長期資料分析

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第二章 文獻回顧

由於本研究主要是以長期追蹤方法分析台灣壽險業資產配置情 形，故本章文獻回顧探討之主題共分為兩部分：第一節介紹長期資料 分析與長期資料迴歸模型及其適合性檢定；第二節介紹長期資料分量 迴歸分析。

第一節 長期資料分析

壹、 長期資料分析之特點

所謂長期資料分析（longitudinal data analysis）即結合橫斷面分 析（cross section analysis）與時間數列分析（time series analysis），而 在社會科學與經濟領域上，長期資料分析亦被稱為追蹤資料分析

（panel data analysis）（Baltagi 2005）。

Diggle, Heagerty, Liang and Zeger（2002）指出橫斷面分析其資料 型態為每一觀察個體皆只觀測一次，此即為一般傳統的迴歸分析；而 長期資料分析之資料型態則是每一觀察個體內隨著時間被重複觀測，

且其主要的特點是其可區分世代效果（cohort effects）和年齡效果（age effects）。所謂世代效果即是一群體中整體地觀察個體間之變化；年齡 效果則是每一觀察個體內隨著時間的變化。因此，長期資料分析可同 時探討個體與個體之間的變異與單一個體內隨著時間的變化。

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以閱讀能力和孩童年齡之間的關係為例（Diggle et al. 2002），從 圖 1（a）對於閱讀能力和孩童年齡的假設性橫斷面研究，可以得知 閱讀能力隨著孩童年齡越大相對越差。圖 1（b）我們假設這些相同 的資料，是在長期資料研究中每一個體被重複觀測兩次所得到的，則 其不僅於橫斷面中顯示出孩童年齡越大其閱讀能力越差（此即世代效 果），並且亦於縱斷面中顯示出每位孩童的閱讀能力都隨著年齡的增 長而有所提升（此即年齡效果）。若長期資料研究其資料顯示如圖 1

（c），則無論橫斷面或縱斷面之型態皆有相同的結論為閱讀能力隨著 年齡增長而越差。

圖 1 閱讀能力和孩童年齡之間的關係

在長期資料研究的例子中，如圖 1（b）和圖 1（c），主要是說明 長期資料研究可區分個體內隨著時間之變化（年齡效果）和在相同時 間基準下個體間之變異（世代效果）的不同。然而，橫斷面研究則只

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能探討世代效果。

接著可利用上述例子之說明，在不考慮截距項下，使用迴歸模型 的數學模式來探討長期資料之特性。首先定義變數符號：對 N個觀察 個體，每一個體均重複觀測 T 次，yit表示第 i 個個體在第 t 次所觀測 之反應變數，xit表示為解釋變數。

在橫斷面研究中，由於每個觀察個體皆只觀測一次（亦即 T =1），

所以在只有一個解釋變數的假設之下，模型可表示為：

y

_i1

 

_C

x

_i1

 

_i1

, i  1 ,..., N

（1）

其中βC表示為解釋變數每變動一單位，反應變數的平均變動量。

長期資料研究中，對每個觀察個體重複觀測 T 次，在同樣只有一 個解釋變數的假設之下，線性模型可表示為（Ware et al. 1990）：

y

_it

 

_C

x

_i1

 

_L

( x

_it

 x

_i1

)  

_it

, i  1 ,..., N , t  1 ,..., T

（2）

當 T =1 時，式子（2）之模型則簡化為式子（1），因此βC與在橫斷 面的解釋相同。然而，現在亦可藉由式子（2）與式子（1）相減來解 釋βL，模型表示為：

x

x y

y

_{it i1}

)

_L

(

_{it i1}

)

_{it i1}

(        

（3）

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其中βL表示對於某一既定個體內，隨著時間改變，解釋變數 xit與 xi1

之差量每變動一單位，反應變數差量的平均變動量。應用在上述例子 中，圖 1（b）表示βC和βL有著相異的符號，圖 1（c）則表示有著 相同的符號。

Diggle et al.（2002）提到若想從橫斷面研究中估計個體隨著時間 如何變化，則必須考慮假設βC =βL。然而，對於長期資料研究，因 為βC 和βL 兩者皆可被估計，所以此假設是不需要的。即使當βC = βL，長期資料研究亦較橫斷面研究更具有效性（efficiency）。

在長期資料研究中多數情況，個體之間常因諸如環境因素、個人 習慣…等無法測量的特性之影響而造成相當大的變異，且這些特性是 不易隨著時間而消逝。然而此影響在βL 的估計中是會被忽略，但不 會被βC的估計忽略。

Diggle et al.（2002）亦提到長期資料研究的優點是其可區分以下 二者之不同，一為同一個體內隨著時間的改變在反應變數上的變異，

另一為不同個體間在反應變數上的變異。在橫斷面資料研究中，對於 某一個體的估計是利用其他個體的觀察值來做推論，但是整體的平均 化卻忽視了個體之間固有的差異性。因此，若在橫斷面研究中，個體 之間變異小時，對於某一個體的估計仍可利用其他個體的觀察值來做 推論；然而，如個體之間變異大時，若在長期資料分析中，我們能夠

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認知個體之間固有的差異性。

Hsiao（2003）和 Klevmarken（1989）亦提出關於使用追蹤資料 分析之助益，其中包括：（1）個體異質（individual heterogeneity）的 控制；（2）給予更多的訊息資料、自由度與有效性，以及在變數之間 有較低的共線性。

