國立交通大學
理學院碩士在職專班科技與數位學習組
碩士論文
引導式的遊戲式學習用於數學應用問題解題
與錯誤類型分析-以二元一次方程式為例
The Guided Game-Based Learning to Solve the Application Problems with Mathematics and Analysis of Error Types
- Taking Linear Equation with Two Variables as an Example
研究生：陳錦儒
指導教授：陳登吉 博士
:
引導式的遊戲式學習用於數學應用問題解題
與錯誤類型分析-以二元一次方程式為例
The Guided Game-Based Learning to Solve the Application Problems with Mathematics and Analysis of Error Types
- Taking Linear Equation with Two Variables as an Example
研 究 生：陳錦儒 Student：Chin Ju Chen 指導教授：陳登吉 博士 Advisor：Dr. Deng-Jyi Chen
國 立 交 通 大 學
理學院碩士在職專班科技與數位學習組
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Degree Program of E-Learning Collage of Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
In
Degree Program of E-Learning June 2010
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
引導式的遊戲式學習用於數學應用問題解
題與錯誤類型分析-以二元一次方程式為例
學生：陳錦儒 指導教授：陳登吉 博士理學院碩士在職專班科技與數位學習組
摘要 遊戲式的學習在教學上的應用日漸受到重視，也有很多的研究指出遊戲式的 學習能有效提昇學習成效，但是目前的教學遊戲都著重於測驗而不是教學，是否 能達到教學目標仍有待探討。 在數學的學習上，問題解決是非常重要的基本能力，在數學教學中，常以文 字的應用問題訓練學生問題解決能力，而且學習應用問題的解題也有助於提昇學 生的理解力及邏輯思考能力，另外根據眾多的研究指出引導式教學有助於提昇學 生問題解決能力。 在本論文中，將引導式的教學理論結合遊戲式學習理論，發展三個引導式的 遊戲來幫助學生學習二元一次聯立程式。以桃園縣某國中七年級三個班級的學 生，共92 人為研究對象，二個班級為課堂實驗組，在數學課去電腦教室，上機 練習遊戲式的課程複習，一個班級為課堂控制組，採一般傳統式教學複習課程， 三個班皆由同一位數學教師授課，且已學習完二元一次聯立方程式的課程。 在實驗前先進行前測，實驗課程結束後進行後測，收集實驗數據，進行研究 分析，並在學生學習中紀錄學生的學習歷程，依此找出學生在數學學習中常犯的 錯誤類型，最後針對常犯的錯誤，進行補救教學。 實驗結果顯示接受引導式的遊戲式學習的學習成效平均高於傳統式教學，但 無統計上的差異，另外將學生依學習成就分成三組，低成就組在二元一次聯立方 程式的學習成效，遊戲式學習優於傳統式學習，而中成就組在應用問題的學習成效，遊戲式學習優於傳統式學習。 觀察使用遊戲式學習的班級發現，在學生用遊戲學習的情況下，前、後測成 績有顯著差異，且後測平均高於前測平均，表示學生在使用遊戲進行學習有助於 提昇學習成效。 在分析學生的學習歷程檔，發現學生在學習二元一次聯立方程式，容易犯的 錯誤類型有，錯誤的運算規則、等量公理的錯誤使用、對二元一次方程式的意義 不清楚及未針對答案檢驗其合理性。 關鍵詞：遊戲式學習、引導式學習、錯誤類型、二元一次方程式
Student: Chin Ju Chen Advisor: Dr. Deng-Jyi Chen
Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University
Abstract
The game-based Learning pays high regard day after day in the teaching application, also has many research to point out that can promote the learning efficiency. But didactical game in present put emphasis on examination rather on teaching, whether could achieve the teaching goal still to wait for discussing.
The problem-solving ability in mathematics study is very important basic capability. In math teaching often train student’s problem-solving ability with application problem in word expression, and it will promote the student’s ability in problem-solving and enhance student’s arithmetic comprehension and being logical. Besides according to many researches still point out inducing-mode teaching can help student’s problem-solving ability.
In the thesis will integrate inducing-mode teaching theory with gamed-based theory to develop three guided game-based learning that help students study linear equation with two variables. Take the three class of Taoyuan County’s seven grade students, total as 92 objects of study, two classes are experimental groups, goes to the computer classroom in the mathematics courses, practice game's-like curriculum review; a class is the baseline group, picks the general traditional type teaching refresher course, three classes all teach by the identical mathematics teacher, and has studied the linear equation with two variables.
Carries on first before the experiment measured, after experiment end of course, after carrying on measured, the collection empirical datum, carries on the research analysis, and, in the student studies records student's study course, discovers the student according to this in mathematics study habitual criminal's wrong type, finally
aims at habitual criminal's mistake, carries on the recovery teaching.
