九年級學生數學素養之研究--以高雄市為例

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(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文 Graduate Institute of Mathematics and Science Education National Pingtung University of Education Master’s Thesis. 九年級學生數學素養之研究--以高雄市為例 The Study of Mathematics Literacy for the Ninth Grade Students in Kaohsiung. 指導教授：劉曼麗博士 Advisor: Ph.D. Man-Li Liu 研究生：張智凱 Student: Chih-Kai Chang. 中. 華. 民. 國. 一. 百. 零. January, 2014. 三. 年. 一. 月.

(2)

(3) 致. 謝. 兩年半的研究生生涯終於到了尾聲，自己總覺得這份論文若沒有身旁這麼多好人的幫忙，實在難以想像會有完成的一天。首先必須感謝指導教授劉曼麗老師，從一開始題目的確定、研究的設計、一直到各章節的修改，劉老師總是在百忙之中、不辭辛勞的改正我的錯誤，並且提醒我各種要注意的事項，而我總是因為個人的問題讓老師擔心，真的對劉老師很不好意思。同時也感謝屏東教育大學數理教育研究所的各位教授、蘇順德教授和陳新豐教授對我的指導，以及研究所的每位同學在修課期間的幫忙，讓我的論文能夠順利完成。感謝同校的柯瑞龍、柯翠菱老師夫婦、陳宏清老師及歐士福老師，若不是柯老師夫婦的邀約一起來考研究所，自己恐怕到現在都還是提不起勇氣報考研究所。陳老師及歐老師在我試題的編輯及修改給了我很多寶貴的意見，讓我的施測能夠順利進行。感謝李政憲老師、王文青老師、余鴻穎老師、莊國彰老師、陳司玲老師、辛政臻老師將試題授權給我施測，並感謝幫忙我施測的高雄市 21 間學校的老師及受測的學生，沒有你們，這份論文是沒有可能做出結果的，自己到現在還很難相信竟然有這麼多人願意幫忙素昧平生的我，最後得感謝我的家人在我趕論文的期間對我的照顧：太太幫我照顧小孩、還在小孩睡後跟我一同討論內容、父母幫忙我做施測的準備，讓我能在短時間內進行這麼多人次的施測，若沒有家人在背後的支持，我想如果要完成這份論文，一定會是遙遙無期的。這麼多好人對我的幫忙實在難以用言語表達心中感謝之意，對自己的幸運有無限的感恩。智凱謹誌 103 年 1 月. I.

(4) II.

(5) 九年級學生數學素養之研究--以高雄市為例摘要本研究選用民國 100 年由林福來教授所規劃的數學素養試題研發工作坊中各縣市教師所設計的試題，依照個人、社會、職業及科學四種情境脈絡挑選試題組合「數學素養試題」，透過分層叢集抽樣對高雄市 1063 名九年級的學生進行紙筆測驗，主要的目的在於了解學生在不同情境脈絡、數學內容知識的答題表現，並利用背景問卷調查學生資料，藉此比較在不同性別（女、男）、不同族群（非漢族、漢族）、不同家庭社經地位（高社經、中高社經、中社經、中低社經、低社經）及不同數學成就（在校月考平均為 80~100、60~80、40~60、20~40、20 以下）的變項下，學生在答題表現是否存在差異性。本研究的資料利用試題反應理論中的 PCM 模式、獨立樣本 t 考驗及單因子變異數分析，得到的結果如下：一、高雄市多數學生對於含有情境脈絡的開放性試題得 0 分的比例至少在 26% 以上，最高為 75.35%，顯示答題表現不佳，且對於試題內含的數學內容知識所對應的國中課程在運用上不熟悉。二、不同性別的學生之數學素養無顯著差異。三、不同族群的學生之數學素養達到顯著差異，漢族學生的數學素養顯著高於非漢族的學生四、家庭社經地位「高社經或中高社經」、「中社經」、「中低社經或低社經」彼此間學生的數學素養皆達到顯著的差異，家庭社經地位較高的學生之數學素養顯著優於家庭社經地位較低的學生。五、數學成就較高的學生之數學素養顯著優於數學成就較低的學生。. 關鍵詞：PISA、數學素養、九年級. III.

(6) IV.

(7) The Study of Mathematics Literacy for the Ninth Grade Students in Kaohsiung ABSTRACT The items of this study are picked out from questions designed by teachers on development of mathematical literacy workshop which is planned by Taiwan Dr. Fu-lai Lin. The researcher select some questions in four situations: the personal, social, professional and scientific and combine them into Mathematical Literacy Questions. The study sampling method is stratified cluster sampling of nine grade students in Kaohsiung city junior high schools. One of the study purposes is to know the students’ answer performance in different contexts and mathematics content knowledge. The other is to find the differences of gender, ethnic group( Han, Non-Han) , Social Economic Status( high SES, middle high SES, middle SES, middle low SES, low SES) , mathematics achievement( the averge score of monthly examinations is 80-100, 60-80, 40-60, 20-40, 20 or less ). In this study, the analysis methods are PCM mode, descriptive statistical analysis and ANOVA. The results are as belows: First, at least 26% of the sample students in Kaohsiung junior high school is get 0 point in opening questions of four situations. Then, 75.35% of the students even get 0 point in one of the questions. This display that the students don’t know how to apply what they learn in school curriculums. Second, gender is no significant difference in the mathematical literacy. Third, ethic group is significant difference in the mathematical literacy. The Han students' mathematical literacy is significantly higher than Non-Han students. Fourth, “ high or middle hige SES”, “middle SES”, “ middle low SES or low SES” is significant difference in the mathematical literacy. The higher SES of the students is, the better mathematical literacy is. Fifth, mathematics achievement is significant difference in the mathematical literacy. The mathematical literacy of students in higher mathematics achievement is significantly V.

(8) better than students in lower math achievement.. Keyword：PISA、Mathematical Literacy、Ninth Grade. VI.

(9) 目. 次. 致謝………………………………………………………………………………….…I 中文摘要………………………………………………………………….…….........III 英文摘要………………………………………………………………….……......... V 目次……………………………………………………………………………....…VII 表次………………………………………………………………………………..…IX 圖次………………………………………………………………………………..…XI 第一章、緒論…………………………………………….……………………………1 第一節、研究動機…………………………………………………………….……1 第二節、研究目的及研究問題……………………………………………………..4 第三節、名詞解釋………………………………………………………….………5 第四節、研究範圍及限制…………………………..………………………………6 第二章、文獻探討…………………………………………………………………….9 第一節、數學素養的相關理論及研究…………………………………………….9 第二節、PISA 評量的工具以及檢測方法……………..………………...………21 第三節、學生背景變項對數學學習的影響………………………..……………36 第三章、研究方法………...…………………………………………………………43 第一節、研究設計及架構…………………..……………………………………43 第二節、研究假設……………………………………..…………………………44 第三節、研究對象………..………………………………………………………45 第四節、研究工具…………………….……………………………………….…49 第五節、資料處理及分析…………………………………….……………….…63 第四章、結果與討論………...………………………………………………………65 第一節、學生在不同情境脈絡下數學內容知識之答題表現……………………65 第二節、不同背景變項的學生在數學素養試題答題表現之差異情形………..78. VII.