貳、 長期資料迴歸模型

長期資料研究中，其資料是屬於針對每一觀察個體隨著時間被重 複觀測的型態， Hsiao（2003）將一般長期資料線性模型表示為：

y_it α^*_it  β_itx_it u_it , i 1,...,N , t 1,...,T （4）

其中，α^*_it 和β_it (β_1it,β_2it,...,β_Kit) 分別為 11 的常數和1K的常數向 量，x_it (x_1it,x_2it,...,x_Kit)為一1K的解釋變數向量，且 u_it 為誤差項，

u

_it ~ iid（0,_u²）。

Baltagi（2005）指出長期資料迴歸模型可考慮個體特定效果

（individual-specific effect）、時間特定效果（time-specific effect）或 兩者同時考慮，若僅單獨考慮其中之一特定效果，稱為一因子誤差成 分迴歸模型（one-way error component regression model）；若兩者同 時考慮，則稱為二因子誤差成分迴歸模型（two-way error component regression model）。

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不考慮不可觀察的個體特定效果（ unobservable individual-specific effect）。總合模型型式如下所示：

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Hsiao（2003）亦指出由於總合模型不考慮不可觀察的個體特定 效果，因此，當使用總合模型進行分析時，將無法控制個體之特性。

如若資料結構中確實存有不可觀察的個體特定效果，則用總合模型估 計的結果將會產生異質偏誤（heterogeneity bias）。

二. 固定效果模型(fixed effects model)

固定效果模型是假設對每一個體其斜率係數皆是相同的，但截距 項卻不相同，亦即將不可觀察的個體特定效果視為被估計的固定常數。

因此，使用固定效果模型進行分析時，由於個體間擁有各自不同的截 距項，如此將允許控制個體之特性，而呈現出個體間之差異。固定效 果模型如下：

y

_it

 α

^*_i

 β  x

_it

 u

_it

, i 

1

,..., N , t 

1

,..., T

（8）

其中，β是1K的常數向量；α^*_i 是 11 的數值常數，代表第 i 個個 體特定效果，並且假設 u_it 與 (x_i1,x_i2,...,x_iT)不相關，u_it ~ iid（0,_u²）。

Baltagi（2005）指出若以公司為例，此不可觀察的公司特定效果

（unobservable firm-specific effects）將會被α^*_i 所捕捉，並且認為這些 特性諸如公司執行者的企業家能力或管理技能。

接著，我們將(8)以向量之形式表示為：

‧

least squares (OLS) estimator)即為最佳線性不偏估計(Best linear unbiased estimator，BLUE)。我們可藉由極小化(10)求得 αi

*和 β 的

‧

OLS 估計(12)稱為最小平方虛擬變數(Least squares dummy variable

，LSDV ) 估計；亦因其估計形式只利用到群內變異，所以又稱為群 內估計(within-group estimator)。

而另一與(8)等價之型式，我們將其表示為：

y

_it

   β  x

_it

 α

_i

 u

_it

, i  1 ,..., N , t  1 ,..., T

（13）

其中，μ為平均截距(mean intercept)，αi表示為第 i 個個體與共同平 均μ之差的效果；且μ和

α

i皆是固定常數。

三. 隨機效果模型（random effects model）

隨機效果和固定效果差別在於，固定效果是假設個體特定效果

α

_i^*

‧

（見 Graybill (1969)；Nerlove (1971)；Wallace and Hussain (1969)）。

因為 vit和 vis兩者皆包含

α

i，所以(14)的誤差是相關的。為了得 到

δ  

(

 , β

) 的 有 效 估 計 值 ， 我 們 必 須 使 用 廣 義 最 小 平 方 方 法 (Generalized least squares (GLS) method)。對於 GLS 估計的正規方程 式如下所示：

根據 Maddala (1971)，可將(16)表示為下面形式：

Q T

‧

‧

估計量βˆ_between稱為群間估計(between-group estimator)。

Hsiao（2003）亦指出 GLS 估計(20)是群間估計和群內估計的加 權平均，若_²= 0，則



¹，如此δ_GLS將收斂到 OLS 估計T_x~^-~_x1T_x~_y；若 型之檢定方法，可透過 F test、Lagrange Multiplier test（LM test）以 及 Hausman test 三種檢定作為檢測，分述如下：

‧

為總和模型中 OLS 之殘差平方和；未限制的殘差平方和（unrestricted residual sums of squares，URSS）則為固定效果模型中 LSDV 之殘差 平方和（Baltagi 2005）。

若檢定結果拒絕虛無假設，則表示個體間擁有各自不同的截距項，

此時，使用固定效果模型會較總合模型適合；反之，則是使用總合模 型較適合。

2. LM test

對於隨機效果模型，Breusch and Pagan（1980）提出 Lagrange multiplier（LM）test 來檢定 αi之變異數是否顯著異於 0，亦即檢定

0

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之 GLS 將達 Cramer-Rao 下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB），且 其為 BLUE；但是若在H₁: E(_i | X_i)0之下，GLS 會是一個有偏

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在文檔中 台灣壽險業國外投資與績效之長期追蹤分析 - 政大學術集成 (頁 15-29)