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B1丁、教案晤談
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I2：丁老師一開始不是說一個人很用功，看到第二個人很用功，然後再看到第三個人很 用功，就可以推測全班很用功，接下來他有舉一個淡淡的三月天，然後中間有個活 動是在做骨牌，然後還舉了一個例子是 1×1/2 再加 1/2，算很久，在整個教學中你覺 得他哪一個教學方式較好？
B1：骨牌吧，可以清楚的看到遞推，還有全班功課那個。
I2：你覺得他例子舉的很好？
B1：對，很容易感受到。
I2：就數學就是歸納法，骨牌你覺得他好的地方在哪裡？
B1：骨牌除了從第一推外，比如說他從中間抽掉一個，還有把第一個拿掉從第二個推，
所以可以看清楚遞推的關係。
I2：也就是說這個骨牌可以很清楚呈現數學歸納法的步驟？
B1：對。
I2：那你覺得他跟乙老師的永遠有明天的比較？
B1：比較喜歡骨牌，因為永遠有明天感覺好像不存在，因為不太可能永遠有明天。
I2：所以你覺得那個不可能，是現實上的想法？
B1：我覺得要學生容易聯想到在現實生活中比較感受的到的例子。
I2：T1還有提到一個問題，就是一個是有限，一個是無限，你有什麼看法？
B1：數學歸納法雖然是無限，可是在學生做題目的時候，會用不到他是無限的地方，比 如說他可能只會用 n，然後最大到 n+1，比如像剛剛幾分之幾的例子他也只推到 n，
沒有必要去推到無限。
I2：所以你覺得數學歸納法本身的步驟是有含到無限嗎？
B1：有。
I2：那你用數學歸納法的證這個題目的話會不會證到無限嗎？
B1：會吧。
I2：那骨牌呢，如果用骨牌做比喻會不會說沒有到無限？
B1：因為學生在做題目的時候只會做到有限的地方，然後等到無限的步驟就慢慢去體 會，然後就可以感覺的出來可以接受到無限，骨牌其實也可以拉的很長
I2：所以骨牌可以解決所有有限的部分，在題目中其實也不是屬於有限的問題，所以你 覺得骨牌他本身就可以解決你所要的東西？
B1：對。
I2：那骨牌可不可以詮釋數學歸納法？
B ：不能完全，他的骨架子可以詮釋，可是沒辦法詮釋無限的地方。
I2：所以你覺得骨牌和數學歸納法還是有些地方不一樣，無限的地方是不夠的。
I3：丁老師教學的過程就是前面用ㄌ一些比喻，就是三月天，然後再用一個骨牌，然後 講一個數學的例題，那你覺得這個老師是比較想要傳達出什麼樣的感覺，或比較明 顯的重視什麼，像甲老師重視學生的思考，那丁老師呢？
B1：丁老師他蠻重視從遞推的地方必須要第一項可以推倒，就是第一項會成立，然後之 後一項跟一項的關係要有推倒他。
I3：就是丁老師很強調數學歸納法的那兩個要素，也就是強調數學方面的清楚概念囉？
B1：對。
I3：就是說他的設計中是要給學生一個很清楚的概念？
B1：他把數學歸納法的骨架表現出來。
I3：就是數學歸納法的架構非常清楚完整，他只是比較單純的重視數學的架構
B1：還有提到第一項成立的地方，他有請學生抓住第一個錄影帶去推然後就沒辦法推倒。
I4：你覺得他有沒有說出其他比較數學之外的？
B1：想不到。
I3：那甲老師你還記得他的特色嗎？就是問答嘛，可以感覺到甲老師想要讓學生去釐清 那個概念，讓他們越來越清楚那個概念是什麼，那你剛說丁老師他呈現出一個非常 好的數學架構，那你覺得他有沒有要再做別的傳達，還是覺得這就是他最大的特色？
B1：對。
I2：數學歸納法老師比較強調無限的概念，在你的教案中你有說要讓學生體會無窮的感 覺，就你的認知，假如說學生他還沒在學數學歸納法和無窮的等比級數的時候，那 他覺得這個無窮是什麼東西，她們會怎麼去想一個很大很大的數？
I2：假如你要教你的學生的話，你會怎麼去說無限？
B1：我覺得學生的解讀是他是一個很大的數字，所以這個數字還是可以有遞增的空間，
可是無窮是沒半寫在紙上的，所以我想表達給學生的概念是，沒有一個東西是可以 把無窮寫下來的，也沒有一個東西比無窮還大。
I2：你覺得沒有一個數比無窮更大？
B1：嗯，我覺得他不是一個數字，是找不到底無窮還大的東西。
I2：你在大學的時候學到對無窮的定義，就是直線的那部份，就是微積分，那時候就是 n 趨近於無窮大你會用ε去表示，你了解為什麼大學教科書會用ε去詮釋無限。
B1：沒有想過，那時候我問學長，學長的講法是說因為沒辦法直接寫下來，所以要用一 個ε去詮釋。
I2：那在學那時候你懂當中的含意嗎？
B1：那時候不太了解。
I2：那之後你在學比較高深的數學的時候，有對以前比較了解嗎？
B1：有，以前在證的時候不太懂為什麼要用ε去表達，後來在回去看的時候就比較清楚。
I2：那你後來比較清楚的部分可不可以講比較具體一點？