(10) 第五章、研究結論及建議………...………………………………….………..……85 第一節、研究結論…………………………………………………..……………85 第二節、建議…………………………………………..…………………………86 參考文獻…………………………………………………………………….……….89 中文部分………………………………………………………………….……….89 英文部分………………………………………………………………….……….94 附錄…………………………………………………………………………….…….97 附錄一、數學素養評量試題…………………………………………….….……97 附錄二、個人背景問卷………………………………………………………….108 附錄三、數學素養評量試題評分標準…………………………………………112 附錄四、專家審題修改項目……………………………………………………118 附錄五、作者授權書……………………………………………………………123 附錄六、正式試題 CRC 曲線…………………………………………………..129. VIII.

(11) 表. 次. 表 2-1-1 PISA 歷年對於數學素養的定義…………………………………………..13 表 2-1-2 Niss 數學能力表…………………………………………………………....19 表 3-3-1 分區抽樣方式及各區學生人數……………………………………………47 表 3-3-2 正式施測學校及學生人數分佈表…………………………………………47 表 3-4-1 各數學素養試題之情境脈絡及數學內容知識……………………………52 表 3-4-2 數學素養試題之雙向細目表………………………………………………53 表 3-4-3 數學養試題試題所對應的能力指標………………………………………53 表 3-4-4 家長教育程度分類………………………………………………………....61 表 3-4-5 家長職業類別及等級………………………………………………………61 表 3-4-6 家庭社經地位等級換算表…………………………………………………62 表 4-1-1 全體受試者在各情境脈絡之得分情形……………………………………65 表 4-1-2 各情境脈絡試題閾值表……………………………………………………66 表 4-1-3「涼亭」各代碼作答人數………………….………………………………68 表 4-1-4「回收寶特瓶」各代碼回答人數…………….……………………………69 表 4-1-5「常用的紙」各代碼回答人數…………….………………………………71 表 4-1-6「堆垛」各代碼回答人數…………….……………………………………73 表 4-1-7 「交通安全」各代碼回答人數…….……………………………..………75 表 4-1-8 「日本 311 大地震」各代碼回答人數…………………………..……..…76 表 4-2-1 不同性別的學生在數學素養試題的個人能力值平均數、標準差…....…78 表 4-2-2 不同性別的學生在數學素養試題答題表現之獨立樣本 t 考驗摘要表..…79 表 4-2-3 不同族群的學生在數學素養試題的個人能力值平均數、標準差………80 表 4-2-4 不同族群的學生在數學素養試題答題表現之獨立樣本 t 考驗摘要表…..80 表 4-2-5 不同家庭社經地位的學生在數學素養試題的個人能力值平均數、標準差…….…………………………………………………………………….81. IX.

(12) 表 4-2-6 不同家庭社經地位的學生在數學素養試題答題表現之變異數分析摘要表……………………………….. …………………………………….…..82 表 4-2-7 不同數學成就學生在數學素養試題的個人能力值平均數、標準差…….82 表 4-2-8 不同數學成就的學生在數學素養試題答題表現之變異數分析摘要表…83. X.

(13) 圖. 次. 圖 2-1-1 PISA 數學領域的成分…………………………………………………...…16 圖 2-1-2 PISA 數學化的循環………………………………………………………...17 圖 3-1-1 研究架構圖…………………………………………………………………44 圖 3-3-1 各性別抽樣人數……………………………………………………………48 圖 3-3-2 各族群抽樣人數……………………………………………………………49 圖 3-3-3 各家庭社經地位抽樣人數…………………………………………………49 圖 3-3-4 各數學成就抽樣人數………………………………………………………49 圖 3-4-1 預試試題信度分析…………………………………………………………55 圖 3-4-2 預試難度及題項分析………………………………………………………56 圖 3-4-3 預試學生個人能力值………………………………………………………57 圖 3-4-4 預試試題 CRC 曲線範例……………………………………………...……58 圖 3-4-5 正式施測信度分析…………………………………………………………59 圖 3-4-6 正式施測難度及題項分析…………………………………………………59 圖 3-4-7 正式施測學生個人能力值…………………………………………………60 圖 4-1-1「涼亭」各小題得分人數統計……………………………………….……68 圖 4-1-2「回收寶特瓶」各小題得分人數統計……………………………….……70 圖 4-1-3「常用的紙」各小題得分人數統計………………………………….……72 圖 4-1-4「堆垛」各小題得分人數統計………………….…………………………74 圖 4-1-5「交通安全」各小題得分人數統計………….……………………………75 圖 4-1-6 「日本 311 大地震」各小題得分人數統計.…………………………..…77. XI.

(14) XII.

(15) 第一章緒論本研究的目的為利用數學素養試題，來了解高雄市第一屆十二年國教下九年級的學生在試題方面的表現，藉此探討學生的數學素養。本章的主旨為說明研究者進行本研究的動機以及待答問題等內容，共分為四節，分別為第一節的研究動機、第二節的研究目的及研究問題；第三節定義本研究出現的名詞，以及第四節的研究範圍及限制。. 第一節. 研究動機. 素養（Literacy）是近代教育思潮中常見的語詞，聯合國科教文組織（UNE SCO）成立時，在其「人權宣言」中就有素養一詞，當時的素養包括讀、寫、算，此宣言定義了教育和素養是基本人權（柯華葳，2011）。除了 UNESCO 外，歐洲聯盟（European Union,EU）及經濟合作與發展組織（Organization for Economic Cooperation and Development,OECD），皆強調「素養」是培育能促進個人發展與社會發展的高素質國民與世界公民之基礎（蔡清田，2011）。國內也將素養的概念加入教改的內容，教育部在推行九年一貫課程時，亦定義素養為「蘊涵於內即為知識、見解與觀念，表現於外即為能力、技術與態度。」(教育部，2000)。加上民國 103 年上路的十二年國民基本教育，教育部將「學生生涯規劃與國民素養提升」列為主要的配套措施，從中可知，不論國內外，各國對於學生應具備的素養，都十分的重視。為培植國家競爭力，各國有許多素養監控的研究機構，諸如美國國會請相關單位進行研究，成立 National Literacy Panel，檢視各州學校對學生素養的教學、輔導、及監測方式；OECD 以及英國皇家學院也扮演類似的角色（教育部，201 2）。OECD 並在 1997 年底開始進行一項名為「能力的定義與選擇: 理論與概念的基礎」（Definition and Selection of Competencies: Theoretical and Conceptual Foundations,DeSeCo）的大型研究計畫，希望能夠凝聚大多數歐盟國家的理念， 1.

(16) 以作為面對未來各項挑戰的準則，讓歐盟各國體認到個人能力培養與集體褔址之間的密切關聯(陳伯璋、張新仁、蔡清田、潘慧玲，2007)。OECD 另於 2000 年成人素養報告中，清楚指出國民素養是國際間計算人力資源的重要指標（教育部，2012），由於世界各國都面對了全球化的趨勢以及各方面知識的快速成長，國家公民的素養及能力對於國家的發展有極大影響，因此檢視並培養國民的素養對於各國而言是相當重要的。而國際與國內在界定基本素養時，多包含數學因素，如 DeSeCo 界定出三項核心素養層面：「能使用工具溝通互動」（using tools interactively）、「能在社會異質團體運作」（interacting in socially heterogeneous group）與「能自主行動」（acting autonomously）（教育部，2013b）。在「能互動地使用工具」層面裡包括「使用語言、符號與文本互動的能力」，而所謂「符號」即涵蓋數學思維的運用；歐盟執委會於 2005 年發表《終身學習與核心素養》（Lifelong Learning and Key Competences for All: Vital Contribution to Prosperity and Social Cohesi -on），曾提出終身學習八大核心素養，其中涵蓋「數學能力以及基本科技能力」；洪裕宏等人（2008）於 2006～2008 執行國科會計畫《界定與選擇我國國民核心素養之概念參考架構與理論基礎研究》（簡稱台灣 DeSeCo），提出 20 項台灣的基本素養。在「能使用工具溝通互動」層面的六種素養項目中，第 6 項即為「數的概念與應用：理解數的概念，並應用日常生活，解決問題」（教育部，2013b）。由於數學在國家發展中一直占有相當重要的地位，學生是否具備足夠的數學素養也可能影響國家在科技的發展，究竟我國學生的數學素養是否已達到解決問題的能力成為研究者研究動機之一。為了檢測各國學生的素養及能力，國際間衍生了一些國際性的評量，例如由國際教育評估協會（The International Association for the Evaluation of Educati onal Achievement,IEA）所主持的「國際數學與科學成就趨勢調查」（Trends in I -nternational Mathematics and Science Study ,TIMSS）、「促進國際閱讀素養研究」（Progress of International Reading Literacy Study ,PIRLS），以及 OECD 自 2.

