第三章 布拉格反射鏡雷射
3.3 DBR 雷射之繞射損耗
雷射光入射到布拉格反射鏡時會有嚴重繞射損耗並造成反射率下降的概念 最早於 1996 年由 T.Baba 等人所提出[01]。西元 2000 年，與 T.Baba 相同研究團 隊的 M.Ariga 亦將雷射光近似為高斯波並利用 FDTD 的模擬來觀察雷射光經過三 階深蝕刻 DBR 時的繞射情形[16]，圖 3.11為模擬所用的雷射結構，圖 3.12為一 脈衝高斯波打入 DBR 後所產生的繞射情形，從圖中可以看出雷射光經過 DBR 後，
除了反射與穿透以外，也有部分的光是朝著上方與下方以繞射的形式消耗掉，對 一般發光波長為 980nm 的三階 DBR 雷射而言，鏡面的反射率會因繞射而下降至 75%左右[04,12]。
圖 3.11 Ariga-FDTD 雷射模型 圖 3.12 脈衝高斯波在 DBR 中的繞射情形
一般 DBR 的反射率通常是以平面波來做模擬，因此反射率可以很容易的達到 99%以上，但是 Baba 考慮到雷射在共振腔中的傳播並非以平面波的方式做傳播 [01]，而是必須滿足波導傳播模態的波動函數，為了方便計算，Baba 將雷射的 波導傳播模態以高斯波(Gaussian Wave)做近似，並將 DBR 等效為單層模，並利 用傳播光學(Light Transmission Optics)計算高斯波經過該等效單層模時波動
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函數的反射光強度，其模型如圖 3.13所示，其中l 為鏡面寬度，p 為 DBR 總週期。
Baba 模型中，所計算出的等效反射率𝑅𝑒𝑓𝑓值為不考慮繞射的反射率 R 再乘以繞 射造成的耦合效率(Coupling Efficiency，η)，公式表示如下
𝑅𝑒𝑓𝑓 = R × η (3.24) η= 1
√1+(𝐿𝑒𝑓𝑓𝑛𝜋𝜔)2
(3.25)
𝐿𝑒𝑓𝑓 =𝑛1{𝑛𝑎(𝑝 − 𝑙) + ∑ {[𝑛𝑠𝑙 + 𝑛𝑎(𝑝 − 𝑙)](𝑛𝑛𝑎
𝑠)2𝑖}
𝑁𝑖=1 } (3.26)
其中𝐿𝑒𝑓𝑓為 DBR 等效厚度，𝑛𝑠與𝑛𝑎分別為半導體與空氣折射率，N 為 DBR 的 對數，n 為 DBR 的等效折射率，ω為雷射的光模尺寸(Mode Size)，當高斯波強 度減為1/𝑒2時的寬度即為光模尺寸ω，Baba 並沒有精準地計算出雷射傳播於波 導中的波長規一化模尺寸2ω/𝜆，而是直接以常用值設值 0.8 做簡單的計算，以 (3.24)的公式分別對 1 階與 3 階 DBR 做反射率模擬，可計算出 3 階 DBR 的反射率 約 83%，1 階 DBR 的反射率約 97%。
圖 3.13 Baba DBR 模型 圖 3.14 Baba 模型反射率
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在 Baba 提出 DBR 雷射用高斯波做簡化的繞射模型之後， R.Jambunathan 與 J.Singh 在提出 1997 年提出更精確的理論模型來計算 DBR 反射率[02]，相較於 使用高斯波來作近似的 Baba 模型，Jambunathan 不使用高斯波作近似，而是先 將雷射在波導中的實際傳播模態函數計算出來，並將波導模態函數利用傳播光學 做計算與模擬，藉此計算出較精準的反射頻譜，Jambunathan 所使用的雷射結構 模型表示如圖 3.15，將鏡面厚度固定滿足 5 階布拉格條件，並將空氣間隙寬度 分別以滿足 1 階、3 階、5 階、7 階以及 9 階的布拉格條件做模擬，並將反射率 與空氣間隙寬度之關係整理成圖 3.16，我們可以發現當空氣間隙越寬時，反射 率也會因繞射損耗的增大而減小。此外，當鏡面的對數由 2 對增加到 3 對時，反 射率已經幾乎不再變化，也就是說只要 3 對鏡面就能達到飽和的反射率。
圖 3.15 Jambunathan 雷射模型 圖 3.16 反射率與空氣間隙之關係
以 Jambunathan 模型所計算出的反射頻譜與古典平面波所做的反射頻譜做 比較如圖 3.17-3.19所示，由圖中可以觀察出，繞射對反射頻譜的外觀影響並不 嚴重，主要影響禁止帶的反射率值，隨著空氣間隙寬度變寬，禁止帶的反射率也
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隨之下降。與 Baba 模型相比，Baba 並沒有計算出雷射的光模尺寸，而是直接以 預設值 0.8 做計算，因此 Baba 模型無法將反射頻譜與波長關係畫成圖 3.17-3.19 之形式。
圖 3.17 一階空氣間隙反射頻譜 圖 3.18 三階空氣間隙反射頻譜
圖 3.19 五階空氣間隙反射頻譜
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