第四章 結果與討論
第二節 錯誤類型產生的原因
一、分數概念不全
此錯誤類型於研究初期很常出現，個案解出來的答案讓研究者摸不著頭緒，
詢問個案時他們也不知道自己為什麼會寫這些「數字」，或是研究者在看個案解 題過程時及時提出疑問，個案的回答與研究者看到原題題目上的分數相去甚遠，
個案還很自然的回答錯誤的題目數字讓研究者發現個案之所以會得到錯解，是個 案們從一開始解讀題目上的分數就計算錯誤有關在通分的過程中會直接將單方 的分子換成乘數，分數計算錯誤，到研究後期則屬偶發。
（一）分數計算錯誤 題目： ＋ ＝？
圖 1-1-3 錯誤例題 1
分析此類題的錯誤原因，個案將 4 和 5 互乘以求最小公倍數，但卻在
這 個通分的步驟，直接將 5 放上分子的位置，去掉了 3 變成
，然而後方的 卻又 完成通分變成
，在詢問個案時，他也不知道自己為何會計算錯誤。
1-1-1 教學逐字稿
T：你的 分母是 5，分子是？
S2：嗯…9。
T： 分母是 5 分子是？ ，這個是 5 你知道吧？
S2：知道。
T：那這個是？
S2：分子。
T：所以阿 的分子是什麼？
S2：4 嗎？(訪 S2-1041124)
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T：你就是都漏寫第一個才會造成這樣的錯誤。(訪 S1-1041218)
此教學情境中，研究者先讓個案 S1 自行寫題，過了約五分鐘後發現他在寫 20 和 10 除以 7，然後除不盡就取整數亂乘，研究者制止他並與 S1 確認過求公倍 數的方法，然而個案並沒有適時吸收，且不了解「最小倍數與最大因數都是數字 本身」，所以在求 10 和 20 的公倍數時，遺漏了 10×1 與 20×1，因少算到 20 的一 倍，所以求出來的公倍數，數字就比較大，研究者特此糾正 S1 的錯誤。
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研究者發現異分母分數不管是兩個或三個要相互加減之前，要具備因數與 倍數的概念，有因數與倍數的概念基礎後進一步學習求異分母們之間共同的公 因數或公倍數，求得一樣的分母才能將其做加減運算。
不過也觀察到個案們數理基礎是極脆弱的，研究者只能一步驟一步驟地確 認，從頭教起，讓兩名個案重新認識公因數及公倍數的求取方法以及求取的用 意為何，進行異分母分數加減的運算基礎建立。
（三）忽略分母
研究者發現有時候個案在解題，過程沒有問題，但是在寫最後的答案時會忽 略分母，去掉分母，只寫了分子的數字為答案，只差了最後的一步驟，實在可惜。
題目： ＋ ＝？
圖 2-2-4 錯誤例題 2
分析此類題的錯誤原因，個案將 通分成 完成，但是在進行分數加減計算 時，將兩分子相加後寫成整數，去掉分母，這是對分數概念缺乏所致。
題目： － ＝？
圖 2-2-5 錯誤例題 3
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分析此類題的錯誤原因，個案將 通分成
， 通分成
完成，但是在進行分 數加減計算時，將兩分子相減後寫成整數，去掉分母，這是對分數概念缺乏所致。
二、約分的錯誤
（一）約分不完全
此錯誤類型在研究初期出現頻繁，到第二個月就沒有出現了，為兩異分母分 數的分母有顯而易見的公因數關係，但兩方的分子卻無法隨其約分，故個案只做 了分母的約分導致前後不等值而計算錯誤，研究者在進行補救教學時，觀看個案 做答的情形發現到，在剛開始研究初期，研究者尚未與其建立正確的基礎，讓他 們真正了解通分的意義和其變化的規則前，發生了個案只針對看起來明顯可約分 的分數胡亂的進行約分或擴分，通分完的分數數字與通分前的非「等值」的分數 來做答，分數間進行不正確的通分，約分不完全的原因，造成解題錯誤，研究者 歸類為約分不完全導致計算錯誤。
題目：
＋
＝？
圖 2-1-3 錯誤例題 4
分析此類題的錯誤原因，兩分數的分子為 3 與 7，無法與偶數一起約分，個 案就只對分母進行約分，變成了 、 ，與