(17) 西元 1997 年發起的國際性的研究：PISA（the Programme for International Stud ent A-ssessment），即國際學生能力評量計劃，這三項評量分別針對不同的素養能力進行評量。其中 TIMSS 主要目的在提供各國長期追蹤學生數學和科學成就的趨勢與課程、教學、學習環境、家庭背景、以及教師等影響因素的相關資料，以了解各國在其教育改革或課程改革等改進措施的成效（張俊彥等，2007）。而 PISA 主要的評量目的為評估 15 歲學生在閱讀、數學及科學三方面的能力，並針對學生在生活知能的學習成效提供跨國際的比較，以及各國教育效能的分析，由此界定國民素養的內涵。PISA 自 2000 年開始施測，到 2012 年為止，已有超過 7 0 個國家或地區參與了 PISA 的測試，約略涵蓋了 87%的世界經濟體，有超過一百萬名學生接受評量。藉由評量結果的分析，PISA 提供各國教育系統可能比較指標及持續性的統計數據作為決策參考。PISA 並針對教育均等議題的探討，聚焦在社會經濟背景指標所能解釋的變異比率。亦即國家內公私立學校、城鄉間、各族群（種族，移民類別）間，教育品質和受教育的機會是否公平均等。（臺灣 PISA 國家研究中心，2010）張郁雯、林文瑛（2003）指出台灣教育一向有「考試領導教學」的情形，教學與學習都以「入學考試獲得高分為第一考量」，其根本的原因為「家長希望學生能夠進入理想的學校」。台灣於西元 2006 年第一次參加 PISA，以平均 549 分獲得數學領域世界排名第一名，閱讀領域 496 分排名 16，科學領域 532 分排名第 4，在數學科學兩方面的表現相當優異，然而在西元 2009 年第二次參加的表現中，數學部分由 2006 年第一名降到 2009 年的第五名。閱讀及科學的排名也分別下滑至第 23 名及第 13 名（臺灣 PISA 國家研究中心，2011a），排名下滑引起社會高度重視，此項結果雖不能完全代表我國學生的學習力及素養下滑，但也提供我們省思傳統升學考試走向的教學對於 PISA 針對不同背景的學生的測驗是否有效。由於 PISA 國際評比已逐漸成為領導數學教育課程設計的趨勢，PISA 提出學生應具備數學素養（mathematical literacy）的基本內涵，明定此素養為個人能運用推理、概念、程序、事實、工具等在各種不同的情境底下，解決數學問 3.

(18) 題的能力。且 PISA 以評量數學素養的試題包含不同的情境脈絡以及數學內容知識，與目前台灣特有的升學導向試題設計不同，對學生學習成果的影響差異甚大（林福來，2011），若教師在教學評量上仍然以傳統考試的「對」或「錯」來評斷一個學生的能力，相信已不符合目前國際間檢測學生素養的精神，臺灣師範大學數學系林福來教授也在 2011 年 2 月到 6 月間，根據 PISA 試題設計的依據規劃了六區種子教師工作坊，包括台北、宜蘭、新竹、台中、台南、及高雄共約 1 80 位教師編撰了臺灣 2011 數學素養評量樣本試題，提供給教師思考如何培養學生的數學素養。「提升國民基本知能，培養現代公民素養」是十二年國民基本教育在實施計畫中列在總體目標第一項的目標（教育部，2013a），但國內檢測學生數學素養的發展尚處於起步的階段，不同背景學生在數學素養上是否存在著差異性為研究者的研究動機之二。基於上述兩項研究動機，研究者由臺灣 2011 數學素養評量樣本試題選錄的試題編寫本研究所需的「數學素養試題」，並對學生進行數學素養的檢測，並探討不同背景條件的學生在數學素養試題整體的表現情況，藉此作為教師在教學上及檢測學生數學素養上的參考。. 第二節研究目的及研究問題依據研究者的研究動機，本研究的主要目的如下：一、探討在數學素養試題的答題表現中，高雄市九年級學生對於不同情境脈絡及各情境脈絡包含的數學內容知識之表現情形。二、探討在數學素養試題的答題表現中，不同背景變項的九年級學生之差異情形。而根據上述研究動機及研究目的，本研究所欲探討的問題如下：一、探討在數學素養試題答題表現中，高雄市九年級學生對於不同情境脈絡及各情境脈絡包含的數學內容知識之表現情形為何？. 4.

(19) 二、不同性別的九年級學生對於數學素養試題的答題表現是否有顯著的差異？三、不同族群的九年級學生對於數學素養試題的答題表現是否有顯著的差異？四、不同家庭社經地位的九年級學生對於數學素養試題的答題表現是否有顯著的差異？五、不同數學成就的九年級學生對於數學素養試題的答題表現是否有顯著的差異？. 第三節. 名詞解釋. 一、數學素養（Mathematical literacy）本研究所指之數學素養為 PISA2012 所下的定義：數學素養是個體在不同情境脈絡中，形成、應用以及詮釋數學的能力，其包含數學推理、和數學概念、程序、事實以及工具的運用來描述、解釋和預測數學現象。數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色，並且能做出具建設性、投入性及反思能力公民所需具備的周延有據之判斷和決策。二、數學內容知識本研究所指的數學內容知識為 PISA 在數學素養中所分類的內容知識，分別為改變與關係（change and relationships）、空間與形狀（space and shape）、數量（quantity）、不確定性（uncertainty）四大項。三、數學情境脈絡本研究所指的數學情境脈絡為 PISA 試題中不同的情境，包括個人（persona -l）、社會（social）、職業（occupational）及科學（scientific）四類。四、數學成就數學成就主要為數學的能力表現，而學生的數學成就指的是學生的各項數學成績表現。本研究所指的數學成就為九年級學生在七、八年級共 12 次月考數學的平均成績。. 5.

