 11 41 . 2 41 . 2 522753 32679 477467 12670 10 17 . 2 17 . 2 130305 9489 117991 2825 9 82 . 1 82 . 1 32385 2764 29030 591 8 42 . 1 42 . 1 8001 805 7082 114 7 87 . 0 87 . 0 1953 229 1707 17 6 43 . 0 43 . 0 465 63 400 2 5 0 0 105 15 90 0 4 0 0 21 3 18 0 3 0 0 3 0 3 0 2 % % total 0 m m m m m N N BC MBC N m − + δ δ 表一、改良後重心法與重心法之不一致性係數比較

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由表一中我們可以看出杉山公造所提出的重心法演算法則之

不一致性係數BCδ 與改良後的重心法演算法則之不一致性係m

數MBCδ 一樣，亦即在改良後的重心法演算法則之中，當我們m

新加入判別同重心值的選取法則時，仍不會降低重心法在減少交錯邊數上的效益。

(46)

第二節九年ㄧ貫幾何概念教材地位圖

一、利用改良後之重心法之實施步驟（一）利用虛擬節點與虛擬邊，取代跨層的長邊後，得到下圖比長短方向與順序認識形狀積的大小 ) 鋪地板 ( 面速度和方位公分、周長體積重量 ( 克 ) 、方位與圖形和長度容量、重量公分 ) 面積 ( 平方角與角度方體正方體與長性質平面圖形的面積面積立體圖形的圓周長圓面積四邊形三角形柱體與椎體積體積與表面周長與全等角度圓與方位面積圖十三、加入虛擬點之教材地位圖

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（二）根據改良後之演算法，完成減少交錯邊後，再將虛擬節點與虛擬邊還原回長邊後，得到下圖 2 5 6 4 11 9 8 10 12 14 13 16 21 22 23 25 24 17 18 20 19 1 3 7 15 比長短認識形狀方向與順序速度與方位積的大小 ) 鋪地板 ( 面公分、周長體積重量 ( 克 ) 、方位與圖形和長度容量、重量公分 ) 面積 ( 平方角與角度方體正方體與長周長與全等角度圓與方位面積四邊形三角形柱體與椎體積體積與表面性質平面圖形的面積面積立體圖形的圓周長圓面積圖十四、依照重心法排序後之教材地位圖

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二、利用改良後之重心法執行幾何概念之教材地位圖其減少交錯邊數本研究所探討的幾何概念之教材地位圖，其原本之交錯邊數有 27 個之多，然而，經過改良後之重心法去執行，所得到的交錯邊數剩下 16 個。三、減少交錯邊數後的幾何主題教材地位圖之優點（一）對於幾何主題的教材地位圖，由於各年級間的單元與單元相關連結過於複雜，容易使學習者在閱讀上產生混亂的感覺。因此，有效地減少各單元間的交錯邊數，不僅可以讓學習者更清楚地了解單元與單元之間的關連性，更方便容易閱讀追蹤相關知識。（二）由於幾何主題的各單元經過重心法排序後，使得交錯邊數減少，上下位的關聯易於查看，相對地提供可讀性高之教材地位圖，使其能有助於教師了解教材之地位，並增進教學效果。

(49)

第五章結論與建議

第一節結論

一、改良後之重心法之成效在杉山公造所提出的重心法演算法則中，當遇到重心值相同時，相同重心值的節點則必須兩兩交換其位置，再算出其各個節點的重心值，並依重心法演算法則排序。因此，演算過程中常需耗費時間，然而改良後的重心法演算法則在重心值相同時，依照其法則，可以直接選出較佳的排序，以減少演算時間，進而得到交錯數最少的階層圖。二、改良後之重心法之應用對於改良後之重心法的效用，將其有效地利用在九年一貫各領域教學上，一來可讓學習者對單元與單元之間的關連性更明瞭，以便閱讀並追蹤相關知識，第二則是在教學上提供教師可讀性高之教材地位圖，以便增進教學效果。