、
非等值分數，再者 40 與 16 應是要進行擴分找最小公倍數，然個案對等值分數、異分母分數加減的概念不全，
使其誤會只要分母為同一數就可以進行計算。
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題目： ＋
＝？
圖 2-1-4 錯誤例題 5
分析此類題的錯誤原因，兩分數的分子為 6 與 3，有明顯的倍數關係，所以 個案將 約分成 後，想起異分母分數加減分母要相同，於是對 81 進行了不符邏 輯的約分後，變成了 ＋ ，算出來的錯誤答案為 ，又為 。
三、通分的錯誤
（一）乘法運算不熟 題目： ＋
＝？
圖 3-1-3 錯誤例題 6
分析此類題的錯誤原因，本題分母 16 和 12 的最小公倍數為 48，進行通分 時，因乘法錯誤的關係，7×4＝28 但個案算成了 32 造成後續的算式寫錯導致計 算錯誤。
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題目：
－
＝？
圖 3-1-4 錯誤例題 7
分析此類題的錯誤原因，本題分母 12 和 36 的最小公倍數為 36，因乘法錯 誤的關係 12×3＝36，分子 7 也要×3，要通分成
而不是
，造成後續的算式 寫錯導致計算錯誤。
3-1-1 教學逐字稿
T： 跟 這要怎麼算？
S1：先 13 乘以 7。
T：然後呢？
S1：7×3＝27…教師是 97!
T：91。
S1：7×3…喔對，91、91。(訪 S1-1041221)
此教學情境由上面的對話可發現，因 S1 背錯了九九乘法表中的 7×3＝21，
背成 9×3＝27，這邊可衍生 S1 習慣將「大的數」與「小的數」對調，將 7×3 與 3×7 互換，才會不小心背成 3×9＝27，也顯示了 S1 對九九乘法表中對大數字乘 法不熟悉，才會透過數字互換的方式背誦，也發現 S1 對整個九九乘法表漏洞百 出。
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S1：是 10(訪 S1、S2-1041207)
此教學情境由上面的對話可發現，S1 的第一反應都是比較隨性地回答，最
S1：噢！28！(訪 S1、S2-1050104)
此教學情境由上面的對話可發現，因 S1 背錯了九九乘法表中的 7×4＝28，
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在 S1 與九九乘法的「認識之旅」上。
也就是因為個案們無法將數字運算解正確的原因，讓他們在寫算式通分時就 算錯寫錯了，得到的答案為錯解
（二）通分時分子未同乘相同的數
此錯誤類型於研究初期發生頻率高，且長達一個月還有出現此錯誤類型，分 母進行通分，分子沒有一起同乘相同的數，研究者將發生此錯誤類型歸因為，不 瞭解異分母分數加減公式，所以才會沒有通分完成就進行計算。
題目： ＋
＝？
圖 3-2-3 錯誤例題 8
分析此類題的錯誤原因，本題個案已經找出分母 8 與 10 的最小公倍數為 40，
但是在通分的過程中，其 的分子 7 忘記與分母 8 未同乘相同的數也就是 5，原 來是
錯誤變成
，而
則有通分完成，變成
，因一開始就通分錯誤的關係，
導致最後得到的答案是錯誤的。
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題目： ＋ ＝？
圖 3-2-4 錯誤例題 9
分析此類題的錯誤原因，本題研究者請個案 S2 作答於黑板上，很清楚的可 以發現他只計算了兩分母的擴分找到公倍數 12，下一步馬上寫了 5－3＝2，不假 思索的寫下 2－1＝1，得到解答
，但這是錯誤的，雖然找到了公倍數，但是 忘記了「分母乘多少，分子就要一起乘多少」。
3-2-1 教學逐字稿
T：那 7 跟 56 最小公倍數是？
S1：7× 7＝49 7× 8＝56。