Experimental results show a guided game-based learning average of effect that is higher than traditional teaching, but it is no statistical difference. Furthermore student by learning achievement will be divided into three groups, and the low group in the linear equation with two variables of learning, game-based learning is superior to traditional learning, and the middle group in the application problems of learning, and game-based learning is superior to traditional learning.
Observed using games-based learning classes found in students learning the game situation. Test scores has the significant difference on pretest and post-test ,and post-test mean than pretest mean that students learn to use the game help to improve the learning outcomes.
Learning process in the analysis file, found that students in the learning of linear equation with two variables, error types of easy mistakes, errors of calculation rules, equal justice misuse, the meaning of linear equation with two variables is not clear and not for the answer to test its reasonableness.
Keywords：Game-Based Learning, Guided learning, Error Types, Linear Equation with Two Variables
誌謝
本篇論文可以完成，要感謝很多人的幫助，在為期兩年的研究所生活裡，得 到了很多但也失去了一些，不過這是個令人難忘的生命旅程，終將成為我畢生難 忘的一段時光。 首先要感謝指導教授陳登吉老師和孔崇旭老師諄諄教誨和細細指導，在學術 研究上教導了我們如何做研究，尤其是孔崇旭教授每個禮拜舟車勞頓，遠從台中 到新竹為我們指導論文的寫作並給予方向，讓我能順利完成研究及論文，還有黃 世昆教授及賴阿福教授在論文口試時給予我嚴謹的指導與建議，讓我的論文能更 加完善。 再來要感謝一起作論文的伙伴，黃建福同學、廖元鴻同學、洪詩玲同學及徐 淑芬同學在我的研究過程中提供協助，大家一起經歷過這一段時間，彼此互相扶 持及支援，滴點在心頭。 最後要感謝我的家人們和安蕎，有你們的相伴與支持，讓我可以將心思專注 在學業及研究上，並完成論文。 最後謹以本論文獻給所有幫助我、支持我、關心我的人，真心感謝。 陳錦儒謹誌 中華民國九十九年七月目 錄
摘要...i Abstract...iii 誌謝...v 目 錄...vi 表 目 錄...viii 圖 目 錄...ix 一、緒論...1 1.1 研究背景與動機 ...1 1.2 研究目的與問題 ...3 1.3 名詞解釋...3 1.3.1 遊戲式學習（Game-Based Learning） ...3 1.3.2 引導式教學法（Guided Teaching） ...3 1.3.3 學習成就（Learning Achievement） ...4 1.3.4 錯誤類型(Error Types) ...4 1.4 研究範圍與限制 ...4 二、文獻探討...5 2.1 遊戲式學習 ...5 2.1.1 遊戲式學習的意義 ...5 2.1.2 遊戲式學習模型 ...7 2.1.3 遊戲在教學上的應用 ...8 2.2 引導式學習 ...9 2.2.1 問題引導式學習 ...9 2.2.2 引導式發現教學法 ...9 2.2.3 以學生為學習的主體 ...11 2.3 遊戲式的學習系統 ...11 2.3.1 學習遊戲設計發展模式 ...11 2.3.2 學習系統建構...13 2.4 數學錯誤類型分析 ...14 2.4.1 代數學習在數學課程中的地位 ...14 2.4.2 解題研究 ...15 2.4.3 錯誤類型的相關研究 ...16 三、系統設計與實作...20 3.1 系統學習模型 ...20 3.2 系統實作平台及模組架構...22 3.3 遊戲介面及功能 ...253.3.1 遊戲一射擊遊戲 ...25 3.3.2 遊戲二限時填空遊戲 ...27 3.3.3 遊戲三採蘋果遊戲 ...29 四、實驗設計與研究結果...31 4.1 研究流程與架構...31 4.1.1 研究流程...31 4.1.2 研究架構...31 4.2 研究設計 ...32 4.2.1 實驗步驟...32 4.2.2 實驗設計...33 4.2.3 實驗對象...34 4.2.4 資料處理...34 4.3 研究工具...35 4.4 研究結果...37 4.4.1 遊戲式與傳統式複習的學習成效分析...37 4.4.2 遊戲式學習的成效分析...41 4.4.3 數學錯誤類型分析...45 五、結論與建議...47 5.1 結論...47 5.1.1 遊戲式學習有助於提昇學生之學習成效 ...47 5.1.2 遊戲式學習對於不同程度的學生有不一樣的影響 ...47 5.1.3 歸納學生的學習錯誤類型 ...48 5.2 建議...48 5.2.1 擴展研究地區及人數並將教材作縱向及橫向的擴展 ...48 5.2.2 適性化設計並增加學習內容與遊戲方式...48 5.2.3 增加線上討論區與線上交談功能 ...49 5.2.4 發展成遊戲式學習系統 ...49 參考文獻...50 附錄...55 附錄一 學習成就測驗試卷...55 附錄二 錯誤類型分析資料表...59
表 目 錄
表 1 專注學習與遊戲設計元素的比較...6 表 2 開發、測試及實驗時所使用的平台及工具...23 表 3 實驗分組...34 表 4 專家教學資料表...35 表 5 測驗卷信度分析表...36 表 6 「二元一次聯立方程式」測驗試題難度與鑑別度...36 表 7 「應用問題」測驗試題難度與鑑別度...37 表 8 各組在「聯立方程式」平均成績的變異數分析（ANOVA）...38 表 9 各組在「聯立方程式」的獨立樣本 t 檢定...38 表 10 各組在「聯立方程式」的組別統計量...38 表 11 各分組在「聯立方程式」的獨立樣本 t 檢定...39 表 12 各分組在「聯立方程式」的實驗統計量...39 表 13 各組在「應用問題」平均成績的變異數分析（ANOVA）...40 表 14 各組在「應用問題」的獨立樣本 t 檢定...40 表 15 各組在「應用問題組」的組別統計量...40 表 16 各分組在「應用問題」的獨立樣本 t 檢定...41 表 17 各分組在「應用問題」的實驗統計量...41 表 18 實驗組在「聯立方程式」前測與後測成績的相關檢定...42 表 19 實驗組在「聯立方程式」前後測成對樣本 t 檢定摘要表...42 表 20 實驗組在「聯立方程式」前後測的統計量...42 表 21 實驗組在「聯立方程式」測驗分組成對樣本 t 檢定...42 表 22 實驗組在「聯立方程式」前後測的分組實驗統計量...43 表 23 實驗組在「應用問題」前測與後測成績的相關檢定...43 表 24 實驗組在「應用問題」前後測成對樣本 t 檢定摘要表...43 表 25 實驗組在「應用問題」前後測的統計量...44 表 26 實驗組在「應用問題」的分組成對樣本 t 檢定...44 表 27 實驗組在「應用問題」前後測的分組實驗統計量...44 表 28 遊戲式學習對於不同程度學生的學習影響...45 表 29 「一元一次方程式」錯誤統計量部份資料表...45 表 30 「應用問題」錯誤統計量部份資料表...46圖 目 錄
圖 1 數位遊戲式學習模型...8 圖 2 線上遊戲式學習系統的發展模式...12 圖 3 建構式學習環境的原則...12 圖 4 系統學習模型...20 圖 5 系統模組架構...23 圖 6 遊戲一主畫面...25 圖 7 遊戲二主畫面...27 圖 8 遊戲三主畫面...29 圖 9 研究流程圖...31 圖 10 研究架構圖...32 圖 11 實驗步驟...33一、緒論
1.1 研究背景與動機