(20) 五、數學素養試題本研究所指的數學素養試題為台灣師範大學數學系林福來教授於民國 100 年 2 月~100 年 6 月規劃的六區數學素養試題研發工作坊中，各縣市教師在參與教授的帶領下所完成的試題設計。由於試題皆依照 PISA 設計試題的依據設計，並將參與教師的試題依照情境脈絡及數學內容知識分類，符合研究者所欲探究學生數學素養的試題需求，故研究者以此為依據，從中選定欲施測的題目。六、族群本研究學生背景變項中所指的族群主要分為兩類：漢族、非漢族。其中漢族包含閩客家族群與外省族群；非漢族包含原住民及新住民：原住民係指戶口名簿或戶籍謄本上備註欄加註有「原住民」字樣者；新住民係指父親或母親是外籍人士，但實際上居住在本國之國民。. 第四節. 研究範圍及限制. 一、研究範圍本研究受限於研究者的資源，研究範圍設定為研究者所在的高雄市，研究的對象設定為 102 學年度升上九年級的學生，依照高雄市在合併前的原高雄市行政區及原高雄縣行政區中按照學生的人數比例進行學校及學生的抽樣，共計 21 間學校及 1063 位學生。二、研究限制 PISA 施測的對象是依據年齡（介於 15 歲 3 個月至 16 歲 2 個月的學生）而非以年級做選擇。以臺灣的學制來說，這個年齡的學生大約是就讀國三、專一和高一，而研究者施測的時間點選在 102 學年度上學期第一次月考後，對於抽樣的九年級學生而言，並未完全將國中所需學習的數學課程學完，因此研究者在測驗選題上必須將含有三年級第一次月考後課程概念的題目刪除（包含圓、三角形的心、二次函數、機率與統計等），此為本研究限制之一；受限於研究者的人力、. 6.

(21) 財力、時間，本研究的樣本設定為研究者高雄市，研究的推廣有其侷限，此為本研究限制之二；由於數學素養試題研發工作坊中，各縣市教師所完成的數學素養評量試題已委託國內出版業者代為編輯出版成冊，且該出版公司所出版的 102 學年度上學期國三數學課本中已將研究者所欲施測的題目置於內文中，樣本的抽樣上必須避開選用該版本的學校，此為本研究限制之三。. 7.

(22) 8.

(23) 第二章文獻探討本研究的目的希望能夠藉著數學素養的試題來探究學生的數學素養，因此在文獻的整理及探討的分為三個部分，首先是第一節有關數學素養的相關理論及研究；在第二節中討論 PISA 數學素養評量的工具以及檢測學生能力的方法；最後在第三節中討論學生背景變項對數學素養的影響。. 第一節. 數學素養的相關理論及研究. 本節分為二個部分，分別為探討數學素養的意義、PISA 數學素養評量的架構，藉此界定研究者在數學素養的定義及所欲使用數學素養試題的內涵。一、數學素養的意義（一）數學素養的相關定義在各國的研究中，對於「素養」這個名詞有相當多的解釋，如個人與外界作合理而有效的溝通或互動所需具備的條件，其中「外界」包括了人、事（組織、制度）及物（工具）、「合理」即蘊涵了客觀的價值判斷、「有效」則意味著素養的水準是可以有程度性差異的、「條件」則包括了認知、技能（行為）及情意三方面的（尹建中等，1997）；韋伯新世界字典則將形容詞素養（literate）一詞分成三個部分詮釋：一為指接受良好的教育（Well-educated）：即具備或呈現廣泛的知識、學習或文化。二是精通文學（Versed in literature）。三是有知識或有能力的（Knowledgeable or capable）（引自黃雅雲，2011）；Weinert （2001）也指出素養為個體的一種適當的或已準備妥當的狀態或潛在特徵，能具備某種知識、能力或技能、態度等行動先決條件。隨著世界各國對於素養的重視，也衍生出許多和素養有關的相關知識：科學素養（Scientific literacy）、環境素養（Environmental literacy）、電腦素養（Computer literacy）、科技素養（Technologi-cal literacy）、經濟素養（Economic literacy）與政治素養（Political literacy）（靳知勤，2002；Steen, 1990）。 9.

(24) 如同各國學者對於「素養」的多元定義，世界各國在談論「數學素養」的觀念時，也使用了許多字彙來探討。陸昱任、譚克平（2006）在整理有關數學素養的文獻時提到 Hoogland（2003）認為，不同的國家會使用不同的用字來包含數學素養的概念，舉例來說，英國多用 Numeracy 及 Mathematical Literacy；美國多用 Mathematical Literacy 與 Mathematical Proficiency。亦有其他學者在文獻中使用其他的用字來函蓋數學素養的意涵，，例如部分學者使用 Matheracy 來討論數學素養（Bonotto, 2001）。茲將此四種有關數學素養的字彙起源及意義分述如下： 1. Numeracy Numeracy 最早源起於1959 年英國的Crowther Report，該報告首次使用 Numeracy來作為與讀寫素養（literacy）相對應之用字（郭慧玲，2002）。Numeracy 是最早出現有關數學素養的相關用詞，此一用詞較常於英國及其過去一些殖民地區使用，特別像是澳洲和紐西蘭等地區（Doig et al., 2003）。Literacy 是在1970 年代英國的教育評論中逐漸嶄露頭角，該字在當時主要著眼於學生讀寫能力的不足，不過之後的意涵與用途廣泛的擴及語言使用的所有範疇。 2. Mathematical literacy Mathematical literacy 是美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）所組織的學校數學標準委員會（Commission on Standards for School Mathematics）於 1986 年在著手擬定學校數學改革的任務時首度所提出的願景（NCTM，1989），NCTM 認為 Mathematical Literacy 是基於對數學的認識，認為數學是超越概念與技能熟練的累積，其應包括探究和推理的方法、溝通的方式、情境的概念以及個人自信心的發展。在此願景引領下的課程標準為針對學生的五個一般性目標：能珍視（value）數學、對於自己做數學的能力有信心、能成為數學問題的解題者、能用數學溝通及能用數學推理（NCTM, 1989）。而 PISA 對於數學素養所採用的字彙即為「Mathematical literacy」。 3. Mathematical Proficiency. Mathematical Proficiency 主要源自於2001 年Adding it up： Helping children 10.

(25) learn mathematics，其目的旨在調和困擾美國某些地區的數學戰爭（Math War）的爭議，而Skovsmose （1998）認為，Matheracy是連接數學教育與民主的一個重要的議題，是一個能在數學結構的世界中活動的一種能力，並認為討論Matheracy時應將重點置於反思（reflection），而反思可分為四種類型：一為以數學為目的的反思（Mathematics-oriented reflection），二是以模型為目的的反思（model-oriented reflection）。三是以情境為目的的反思（context-oriented reflection），四是以生活世界為目的的反思（lifeworld-oriented reflection）。（引自黃雅雲，2011） 4. Matheracy. Matheracy 一詞的提出，主要是呼應在十九世紀早期，課程主要是以閱讀、書寫以及算術（3Rs）為基礎，不過隨著時代的變遷，過去所強調的3Rs 已不為時代所需。（二）國際評比測驗對於數學素養的定義. 近幾年台灣積極參與國際性評比的大型測驗，其中 TIMSS、PISA 都針對學生的數學能力進行測驗，由於美國的國家教育進展評量（National Assessment of Educational Progress, NAEP）實施的時間較早，成為許多大型測驗之參考依據（郭伯臣等，2010），因此研究者藉由比較 NAEP、TIMSS、PISA 對於數學素養的定義，藉此決定本研究所定義的數學素養。 1. NAEP 美國全國教育統計中心（National Center for Education Statistics, NCES）的最高行政長官負責執行 NAEP 政策，並由全國評量管理委員會（National Assessment Governing Board, NAGB）所制定之政策指導下執行其功能。NAEP 是美國評量學生成就之代表，自 1969 年便開始定期地對 4 年級、8 年級及 12 年級學生進行閱讀、數學、科學等科目之評量（黃雅雲，2011）。 NAEP 在西元 1996 年至 2003 年的「數學教育成就評量」研究中，將有效數學學習稱為「數學素養」（Mathematical Proficiency），而數學素養分為數學能力（Mathematical Abilities）、數學威力（Mathematical Power）及數學內容（Content 11.