T：所以他們最小公倍數就是 56 本身對不對？
S1：嗯。
T：所以我們要怎麼換？
S1：7 也要換成 56 喔？
S1：等於 18。
S：18 分之 50...咦？
喔？
T：嗯 因為 56 本身所以就不用動了。
S1：減掉 。 T：減掉 6 又？
S1： 。
T：你 7×8＝56 你 2 不用乘以…？
S1：16 喔？
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S1：8。(訪 S1 -1050104)
而在最後 S1 又忽略掉整數減整數的步驟，研究者在訂正其錯誤並給予講 解時發現 S1 的數理邏輯很差又常常在等答案變得不擅思考，固訂正時也一樣 一直等研究者的口令和數字，S1 只不過把數字們謄上卷子，並沒有將數字們 組合起來視為一個數，沒有辦法理解整數、分母和分子之間的換算，「分數的 意義和分數的單位」概念不全是 S1 急需補強的邏輯觀念。
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（三）分母互乘數字過大
此錯誤類型好發於異分母分數兩方分母都為兩位數，尤其尾數非 0 或 5 時，
看不出倍數關係，容易疲於思考，不想找兩者間的關係也就是公倍數，所以分母 互乘答案數字過大又運算基礎不夠穩固，每每都會計算錯誤或是不再約分導致數 字過大以致計算錯誤。
題目：
－
＝？
圖 3-3-3 錯誤例題 10
分析此類題的錯誤原因，本題個案不熟悉數字的因數及倍數之間的關連，看 不出 12 與 36 之間三倍的關係，也沒有想到找其公倍數，直接進行分母互乘，但 四則運算的基礎不穩固的關係，以致於數字過大而且錯解成
，正確答案為 。
題目： ＋
＝？
圖 3-3-4 錯誤例題 11
分析此類題的錯誤原因，本題因在翰林版本五上的第二單元－「因數與倍數」
內就有學過如何判別 3 的倍數之方法，而「異分母分數加減」則在該冊的第七單 元，多數學生都可看出 3 與 339 之間的關係，然而數學低成就之學生因學習吸收 力不如他生，所以都會使用土法煉鋼的方式來進行計算，兩分母互乘後 通分
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無誤，卻在
通分分子應乘以 4，個案卻仍乘以 339，不僅如此 339×4 的答案也 計算錯誤。
當然，如果繁複的計算過程，計算無錯誤再進行正確的約分，固然很好，
不過研究者仔細地進行兩個半月的課堂觀察及補救教學發現，只要不是使用課 本內提醒之口訣與公式以外，學生解題的錯誤率很高，姑且不論答案是否正確，
數字之龐大讓學生無從下手去「再約分」便將計算出來的答案給批改教師自行 換算，實在是很無禮又讓教師困擾傷神的事情。
（四）誤用交叉相乘通分
此錯誤類型與第四項第三點相反，異分母分數加減卻使用了分數乘法，個案 以為這樣也算是通分的方法之一，由於公式誤用以致錯誤。
題目： ＋
＝？
圖 3-4-3 錯誤例題 12
分析此類題的錯誤原因，本題分母 2 與 13 的公倍數為 26，用互乘找公倍數 即可，因異分母分數加減概念不全的影響，以為通分是交叉相乘求解，以致得到 錯解 ，正確答案應為
。
題目： ＋
＝？
圖 3-4-4 錯誤例題 13
分析此類題的錯誤原因，本題分母 7 與 14 的公倍數為 14，只要計算 將其 通分即可，因異分母分數加減概念不全的影響，以為通分是交叉相乘的公式求解，
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並且乘法錯誤 4×14 為 56，個案也忘記進位了，不過起始的交叉相乘的解法就錯 了，以致於得到錯解
，正確答案應為
。
經由研究者批改及觀察，此錯誤類型兩名個案都有出現，但 S1 出現較頻繁，
會出現這種迷思是因與「分母互乘數字過大」此錯誤類型想法一致，卻誤用分
會出現這種迷思是因與「分母互乘數字過大」此錯誤類型想法一致，卻誤用分