隨著數位科技的進步，教室的教學活動也深受科技的影響，教學不像過往的 局限，結合了現代科技，以往不易呈現的教材也有更多元的方式來進行教學，近 來更受關注的議題就是利用遊戲吸引人的特性幫助學生學習，Deacon (2007)和 Freitas、Griffiths (2007)的研究就是藉由遊戲讓學生不自覺地將時間投入在玩遊戲 中，達到學習的效果。翁榮源和莊坤鴻（2008）也認為學生在進入數位遊戲式學 習之前，就對數位遊戲式學習抱持著好感，這使得數位遊戲式學習比其他類型的 學習方式佔有更大的優勢。Papastergiou（2009）的研究結果亦指出，數位遊戲 可以做為中學資訊教育的有效學習工具。 在平常的教學中常會碰到學生說數學是困難複雜且無趣科目，如果教學無法 引起學生的學習動機，即使有再好的教材及教法也是無用武之地，所以引起動機 是教學之初非常重要的關鍵，而遊戲的特性之一就是能夠吸引學生，利用電腦遊 戲可以大幅增進孩童在數學上的學習成效和趣味。Kuo（2007）以數位遊戲式學 習環境探討其對於國小學童在自然科的學習動機與成就，結果發現數位遊戲式學 習可提升學習者的興趣。若能將遊戲和數學教材及教學法做適當的結合，相信遊 戲式學習可以為學生的學習帶來好的改變。已經有大量的研究證實，運用電腦遊 戲來進行輔助教學能提高學童學習動機、代數學習上的表現、增加閱讀能力、增 進問題解決思考、策劃能力等 (游光昭，蔡福興，蕭顯勝，徐毅穎，2004) 。 笛卡兒(Descarter)這位十七世紀法國偉大的哲學家、數學家，解析幾何的創 始人說過：「一切問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題都可以轉化成代數 問題，一切代數問題都可以轉化成為方程式，一切的問題均將迎刃而解。」，也 就是說以問題解決與數學的角度來看，方程式在代數學的領域中扮演著重要角色 (Polya,1945)。對於國內中等學校數學教育來說，我們常以解決文字問題作為培 養問題解決能力的重要方式，而代數概念是學生學習數學的一個關鍵點，亦是學 生往後學習更高深的數學之基礎（NCTM, 1988；Linchevski, 1995；Bastable &Schifter, 1998；王如敏，2004）。我們希望課程目標的達成，可以培養學生的演算
能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法（97 年國民
的重要事項，Schoenfeld(1985)亦指出「數學教學的原始目標，應使學生成為一 位有能力的解題者」。 學生在學習解題的過程中需要邏緝及有順序的思考，而引導式發現學習可以 在教學的過程的適當處給予適時的引導(Reiber, 1992)，教師若能藉由問題引導學 生做較正確的思考，並且對整個教學情境加以控制減低錯誤的發生，就可以減低 學生因失敗造成的挫折感（林寶山，1995）。蔡淑君和段曉林（2004）指出：隨 著時代快速的變遷與需求，在一波波的科學教育改革中，從以往強調知識的記憶 轉向強調學生學習解決問題的能力，而近三十年來各國專家均認為尋找問題、解 決問題最有效的方法就是探究，而引導式教學可以提供適當的訊息，讓學生思考 及探究。 目前很多的教學遊戲都著重於測驗而不是教學，如果只是為了使用遊戲來教 學，沒有做適當的處理，遊戲式學習往往只流於形式未能達到教學的目的。遊戲 讓學習增加了趣味，但不適合做為教學用，僅適合作為學習後的複習或增強物； 數位遊戲式學習中的娛樂成分很高但教育內容卻過少，並不值得花時間去設計或 使用這樣的遊戲（Prensky, 2001）。也有很多實驗都證明，如果只是簡單的使用 遊戲，並不能確保學生掌握相應的內容和培養相關能力，所以在遊戲進行中或結 束後，進行不斷的反思和總結才是一個比較好的解決方法（Thiagarajan, 1998）。 設計遊戲方式，需花費時間於課程內容選定及教材製作(Gros, 2007)需讓學習者參 與 課 程 討 論 及 規 劃 ， 運 用 此 方 式 可 瞭解 學 習 者 之 學 習 需 求 (Robertson & Howells, 2008)。所以發展適當的遊戲來進行遊戲式學習是本研究所欲探討的方 向之一。 數學教學中，常會遇到學生在學習的過程中產生學習上的錯誤，這些錯誤是 學生常發生的迷失概念，而且又會影響到學生往後的學習，因此在數學教學上， 教師需瞭解學生學習上的困難後，才能更進一步構想出適當的方式來引導學生建 構正確的數學概念（Vergnaud et al., 1990；引自林清山；張景媛，1994）。目前已 有很多的學者進行錯誤類型的研究和探討，但使用的方法限於測驗結果分析、問 卷調查及觀察法，耗費的時間非常的多。對於錯誤概念較常見的研究方法是結合 紙筆測驗，再輔以訪談方式了解學生的錯誤概念。這種評估方法以學生個人為分 析基礎，需花費大量的時間人工作業(陳嘉甄；陳慶彥，2009)。Treagust(1988, 1997) 指出，雖然晤談法可深入探究學生的想法，但其具有耗時費力的顧慮。若能在一 定的時間和花費一定的力氣進行錯誤類型分析，適時的提供學生學習參考，相信
學生可以在學習的過程中獲得相當的助益，所以如何有效進行數學的錯誤類型分 析，了解學生學習困難和改善教學是本研究的研究動機。
1.2 研究目的與問題
基於上述的背景及動機，本研究設計了三個遊戲，目的在於，讓學生在遊戲 的學習過程中，經由適當的引導，學會方程式的求解及應用問題的解題，並探討 這些遊戲對學生學習成效及學習過程中產生的學習錯誤類型。 根據以上研究目的，提出的研究假設如下： 1.實驗組學生在遊戲式學習後，與控制組學生在傳統式複習的學習成效上有 差異。 2.實驗組學生在遊戲式學習前後，學習成效上有差異。 3.實驗組學生在遊戲式學習後，對學習數學有正面的態度。 為驗證上述研究假設，本研究設計一準實驗，觀察實驗組與控制組學生在不 同的學習方式下，作實驗處理後的表現。 最後遊戲設計中，加入記錄學生學習歷程的功能，記錄學生的遊戲過程，可 供以後錯誤類型的分析，並歸納找出國中學生在二元一次方程式的錯誤類型。1.3 名詞解釋
1.3.1 遊戲式學習（Game-Based Learning）
遊戲式學習（Game-Based Learning）是一種數位化的學習方式，亦是指將遊 戲特性融入教學內容而建置的學習系統，提供學生輔助的學習工具，運用遊戲能 引發玩家主動參與的特性，提升學習動機及學習成效。 本研究參考大量的文獻，歸納並整理出遊戲式學習的特性，並根據這些理 論，設計出三個遊戲幫助學生學習國一數學的二元一次聯立方程式單元。1.3.2 引導式教學法（Guided Teaching）
引導式教學法，在於教學時老師的角色是學習的引導者與促進者，藉由問題 來引導學生能循序漸進探索、發現所欲教授的數學概念。 本研究的引導式教學法，是根據引導式教學的精神和遊戲式學習融合，藉由 引導式的遊戲式學習讓學生可以經由遊戲獲得知識。1.3.3 學習成就（Learning Achievement）
學習成就係指學生在學科學習之後所做的測驗之成果表現。 本研究的學習成效是指學生在研究者自編的「科學數學學習成就測驗」中， 其前後測的成績表現，得分越高者代表學習成效越佳。1.3.4 錯誤類型(Error Types)
在數學計算式中產生錯誤的步驟，依據其錯誤的關鍵處，分成幾種的類型稱 為錯誤類型（Kathleen，1987）。 本研究所討論的錯誤類型，是經由本研究之「遊戲式學習」後，由記錄學生 學習歷程的檔案中，分析學生常犯的錯誤之錯誤類型。1.4 研究範圍與限制
本研究以國一數學「二元一次聯立方程式」作為「遊戲式學習」教材內容， 希望將本研究的結果可以成為遊戲式學習教材編輯的參考依據，但因限於時間、 人力及經費等問題，使得本研究結果運用受到以下幾點的限制： 1.本研究的實驗設計採方便取樣的方式，以桃園縣某國中一年級學生為實驗 對象，故本研究的結果無法對其他群體做過度的延伸及推論。 2.本研究所採用之教材內容為國一數學「二元一次聯立方程式」單元，所得 之結果僅能推論國一數學「二元一次聯立方程式」單元之教學參考， 對 於其他的教學單元，無法做過度的推論。二、文獻探討
2.1 遊戲式學習
2.1.1 遊戲式學習的意義
