雷射的操作條件

由於受激輻射產生光子之後，必須要有回饋機制來儲存能量，才能達到穩定 的雷射輸出，在討論雷射的臨界條件以前，我們先使用一個簡單的共振腔模型，

並利用雷射光在共振腔中來回振盪後必須保持光學自再現(Self-consistency) 的邊界條件來推導出增益條件。

圖 2.3 雷射在共振腔來回振盪之模型

首先，我們假設共振腔的長度為 L，而共振腔的前後鏡面反射率分別為R_𝑓及 R_𝑏，雷射行經共振腔時主動層的增益為 g，而雷射增益的光學侷限因子(Optical Confinement Factor)為Γ，Γ為光在有增益的主動層中的體積與總體積的比例，

而雷射在材料中傳播的傳遞波向量為 k，而雷射光在傳遞時所遇到的內部損耗為

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α_𝑖。我們假設雷射從任意位置 A 點發出一強度及相位分別為I₀與φ的光，並依序 經由 B、C、D、E 點，最後回到 F 點(即回到 A 點)，並觀察雷射在各點的強度及 相位的變化，並整理於表 2.1。

表 2.1 雷射在各個位置的強度與相位關係

如果雷射在共振腔來回振盪一輪後的強度及震幅不相等，那將不會有穩定的 雷射輸出，換言之，若要有穩定的雷射輸出，則 A 點與經過一次震盪後的 F 點的 相位與振幅就必須相等。

我們將表 2.1的強度部分與相位部分分開來做討論，則可以推導出雷射的振 幅條件及相位條件，之後再利用雷射穩定條件的結果來推導出雷射前後鏡面的出 光關係式。

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(1)振幅條件

由於表 2.1 中 A 點與 F 點的強度必須相等，因此震幅條件可以整理如下：

R_𝑓R_𝑏𝑒^{2(Γg−α𝑖)L} = 1 (2.1)

再將(2.2)式做移項並取自然對數後可將式子改寫為如下 𝐺_𝑡ℎ= Γ𝑔_𝑡ℎ = α_𝑖 +_2𝐿¹ ln (_𝑅¹

𝑓𝑅_𝑏) = α_𝑖+ α_𝑚 (2.2)

上式中𝐺_𝑡ℎ為雷射的臨界模態增益，g_𝑡ℎ為雷射的臨界增益，α

𝑚為雷射的鏡 面損耗，而此時注入的電流密度稱為臨界電流密度(Threshold Current Density)

(2)相位條件

雷射在共振腔來回振盪一輪後，除了震幅以外，相位也必須相等，我們可以 將表 2.1之震幅關係整理成式(2.3)之形式，並進一步整理成 (2.4)式之形式，

其中 m 為正整數

𝑒^j(2kL) = 1 (2.3) 2kL=2mπ (2.4)

利用k = 2n_𝑟π/λ，並利用雷射共振腔的縱模由 m 變化到 m-1 時，對應波長 由λ變化到λ+Δλ的條件，則可將式子(2.4)改寫如下

m − 1 = (^2𝑛𝑟

λ) L − 1 = (^2𝑛𝑟+

𝜕𝑛𝑟

𝜕λΔλ

λ+Δλ ) L (2.5)

上式做些簡化與整理後可得到下式，而Δλ稱為雷射的模距(Mode Sapcing)

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Δλ=_2𝑛^λ

𝑒𝑓𝑓𝐿 (2.6)

其中

n_𝑒𝑓𝑓 = n_𝑟[1 − (_𝑛^λ

𝑟)^∂n_∂λ^𝑟] (2.7)

𝑛_𝑟通常隨著波長增加而縮小，因此𝑛_𝑒𝑓𝑓 會比原本的𝑛_𝑟還要大。一旦雷射共 振腔長決定了，模距也會跟著定下來，而這些模態表示雷射光中容許存在的發光 波長。

(3)出光比例關係[11,12]

將震幅條件與相位條件推導出的式子(2.1)與(2.3)分別代入表 2.1中，我們 可以知道穩定的雷射光在各個位置的光強度比例，並計算出前後鏡面出光之比例，

分別以數學式表示如下：

P_{𝑏𝑎𝑐𝑘} = I_𝐵− I_𝐶 = (1 − 𝑅_𝑏)I₀𝑒^{(Γg−α𝑖)d} (2.8) P_{𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡} = I_𝐷− I_𝐸 = (1 − R_𝑓)R_𝑏I₀𝑒^{(Γg−α𝑖)(L+d)} (2.9)

將以上兩式相除後可得 ^{P𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡}

P_{𝑏𝑎𝑐𝑘} = ^{(1−R𝑓)R𝑏I0𝑒}(Γg−α𝑖)(L+d)

(1−𝑅_𝑏)I₀𝑒^{(Γg−α𝑖)d} = ^(1−R𝑓)R_(1−𝑅^{𝑏𝑒(Γg−α𝑖)L}

𝑏) (2.10)

再代入震幅條件公式後可整理為：

^P_P^{𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡}

𝑏𝑎𝑐𝑘 =

(1−R_𝑓)R_𝑏 ¹

√𝑅𝑓𝑅𝑏

(1−𝑅_𝑏) = ^(1−R_(1−R^{𝑓)√𝑅𝑏}

𝑏)√𝑅𝑓 (2.11)

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當其中一邊鏡面的反射率知道時，我們可以用鏡面出光比例之關係來推算出 另一鏡面之反射率。

除此之外，從式子(2.11)也可以推算出單邊出光強度與總出光強度之關係，

並以式子(2.12)表示之 F_{𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡} =^P_P^{𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡}

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = _P ^{P𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡}

𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡+P𝑏𝑎𝑐𝑘= _(1−R ^{(1−R𝑓)√𝑅𝑏}

𝑓)√𝑅𝑏+(1−R𝑏)√𝑅𝑓 (2.12)

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