量子點波函數分布模擬結果

為了確認 X 和 XX 的史塔克偏移的差異，是否起因於兩個電洞的庫倫作用 造成電子波函數收縮，以及 X 的偶極矩與極化率隨發光能量的趨勢和量子點尺 寸的關聯性，我們利用 comsol 進行簡單的二維量子點能階結構的模擬。

我們利用模擬軟體 comsol 中偏微分方程功能的係數型模式，以電子(電洞) 單能帶的薛丁格方程配合有效質量近似法，得到電子(電洞)的能階與波函數分布，

為 了 考 慮電 子電 洞 間的 庫 倫作 用 力 ， 將 其波 函 數 分布 以 泊 松 方程 (Poisson equation)計算得到電位能，再代入電洞(電子)的偏微分方程中，而求得的電洞波 函數又再影響電子，經過迭代計算、互相對照自洽解出收斂的物理解。計算流程 圖如圖 4.24。

圖 4.24 量子點電子電洞波函數計算流程圖。

單能帶有效質量近似法的薛丁格方程式寫成

而 XX 是量子點中含有兩個電子和兩個電洞的情形，以電洞而言，其感受到的是 兩個電子的吸引與一個電洞的排斥，以電子而言，其感受到的是兩個電洞的吸引 與一個電子的排斥，因此 XX 的能階結構寫成

XX XX

2 2

=Ec 2q q , =Eh 2q

electron hole

V  V  V V  V qV (4-11) 然而這個方法因為沒有考慮激發態對基態的相關能(correlation energy)和交換能 (exchange energy)，因此未來必須考慮更詳盡的計算方法。

而計算的材料參數我們參考 C. E. Pryor^[38]的模擬，他們考慮量子點的應變，

將複雜的計算常數，化簡成有效質量法的單能帶薛丁格方程式。如表 4.3，在程 式中繪出奈米元件的幾何形狀，如圖 4.25(a)，在圓柱座標對稱下會成為圓錐狀 的量子點，濕潤層厚 0.4 nm，量子點底部半徑 9 nm，高度由 1.0 nm 增加到 1.6 nm，

觀察不同高度量子點的波函數分布，運用上述的式子與計算方法，即可求的電子 和電洞的能階E1和H1，如圖 4.25(b)。

mc,InAs mh,InAs mc,GaAs mh,GaAs Ec Ev Bandgap 0.044m0 0.5me 0.053me 0.074me 0.419eV 0.278eV 0.822eV

表 4.3 模擬量子點中波函數分布所使用的材料參數。

圖 4.25 (a)量子點模擬形狀示意圖，(b)量子點模擬能階示意圖。

(a) (b)

激子複合物的計算則是以單粒子能量加總，如式(4-12)，我們計算電子能階

X Electron and hole energy (E1 and H1)

Eigen energy (meV)

Height (nm) E1_eigen energy H1_eigen energy

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

X e-h Interaction

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

380 XX Electron and hole energy (E1 and H1)

Eigen energy (meV)

Height (nm)

E_eigen energy H_eigen energy

XX

32 XX e-h Interaction

e-h Interaction Energy (meV)

Height (nm)

QD Height (nm)

X energy (meV)

XX energy (meV) 1.0 1380.09 1382.92 1.1 1369.88 1372.42 1.2 1359.78 1362.09 1.3 1349.88 1351.93 1.4 1340.15 1341.99 1.5 1330.62 1332.26 1.6 1321.30 1322.77 表 4.4 不同量子點高度對應的 X 與 XX 能量模擬結果。

在我們的計算結果中，XX 的發光能量比 X 高，和我們實驗上的量測結果 XX 比 X 還低的結果相反，根據 S. Rodt 等人^[40]的研究，XX 和 X 之間的束縛能 (binding energy)，除了形狀之外還必須考慮高能量的激發態對基態的相關能 (correlation energy)和交換能(exchange energy)，而這是我們模擬沒有考慮的地方，

所以導致此相反的結果。

我們改變量子點高度由 1.0 nm 到 1.6 nm，發光能量大約由 1380 meV 下降到 1320 meV，這樣的量子點大小對應到我們量測的量子點的發光能量。模擬波函 數的分布結果，如圖 4.27，激子 X 與雙激子 XX 的 z 方向波函數半高寬與中心 隨量子點尺寸變化，如圖 4.28(a)(b)，而圖 4.28(c)(d)為激子 X 的電子與電洞波函 數在 h=1.0 nm 與 h=1.6nm 的波函數比較，在量子點高度由 1.0 nm 上升到 1.6 nm 時，X 和 XX 的電子波函數變窄，而電洞波函數則是變寬，我們認為電子的有效 質量比較輕，波函數很容易往外擴散，在 1.0 nm 這種小尺寸的量子點，因為太 小顆了，侷限能階比較高所以和 barrier 差較近，故波函數往外散，一直到高度 上升到 1.6 nm，侷限能階比較低和 barrier 差較遠，才使電子波函數限制在於量 子點中。

極化率 e mL^{2 4} 2²，在電子的貢獻主導之下，在較小顆的量子點，電子 波函數分布較寬，也就代表較負的極化率，因此和我們的量測結果圖 4.22 相符。

另一方面，圖 4.28(a)也顯示高度從 1.0 nm 到 1.6 nm 的量子點，XX 的電子波函 數都會比 X 的還聚集，而電洞波函數則是稍微散開一些，對照我們的實驗結果 圖 4.18，較為聚集的電子波函數可能是 XX 不容易受外加電場影響的原因，故 XX 的史塔克偏移量會比 X 還小。

圖 4.27 模擬量子點半徑為 9nm，高度為(a)1.0 nm 和(b)1.6 nm 的激子 X 的電子 波函數等高線圖。

(a) (b)

x z

圖 4.28 量子點半徑為 9 nm 之下，量子點高度與 X 和 XX 的 z 方向電子電洞波

Wave function FWHM v.s. QD height

FWHM (nm)

QD height (nm)

X_elec

0.25 Wave function center v.s. QD height

Position (nm)

QD height (nm)

X_e_center

Z position (nm) h=1.6nm