隨著時代的演變及資訊科技的進步，數位化的遊戲在現代人的休閒、娛樂生 活和工作中，扮演了一個不可或缺的角色。 而何者可被稱為數位化的遊戲呢？ Prensky 定義出使遊戲能夠真正被稱為一個遊戲的六個關鍵要素（Prensky, 2001）： 1.規則（Rules） 2.目標（Goals or Objectives） 3.產出（Outcomes）及回饋（Feedback） 4.衝突（Conflict）／競爭（Competition）／挑戰（Challenge）／對立（Opposition） 5.社會互動（Interaction） 6.圖像（Representation）及情節（Story） 另外 Prensky（2001）認為數位遊戲式學習即任何教育內容與電腦遊戲的緊 密結合，亦可把它定義為在電腦或線上（online）的任何教育性遊戲。 近年來，更有不少學者和研究證實數位化的遊戲能帶來正向的教育效果 （Kirriemuir & McFarlane, 2004 ; Prensky, 2003; Squire, 2005;Deacon, 2007）。國內 也有許多遊戲式學習（game-based learning）的相關研究（林富偉，2007；許扶 堂，2007；簡幸如，2005），探討遊戲理論、分類遊戲、分析遊戲特性，期盼遊 戲能提昇學生的學習成效與動機。正如 JISC (2007)廣泛的將之定義為使用遊戲 來達到學習目的，這類的遊戲也可稱為嚴肅遊戲（serious games）。本文僅討論 如何利用遊戲式學習來幫助學習。 Squire 提出一個重要的觀點：數位學習和遊戲的主要差別在於內容（引自 Gros, 2007）。數位學習強調教學內容且著重在理解文字的內容，而遊戲著重在經 驗且能有效率的提昇概念學習、解決問題的能力和實際的參與。因此在設計學習 遊戲時，以概念學習為主，將學習內容有系統的加入遊戲裡。遊戲可以提供趣味 性及娛樂性，它同時有助於學習，Sandford 與 Williamson（2005）指出電腦遊戲的教育潛力無窮，是值得受重視有效的學習工具，電腦遊戲可以營造一個理想的
學習環境，其環境具有挑戰性，面對複雜狀況時，培養解決問題能力。Rosas（引
自簡幸如，2005）等人整理出運用數位遊戲教學，對學習的正面影響主要有四： 學習成效、認知能力發展、學習動機、學習專注力。
為了讓遊戲與學習充分結合，Dickey (2005)整理出可有效將遊戲設計套用在 專注學習架構（framework of engaged learning）的方式如表 1。
表 1 專注學習與遊戲設計元素的比較
資料來源：“Engaging By Design: How Engagement Strategies in Popular Computer and Video Games Can Inform Instructional Design” by M. Dickey, 2005
專注學習 遊戲設計 具體目標 (Focused goals) 具體目標 敘述故事（Narrative） 角色特性（Character roles） 玩家與遊戲角色的互動 各種觀點 有挑戰性的任務 (Challenging tasks) 有挑戰性的任務 設定(Setting) 動作導向(Action hooks) 資源導向(Resource hooks)
戰略導向(Tactical and strategic hooks) 時間導向(Time hooks)
清楚且令人信服的標準 (Clear & compelling standards)
清楚且令人信服的標準 避免逆境導致早期失敗
(Protection from adverse Consequences for initial failures)
避免逆境導致早期失敗 角色扮演遊戲(Role-playing) 對成果的肯定 (Affirmation of performance) 對成果的肯定 專注(Hooks) 互動結盟
(Affiliation with others)
互動結盟 角色扮演遊戲
非玩家角色(Nonplayer character) 新奇與多樣性
(Novelty & variety)
新奇與多樣性
故事橋段(Narrative arcs) 選擇性
(Choice)
Woodrow Wilson 中心在 2002 年初步提倡嚴肅遊戲，且從 2004 年的嚴 肅遊戲會議後，遊戲式學習領域的研究開始遽增，大多分為兩方面：
1.數位遊戲（digital games）在數位素養（digital literacy）、學習類型等的影 響。 2.將遊戲整合至學校以改善學習。 本研究屬於後者，利用適合的遊戲來達到學習目的，參考Dickey (2005)將遊 戲設計套用在專注學習架構的原則，著重在將遊戲的元素與數學的教學活動結合 來設計遊戲，期望能提昇學生的學習成效及興趣。
2.1.2 遊戲式學習模型
Garris、Ahlers 和 Diskell（2002）學者結合有關教育性遊戲的文獻，提出一 個 Input-Process-Outcome 的遊戲式學習模式(Game Model) 從圖 1 來看，此模 式可從三個部分來看，首先是 Input 的部分，需要包含有教學內容及遊戲特性。 在教學內容方面需針對不同科目設計相關學習內容，而在遊戲特性方面，結合奇 幻性(Fantasy)、規則/目標（Rules/Goals）、感官刺激（Sensory Stimuli）、挑戰性 （Challenge）、神祕性（Mystery）、控制（Control）等相關遊戲特性，使遊戲更 加具有豐富性，引起學習者之學習興趣。 接著從此特點引發遊戲循環，則進入 Process 部分，此部分包含有使用者判斷(User Judgments)、使用者行為(User Behavior) 、系統回饋(System Feedback)。從使用者判斷來看，透過遊戲的方式， 引發學習者學習興趣、享受遊戲帶來樂趣及建立學習者自信心，當學習者更感興 趣涉及任務時，則進入使用者行為(User Behavior)，學習者會從遊戲中積極尋 求 挑 戰 性 ， 並 且 持 續 於 遊 戲 活 動 上 ， 此 行 為 結 果 引 發 系 統 回 饋(System Feedback)，系統給予使用者互動回應。當遊戲學習循環結束時，提供任務報告 (Debriefing)，其中任務報告主要是連結遊戲循環和學習結果，目的討論並檢討遊 戲學習過程中錯誤地方，最後，達到學習成果 (Learning Outcomes)，而學習成果 需要提升認知、技能和情意三個方面，以實現遊戲學習目標(Garris et al., 2002)。圖 1 數位遊戲式學習模型 資料來源：（Garris et al., 2002） 本研究參考此模型，加入引導式學習，教學內容以國一數學二元一次聯立方 程式的單元為主，並依據遊戲的特性進行遊戲設計及另外設計符合本研究的遊戲 式學習模型。
2.1.3 遊戲在教學上的應用
近年來數位遊戲方式學習的應用很多，國內外也紛紛出現數位遊戲方式學習 的應用。例如國內的亞卓市遊戲學堂、階梯數位學院；加拿大有一個專門為兒童 教育開發遊戲的公司 Inlight Entertainment、英國 Immersive Education Ltd 公司與劍橋大學合作，在中小學中廣泛應用的角色扮演(RPG)Kar2ouche 遊戲、 美國 MIT 與 Microsoft Research 合作，成立 Games-to-teach，專門研究學 習科技如何整合到現有的遊戲之中、韓國 2005 年第一款在 PS2 上自製的遊戲 教學軟體 EyeToy EduKids 等 (以上引述自田愛奎、楊瑛霞、夏天、張際平， 2000；尚俊傑、莊紹勇、李芳樂、李浩文，2006；邱文淇，2006)。 香港中文大學資訊科技教育促進中心（CAITE）先後開發了《唐伯虎點秋 香》、《農場狂想曲》和《4D》等教育遊戲，並進行了一系列的相關實驗研究。 研究結果均顯示這些遊戲確實受到了學生的歡迎，也使學習變得更有趣，並可以 讓學生做中學，從而培養各種高階能力（尚俊傑、莊紹勇、李芳樂、李浩文，2006）。 許扶堂（2007）為國小五年級弱勢學生將遊戲融入數學課後教學，結果顯示遊戲 能提昇弱勢學生在數學課後學習的成就。許多教師在傳統教學不容易讓學生理解 的課程內容，透過數位化的模擬遊戲可以解決這類的問題，同時也讓學生如同身 歷其境般體驗生活上會遇到的困難，遊戲甚至能讓學生在他們只感受到獲得樂趣 的同時，也學習到了一些知識或技術(Trotter,2004)。越來越多人期望能將遊戲應 用在教學上，原因在於許多相關文獻都提到遊戲式學習帶給學生一些好的影響(簡幸如，2005；JISC,2007；Maxwell,2005)，例如：學生會去探索所學以外的書 籍和遊戲的創作者，而且除了去閱讀來增長知識外，他們也會和朋友、師長、家 庭成員討論，或到圖書館去尋找他們在學習過程中產生的問題的答案。 上述將遊戲應用於教學的例子說明了遊戲式學習對學生有正向的影響，除提 了學習者的學習成效之外，也增加了學習者的學習興趣，更進一步的可以引發學 習者自動自發的精神主動學習更多的知識。
2.2 引導式學習
2.2.1 問題引導式學習
問題引導學習是一種以學習者為中心的教育方法，它不但是一種課程的組織 方法，也是一種教學策略，更是一種學習的過程（Barrows & Kelson, 1998; Torp &Sage,1998）。問題引導學習因符合科學學習之假設-驗證的學習歷程，以及符合建 構論之以學生為中心之自我引導理念，在未施予學習者任何教學前呈現問題，由 學習者主動進行問題解決的過程：界定問題、釐清已有的、缺乏的資訊，進一步 匯整相關的資訊，設定解決問題所需的學習內容與目標，再經過假設、研究調查 與驗證、不斷評鑑重整的過程，理出問題可能的最佳解學習者在學習的過程中扮 演積極參與的問題解決者，對於學習負有重要的責任，主導整個學習的進行，培 養自我引導的終身學習技能，問題解決能力、以及資訊管理與應用的能力，教師 則退居第二線，成為學習者解決問題的夥伴，擔任輔助、顧問、教練的角色，儘 從旁給予必要的協助。 綜上所述，學習的過程是以學生為主教師為輔，強調學生的主動學習和遊戲 式的學習都以學生為學習中心相同，教師在這樣的學習過程中，盡量提供學生學 習的幫助，讓學生可以主動獲得及建構知識。
