3-1 架構模型的目的
在研究電漿狀態時，單純的實驗數據收集，雖可約略看出電漿狀態的改變，但 所需收集的 data 必須非常龐大才能有一定的趨勢可以觀察出來，而這其間所花 費的時間、資源與財力都甚鉅。故根據一般研究的準則，在節省資源的浪費與加 強狀態的準確性分析上，以已知理論架構出一可信任之模型便極為重要。
有好的模型，吾人便可在模型上作最佳控制的發展，並可依照不同的目標來作 控制，再將經過控制之後所得之模擬數據與實驗數據來相互驗證，故在模型的支 援之下，並不需要大量的實驗，僅需少數實驗來驗證模型的結果即可。如此，便 可以在有限資源與時間的前提下，達到最好的研究效果與效率，至於模型的建 立，則仰賴電腦計算的能力。
近代由於電腦科技的蓬勃發展，利用電腦計算模擬的方式，可以取代許多昂貴 的原型試驗，因而可以節省相當可觀的研發經費。而電腦所分析出的結果，能指 出許多傳統試誤的方法或實驗很難或甚至於無法解釋及預測的原因和情況。故利 用電腦來模擬電漿狀態、進而發展最佳控制理論，便是本研究的主要方向。
3-2 模型架構的理論基礎
本研究主要是以 Ar 電漿為主要研究方向，因為 Ar 電漿源反應較為簡單，可視 為研究電漿的基本入門，遠程目標是往業界使用最多之氯氣電漿源分析為目的，
若 Ar 電漿模型與控制成功，便可繼續往氯氣電漿源發展。但在一切研究之初，
為避免好高騖遠，故由基礎 Ar 電漿源作研究的方向。
由推導出的(3.6)式帶入連續方程式中，可以整合出一數學式：
表 3-1 Ar 電漿源中主要反應式
3-2.2 腔體的定義
設a=xi
3-2.4 SOR(Successive Over-Relaxation)法
由於在推導二維位置的數值分佈時，一開始僅有腔體周圍的值是已知的
j 利用 point-by-point iteration，最常見的方法是 Jacobi iteration，其原理 如下，先設定 的意義（其中（r-1）表示舊的已知值，故必須先給一個猜測 可視為所求的解。Jacobi iteration 乃是一直利用舊的值運算，等新值求出後 再用新值從頭算起，故運算上數度較慢。
另一常用的方法是 Gauss-Seidel iteration，與 Jacobi iteration 之差別在他 往下運算時，會同時利用到新值與舊值，不同處如下式所示：
至於本研究所用的 SOR 法（Successive Over-Relaxation），則是利用一個比率 因子（ω ），將舊值乘上一比率後再帶入運算出新值，此方法比前兩者運算上速 度會快的多，其關係式如下所示：
K P r
K r
K =(1− )Φ( 1)+ (−a )
∑
Φ ω − ω (3.19)
可以觀察發現，當ω =1 時，(3.19)式將會與(3.17)式相同，一般來說若取ω >1，
則稱為 over-relaxation，ω <1 為 under-relaxation，通常是用來解 nonlinear problems，一般的設定來說，我們會將ω 限制在 1<ω <2 中。
3-3 所求分佈之理論推導
由於電漿中各參數間都有相互耦合的關係存在，正所謂牽一髮而動全身，因 此在解方程式時必須先將某些參數假設出一固定值，待所求解求出後再帶回去運 算，如此不斷循環後，最終得到的穩定值才是趨於正確的值，其間的關係如表 3-3 所示。
表 3-3 影響各參數的變數
名稱 變數名稱
電子密度(ne) T e
電子溫度(Te) n e
離子密度(ni) n 、 、 e Te Ti 空間電位分佈(V) n 、 i ne
感應電場分佈(E) i（輸入電流）
3-3.1 感應電場分佈理論推導
由第二章中對 TCP 產生電漿的理論推導中，可知腔體中任何位置的感應電場大 小值，經由電磁向量位能與電場的關係：
Ev =−iwAv (3.20) 已知由 Biot-Savart law，可將腔體中任何一點的電磁向量位能求出，因此亦可 以求出電場的分佈，不過由於輸入的電源是 RF 電源，所以電場與電磁向量位能
)]
因為電子受到感應電場加速而獲得能量，所以對於電子溫度的分佈不能如離子假