第二節建議

一、對後續研究之建議本研究利用杉山公造所提出之重心法，並提出改良同重心值之選取法則，然而，在重心法之演算步驟中，先固定最上層與先固定最下層其排序

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後所減少的交錯邊數之效果並不一致。因此，對於後續研究者可針對此問題去探究。二、應用於數學教育上之建議自民間出版社可編輯教科書以來，各家的版本均不一，尤其在數學領域上又包含「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」之五大主，而本研究只針對翰林版本的「幾何」主題做相關研究，因此，建議後續研究者可再對數學領域中其他主題做進一步研究，亦或者可將改良後之重心法應用於九年一貫其它領域上做深究探討，因而提供可讀性高之教材地位圖，以利教師在教學上有更好的教學效果。

(51)

參考文獻

一、中文部分

余民寧（民 86）。有意義的學習─概念構圖之研究。台北：商鼎文化出版。林生傳（民 82）。概念學習與發展的階次理論模式研究—概念發展水準及其相關因素之探討。國立高雄師範大學。行政院國家科學委員會專題研究報告，NSC 82-0301-H-017-005。林明瑞（民 84）。國民小學環境教育概念之建構研究。台中師院學報，10, 1─14。陳嘉成、余民寧（民 86）。以概念構圖為學習策略之教學對自然科學學習的促進效果之研究。政大學報, 73, 161-200。陳淑芬（民 86）。概念構圖式學習系統。國立台灣師範大學資訊研究所碩士論文。未出版，台北市。陳嘉成（民 87）。合作學習式概念構圖在國小自然科教學之成效研究。教育與心理研究, 21, 107─128。教育部（民 92）。國民教育九年一貫課程綱要。台北：教育部。陳俊宏（民 95）。應用 GM 法於階層概念圖。台中教育大學碩士論文，未發表。

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Stice, Carole F. & Alvarez, Marino C. (1986). Hierarchical concept

mapping: Young children learning how to learn. ( ERIC Document

(54)

附件一、教材地位圖之專家評分表

為了清楚了解幾何概念之教材地位圖的上下位關係是否合宜，因此，擬請各位專家學者針對下面的教材地位圖加以評分，評分範圍請定在 0~100 分，萬分感謝您的合作。評分 2 3 5 6 7 9 10 11 12 14 15 16 22 23 24 25 18 19 20 比長短方向與順序認識形狀積的大小 ) 鋪地板 ( 面速度和方位公分、周長體積重量 ( 克 ) 、方位與圖形和長度容量、重量公分 ) 面積 ( 平方角與角度方體正方體與長周長與全等角度圓與方位面積四邊形三角形柱體與椎體積體積與表面面積圓周長圓面積

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附件二、學習階層圖之檢核表

問題是否 1.是否確實查閱九年一貫課程綱要所有主題之能力指標 □ □ 2.是否確實查閱幾何主題之能力指標內容 □ □ 2.所萃取之頂點是否符合幾何主題之能力指標 □ □ 3.一年級上下學期的單元中是否有幾何之單元未被篩選出來 □ □ 4.二年級上下學期的單元中是否有幾何之單元未被篩選出來 □ □ 5.三年級上下學期的單元中是否有幾何之單元未被篩選出來 □ □ 6.四年級上下學期的單元中是否有幾何之單元未被篩選出來 □ □ 7.五年級上下學期的單元中是否有幾何之單元未被篩選出來 □ □ 8.六年級上下學期的單元中是否有幾何之單元未被篩選出來 □ □ 9.所萃取之頂點中，屬於一年級與二年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 10.所萃取之頂點中，屬於二年級與三年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 11.所萃取之頂點中，屬於三年級與四年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 12.所萃取之頂點中，屬於四年級與五年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 13.所萃取之頂點中，屬於五年級與六年級之頂點間的上下位關連是否合適 □ □ 14.屬於一年級與二年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 15.屬於二年級與三年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 16.屬於三年級與四年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 17.屬於四年級與五年級之頂點間的上下位關連是否符合兒童認知發展 □ □ 18.屬於五年級與六年級之頂點間的上下位關連是否符合兒 □ □

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重心法的一個新演算過程對教材地位圖的成效－以九年一貫幾何概念教材為例－

國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授： 胡豐榮 博士