2.2.2 引導式發現教學法
引導發現式教學是教師以問題的方式與學生互動，以生活化的問題指導學生 由淺而深的方式發現重要的概念，由一些舊有的經驗，逐漸進入批判思考、綜合 評價的學習活動，並且教學須與實際生活相連結，所以引導發現學習的教學活動 是由傳統的規則條列式轉為更生動活潑、積極的學習(洪榮昭、劉明洲，1996)。 引導式發現教學的特色是學生去發現問題、探討問題、解決問題並求得答案，這 種學習是一種有系統的探討能力的培養，各階段均盡量給予科學思考的機會，每一思考階段都是一個接著一個發展，形成一種思考學習環，這種教學能夠訓練學 生歸納邏輯思考。引導發現教學可以安排學生在「探究式」的情境中，提供學生 主動與知識互動的機會而主動學習，藉由學生觀察資料、解釋資料、發現及推理 的過程中，使學生有較多思考的機會及多樣化的學習，讓學生會思考學習內容的 意義，修正知識架構中矛盾及不合理處，並且促進較高層次的批判思考與解決問 題能力。這樣的學習與傳統的教學比較，學生參與學習的層面較深入，而學生參 與的層面愈多，則學習愈多，使得學習的品質不再是表面上的學習，而是「有效、 有意義」的主動學習知識。 Arthur（1997）提出一融合建構論理念的引導式發現教學模式，並提出引導 式發現教學應包括下列四個要素： 1.邀請學生來學習（invitation to learn） 2.探索和發現（exploration and discoveries）
3.提出解釋與解決方法（proposing explanations and solutions ） 4.採取行動（taking action） Arthur（1997）也指出成功的引導式發現教學法需要考慮下列兩項因素： 1.學生的先備知識 引導式發現教學法需由老師用問題引導學生的思考與學習，因此在教學的 過程中，老師需時時掌控學生的想法以便能引導學生，因此在教學前了解 學生的前備知識便是相當重要的事情。 2.經過組織的經驗 雖然在引導式發現教學法裡，老師可以用發問引導學生思考，但最後的結 果仍需要讓學生自己發現，因此教學活動需先經過教師嚴密的規劃和組 織，才能讓學生經由教學活動來發現所欲教授的科學概念。 Arthur 和 Robert（1980）指出引導式發現教學法的優點在於學生能學習到 如何學習（Learning how to learn）、學生能變成自我酬賞、自動自發、學習的效 果更容易遷移、學習者變的需對自己的學習負較多責任等等。
引導式發現教學法的教學中，教師可以在教學的過程中設計情境、組織教材 並利用問題引導學生的思考，讓學生自己思考、尋找問題的解答（Arthur & Robert, 1975；Arthur, 1997；Marvin & Garry, 1999；林寶山，1991）。
引導式發現教學法不但符合建構論教學的理念（Arthur, 1997； Marvin & Garry, 1999），並且也能幫助學生做概念的改變。當然引導式發現教學法仍然有
其缺點，尤其是教學的過程中，由於需要有讓學生思考的時間，因此雖然有老師 引導，但所用時間仍然比講述式教學法多。 上述在傳統的講述式教學法裡，教師教的多，但學生能保留的少；在引導式 發現教學法裡，老師教的少，學生學習的遷移與保留的多，也就是說引導式發現 教學法能讓學生獲得更有意義的學習。
2.2.3 以學生為學習的主體
而「以學生為學習的主體」的學習方式有以下特徵：（陳文典，2002） 1.以「主題」為單位之組合教材 採取以「議題的探究活動」模式來進行教 學時，學生在分析及瞭解議題、研判議題性質和相關變因、進行探究活時 思考處理問題策略、規劃並執行及成果檢核與評鑑。 2.以「學生」為主體之學習活動 議題可由所處的特殊環境來引發形成。一 旦思考集中到某一議題且經過討論之後，一系列待答的問題就出現了，此 時，討論分工和進行的方式，再由各小組各自負責處理。學生「主動性」 的進行探究活動就形成了。 3.這是一種生活化的教育 生活上關心的問題或社會上關切的議題為探討的 主題，這些問題與個人生活是息息相關的。因而感受到「學習」是切實有 用的。 4.這是一種適性化的教學 「模組」的教學活動是以討論、共研策略、分工 合作的方式來進行的。 5.這是一種符合「學習心理」的教學活動 生命的有機功能就是「成長」。成 長不僅是生理上的新陳代謝，也包括有心智的開拓。「學習」即是一種心 智的展拓活動。 本研究希望了解「以學生為學習的主體」的教學活動所產生的教學效果，以 及在進行此種教學活動時，老師和學生所面臨的挑戰與問題。本研究採用將現有 教材改編成「引導式教學」以符合「以學生為學習的主體」的教學精神。2.3 遊戲式的學習系統
2.3.1 學習遊戲設計發展模式
依照教學系統設計模式及資訊系統的開發方法，歸納出分析、設計、發展及 評估的四大階段來作為線上遊戲式學習系統的發展模式如圖 2。圖 2 線上遊戲式學習系統的發展模式 資料來源：蔡福興;游光昭;洪國勳,2004 遊戲的特性相當類似建構式學習環境的原則(DeKanter,2005)，如圖 3 所示， 建構式學習環境的原則有八：主動的（操作的）、建構的、有意圖的、合作的、 複雜的、會話的、真實情境的、反思的，Corbit(2005)也建議電腦遊戲與相關媒 體應設計成符合建構式教育的用途。 圖 3 建構式學習環境的原則
資料來源："Gaming Redefines Interactivity for Learning"by N. DeKanter,2005
教育遊戲可參考四點設計原則(Ma, Williams, Prejean, & Richard, 2007)：問題 呈現、有幫助的策略與鷹架策略、形成性評量、代表學習者的遊戲角色，詳述如 下： 1.問題呈現：可模仿一般商業遊戲的方式，以故事描述玩家所需解決的問 題、以特殊的音效或音樂提示問題出現。 2.有幫助的策略與鷹架策略：在遊戲中提供可幫助學習的工具與策略並給予 鷹架，結合學習理論將適合的學習策略融入遊戲，教師亦可成為幫助學生 □ 專家評估 □ 使用者評估 □ 學習者分析 □ 系統功能分析 □ 人力資源分析 □ 開發技術分析 □ 軟硬體需求分析 □ 遊戲腳本與功 能設計 □ 風格設計 □ 介面設計 □ 學習內容設計 □ 遊戲規則設計 □ 資料結構設計 □ 學習內容製作 □ 美工圖形製作 □ 程式語言撰寫 □ 音效製作 □ 系統整合 □ 測試與修正 設計 發展 評鑑 分析 修正
解決遊戲問題的助力。 3.形成性評量：設計能量測學生學習效能的工具並提供回饋，記錄成績及學 習歷程，除了讓學生能反覆練習外，也能讓教師了解學生的程度。 4.代表學習者的遊戲角色：是影響內在動機與對遊戲著迷程度的關鍵，可藉 由增加學習者角色的能力，使之有更多的角色或任務可供選擇。 本研究即依照線上遊戲式學習系統的發展模式，進行遊戲整個前製到後製過 程，再參照建構式的學習環境設計成符合建構式教育用途的遊戲，並依據四個教 育遊戲的設計原則製作出適合學生學習的遊戲式學習系統。
2.3.2 學習系統建構
系統建構分為設計與技術兩個方面；設計方面包含課程設計與課程內容物件 的設計，技術方面則利用遊戲編輯軟體或遊戲製作相關的軟體。 1.課程設計：徐國鈞（2002）認為在認知內容、情感內容、意志內容和行為 內容裡，認知內容最適合轉為數位課程，例如：數學、語文等都屬於這一 類，可藉由網路提供更多的媒體整合來增加學習興趣。而在設計的時候就 要注意到有沒符合第二章提到的數位遊戲的特點。 2.物件設計：在設計物件的時候，要考慮到是否符合課程內容，針對不同族 群製作不同的物件模型，以達到吸引使用者以及提高使用者興趣的目標， 物件的好壞會直接反應在使用者身上，於是在設計的時候必須特別考慮過 在開始製作。 3.技術支援：目前教學遊戲的開發通常是利用現成的遊戲編輯軟體，例如 Game Maker 教學遊戲設計軟體直接編輯遊戲式的學習教材(簡幸如，94)。 也有將教學內容套用到開發好的遊戲教學平台,例如將科學教育活動的設 計，導入e-RPL（e-Role Playing Learning，簡稱e-RPL）學習平台的教學環 境(何筱婷，2007)。或者採用線上遊戲式的設計，主要分為三方面的設計;(1) 前端(Client 端)設計使用Flash軟體做為遊戲動畫人物操作、學習教材、遊 戲介面等的主要發展技術(2)XML 的資料傳遞標準化，使用 XML 文件格 式來編寫，將Client 要傳遞的資料置入標準格式，Server 端則使用可解析 XML語法功能，準確地將資料擷取出來。其傳遞間，因為有標準化的 XML，降低了傳遞、接收時發生錯誤的可能性。 (3)後端(Server 端)設計， 使用asp或者php結合mysql或access做為資料庫後端設計。本研究即是採線上遊戲式的設計方式。 本研究的課程是以數學的二元一次聯立方程式為學習單元，適合轉為數位課 程，在物件的設計應考慮以對象為國中生為主的物件，讓學生能夠提高學習興 趣，最後採線上遊戲式的設計模式設計教學遊戲。