B1：因為無窮他趨近於某個數，比如說類似一個數趨近於某個數，你要取一個值在趨近 於那個數範圍之內，就好像把他包起來，只要在小於ε的範圍之內都可以很靠近那
個數。
I2：所以ε是任意給的，不管有很多項都能找出δ。
B1：嗯。
I2：你是在講說一個數字會趨近於某個數還是？
B1：我不會講，因為他是很靠近很靠近的數。
I2：簡單來講就是一開始覺得他覺得他不是一個能接受的，可是後來就稍微了解為什麼 他會這樣子？
B1：嗯。
I2：你覺得那時候學的這些東西對於現在設計這個的時候會有幫助嗎？
B1：沒有感覺，因我們在討論這個的時候是用比較實際的方式去教學。
I2：你們這個有講到第一個概念是無窮大，第二個是講收斂趨近於零的無窮，所以是無 窮小嗎？
B1：不是，無窮小是負無限大。
I2：在數學歸納法有提到無限的概念你覺得有哪些，譬如說他可以無限遞推，還是說他 有無窮多，還是說無窮大？
B1：無窮遞推，無限多，沒有感覺有無窮大。
I2：你覺得 n＞無窮大不會成立？
B1：會成立。
I2：所以這樣是三個都有？
B1：可是因為就數學歸納法可能會用不到無窮大，所以不會把無窮大算進去。
I2；所以你覺得數學歸納法不需要考慮到無窮大，但 n＞無窮大是成立的？
B1：是有考慮到，但是我在講數學歸納法的時候不會去考慮到無窮大。
I2：那做題目呢？
B1：不會考慮到無窮大。
I2：所以你覺得數學歸納法的定理中用的到無窮大的地方應該會成立，但實際教學或做 題目時不會用到？
B1：嗯。
I4：但無窮多的概念會在教學的時候用到？
B1：會。
I2：就你們第一個設計的活動，你們是要學生回答出到最後有無窮大，假如學生沒有回 答這樣子，只是說很多很多？
B1：那就是很多很多是多少。
I2：那可能要是他之前沒有學到無窮大的話？
B1：我覺得學生應該會有聽過無窮大的詞，可是如果學生講不出來的話，所以就是要讓 很多很多那個數字有個名詞可以講。
I2：所以很多很多就是無窮大？
B1：對。
I ：假如學生直接回答講到無窮大的話，那你會問學生無窮大是多大，你覺得學生會怎
麼回答？
B1：就是很大很大。
I2：也就是說假如你反問他們無窮大是多大，學生會說很大很大，那你有沒有想說要在 進一步解釋，還是這樣就可以？
B1：這邊就是把他留下沒有想要在解釋。
I2：所以你問學生無窮大是多少，但基本上你們預設是不解釋的？
B1：對，就讓學生感覺而已，有說無限大+1 是什麼東西這樣。
I2：無限大+1？
B1：就是還是無限大。
I2：所以你們第一個活動是要讓學生自己感受到無窮的感覺，能夠無窮大，那之前你會 教這樣的符號嗎，那這個符號是什麼意思，在你的教學中你會怎麼去解釋？
B1：無限大。
I2：跟無窮大有什麼差別？
B1：一樣，無窮感覺上是一個數字，可是無窮他不一定是要一個數字，可以是很多的東 西或向數。
I2：如果說學生他這樣寫可以多大多少個，就可以得到無窮大的？
B1：可是這不是我們預設的解。
I2：所以如果學生這樣寫你覺得正確嗎，就是很大很大？
B1：那我會覺得他的觀念就已經有了。
I2：所以你就覺得 ok？
B1：要再加比如說無窮大+1 那些。
I2：所以基本上這個符號是代表無窮大，你覺得學生能夠回答或寫這樣的答案應該都可 以？
B1：除了能寫出來還要了解他的意涵到底是什麼。
I2：那你們在第二個活動就是說剪紙嘛，那你們當初怎麼會想到這樣的例子？
B1：一開始是想到比較難的題目，就是如果說一個原本正方形的紙一次加二分之一加二 分之一進去的話，但他不會超過二，原本比較複雜，可是後來覺得只是要教數列的 話為什麼不把他簡單化，變成一次只要一半，看他最後數字會趨近於多少。
I2：所以你是在教數列的概念，所以是等比數列嗎？
B1：沒有講到是等比，可是其實它是等比。
I2：所以你目的不是要講數列，那目的是要？
B1：感受它是可以趨近於某個數字。
I2：就是它這樣一直變變變會趨近於零？
B1：嗯。
I2：所以如果一直剪下去，如果學生說剪不下去的話怎麼辦？
B1：其實它可以繼續減，只是我們沒辦法再剪下去。
I2：那你怎麼說服他們還可以再剪下去？
B1：可以用其他的東西譬如用機器去剪啊，可是人手工的沒有辦法，其實無窮就是我們
有辦法看到的東西之外，它還是繼續存在的。
I2：所以你會鼓勵他說只是目前的工具不夠好而已，它還是可以一直剪下去？
B1：恩。
I2：學生會不會想說一直剪之後會不見？
B1：那大概就有趨近於零的感覺。
I2：所以你覺得剪到最後就不見了就有達到..
B1：應該是不會不見吧。
I2：如果學生會有這樣的想法，你會怎麼去說他這樣子不對，因為你之前是想到一個皮
I2：如果學生會有這樣的想法，你會怎麼去說他這樣子不對，因為你之前是想到一個皮