數學素養的相關理論及研究

本節分為二個部分，分別為探討數學素養的意義、PISA 數學素養評量的架 構，藉此界定研究者在數學素養的定義及所欲使用數學素養試題的內涵。

一、數學素養的意義

（一）數學素養的相關定義

在各國的研究中，對於「素養」這個名詞有相當多的解釋，如個人與外界作 合理而有效的溝通或互動所需具備的條件，其中「外界」包括了人、事（組織、

制度）及物（工具）、「合理」即蘊涵了客觀的價值判斷、「有效」則意味 著素養的水準是可以有程度性差異的、「條件」則包括了認知、技能（行 為）及情意三方面的（尹建中等，1997）；韋伯新世界字典則將形容詞素養

（literate）一詞分成三個部分詮釋：一為指接受良好的教育（Well-educated）：即 具備或呈現廣泛的知識、學習或文化。二是精通文學（Versed in literature）。三是 有知識或有能力的（Knowledgeable or capable）（引自黃雅雲，2011）；Weinert

（2001）也指出素養為個體的一種適當的或已準備妥當的狀態或潛在特徵，能具 備某種知識、能力或技能、態度等行動先決條件。隨著世界各國對於素養的重視，

也衍生出許多和素養有關的相關知識：科學素養（Scientific literacy）、環境素養

（Environmental literacy）、電腦素養（Computer literacy）、科技素養（Technologi-cal literacy）、經濟素養（Economic literacy）與政治素養（Political literacy）（靳知 勤，2002；Steen, 1990）。

如同各國學者對於「素養」的多元定義，世界各國在談論「數學素養」的觀 念時，也使用了許多字彙來探討。陸昱任、譚克平（2006）在整理有關數學素養 的文獻時提到Hoogland（2003）認為，不同的國家會使用不同的用字來包含數 學素養的概念，舉例來說，英國多用Numeracy 及 Mathematical Literacy；美國多 用Mathematical Literacy 與 Mathematical Proficiency。亦有其他學者在文獻中使 用其他的用字來函蓋數學素養的意涵，，例如部分學者使用Matheracy 來討論數 學素養（Bonotto, 2001）。茲將此四種有關數學素養的字彙起源及意義分述如下：

1. Numeracy

Numeracy 最早源起於1959 年英國的Crowther Report，該報告首次使用 Numeracy來作為與讀寫素養（literacy）相對應之用字（郭慧玲，2002）。Numeracy 是最早出現有關數學素養的相關用詞，此一用詞較常於英國及其過去一些殖民地 區使用，特別像是澳洲和紐西蘭等地區（Doig et al., 2003）。Literacy 是在1970 年 代英國的教育評論中逐漸嶄露頭角，該字在當時主要著眼於學生讀寫能力的不 足，不過之後的意涵與用途廣泛的擴及語言使用的所有範疇。

2. Mathematical literacy

Mathematical literacy 是美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）所組織的學校數學標準委員會（Commission on Standards for School Mathematics）於 1986 年在著手擬定學校數學改革的任務時首度所提出的 願景（NCTM，1989），NCTM認為Mathematical Literacy 是基於對數學的認識，

認為數學是超越概念與技能熟練的累積，其應包括探究和推理的方法、溝通的方式、

情境的概念以及個人自信心的發展。在此願景引領下的課程標準為針對學生的五個 一般性目標：能珍視（value）數學、對於自己做數學的能力有信心、能成為數學問 題的解題者、能用數學溝通及能用數學推理（NCTM, 1989）。而PISA 對於數學素養 所採用的字彙即為「Mathematical literacy」。

3. Mathematical Proficiency

Mathematical Proficiency 主要源自於2001 年Adding it up： Helping children

learn mathematics，其目的旨在調和困擾美國某些地區的數學戰爭（Math War）

的爭議，而Skovsmose （1998）認為，Matheracy是連接數學教育與民主的一個重要 的議題，是一個能在數學結構的世界中活動的一種能力，並認為討論Matheracy時應 將重點置於反思（reflection），而反思可分為四種類型：一為以數學為目的的反思

（Mathematics-oriented reflection），二是以模型為目的的反思（model-oriented reflection）。三是以情境為目的的反思（context-oriented reflection），四是以生活世界 為目的的反思（lifeworld-oriented reflection）。（引自黃雅雲，2011）

4. Matheracy

Matheracy 一詞的提出，主要是呼應在十九世紀早期，課程主要是以閱讀、

書寫以及算術（3Rs）為基礎，不過隨著時代的變遷，過去所強調的3Rs 已不為 時代所需。

（二）國際評比測驗對於數學素養的定義

近幾年台灣積極參與國際性評比的大型測驗，其中 TIMSS、PISA 都針對學 生的數學能力進行測驗，由於美國的國家教育進展評量（National Assessment of Educational Progress, NAEP）實施的時間較早，成為許多大型測驗之參考依據（郭 伯臣等，2010），因此研究者藉由比較 NAEP、TIMSS、PISA 對於數學素養的定 義，藉此決定本研究所定義的數學素養。

1. NAEP

美國全國教育統計中心（National Center for Education Statistics, NCES）的最 高行政長官負責執行NAEP 政策，並由全國評量管理委員會（National Assessment Governing Board, NAGB）所制定之政策指導下執行其功能。NAEP 是美國評量 學生成就之代表，自1969 年便開始定期地對 4 年級、8 年級及 12 年級學生進 行閱讀、數學、科學等科目之評量（黃雅雲，2011）。

NAEP 在西元 1996 年至 2003 年的「數學教育成就評量」研究中，將有效數 學學習稱為「數學素養」（Mathematical Proficiency），而數學素養分為數學能力