2.4 數學錯誤類型分析
2.4.1 代數學習在數學課程中的地位
代數式的問題解決在幫助孩童數學與邏輯思考技巧方面已被證明是一種無 價的工具，藉此種問題解決的方式能強化孩童對概念的理解，而且可提供其他的 好處，像是從減少數學焦慮到增加分享的水平程度(Femiano, 2003)。Rojano (1994) 對國中學生的代數思考的形成認為：青少年數學思考的轉變過程是(1)從算數到 代數，(2)從個別的思考到一般化的思考，(3)從非形式化解題到形式化解，(4)從 畫圖到圖形，(5)朝向代數思考。數學邏輯推理的訓練是數學教育的重要目標， 對於國中學生而言透過代數的演練來訓練，可謂是最容易達成，因此代數思考的 學習是國中數學課程的主軸。 文字符號的使用是代數學習的基礎。Kuchemann (1981)認為學生對文字符號 是否了解是影響學生代數學者非常重要的因素，由於學生對文字符號意義詮釋的 差異，而影響學生對問題解決的困難程度。研究發現學生若能完全了解文字符號 的意義，則與後續學習（如方程式、多項式、應用問題）的成就有高度正相關。 在解應用問題時，多數的學生的解題層次無法到達第一層次，可見多數學生在了 解題意並把相關未知數用文字符號表達出來，這一初始階段已經出現極大困擾 （王如敏，2004）。文字符號為中介的數學抽象概念，學生極不容易接受，若文 字符號未能及時成為學生反應問題解決的工具，則無法真正連結文字符號與題意 之間的訊息，間接使學生不當使用符號，也影響代數學習時使用的時機（王如敏， 2004）。 Polya (1945)認為：從問題解決與數學的角度來看，方程式在代數領域中， 扮演著非常重要的角色。謝夢珊（2000）以不同符號表徵未知數對國二學生解方 程式表現之探討研究中，將造成不同表徵下解題表現的差異分為：對文字符號的 認知差異、代數式的認知差異、等號的認知差異、解題策略的認知差異、解題程序的認知差異與思考方式的差異，進而把影響解方程式的解題因素分成七類：(1) 運算符號的性質，(2) 運算符號的個數，(3) 運算符號與未知數的位置，(4) 未知 數出現的次數，(5) 答案是否為整數，(6) 係數的大小，(7) 題目中是否有括號。 並歸納出三個學生能正確使用方程式三個因素分別為： 1.對方程式的了解：包括能正確使用未知數符號，並了解其在方程式中代表 的意義。 2.正確的運算過程：能夠順利進行文字符號的運算、化簡與合併。 3.具足夠的先備知識：能了解問題中語意與適當使用運算符號，並能對答案 檢驗其合理性。 方程式是將一般日常生活語言的問題描述，以未知數符號、運算符號轉譯為 數學語言的簡化形式，結合等量公理的運算法則，達到以形式化的方法使問題獲 得解決的目的。Simon (1980)在其研究中發現學生缺乏了解代數是如何結合數學 的關係式解得一個特殊解的概念，當題目取材至真實情境中時，學生似乎不能就 真實世界的狀況來思考，而只把它當作是一種按題目做機械式的轉譯對應到代數 步驟而已。 綜上所述，代數學習在數學學習中非常重要的，而代數學習過程如果讓學生 產生迷失概念並感到學習困難時，會因其中部分環節學習的不完整，加大在數學 學習成就上的差異，這便是學生數學學習感到挫折的原因，所以在代數的教學中 必須注意這些有可能會造成學生學習困難的因素，並試著減少和排除這些不利的 學習因素。
2.4.2 解題研究
Kilpatrick (1985) 指出想要成功解出一道複雜的數學題目，解題者須具備 三種能力：擁有豐富且系統化的數學知識、能表徵並轉換問題的處理能力以及有 控制系統能導引及挑選出有用的知識與過程。Mayer (1985) 提到解題方面時，強 調數學學習不只是在求得正確答案解，更應該重視問題解決的歷程，否則，學生 只會解決問題，但對數學的理解只是局部的，無法獲得完整的數學能力。在國內 的解題研究中，楊金城（2004）對國一學生解數學文字題的研究分別以閱讀題目、 問題分析、擬定計劃、執行計劃四個階段探究學生解題表現發現：低分組的學生 因數學知識不足、較不會去注意關鍵字句、解題計劃不明顯、使用不當策略等現 象。楊金城認為要成功解題解題者應包含：1.是否能瞭解及分析題意。 2.是否能掌握解題的關鍵與發揮數學基模知識來辨別及決定題目題型該使 用的解法和方向。 3.是否能評估正確解題策略，清楚解題的步驟，。 4.是否能覺知自己目前的解題狀況。 5.是否能察覺解題歷程的錯誤與矛盾之處，及檢視目前使用的原理與性質是 否正確。 6.是否能預測此解題策略的可行性及評估未來的解方向與 方法。 7.否能評估自己對此題的解題能力。 綜上所述，要成功解題，解題者必須能瞭解及分析題意，從數學概念中辨別 決定應該使用的解決方法，採用合適的策略，並能清楚知道目前自己解題的進 度，並能檢視及修正錯誤，預測策略的可行性，作出適當的調整。
2.4.3 錯誤類型的相關研究
錯誤是學習過程的重要一環，不論教師在教課時怎樣用心，學生在解題時仍 會出現錯誤(梁淑坤，1996)。不過，錯誤雖有其存在價值，但是並非每個學生都 能修正自我的錯誤觀念。學生存有的錯誤想法如果沒有改正，將會干擾學生後繼 的學習，進而影響以後的學習效果(Hewson, 1982)。 早期心理學家認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏忽 (slips)；另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性錯誤 (systematic errors)。由於疏忽是由於注意力被分散所導致的(Anderson & Jeffies, 1985)，它的產生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。。通過對系統 性錯誤的研究，可以加深對學習過程的認識，由此認識，又可以用來診斷學生的 錯誤，以減少重覆犯錯的可能性(李芳樂，1993)。 犯錯是學習的必經階段，唯有通過錯誤，學生才能學習到正確的途徑與方 法。蔡育霖（2005）對國一學生解一元一次方程式發生的錯誤主分類為：國小學 習經驗與新經驗互相干擾、先備知識不足、運算規則不清楚、不了解題意或作出 錯誤判斷、粗心大意，另外，雖然課本以等量公理說明運算規則，但學生普遍習 慣以移項法則來解一元一次方程式。對於學生常「算」錯數學題目，教師、學生 或家長，常將其歸類於「粗心大意」的籠統說法，沒有進一步去深究其發生的原 因，只是要求作「更多的練習」，學生在解題過程會出現錯誤有很多因素是因為部分知識的不完整，如語意、符號使用、訊息結構、運算規則的部份知識不足， 使其解題產生錯誤。 Schwarzenberger (1984)認為錯誤有助於數學的發展並提出兩個論點： 1.錯誤有助於瞭解數學：錯誤會幫助教師讓學生瞭解數學的來龍去脈，而正 確的論證卻經常不會。 2.錯誤可做為診斷的工具：錯誤能讓教學者了解學生的想法，錯誤並非是漫 無目的的發生，每個錯誤的發生各都有其發生的理由。 此外，以下的研究都指出瞭解數學概念錯誤的原因能增進教學成效： 張景媛(1994)提到：數學教育心理學研究的是知識與錯誤概念間的關係，本 研究也希望透過統整其錯誤類型，探討分析學生的解題策略及犯錯原因，冀望能 提供學生有效的學習方法，教學者擬定補教教學方案的參考依據，協助師生共同 解決問題。 黃敏晃（1998）認為，小孩的行為(包含不是由不小心而引起的錯誤在內)都 是學習而來。而教育研究者的責任之一，就是找出小孩子錯誤行為背後的理由。 因此，當學生犯錯時，應該找出其錯誤原因，再加以適當的引導。而郭丁熒(1992) 在追根究柢談錯誤，有關學生錯誤的二十個問題中也認為將學生在科學學習中所 產生的錯誤予以特徵化，做出學生錯誤性質及類型之分析，將有助於「有效教學 策略」之設計。 因此國內外有許多學者提出了相當豐富的有關錯誤類型的論點，以下將就學 生在解題過程中所產生的錯誤類型、錯誤原因兩方面來探討國內外學者的看法。 一、錯誤原因： 1.張鳳燕(1991)認為學生在接受數學、科學或其他教學之前，並不處於一 張空白的思想狀態，而能就老師所敎，完全加以學習。由認知心理學 的研究結果，得知學生會主動建構或「發明」知識，此一「發明」會 受到先前學習知識的影響。學生先前的學習對於其當前的學習，可能 有正向的影響，也可能產生干擾，形成錯誤概念。 2.楊弢亮(1997)認為學生發生錯誤，主要原因是對概念、定理等理解不透 徹和掌握的不正確、不完整。 3.Marz(1982)提出兩種錯誤形成的可能原因；第一，學生錯誤地使用一個 法則。第二，學生在不恰當的時候使用不適當的法則。換句話說，學 生對正確的規則做出錯誤的類化或過分的類化。學生學習代數時，有