(26) Strands）三個向度。數學能力包含概念性理解（conceptual understanding）、程序性流暢（procedural fluency）與解題能力（strategic competence）；數學威力包含推理（Reasoning）、連結（Contact）、溝通（Comunication）數學內容包含數的性質及運算、幾何（含測量），機率與統計分析（含資料判讀）、代數（含函數），其中數的性質及運算也包含數的計算及認知；幾何也包含空間推理與應用幾何性質，測量部分尚包含工具的使用、過程的呈現及面積與體積的概念；機率與統計分析除含資料判讀外並包括能以圖形呈現概念；而代數也包含能用數或式子表達及呈現關係。 2. TIMSS. TIMSS 主要目的為進行學生數學與科學教育成就趨勢調查研究，測試對象為 4 年級與 8 年級之學生，欲評估學生能否掌握參與社會所需的知識與技能，並藉由國際評比來比較參與地區或國家的教育成效。自 1999 年進行 TIMSS-R 評量後，IEA 計畫每隔四年辦理國際數學與科學教育成就研究一次，並改名為 TIMSS（Martin, Mullis, & Chrostowski, 2004）。 TIMSS 施測數學與科學兩學科，各學科的基礎架構由內容領域（content domain）與認知領域（cognitive domain）組成。TIMSS 數學 4 年級的內容領域包含數（number）、幾何圖形與測量（geometric shapes and measures）、資料呈現（data pisplay），8 年級內容領域包含數、代數（algebra）、幾何（geometry）、資料與可能性（data and chance）；認知領域則包含瞭解（knowing）、應用（applying）與推論（reasoning）。測驗的能力包含認知、應用與推理。認知的能力有：記憶、辨別、計算、檢索資料；應用的能力有：對於曾學過或類似的問題知道如何選擇方案、如何以數學符號或概念替代、建立數學模型；推理則是：察覺真實生活問題並分析、轉化一般化問題以數學語言或式子表示、解題並證明。 3.PISA. PISA 研究的宗旨是針對十五歲學生，生活知能的學習成效提供跨國際的比 12.

(27) 較，以及各國教育效能的分析，並由此界定國民素養的內涵。PISA 評量計劃為檢視學校教育結構如何影響教育產出的品質和均等，而關於教育均等議題的探討，主要聚焦在社會經濟背景指標所能解釋的變異比率。亦即國家內公私立學校、城鄉間、各族群（種族，移民類別）間，教育品質和受教育的機會是否公平均等。 PISA 評量內容涵蓋閱讀，數學和科學三個領域的素養程度。革新的素養概念結合終身學習的理念，以成人生活所需的重要知能為主軸，藉由三年一次的國際評量，提供給各國教育體系有關的省思以及國際間不同教育系統效能評量與監督的參酌。主要定義包含四大概念；數量、空間與形狀、改變與關係、不確定性。所須的技巧如；數學語言的理解、建模、解題假設執行。評量架構則定義為五種情境；個人的、教育的、職業的、公眾的、科學的。題材融入了現在國民都會碰到的全球暖化、溫室效應、人口成長、浮油與海洋、酸雨或運動常識等課題，生活化的課題都是可涵蓋的範圍。 OECD 自 1999 以來，對於數學素養的定義修改了 3 次，如表 2-1-1 所示：表2-1-1 PISA歷年對於數學素養的定義. 年度. 數學素養定義個體應能確認與瞭解數學在這個世界所扮演的角色、能做出有充分根據的判斷並且能使用及投入（engage in）數學以符合作. 1999、2003 為積極的（constructive）、參與的（concerned）以及具反思（reflective）之公民的需要。（OECD, 1999, 2003）個體能夠辨認和瞭解數學在世界上所扮演的角色，能夠進行有根據的評斷，並且針對個體在生活中的需求來運用或者投入數 2006、2009 學活動，以成為一個積極的、關懷的、以及反思的國民。（OECD, 2006,2010a）. 13.

(28) 個體在不同情境脈絡中，形成、應用以及詮釋數學的能力，其包含數學推理、和數學概念、程序、事實以及工具的運用來描 2012. 述、解釋和預測數學現象。數學素養輔助個體辨識數學在世界中所扮演的角色，並且能做出具建設性、投入性及反思能力公民所需具備的周延有據之判斷和決策。（OECD,2010b）. 由表 2-1-1 的整理可以發現，OECD 在這幾屆的數學素養定義都著重在個體是否能夠成為一個具備反思能力的公民，並且在 2010 年對於個體應該具備的數學能力有了更進一步的定義。小結： TIMSS 是建立在三種課程的關係的基礎之上，檢驗習得課程與目標課程之間的關係。NAEP 是以課程標準為主要依據來設計題目以發現學生對課程標準中的要求的實現程度。而 PISA 則是以終身學習模型為基準設計題目來考查學生為適應不斷變化的社會所應具備的能力。其中 PISA 是在教育框架之外對教育成效的評價。而 TIMSS 和 NAEP 是在教育框架之內,對課程實施成效的評價（引自梁潤嬋，2009）。由於 PISA 對於「數學素養」的定義得到國際上廣泛的採納，台灣 DeSeCo 以其為基礎並參照國情，將數學素養內涵更加明確闡述如下：個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、社會、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點（教育部，2013b）。台灣 DeSeCo 對數學素養的定義亦來自 PISA，因此本研究對數學素養的定義取自 PISA2012 的定義。（三）數學素養和歷年課綱的關聯. 課程綱要是教師在教學上以及課本編寫上的指導原則，國中小 97 數學課綱的基本理念在素質指標上強調「帶著走」的能力，亦即使學生能理解重要的數學 14.

(29) 概念並加強數學能力，以便在日常生活及職場裡應用。97 數學課綱強調抽象化能力、邏輯思考與推理能力、以及連結數學與其他學習領域的能力發展。數學素養內涵的數學思維與數學知識部分，呼應了 97 數學課綱的基本理念。97 數學課綱包含四個學習階段：第一階段為國小一、二年級；第二階段為國小三、四年級；第三階段為國小五、六年級；第四階段為國中一至三年級，其課程主要目標在協助學生發展數、量、形的概念。在數方面，能熟練整數、小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識負數與根號數之概念與計算方式。在代數方面則要熟悉常用的函數關係與解方程式的能力。在幾何方面則要學習簡單圖形的基本幾何性質，並能學習簡單的幾何推理。能理解統計與機率的意義，並認識各種簡易的統計方法。97 數學課綱的教學目標即在充實學生數學素養的數學知識部分，並且藉由達成課程目標，希望培養學生具備演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力，也就是習慣於把數學思維的方式用在問題的解決上。（教育部，2013b）小結：比較 PISA 數學素養的定義和我國課綱的內容可發現兩者皆強調解決問題的數學能力，PISA 評量所需的數學知識亦安排在我國各個學習階段，對於我國 15 歲的中學生而言，PISA 所檢測的數學內容知識已有一定的認知。二、PISA數學素養評量的架構（一）評量架構（臺灣PISA國家研究中心，2011a：116-119）由於本研究對於數學素養的定義取自 PISA，因此對於數學素養試題的設計上也參考 PISA 對於數學評量的設計。 PISA 企圖清楚地描述並評量出十五歲學生的數學素養。因應這樣的目的，學生的數學知識和技能是根據三個向度來進行評定（如圖 2-1-1 所示）：（1）與問題有關的各種數學內容、（2）以數學來連結所觀察到的現象接著進行解題的歷程、（3）做為題材來源以及問題設計的情境和脈絡。因此，有三個成分是需要被重視的：（1）把問題置於一個脈絡或者情境中。（2）數學的內容必需用來解決問題，並且組織成豐富的想法。（3）為了連結真 15.

