錯誤類型的相關研究

錯誤是學習過程的重要一環，不論教師在教課時怎樣用心，學生在解題時仍 會出現錯誤(梁淑坤，1996)。不過，錯誤雖有其存在價值，但是並非每個學生都 能修正自我的錯誤觀念。學生存有的錯誤想法如果沒有改正，將會干擾學生後繼 的學習，進而影響以後的學習效果(Hewson, 1982)。

早期心理學家認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏忽 (slips)；另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性錯誤 (systematic errors)。由於疏忽是由於注意力被分散所導致的(Anderson & Jeffies, 1985)，它的產生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。。通過對系統 性錯誤的研究，可以加深對學習過程的認識，由此認識，又可以用來診斷學生的 錯誤，以減少重覆犯錯的可能性(李芳樂，1993)。

犯錯是學習的必經階段，唯有通過錯誤，學生才能學習到正確的途徑與方 法。蔡育霖（2005）對國一學生解一元一次方程式發生的錯誤主分類為：國小學 習經驗與新經驗互相干擾、先備知識不足、運算規則不清楚、不了解題意或作出 錯誤判斷、粗心大意，另外，雖然課本以等量公理說明運算規則，但學生普遍習 慣以移項法則來解一元一次方程式。對於學生常「算」錯數學題目，教師、學生 或家長，常將其歸類於「粗心大意」的籠統說法，沒有進一步去深究其發生的原 因，只是要求作「更多的練習」，學生在解題過程會出現錯誤有很多因素是因為

部分知識的不完整，如語意、符號使用、訊息結構、運算規則的部份知識不足，

使其解題產生錯誤。

Schwarzenberger (1984)認為錯誤有助於數學的發展並提出兩個論點：

1.錯誤有助於瞭解數學：錯誤會幫助教師讓學生瞭解數學的來龍去脈，而正 確的論證卻經常不會。

2.錯誤可做為診斷的工具：錯誤能讓教學者了解學生的想法，錯誤並非是漫 無目的的發生，每個錯誤的發生各都有其發生的理由。

此外，以下的研究都指出瞭解數學概念錯誤的原因能增進教學成效：

張景媛(1994)提到：數學教育心理學研究的是知識與錯誤概念間的關係，本 研究也希望透過統整其錯誤類型，探討分析學生的解題策略及犯錯原因，冀望能 提供學生有效的學習方法，教學者擬定補教教學方案的參考依據，協助師生共同 解決問題。

黃敏晃（1998）認為，小孩的行為(包含不是由不小心而引起的錯誤在內)都 是學習而來。而教育研究者的責任之一，就是找出小孩子錯誤行為背後的理由。

因此，當學生犯錯時，應該找出其錯誤原因，再加以適當的引導。而郭丁熒(1992) 在追根究柢談錯誤，有關學生錯誤的二十個問題中也認為將學生在科學學習中所 產生的錯誤予以特徵化，做出學生錯誤性質及類型之分析，將有助於「有效教學 策略」之設計。

因此國內外有許多學者提出了相當豐富的有關錯誤類型的論點，以下將就學 生在解題過程中所產生的錯誤類型、錯誤原因兩方面來探討國內外學者的看法。

一、錯誤原因：

1.張鳳燕(1991)認為學生在接受數學、科學或其他教學之前，並不處於一 張空白的思想狀態，而能就老師所敎，完全加以學習。由認知心理學 的研究結果，得知學生會主動建構或「發明」知識，此一「發明」會 受到先前學習知識的影響。學生先前的學習對於其當前的學習，可能 有正向的影響，也可能產生干擾，形成錯誤概念。

2.楊弢亮(1997)認為學生發生錯誤，主要原因是對概念、定理等理解不透 徹和掌握的不正確、不完整。

3.Marz(1982)提出兩種錯誤形成的可能原因；第一，學生錯誤地使用一個 法則。第二，學生在不恰當的時候使用不適當的法則。換句話說，學 生對正確的規則做出錯誤的類化或過分的類化。學生學習代數時，有

時會因為能力不足，常會退回去用舊經驗去解決新的問題。

4.陳麗玲(1993)指出錯誤類型的原因可能是多方面的，導致學生錯誤的原 因是錯綜複雜的，即使相同的錯誤，也可能是不同的訊息處理過程所 導致。

5.蘇慧娟(1998)認為學生犯錯原因大致而言包括： (1)缺乏概念或概念不 正確；(2)使用不適當或錯誤規則；(3)憑直覺或關鍵字作反應；(4)先前 知識的固著；(5)新知識與舊經驗做錯誤的聯結或類推； (6)知識間的 干擾混淆；(7)教師教學的影響。

二、錯誤類型：

1.Mayer(1985)將學生的解題錯誤分成三類：

(1)遺漏的錯誤(omission error)乃因對命題不能完整回憶的結果。

(2)細節的錯誤(specification error)是指在陳述句中，一個變數轉換到另 外一個變數的能力不足所致，如公升改成公合。

(3)轉換的錯誤(conversion error)無法將關係句的形式轉換為陳述句的 形式。

2.Kaput(1987)認為造成學生學習代數的困難有：

(1)處理型代數符號所隱藏的語法的領悟。

(2)缺乏對其他可能提供適當訊息的表徵的聯結。

3.李芳樂(1993)認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏 忽；而另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性 錯誤(Systematic errors)。疏忽是由於注意力被分散所導致的，它的產 生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。系統性錯誤則被認 為是由於某種錯誤知識，或是由於缺乏某些必須之知識而引起的，因 此較受到研究者的重視。

4.九章出版社(1995)在「錯解辨析」一書中將學生的錯誤類型分為：

(1)由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循 環定義概念等產生的錯誤。

(2)由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、

論證不足及方法不對等產生的錯誤。

(3)由於忽視條件所產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視使 用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約

束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條 件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般 條件特殊化等產生的錯誤。

(4)由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、

忽視特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。

綜上所述，運用學生思考的知識來教學，可以增進學生解題策略，教師更能 瞭解學生學習的困難。這對教師和學生都有很大的助益。因為教師了解學生的能 力後就採取適當的教學策略，增加教學信心；而學生因為教師態度的改變，也可 以較輕鬆的方式學習。因此，幫助學生改正錯誤的概念是教師在教學時非常重要 的工作。

三、系統設計與實作