時會因為能力不足，常會退回去用舊經驗去解決新的問題。 4.陳麗玲(1993)指出錯誤類型的原因可能是多方面的，導致學生錯誤的原 因是錯綜複雜的，即使相同的錯誤，也可能是不同的訊息處理過程所 導致。 5.蘇慧娟(1998)認為學生犯錯原因大致而言包括： (1)缺乏概念或概念不 正確；(2)使用不適當或錯誤規則；(3)憑直覺或關鍵字作反應；(4)先前 知識的固著；(5)新知識與舊經驗做錯誤的聯結或類推； (6)知識間的 干擾混淆；(7)教師教學的影響。 二、錯誤類型： 1.Mayer(1985)將學生的解題錯誤分成三類： (1)遺漏的錯誤(omission error)乃因對命題不能完整回憶的結果。 (2)細節的錯誤(specification error)是指在陳述句中，一個變數轉換到另 外一個變數的能力不足所致，如公升改成公合。 (3)轉換的錯誤(conversion error)無法將關係句的形式轉換為陳述句的 形式。 2.Kaput(1987)認為造成學生學習代數的困難有： (1)處理型代數符號所隱藏的語法的領悟。 (2)缺乏對其他可能提供適當訊息的表徵的聯結。 3.李芳樂(1993)認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏 忽；而另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性 錯誤(Systematic errors)。疏忽是由於注意力被分散所導致的，它的產 生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。系統性錯誤則被認 為是由於某種錯誤知識，或是由於缺乏某些必須之知識而引起的，因 此較受到研究者的重視。 4.九章出版社(1995)在「錯解辨析」一書中將學生的錯誤類型分為： (1)由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循 環定義概念等產生的錯誤。 (2)由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、 論證不足及方法不對等產生的錯誤。 (3)由於忽視條件所產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視使 用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約
束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條 件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般 條件特殊化等產生的錯誤。 (4)由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、 忽視特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。 綜上所述，運用學生思考的知識來教學，可以增進學生解題策略，教師更能 瞭解學生學習的困難。這對教師和學生都有很大的助益。因為教師了解學生的能 力後就採取適當的教學策略，增加教學信心；而學生因為教師態度的改變，也可 以較輕鬆的方式學習。因此，幫助學生改正錯誤的概念是教師在教學時非常重要 的工作。
三、系統設計與實作
3.1 系統學習模型
本研究依循 Garris 等人於 2002 年所提到的數位遊戲式學習模型（Model of Game-Based Learning）作為本系統的參考學習模型。
在原本的Input-Process-Outcome 再加入 Control、Remedial 和 Objective，另 外在Control 下加入 Instructional，在 Process 下新加入 Game Content，在 Outcome 下新加入Player Profile，在 Remedial 下加入 Remedial Teaching，最後在 Objective
下加入Instructional Objectives，藉此模型說明在遊戲中各個階段裡本研究中相對 應的設計，如圖 4 所示。 圖 4 系統學習模型 共包含了輸入、控制、處理、輸出、補救、目標等六個過程，茲分述如下： 一、輸入（Input） 1.遊戲特性（Game characteristics） 在本遊戲的設計中，主要包含了下列不同的遊戲特性： (1)規則：包括關卡過關條件及時間限制。 (2)目標：在一定的遊戲時間限制內，儘量完成引導式的任務，愈快完成分 數愈高。 (3)產出及回饋：包括遊戲中的各種提示訊息，以及答對答錯音效反應等並
依學習者的操作過程予以紀錄。 (4)衝突／競爭／挑戰／對立：主要是必須在時間的限制下完成解題，並 依分數排行和同學間有良性的競爭。 (5)圖像及情節：主要是畫面及背景以可愛圖案及幽默的圖案呈現。 (6)好奇性：遊戲中提供了三種不同的遊戲類型與玩家互動，可以讓學習者 擁有一個探索的空間，引發學習者的好奇心。 (7)掌控性：遊戲中關卡的成敗在於學習者解題經驗及速度，遊戲賦予了學 習者一定的掌控程度。 2.教學內容（Instructional content） 教學內容包含三個部份： (1)一元一次方程式的求解：內容有了解一元一次方程式的意義及求出一 元一次方程式解的技巧，技巧包括基本的運算能力和等量公理及移項法 則的運用。 (2)二元一次聯立方程式的求解：內容有二元一次聯立方程式的意義及求二 元一次聯立方程式解的技巧，技巧包括一元一次方程式的求解及加減消 去法的運用。 (3)應用問題的解題：內容有解應用問題的解題策略，包括先了解題目 意思，假設，列方程式，求解，及最後對答案進行驗證。 二、控制（Control） 1.教學策略(Instructional Strategy) 引導式教學：將引導式教學的特性和遊戲做結合，循序漸進式的引導學生 在遊戲中獲得二元一次聯立方程式與應用問題解題的概念。 三、處理（Process） 1.系統反饋（System Feedback） (1)遊戲中引導式學習：從一開始的遊戲進行及最後完成遊戲，這些過程中 系統都會回饋引導式的學習。 (2)遊戲中解題的過程及步驟：學習者在結束一題目，系統會回饋完整的解 題過程，提供玩家反思機會，回饋給學習者作為參考。 (3)遊戲中答案的判定：遊戲中加入音效，答對及答錯有不同的音效，可以 增加遊戲的趣味性。 2.判斷（Judgments）
學習者在遊戲的過程中，會立刻獲得系統回饋的引導式學習，以及在遊戲 過程中立即的正確答案及完整的解題過程，這將有助於學習者回想先前完 成的動作，並當作下一次遊戲時參考。 3.改變行為（Behavior） 經過反思的過程之後，學習者為了得到高分以及可以和同學競爭，會努力 尋找答案，便有可能改變他在遊戲中的解題方式，或者提昇解題能力，以 更快速及更正確的方式，完成整個任務獲得高分。 四、輸出（Outcome） 1.學習成果(Learning Outcomes) 學習經過不斷重覆得到系統回饋，學習者學習然後反思，在遊戲中可以得 到樂趣及成就感，學習動機就有可能提昇，以及 數學概念自我覺知後會 有所改變，在反覆的練習過程中，學習者也有機會學到遊戲中設計的教學 內容，學會方程式的求解及應用問題的解題。 2.學習者檔案(Player Profile) 遊戲中會紀錄學習者的成績及所有動作，供以後排序用，和日後錯誤類型 分析的資料參考及建立學習者學習檔案，更進一步可以再回饋給系統，讓 系統進行判斷再對學習者有迷失概念的部份，進行補救教學。 五、補救（Remedial） 1.補救教學(Remedial Teaching) 根據系統紀綠學生學習歷程的紀錄檔，可以提供教師分析學生的學習錯誤 類型，能在課後進行補救學，更進一步能將系統設計成接收錯誤類型分析 結果，要求學生重新再玩一次，針對學生錯誤的部分直接在遊戲中進行補 救教學。 六、目標（Objective） 1.教學目標(Instructional Objectives) 本研究的教學目標，是希望經由遊戲式的學習，能學會二元一次聯方程式 求解，及應用問題的解題能力。
3.2 系統實作平台及模組架構
本系統所使用的相關平台及工具如表 2，其中主要是利用 Adobe Flash 8 Professional 來當作遊戲畫面設計的工具，並配合其所提供的 Action Script 2.0作為開發時所使用的程式語言。而進行實驗時使用的則是桌上型電腦搭配 Microsoft Windows XP 作為運行的平台，並安裝 Adobe Flash Player 在瀏覽器內 開啟。
表 2 開發、測試及實驗時所使用的平台及工具
開發及測試環境 實驗環境
作業系統 Microsoft Windows XP Microsoft Windows XP 開發/執行工具 Adobe Flash 8 Professional Internet Explorer