(30) 實的世界，能力必需要被活化，用數學的能力去解決問題。. 數學概念（overarching ideas）內容（content）. 情境（situations）脈絡（context）. 問題形式（Problem format）. 問題（problem）與解決（solution）. 歷程（Process）能力群組（competency cluster）數學能力（mathematical competencies）. 圖2-1-1 PISA數學領域的成分資料來源：臺灣 PISA 國家研究中心（2011a）。臺灣 PISA2009 結果報告。台北市：心理出版社。（二）情境和脈絡數學素養在數學之中有一個重要層面為：在各類的情境中使用以及做數學。這意味著數學處理、數學方法的選擇以及表徵通常依賴問題呈現的情境。情境是作業內容中學生世界的部分，試題的脈絡是在情境中被特定化，它包含問題形成中的所有細節要素。對 PISA 而言，最接近的情境為學生的個人生活；接著是學校生活、工作以及休閒；然後是日常生活中所會碰到的社區及社會；最後是科學和數學情境。個人部份的情境則是直接和學生個人日常活動有關；職業部分的情境則和學生在校生活或者工作場合有關；社會情境則和當地或廣泛的社群有關，需要學生觀察週遭環境的某些層面或環節。科學情境則較為抽象，可能包含技術的過程、理論情境或者明確數學問題的理解。（三）數學內容知識 OECD/PISA 的目的是評量學生解決真實問題的能力，所以PISA定義評量 16.

(31) 內涵的策略是以現象學的取向描述數學的概念、結構或想法。雖然所涵蓋的內容可能也同時出現在其它數學評量或國際數學課程，但該取向確保評量的焦點和領域的定義是一致的。數學重要概念可以有許多，針對數學素養的定義而言，最重要的考慮是要源於數學發展的歷史、充分彰顯數學重要本質的深度和廣度、並能合理涵括現行數學課程的內容。OECD/PISA 使用的內容概念如下：數量、空間與形狀、改變和關係、不確定性。（四）數學歷程 PISA 檢驗學生在各種情境中提出、形成、以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析、推理、以及溝通數學概念的能力。這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力。在PISA 中，一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（mathematisation）有關數學化的循環，如圖2-1-2所示：. 圖2-1-2 PISA數學化的循環資料來源：臺灣 PISA 國家研究中心（2011a）。臺灣 PISA2009 結果報告。台北市：心理出版社。 PISA 指出數學化的五個步驟：（1）開始於一個真實情境中的問題。（2）依. 17.

(32) 據重要的數學概念找出相關的數學，並且重新組織問題。（3）透過假設、一般以及形式化，逐漸調整現實，透過這樣的方式來浮現情境的數學特性，將現實世界的問題轉化成可以忠實呈現情境的數學問題。（4）解決數學問題。（5）根據真實情境來對數學解法產生意義化，包含找出解法的限制。針對數學化，PISA 提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力（comp -etencies）：思考及推理（thinking and reasoning）、論證（argumentation）、溝通（communication）、建模（modelling）、擬題及解題（problem posing and solvin -g）、表徵（representation）、以及運用符號、形式化及科技的語言及運算（using symbolic, formal and technical language and operations）、使用輔助工具（use o -f aidsand tools）。PISA 的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動，可以統整成三個能力群組（competency clusters），稱為複製（reproduction）、連結（connection）、及反思（reflection）。分述如下： 1. 複製群組（reproduction cluster）此能力群組基本上包含習過知識的複製。一般而言，他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力。如事實、一般問題表徵的知識，等值的辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集，例行程序的比現，標準算則及技術性技巧的應用，在標準的型態中操弄概念完備的符號，以及計算的進行。 2. 連結群組（connection cluster）連結群組的能力是建立在複製能力群組之上，在此問題解決不是例行的，但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境。此類群組的試題通常需要從不同數學內容概念（overarching ideas）、或者從不同的數學課程主題、或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據。 3.反思群組（reflection cluster）此能力群組包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性（reflective -ness），這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關，相對於連結群組，反思群組的情境包含較多元素或者可能是更接 18.

(33) 近「原始狀態」（或者非熟悉）。 PISA 2012 的數學歷程最主要步驟有三項： 1.形成數學情境（Formulating situations mathematically）：「形成」數學包含界定應用或使用數學的機會，將問題情境轉變成一種適合進行數學處理、提供數學結構與表徵，以幫助迎接挑戰或是解決問題的型態。 2.應用數學概念、事實、程序以及推理（Employing mathematical concepts, facts, procedures, and reasoning）：「應用」數學包含使用數學推理以及數學概念、程序、事實與工具來推導出數學解法；其中包括了執行計算，操弄代數式、方程式，分析數學圖表的訊息，發展數學的描述與解釋，以及使用數學工具來解決問題。 3.詮釋、應用以及評鑑數學結果（Interpreting, applying and evaluating mathematical outcomes）：「詮釋」數學則涉及在挑戰或問題的情境脈絡下，對於數學解法及結果的反思與詮釋，並決定這些結果在此情境下是否合理且有意義。（五）數學能力如何使用數學形成之間的連結關係則牽涉到數學能力的展現，PISA 是以數學化來說明解決生活實際問題的基本過程，而這個過程所需展現的數學能力是以 Niss 與其在丹麥的同事於 1999 年所發表的八個數學能力為依據（OECD, 200 3）。如表 2-1-2 所示：表 2-1-2 Niss 數學能力表 ability to ask and answer questions in and with mathematics A.數學. A1.能提問有數學意義的問題，並能辨識何種答案為數學答案. 思維. A2.對於給定的概念，能清楚掌握其適用範疇 A3.透過抽象化與類化擴展數學概念的範圍 A4.辨識各類數學敘述（條件、定義、定理、假設、臆測、數量值的. 19.

(34) 敘述、案例） B.擬題. B1.確認、提出及詳細說明不同類型的數學問題（純數的或應數的；. 與解題. 開放的或封閉的） B2.能解自己或別人提問的不同類型數學問題 B3.如果合適，能以不同方法解題. C.分析. C1.分析既存模式的基礎與屬性. 與發展. C2.轉化與解讀既存模式在現實世界中的意義，並評估該模式適用的. 數學模. 範疇. 式. C3.在給定情境中，發展適當的數學模式，並解決情境中的問題. D.數學. D1.能理解別人論證的條理，並能評估該論證是否有效. 推理. D2.知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同 D3.能從論證的條理中找到基本的想法 D4.能將直觀論證轉化成有效的證明 ability to deal with and manage mathematical language and tools. E.數學. E1.能解讀、詮釋及辨識數學物件、現象、情境的各類表徵. 表徵. E2.瞭解相同數學物件不同表徵間的關係，並掌握不同表徵的優勢與限制 E3.可以在表徵之間進行選擇與轉化. F.符號. F1.解讀與詮釋符號的形式數學語言，並瞭解他們與日常語言的關係. 化與. F2.瞭解數學語言的語意及語法. 形式化. F3.日常語言與數學正式/符號語言間的轉換 F4.處理和操弄包含符號與公式的敘述與表示式. G.數學. G1.瞭解別人以書寫、視覺及口語所傳達的數學資訊. 溝通. G2.能使用精確的數學語言表達自己的意思（口語、視覺或書寫的）. H.工具. H1.知道已存的數學活動工具或輔具的性質，並清楚其功能與限制. 20.