3-3.3 電子分佈理論推導 point)，所以必須利用羅必達法(Lo-hospital Rule)將(3.36)式簡化，可得：
e e esource e k
對氬離子而言，qi =e為離子所帶正電荷，將上式導入離子遷離率 至於消耗速率只有在腔體邊緣會產生，約略會以 Bohm velocity[1949,by Bohm]
流失，至於 Bohm velocity(m/s)公式表示如下：
i
腔體中間部分依舊是奇異點(Singular point)，必須用羅必達法則(Lo-hospital Rule)將其先行簡化算出後，以邊界條件的方式帶入(3.43)式中，利用 SOR 法求 出離子密度分佈圖，腔體中間部分的數學式入下所示：
將(3.46)式帶入(3.45)式中可知： 的電場。利用帕松方程式(Poission＇s equation):
0 2
2 2
1 2
ε ρ ϕ ϕ
ϕ =−
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
z r r
r (3.53) 再利用差分法加以整理，運用 SOR 法加以計算，便可得出電漿腔體中的電位分佈 情形。
3-4 Use Visual Basic 架構電漿模型
Microsoft Visual Basic （簡稱 VB），是一套專門設計在視窗執行的程式寫 作軟體，語法上乃是以 C 語言為基礎，但更為簡潔、便利，在 VB 的平台上，可 以更簡單的架構出一使用者的 UI 介面（人機介面）。之所以使用 VB 建立模型，
是為研究作永續經營的基礎，在模型架構之初，許多變數的輸入便已設計成可以 隨使用者輸入而改變，模型完成後，往後使用者僅需改變所需的參數輸入，探討 控制結果的好壞，對於往後對電漿發展有興趣的研究者，可以快速的進入控制的 領域，而若需研究更為複雜的氯氣電漿源系統，也可直接進入程式的原始程式碼 中追加程式，對於往後研究可說助益良多。
在模擬電漿時，所有相關的數學公式已經在先前的 3-3 節中詳盡的介紹過了，
本模型便是以理論數學式為基礎，利用程式語言 VB 將所求一步一步求出，參考 先前表 3-3 中所提及的各種參數分佈間的關係後，依順序求出各種分佈。因為各 參數間有著耦合的關係存在，因此在建立模型時便有一定的程序必須遵循，唯有 遵循整理出的程序，才能解出正確的腔體狀態。而在本研究中，利用 VB 建立模 型時，遵守的流程圖如圖 3-2 所示。
圖 3-2 電腦模擬流程圖
反覆運算得出收斂的離子密度以及空間電位分佈 反覆運算得出收斂的電子溫度以及電子密度分佈
計算電流流經線圈所產生的感 應電場大小
計算腔體中 電子溫度分佈 計算腔體
電子密度分佈
計算腔體 離子密度分佈
計算腔體 空間電位分佈 已知輸入：
電流大小( I ) 壓力大小( P )
另外，在程式模擬定義取樣格點時，由於電漿腔體是圓柱腔體，若取等格點則 會造成體積不同之困擾，如圖 3-3 所示。在二維平面上取 r1=r2=r3 時，取的θ 雖 然都是一樣大小，但是在體積上可以明顯看出三個區塊體積並不等大，如此在做 分析時便會造成所求出的密度相同，但是實際上卻不相同的問題，此問題在 Prof.
Kenichi Nanbu 的論文上也有所提及【13】。
圖 3-3 格點取樣式意圖
因此，格點間的關係必須遵守一定的關係式，如下所示：
ri =r1 i for i=1.2.3...n (3.54) 其中 n 表示取多少格點，而 與腔體半徑 的關係如下所示： r1 rc
n
r1 = rc (3.55)
由(3.54)中可以得知，每個格點間的距離是不斷縮小的，因為這種設定，每個 格點所形成圓環面積會是一樣的，如圖 3-4 所清楚解釋，每個格點的面積都會 是： ，加上高度格點均為一致，所以可以保證每個單位格點的體積都是一 樣的，因此運算出每個格點的正確密度值。
2
r1
π×
r1
r2
因為r2 =r1 2，故π(r22 −r12) =π×r12，表示兩格點面積相同。
圖 3-4 圓柱等面積格點取法示意圖