（Mathematical Abilities）、數學威力（Mathematical Power）及數學內容（Content

Strands）三個向度。數學能力包含概念性理解（conceptual understanding）、程序 性流暢（procedural fluency）與解題能力（strategic competence）；數學威力包含 推理（Reasoning）、連結（Contact）、溝通（Comunication）

數學內容包含數的性質及運算、幾何（含測量），機率與統計分析（含資料 判讀）、代數（含函數），其中數的性質及運算也包含數的計算及認知；幾何也包 含空間推理與應用幾何性質，測量部分尚包含工具的使用、過程的呈現及面積與 體積的概念；機率與統計分析除含資料判讀外並包括能以圖形呈現概念；而代數 也包含能用數或式子表達及呈現關係。

2. TIMSS

TIMSS 主要目的為進行學生數學與科學教育成就趨勢調查研究，測試對象 為4 年級與 8 年級之學生，欲評估學生能否掌握參與社會所需的知識與技能，

並藉由國際評比來比較參與地區或國家的教育成效。自1999 年進行 TIMSS-R 評量後，IEA 計畫每隔四年辦理國際數學與科學教育成就研究一次，並改名為 TIMSS（Martin, Mullis, & Chrostowski, 2004）。

TIMSS 施測數學與科學兩學科，各學科的基礎架構由內容領域（content domain）與認知領域（cognitive domain）組成。TIMSS 數學 4 年級的內容領域 包含數（number）、幾何圖形與測量（geometric shapes and measures）、資料呈現

（data pisplay），8 年級內容領域包含數、代數（algebra）、幾何（geometry）、

資料與可能性（data and chance）；認知領域則包含瞭解（knowing）、應用（applying）

與推論（reasoning）。

測驗的能力包含認知、應用與推理。認知的能力有：記憶、辨別、計算、檢 索資料；應用的能力有：對於曾學過或類似的問題知道如何選擇方案、如何以數 學符號或概念替代、建立數學模型；推理則是：察覺真實生活問題並分析、轉化 一般化問題以數學語言或式子表示、解題並證明。

3.PISA

PISA 研究的宗旨是針對十五歲學生，生活知能的學習成效提供跨國際的比

較，以及各國教育效能的分析，並由此界定國民素養的內涵。PISA 評量計劃為 檢視學校教育結構如何影響教育產出的品質和均等，而關於教育均等議題的探 討，主要聚焦在社會經濟背景指標所能解釋的變異比率。亦即國家內公私立學 校、城鄉間、各族群（種族，移民類別）間，教育品質和受教育的機會是否公平 均等。

PISA 評量內容涵蓋閱讀，數學和科學三個領域的素養程度。革新的素養概 念結合終身學習的理念，以成人生活所需的重要知能為主軸，藉由三年一次的國 際評量，提供給各國教育體系有關的省思以及國際間不同教育系統效能評量與監 督的參酌。主要定義包含四大概念；數量、空間與形狀、改變與關係、不確定性 。 所須的技巧如；數學語言的理解、建模、解題假設執行。評量架構則定義為五種 情境；個人的、教育的、職業的、公眾的、科學的。題材融入了現在國民都會碰 到的全球暖化、溫室效應、人口成長、浮油與海洋、酸雨或運動常識等課題，生 活化的課題都是可涵蓋的範圍。

OECD 自 1999 以來，對於數學素養的定義修改了 3 次，如表 2-1-1 所示：

表2-1-1 PISA歷年對於數學素養的定義

年度 數學素養定義

1999、2003

個體應能確認與瞭解數學在這個世界所扮演的角色、能做出有 充分根據的判斷並且能使用及投入（engage in）數學以符合作 為積極的（constructive）、參與的（concerned）以及具反思

（reflective）之公民的需要。（OECD, 1999, 2003）

2006、2009

個體能夠辨認和瞭解數學在世界上所扮演的角色，能夠進行有 根據的評斷，並且針對個體在生活中的需求來運用或者投入數 學活動，以成為一個積極的、關懷的、以及反思的國民。（OECD, 2006,2010a）

2012

個體在不同情境脈絡中，形成、應用以及詮釋數學的能力，其 包含數學推理、和數學概念、程序、事實以及工具的運用來描 述、解釋和預測數學現象。數學素養輔助個體辨識數學在世界 中所扮演的角色，並且能做出具建設性、投入性及反思能力公 民所需具備的周延有據之判斷和決策。（OECD,2010b）

由表 2-1-1 的整理可以發現，OECD 在這幾屆的數學素養定義都著重在個體 是否能夠成為一個具備反思能力的公民，並且在2010 年對於個體應該具備的數 學能力有了更進一步的定義。

小結：

TIMSS 是建立在三種課程的關係的基礎之上，檢驗習得課程與目標課程之 間的關係。NAEP 是以課程標準為主要依據來設計題目以發現學生對課程標準中 的要求的實現程度。而PISA 則是以終身學習模型為基準設計題目來考查學生為 適應不斷變化的社會所應具備的能力。其中PISA 是在教育框架之外對教育成效 的評價。而TIMSS 和 NAEP 是在教育框架之內,對課程實施成效的評價（引自梁 潤嬋，2009）。

由於 PISA 對於「數學素養」的定義得到國際上廣泛的採納，台灣 DeSeCo 以其為基礎並參照國情，將數學素養內涵更加明確闡述如下：個人的數學能力與 態度，使其在學習、生活、社會、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識

由於 PISA 對於「數學素養」的定義得到國際上廣泛的採納，台灣 DeSeCo 以其為基礎並參照國情，將數學素養內涵更加明確闡述如下：個人的數學能力與 態度，使其在學習、生活、社會、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識