(35) 的使用. H2.能反思地使用這些工具或輔具. 資料來源：謝豐瑞（2007）。臺北市國中數學教師教學專業發展工作坊—數學思考篇。臺北縣市國中數學領域輔導團。結語：由上述文獻探討可知，不論是各學者或是 NAPE、TIMSS、PISA 等大型測驗，對於學生的數學素養都十分的重視，定義及內涵雖然有所不同，但都提供了教師們對於課程內容、課程實施的參考。少子化加上十二年國教的教育改革，學生是否能在學校課程中學習到應有的知識以及各方的素養，對於國家的發展有十分重大的影響，因此研究者參考 PISA 對於數學素養的定義，配合數學素養試題來分析學生的答題表現，藉此檢視學生在現行的課程綱要下是否有習得該具備的數學知識及問題解決的能力。. 第二節. PISA 數學素養評量的工具以及檢測方法. 本研究的所使用的數學素養試題源自數學素養試題研發工作坊中各縣市教師所完成的試題設計，且教師所設計的試題所包含的情境脈絡及數學內容知識皆參考 PISA 在試題上的設計，因此本節分為三個部分，分別針對 PISA 主要運用的工具：數學素養評量試題、學生的抽樣及背景問卷設計以及分析學生資料的測驗理論進行討論。一、PISA數學素養評量試題（一）評量的題型 PISA 數學試題使用四種題型：選擇題、多重是非題、封閉式問答題以及開放式問答題，其中選擇題、多重是非題+封閉式問答題、開放式問答題的比例各約為1/3。分述如下： 1.選擇題每個選擇題有四~五個選項，只有一個正確答案。. 21.

(36) 2.多重是非題多重是非題包括由二~四題是非題所組成的，通常必須全對才能得分。選擇題與多重是非題可以用來測量數學的理解歷程，然而卻無法讓學生進一步解釋和提出支持或反對的論點，因此，PISA除選擇題外還有問答題。 3.封閉式問答題封閉式問答題通常會先要求學生從「是」或「否」兩個正反面的立場中圈選出合理的答案，再要求提供計算或數學論證來支持自己所選擇的答案。 4.開放式問答題答題的主要目的在於讓學生自己建構答案，由作答者提出自己的觀點以及支持的理由和論證。開放式問答題由數學領域專家進行人工閱卷，根據學生的作答反應進行評分。評分時，依據學生理解的程度，評判為滿分、部分分數、或零分不會因為書寫表達能力不好而扣分。（二）數學內容知識數學的內容領域分成「改變與關係」、「空間與形狀」、「數量」、「不確定性」四大項。不論是在個人、社會、職業或科學任何一種情境裡，這四項數學領域對現代公民而言，是最基本也是最重要的。這四項內容領域說明如下： 1.數量數量是生活中常遇到的最基本與最普遍的數學觀念。生活中的各種特徵和現象都需要藉由量化來描述或測量，量化後即是數量的處理。數量主要包括測量、計數、指標、相對大小、趨勢和模式。例如：數的概念、數字的運算、心算、估計和評估。 2.空間與形狀包括生活中可見的各種現象，像圖形、物體的性質、位置與方位、影像的編碼與解碼、以及動態幾何圖形。此外，形體、影像或視覺表徵間的關係，如真實城市和該城市的地圖（照片）間的差異，以及三維物體的二維表徵、陰影的形成與意涵、視角的確認和運作、全球定位系統（GPS）等都屬於空間與形狀。 22.

(37) 3.改變與關係改變與關係的重點在於如何以數學模式描述自然界裡各種暫時性和永久性的關係，例如有機體的改變、生長、四季循環、潮起潮落、失業的循環、天氣改變等。這些模式有的具有時間性，有的則會因為其它因素的變化而產生改變。除了模式的建立之外，還包括模式的解釋、數學符號和圖形的轉換。例如：函數、代數與符號的使用、以及表格和圖形的呈現。 4.不確定性包括理解生活中各種造成變異的成因、具有量化和解釋變異的能力、測量時所隱含的不確定性的知識以及機率統計的問題。例如：選舉結果、天氣預測、經濟模型的變動。（三）情境脈絡使用合適的數學方法與表示式通常與個人的數學思考方式有關，而思考方式則會與問題的情境有關。PISA 試題的情境脈絡分成「個人」、「職業」、「社會」與「科學」四大類，盡可能包含各式各樣學生感興趣的情境，使學生有效地運用他們的數學知識，這四類的說明如下： 1.個人設定在與學生本身、學生的家庭或同儕群體有關的情境，例如：稅款、飲食、購物、健康。 2.職業以實際工作的情境為中心，例如試算表工作表單的使用、品質管制、設計。 3.社會與個人的公眾事務有關的情境，例如選舉、公共政策、經濟。 4.科學設定在必須應用數學知識的科學議題情境上，例如天氣、生態與環境、醫學、測量。. 23.

(38) 二、學生的抽樣及背景問卷設計（一）PISA抽樣方式 PISA 目標母群為在所有參與施測國家中15 歲的學生（大部分是七年級或是更高年級的學生），並使用二階段的分層抽樣設計，主要的抽樣步驟如下： 1. 定義各國的目標母群 2. 建立抽樣架構 3. 確認各抽樣層級（stratification） 4. 學校樣本的分配與挑選 5. 施測學生的挑選 PISA 使用二階段分層抽樣設計（two-stage stratified sample），第一階段是以學校為抽樣單位；第二階段是以學生為抽樣單位，針對該抽樣學校進行完全隨機抽樣。由於在某一個施測國家內，就算對於學校或學生使用隨機抽樣進行樣本之選取，最終的施測樣本也不完全能代表全部的目標母群，因此，在進行資料分析時抽樣權重必須考慮。然而，由於每位施測樣本並沒有擁有相同被抽取機率，因此，PISA 在進行資料分析時必須考慮學校權重、學生權重、學校無作答反應之校正、年級無作答反應之校正、學生無作答反應之校正等因素（郭伯臣等， 2010）。受限於研究者的資源，研究者在學生抽樣的部份較無法達到PISA抽樣的標準，且研究者的研究範圍限於高雄市九年級的學生，因此在學校抽樣的部份將參考高雄市國教輔導團對於高雄市的分區方式進行抽樣（詳述於第三章研究方法）。（二）PISA背景問卷設計 PISA 研發之背景變項問卷包含：學生問卷、學校問卷及提供參與國選擇的 ICT（Information Communication Technology）熟悉問卷、父母問卷及全國性的問卷。所有問卷發展初期皆有經過預試的階段，一開始選擇澳洲先進行小樣本的抽測，讓學生對問卷內容進行自由討論，然後根據學生們的意見進行內容修訂，接 24.