開發語言/
執行時所需套件 Action Script 2.0 Adobe Flash Player
本研究中的系統模組架構，依照其在系統中負責的功能不同，而劃分為以下 數個部份，如圖 5 所示。基本上分為三個區塊，包括「資料處理區塊」、「繪圖 及控制區塊」、「資料更新區塊」等。資料處理區塊主要是在讀取及儲存各類外部 資料，包括遊戲的參數、分數及遊戲中的行為紀錄等，而這些資料則會反應到資 料更新的區塊之中。學習者在遊戲的過程中畫面會有不同的變化讓玩家判斷遊戲 的進行狀況，而繪圖及控制的區塊負責處理這一部份，改變的結果也會適時的反 應到資料更新區塊中的數個不同模組中。而資料更新區塊則就題目、環境、遊戲 狀態等分別定時進行更新以反應到彼此之間。以下則就區塊中的各個模組分別詳 述之： 圖 5 系統模組架構 一、資料處理區塊 此區塊中的模組主要功能為外部資料的處理，包含如下所述： 1.載入外部變數：主要是將一些遊戲中可視需要動態調整的參數獨立放到一
以 XML 為資料結構的檔案中，並透過在系統載入時以此模組剖析並讀 取。唯一具有結構化處理的方式就是將檔案存成符合XML 規範的型態， 再以其內建的函式進行擷取。而在此使用此方法也是因為其對此XML 結 構的檔案並無任何硬性規定，只要符合一般XML 的語法即可，故採用之。 2.載入／儲存：Flash 基本上必須配合使用 Server-side 的語言才能進行資料 儲存的動作，於是使用其類似瀏覽器cookie 的 SharedObject 物件來存放 遊戲的分數及遊戲狀態。 3.動作紀錄：此模組主要負責將學習者在遊戲中所有的遊戲行為都紀錄下 來，包括點擊畫面中物件的次數，及輸入的字元，以供後續分析之用。 二、繪圖及控制區塊 此區塊中的模組負責接收指令並做出相對應的回饋，包含如下所述： 1.方塊速度控制：此模組負責處理方塊掉落速度的控制，並判斷是否結束遊 戲。 2.動物行為控制：此功能負責處理所有動物相關的指令及資料，但如鳥飛行 的速度及猴子爬樹的速度等等。 3.繪圖：此模組負責將其他的模組所處理過的訊息做最後畫面的計算、對齊 及輸出等，確保所有呈現出來的部份都沒有問題。 三、資料更新區塊 此區塊中的模組主要在定時的更新各項資料，如下所述： 1.題目資料更新：此功能負責監控題目的進行，並更換題目。 2.環境資料更新：此功能負責更新遊戲畫面的狀況，例如鳥重飛，方塊重新 掉落及猴子重新爬樹等。 3.遊戲狀態資料更新：此功能負責檢查遊戲的進行適時更新遊戲狀態，例如 遊戲成功畫面或失敗畫面。
3.3 遊戲介面及功能
3.3.1 遊戲一射擊遊戲
遊戲目的：使用遊戲式學習幫助學生學習一元一次方程式。 遊戲的畫面如圖 6，主要有五個部分： 1.題目區加引導式教學區：學生依照引導完成題目。 2.飛行的鳥類：答案的選項會在此亂數呈現，學生需射擊正確答案。 3.生命區：為了防止學生亂打，只有 3 次機會，用光後遊戲就結束。 4.時間區：為了增加遊戲性特別加入時間，如果學生完成的速度愈快，剩下的時 間就可以加入分數。 5.分數區：學生只要答對一次加十分，完成一道題目時將剩下的時間加入總分。 圖 6 遊戲一主畫面1
4
2
3
5
遊戲狀態 遊戲說明 遊戲畫面 Step1 遊戲開始 登錄遊戲，一開始會在資料庫 先建立學生的帳號和密碼，學 生依自己的身份登錄。 Step2 遊戲開始 學生會進入主畫面，進行遊戲 式學習。 Step3 遊戲中 遊戲中結束一道題目，中間會 將整個解題過程完整的呈現出 來。 Step4 遊戲結束 當學生使用完三次機會，或者 做完所有題目後，會跳到這個 畫面，出現玩家帳號及分數。 Step5 遊戲結束 遊戲結束，會跳到排行榜，依 照全部學生的成績列出前五名 ，讓學生有競爭的遊戲性。學 生如果還想再玩，就可以按再 玩一次按鈕。
3.3.2 遊戲二限時填空遊戲
遊戲目的：使用遊戲式學習幫助學生學習二元一次聯立方程式。 遊戲的畫面如圖 7，主要有六個部分： 1.題目區：題目在方塊上，方塊會隨時間一直往下掉，當方塊碰到黃色區域時遊 戲就結束，玩家須在有限的時間內完成題目，限制時間可以增加遊戲的挑戰性。 2.引導式教學區：學生依照引導完成題目。 3.作答區：學生依照引導式的學習，填入正確的答案。 4.答案區：此區會完整呈現解聯立方程式的過程，加強學生的學習。 5.時間區：為了增加遊戲性特別加入時間，如果學生完成的速度愈快，剩下的時 間就可以加入分數。 6.分數區：學生只要答對一次加十分，完成一道題目時將剩下的時間加入總分。 圖 7 遊戲二主畫面2
4
6
3
1
5
遊戲狀態 遊戲說明 遊戲畫面 Step1 遊戲開始 登錄遊戲，一開始會在資料庫 先建立學生的帳號和密碼，學 生依自己的身份登錄。 Step2 遊戲開始 學生會進入主畫面，進行遊戲 式學習。 Step3 遊戲中 遊戲中結束一道題目，中間會 將整個解題過程完整的呈現出 來。 Step4 遊戲結束 當方塊掉下來超過時間，或者 做完所有題目後，會跳到這個 畫面，出現學生的帳號及分數。 Step5 遊戲結束 遊戲結束，會跳到排行榜，依 照全部學生的成績列出前五名 ，讓學生有競爭的遊戲性。學 生如果還想再玩，就可以按再 玩一次按鈕。
3.3.3 遊戲三採蘋果遊戲
遊戲目的：使用遊戲式學習幫助學生學習應用問題。 遊戲的畫面如圖 8，主要有七個部分： 1.題目區：題目區會出現應用問題的題目。 2.蘋果區：完成應用問題需要先假設，列方程式，最後求出正確答案，學生要在 蘋果區找正確的答案，依解題的步驟，將有正確答案的蘋果移到右邊的籃子。 3.籃子區：放有正確答案的蘋果，由上而下依序放置。 4.答案區：此區會呈現完整的應用問題的解題過程，加深學生的印象。 5.生命區：為了防止學生亂採，有三個手套，只有三次機會，用光後遊戲就結束。 6.猴子：為了增加遊戲性，猴子會往上爬，偷採蘋果，如果猴子爬到繩子的頂端 即粉紅色區塊，仍尚未完成題目，就會失敗，遊戲結束。 7.分數區：學生只要採對一個蘋果加十分。 圖 8 遊戲三主畫面4
1
2
3
5
7
6
遊戲狀態 遊戲說明 遊戲畫面 Step1 遊戲開始 登錄遊戲，一開始會在資料庫 先建立學生的帳號和密碼，學 生依自己的身份登錄。 Step2 遊戲開始 學生會進入主畫面，進行遊戲 式學習。 Step3 遊戲中 學生成功解決一道題目後，還 可以進行下一題。 Step4 遊戲結束 猴子爬到繩子頂端，學生仍未 完全解完，遊戲就會失則，猴 子會得到勝利。 Step5 遊戲結束 遊戲結束，會跳到排行榜，依 照全部學生的成績列出前五名 ，讓學生有競爭的遊戲性。學 生如果還想再玩，就可以按再 玩一次按鈕。
四、實驗設計與研究結果
本研究旨在探討引導式的遊戲式學習對於學生在二元一次聯立方程式的學 習成效，並依照相關文獻之理論基礎訂定出研究的方法及其架構，本章分成節進 行說明，分別是：研究流程與架構、研究設計、研究工具、教材分析及多媒體教 材製作與編輯。4.1 研究流程與架構
依據研究目的收集相關文獻資料後，將資料予以彙整，並根據所要探討的研 究問題方向訂定出研究的流程及確立本研究相關變數間的研究架構。4.1.1 研究流程
本研究先確認研究主題，根據研究背景與動機，發展出研究目的。在了 解研究問題與目的之後，開始著手蒐集相關文獻進行探討。根據文獻探討去界定 研究範圍，提出研究架構，並研究需要設計遊戲式學習教材及測量工具，依研究 設計進行實驗及收集數據，再經 SPSS 軟體分析數據後得出研究結果，最後根 據研究結果提出建議及未來發展之方向。本研究之研究流程如圖 9 所示： 圖 9 研究流程圖4.1.2 研究架構
本研究在探討引導式的遊戲式學習對於學習成效和學習態度的影響。研究中 包含兩個自變項(遊戲式學習、傳統式學習)及兩個依變項(學習成效、學習態度)，將探討兩個自變項與兩個依變項之間的影響情形。 綜上所述，建立出本研究之研究架構圖如圖 10 所示。 圖 10 研究架構圖
4.2 研究設計
本實驗研究採準實驗設計研究法，依據本研究的研究目的，需要進行實驗研 究以探討自變項與依變項之間的關係，然而在實驗過程中，無法完全遵循實驗原 則選取樣本，因此採用準實驗法。以下依實驗步驟、實驗設計、實驗對象、資料 處理進行說明。4.2.1 實驗步驟
本研究之實驗步驟，如圖 11，需先製作引導式的遊戲式學習教材，及學習 成就測驗，教材是以國中七年級二元一次聯立方程式為主要學習內容，並將實驗 的遊戲設計成三個不同的學習內容及不同的遊戲方式，依序各實施三節課，且教 材分成一元一次方程式、二元一次方程式及應用問題三個部份。在進行實驗前， 課堂實驗組及課堂控制組都會先將二元一次聯立方程式的課程上完並進行二元 一次聯立方程式和應用問題的前測，之後分組實驗且每次上課完都會進行小測 驗，當玩過第一和第二個遊戲時會進行二元一次聯立方程式的後測，最後玩過第 三個遊戲後，會進行應用問題的後測。因此共有二個學習成就前後測驗成績，最 後將實驗結果所得之數據以 SPSS 軟體進行數據分析，並歸納學生學習的錯誤 類型。圖 11 實驗步驟
