數學領域的相關學習理論

本研究所探討的數學領域教學單元為體積、容積與容量，故本節 僅對體積、容積與容量進行探討。

一、體積的概念

一物體的體積為此物體所佔空間的大小，物體外則為某一封閉 曲面內的空間之大小。若定義面積是封閉曲線所圍成的平面區域的 大小，則面積和體積的意義的唯一差別在於：一個是二維的；一個 是三維的。二維空間的每一點可畫出兩條互相垂直的線；三維空間 的每一點則可畫出三條互相垂直的線，如圖 2：

圖 2 三維空間向量圖

譚寧君（1995）指出，「體積」是物件占有空間的大小，透過 堆積活動，複製一個全等的物件，以描述原物件的體積，而 Kerslake 認為體積的概念涉及三維空間關係，容易令人混淆，體積概念不易 掌握，故其將體積分成外體積與內體積。Linda, Margaret 和 Olwen （1984）則認為體積應包含下列四個不同層面的意義：

（一）外體積（external volume）—即透過視覺，知覺到的物體 占空間的大小，不論其為實心或空心，如：皮球、積木或空臬 子。

（二）內體積（internal voluem）—即物件內部空間大小，此乃 指空心物件的內部容積，一般指的是裝載固體的小個物，如：

盒子內可裝８個白色小積木，表示盒子的容積是８立方公分。

（三）排他性體積（displace volume）—即物件體積的大小是透 過排出的液量表示原物件的體積，如：石頭的體積，可透過將 其擲入滿水位的水缸內，流出的液體體積即表示石頭的體積。

（四）液積與容量（liquid volume and capacity）—液積表示液 體所佔有空間的量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的 最大裝載量，一般表示裝載液體的量。

二、體積的保留概念

保留是指兒童面對著二種物體，其中之一的「不相關知覺改變」

（即非指增加或減少的改變）之後，仍能了解二種物體間的數量是 維持不變的(王文科，1981)。通常學童在六歲之後,其保留概念才 發展。在此之前，他們還無法了解物質經過物理轉變後，總數量、

重量以及體積仍然不變。具有體積保留概念的學童知道物質經過變 形或經分割、重組、堆疊第過程後，其所佔有的空間大小和原來一 樣，這種概念須經過經驗的累積才能逐漸形成，兒童心理學家 Piaget（1952,1974）曾進行物體保留概念的研究，他們將一塊條 狀黏土搓揉成球狀，詢問受試兒童原本條狀搓成球狀後，黏土是變 大了？變小了？還是不變？結果發現約有 33 %的五歲兒童提出正 確答案；具有此保留概念，但是如果把條狀黏土分切成好幾塊，再 去問學生同樣的問題，發現九歲兒童仍有許多人認為變多了，可見 物體變形活動和物體切割活動，對兒童而言是屬於不同的屬次。至 於溶液體積部分，則指學童知道同一液量不受容器外型影響，也就 是說，學童在同一時間能處理的向度，例如：高度、寬度、底面積 大小等，可以超過一個以上。本研究對象為五年級學童，根據上述 五年級學童已俱體積保留概念，已不需仰賴知覺中的外觀。

三、液量的保留概念

學童能認定液量不因容器大小形狀的改變而改變，或經分割後 其總量和不改變，則稱其具有液量保留概念。倒水活動可以促進學 童液量保留概念，但保留訓練並非永遠可以成功。液量保留概念在 教學上的意義，有下列幾點：

（一）獲得可逆性信念：即將水倒回原杯檢驗，水量一樣多。

（二）等量水，不隨杯子不同而改變。

（三）經驗互補性：即等量的水倒在杯底較窄的杯子中，水位會較 高。

四、容量的測量概念

測量是一種操作技能，亦是一種概念上的認知。實測某物包含 三個步驟：1.決定被測物。2.選擇具有相同屬性的度量單位。3.

利用填滿、覆蓋、對齊或其他方法來比較度量單位和被測物。Piaget, Inhelder 和 Szeminska（1960）對於容量的研究中，將兒童的測 量概念歸納出三個階段。階段一：直接的視覺比較；階段二：應用 位置改變；階段三：能理解量的遞移性，操作的共同度量，以媒介 物重複度量進行比較。而根據其研究報告七、八歲後的兒童位於階 段三，故本研究學童對測量之概念處於理解量的遞移性。

本研究單元引導學童理解體積不同層面的意義，包括外體積、內 體積、排他性體積及液積等，皮亞傑的研究說明五年級學童已對具有 體積保留概念，能夠理解物質經過變形或經分割、重組、堆疊第過程 後，其所佔有的空間大小和原來一樣。本研究透過教學活動使學童得 知如何測量、計算體積、容積及容量。