(39) 著選擇日語系的日本、德語系的德國、法語系的加拿大及英語系的澳洲進行較大規模的預試，針對收集到的問卷預試資料進行分析，對學生們提出的問題或不適宜的題目進行增修刪補，以提高問卷試題的品質（郭伯臣等，2010）。分述如下： 1.學生問卷 PISA 學生問卷大約需要花費學生30分鐘的填答時間，包含底下幾個面向的試題內容，學生特性︰年級、年齡和性別…等；家庭背景︰父母的職業、父母教育程度、家庭資源、家中藏書量，學生和父母的國籍，在家使用的語言…等；學生對於科學的看法；學生對於環境的看法；學生對於科學相關職業的看法；學習時間：包含在校及校外時間在不同科目課業上的學習模式與持續時間；學生對於接受科學教育的看法等等。 2.學校問卷學校問卷提供給學校校長填答，約20分鐘可完成。內容涵蓋學校的組織架構、學校的人員及管理、學校資源、入學方式、科學及環境議題的教學、就業指導方面…等。 3.ICT熟悉問卷 ICT 熟悉問卷內容包含學生使用電腦的經驗、能力與頻率，以及對於使用電腦解決相關問題的自信等等的調查。 4.父母問卷父母問卷內容則包含父母背景、子女的教育的花費、對環境的看法，以及對學校教育與科學教育的看法等等。小結：由於本研究的研究目的為探討不同的性別、族群、家庭社經背景、數學成就的學生對於數學素養試題的答題表現，因此在學生背景問卷的設計上參考 PISA2012對於學生家庭背景的詢問方式，僅調查學生的性別、父母的職業、父母教育程度、在校的數學成就表現等。未使用PISA學校及ICT的問卷的設計內容。. 25.

(40) 三、古典測驗理論及試題反應理論之比較測驗理論（test theory）大致可以粗分為兩大派別：一為古典測驗理論（classical test theory，簡稱為 CTT），另一為試題反應理論（item response theory，簡稱為 IRT）。古典測驗理論係以整份測驗分數（test scores）為主要思考依據的一種測驗理論，而試題反應理論則是以單一試題分數（item score）為主要思考依據的一種測驗理論（余民寧，2009）。由於本研究的研究目的之一為檢視不同性別、族群、家庭社經地位、數學成就等變項在數學素養試題表現的差異性，並利用 SPSS 軟體分析其相關性，因此在研究問題二到研究問題五研究者將採用 CTT 的方式來進行分析，然而學生在各種數學內容知識的表現卻無法利用 CTT 來分析，因此回答研究問題一的部分，研究者將採用 IRT 模式來進行分析， CTT 和 IRT 的內涵分述如下：（一）古典測驗理論（CTT）「古典測驗理論」是最早的測驗理論，至今，它仍然是最實用的測驗理論，許多通用的測驗仍然是根據傳統方法來編製，並且建立起測驗資料間的實證關係。古典測驗理論也叫「古典信度理論」（classical reliability theory），因為，它的主要目的是在估計某個測驗實得分數（observed score）的信度；亦即，它企圖估計實得分數與真實分數（true score）間的關聯程度。因此，有時候它又稱作「真實分數理論」（true score theory），因為它的理論來源都是建立在以「真實分數模式」（true score model）為名的數學模式基礎上。某位受試者接受一份測驗的施測後，他（或她）在該測驗上的得分（即「實得分數」），即代表在某些特定的情境下，他（或她）在這些試題樣本上的能力（ability）。當然，有許多因素會影響受試者在測驗上的表現。即使在內容範圍相同但試題樣本不同的條件下，或在不同的時間、主測者、與施測情境條件下，受試者的表現也都有可能會不一樣。因此，如果我們在所有可能的施測情境下、在所有可能的不同時間範圍內、或儘可能使用不同試題樣本，來針對同一位受試者進行同樣的測驗多次（理論上是無窮多次），則我們可以獲得許多有關該受試者的實得分數（余民寧，2002）。古典測驗理論主要是以整份測驗（或試卷）的觀點，來解釋測驗分數的涵義。因此，它對學生或受試者的測驗分數的看法，是以各試題得分加總之後的總分做 26.

(41) 為代表，單獨一道試題的得分，不具有任何意義的解釋價值。所以，它提出下列的數學假說，以作為其主要的理論學說依據： χ =t+e χ為測驗分數，t 為真實分數（即代表該測驗所欲測得學生的真正能力或潛在特質的部分），e 為誤差分數（即代表該測驗無法測得學生的真正能力或潛在特質的部分）。不過這個模式並未說明測驗總分是如何得到的(一般都是直接對各試題的得分加總)，也不知道受試者答題反應與題目難易度或受試者能力關係。古典測驗理論也稱為真實分數理論（true score theory），即是因為它的基本假設緣故而得名；換句話說，在古典測驗理論學說的看法下，我們必須使用一堆試題（通常即是一整份試卷），才能測得（或估計）學生的真正能力或潛在特質，單獨一道試題是做不到的。（二）試題反應理論（IRT）傳統的測驗編製及評估常使用CTT，由於CTT論較簡單易懂，因此CTT成為二十世紀測驗理論的主軸，然而隨者測驗的需求增加以及形式的多樣化，在使用上產生了許多的限制，例如：不同版本測驗的比較問題（郭伯臣等，2012），加上傳統的測驗通常是用得分來定義受試者的程度，用答對率（或同意的比率）來定義題目的難度。若受試者的程度很差，答對率就低，因此該題難度就很高。反之，如果受試者程度很好，答對率就高，該題目就變得很簡單。到底題目是難是易，取決於受試者樣本的特性，因此是樣本依賴（sample-dependent）（王文中， 2005）。若在測驗中未考量這些因素，得到的分析結果可能不會是「客觀」的，因此近半個世紀以來，現代心理計量學者以強勢的假設、嚴謹的立論、複雜的計算發展出新的理論，以克服CTT的侷限與缺失，此即為「IRT」（Hambleton & Swaminathan,1985）。 IRT 建立在兩個基本概念上（余民寧，2009）： 1.考生（examinee）在某一測驗試題上的表現情形，可由一組因素來加以預測或解釋，這組因素叫作潛在特質（latent traits）或能力（abilities）。 2.考生的表現情形與這組潛在特質間的關係，可透過一條連續性遞增的函數來加 27.

(42) 以詮釋，這個函數便叫作試題特徵曲線（item characteristic curve,ICC）。任何一條試題特徵曲線所代表的涵義是：答對某一試題的機率，是由考生的能力和試題的特性所共同決定。因此，試題反應理論具有下列幾項基本假設，分述如下： 1.單向度（unidimensionality）試題反應理論中的各種模式有個最常用的共同假設，那就是測驗中的各個試題都測量到同一種共同的能力或潛在特質；這種單一能力或潛在特質（因素）必須包含在測驗試題裡的假設，便是單向度的假設。在實際的測驗情境裡，考生在測驗上的表現情形很少是純粹受到一種因素的影響，其他因素如：成就動機、考試焦慮、應試技巧、及人格特質等，也都會影響到測驗的結果；因此，試題反應理論中對測驗必須具有單向度因素的基本看法，認為只要該測驗具有能夠影響測驗結果的一個「主要成份或因素」（dominant component or factor），便算符合單向度假設的基本要求，而這個主要因素所指的，即是該測驗所測量到的單一能力或潛在特質。適用於含有單一主要因素測驗資料的試題反應模式，便稱作單向度模式。適用於含有多種主要因素的試題反應模式，便叫作多向度（multidimensional）模式。 2.局部獨立性（local independence）當影響測驗表現的能力被固定不變時，考生在任何一對試題上的反應，在統計學上而言是獨立的；換句話說，在考慮考生的能力因素後，考生在不同試題上的反應間沒有任何關係存在。簡單地說，這意謂著涵蓋在試題反應模式裡的能力因素，才是唯一影響考生在測驗試題上做反應的因素；這組能力因素代表整個潛在空間（complete latent space），當單向度基本假設成立時，這整個潛在空間僅包含一種能力因素。通常，當單向度假設獲得成立時，局部獨立性假設也會獲得成立，就這一項涵義而言，這兩個概念是相通的（Lord,1980）。. 28.