3
4 2
1
I
F G
E H
圖 6.2-2
已知：如圖 6.2-2，平行四邊形 EFGH 的兩對角線 及 相交於 I。
求證： ＝ 且 ＝
想法：證明 △EHI △GFI，全等三角形的對應邊相等。
證明：
敘述 理由
(1) ∠1=∠2 (2) = (3) ∠3=∠4
(4) △EHI △GFI (5) ＝ 且 ＝
平行四邊形對邊平行 ∥ ＆ 內錯角相等 平行四邊形的對邊相等
平行四邊形對邊平行 ∥ ＆ 內錯角相等 由(1)~(3) ＆ 根據 A.S.A. 三角形全等定理 由(4) ＆ 全等三角形的對應邊相等
Q. E. D.
例題 6.2-21：
ABCD 為平行四邊形，兩對角線交於 O 點。如果 ＝9， ＝14，
則 ＝_______， ＝_______。
想法：平行四邊形對角線互相平分 解：
敘述 理由
(1) ABCD 為平行四邊形
(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝
2 1 ＝
2 1×9＝
2 9＝4.5
(4) ＝ ＝ 2
1 ＝
2
1×14＝7
已知 已知
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝9
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝14
例題 6.2-22：
ABCD 為平行四邊形，兩對角線交於 O 點。如果 ＝12， ＝4，
則 ＝______， ＝_______。
想法：平行四邊形對角線互相平分 解：
敘述 理由
(1) ABCD 為平行四邊形
(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝
2 1
(4) 4＝
2 1
(5) ＝8 (6) ＝ ＝
2
1 ＝
2
1×12＝6
已知 已知
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相
平分， ＝
由(3) ＆ 已知 ＝4
由(4) ＆ 等式兩邊同乘以 2
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝12
例題 6.2-23：
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，對角線 和 相交於 O 點，
若 ＝8x＋3， ＝9x－1，求 。
想法：平行四邊形對角線互相平分 解：
敘述 理由
(1) ABCD 為平行四邊形
(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝
2 1
(4) 8x＋3＝9x－1 (5) x＝4
(6) ＝8x＋3＝8×4＋3＝35 (7) 35＝
2 1
(8) ＝2×35＝70
已知 已知
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相
平分， ＝
由(3) ＆ 已知 ＝8x＋3， ＝9x－1 由(4) ＆ 解一元一次方程式
將(5) x＝4 代入 已知 ＝8x＋3 將(6) ＝35 代入 (3) ＝
2 1
由(7) ＆ 等式兩邊同乘以 2
例題 6.2-24：(菱形的兩對角線互相垂直且平分)
如下圖所示，ABCD 為菱形，對角線 和 相交於 O 點，求證：
(1) ⊥ (2) ＝ 、 ＝
想法：(1) 利用 △ABC △ADC，得知∠BAC＝∠DAC；
(2) 利用 ABCD 為菱形的定義，得知 ＝ ，可得到△ABD 為等腰三 角形；
(3) 利用等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊的性質，可得證 ⊥ 且 ＝ ；
(4) 同理可證： ⊥ 且 ＝ 。 證明：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△ADC 中
＝
＝
＝
(2) △ABC △ADC (3) ∠BAC＝∠DAC (4) △ABD 中， ＝ (5) △ABD 為等腰三角形
平分∠BAD
(6) ⊥ ( 即 ⊥ )
且 ＝
如圖所示
ABCD 為菱形 ＆ 菱形四邊等長 ABCD 為菱形 ＆ 菱形四邊等長 共同邊
由(1) ＆ 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 對應角相等
ABCD 為菱形 ＆ 菱形四邊等長 由(4) ＆ 等腰三角形定義
由(3) ∠BAC＝∠DAC 已證
由(5) ＆ 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊
(7) 同理可證：
⊥ ( 即 ⊥ )
且 ＝
(8) 所以 ⊥ 且
＝ 、 ＝
同理：△ABD △CBD，∠ADB＝∠CDB；
△ACD 為等腰三角形， 平分∠ADC；
等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 由(6) ＆ (7)
在例題 6.2-24 中，我們得知菱形的對角線互相垂直且平分，因為正方形亦 為菱形，所以正方形的兩對角線亦互相垂直且平分。
例題 6.2-25：(鳶形的兩對角線互相垂直)
如下圖所示，ABCD 為鳶形，對角線 和 相交於 O 點，求證：
(1) ⊥ 。 (2) ＝
想法：(1) 利用 △ABC △ADC，得知∠BAC＝∠DAC，
(2) 利用 ABCD 為鳶形的定義，得知 ＝ ，則△ABD 為等腰三角形，
(3) 利用等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊的性質，可得證 ⊥ 且 ＝ 。
證明：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△ADC 中
＝
＝
＝
(2) △ABC △ADC (3) ∠BAC＝∠DAC (4) △ABD 中， ＝ (5) △ABD 為等腰三角形
平分∠BAD (6) ⊥ ＆ ＝ (7) 所以 ⊥
(8) 所以 ＝
如圖所示
ABCD 為鳶形 ＆ 鳶形鄰邊等長 ABCD 為鳶形 ＆ 鳶形鄰邊等長 共同邊
由(1) ＆ 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 對應角相等
ABCD 為鳶形 ＆ 鳶形鄰邊等長 由(4) ＆ 等腰三角形定義
由(3) ∠BAC＝∠DAC 已證
由(5) ＆ 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 由(6) ⊥
由(6) ＝
例題 6.2-26：(矩形的兩對角線等長)
如下圖所示，ABCD 為長方形，對角線 和 相交於 O 點，求證： ＝ 。
想法：利用△ABD △DCA，可得證 ＝ 。 證明：
敘述 理由
(1) 在△ABD 與△DCA 中
＝
∠BAD＝∠CDA＝90°
＝
(2) △ABD △DCA (3) ＝
如圖所示
ABCD 為長方形 ＆ 長方形對邊等長
ABCD 為長方形 ＆ 長方形四個角皆為 90 度 共同邊
由(1) ＆ 根據 S.A.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 對應邊相等
在例題 6.2-26 中，我們得知矩形的兩對角線等長，因為正方形亦為矩形，
所以正方形的兩對角線亦等長。
例題 6.2-27：
下列圖形各具有哪些性質？（在空格中打ˇ）
圖形
性質 平行四邊形 長方形 菱形 正方形 鳶形
對邊平行 對邊等長 對角線等長
對角線互相平分 對角線互相垂直 四角皆為直角
想法：利用各圖形的性質作答 解：
敘述 理由
(1) 平行四邊形對邊平行 平行四邊形對邊等長
平行四邊形對角線互相平分 (2) 長方形對邊平行
長方形對邊等長 長方形對角線等長 長方形對角線互相平分 長方形四個角皆為直角 (3) 菱形對邊平行
菱形對邊等長
菱形對角線互相平分 菱形對角線互相垂直 (4) 正方形對邊平行 正方形對邊等長 正方形對角線等長 正方形對角線互相平分 正方形對角線互相垂直 正方形四個角皆為直角 (5) 鳶形對角線互相垂直
平行四邊形定義 定理 6.2-1 定理 6.2-2
長方形也是平行四邊形 長方形也是平行四邊形 例題 6.2-26
長方形也是平行四邊形 長方形定義
菱形也是平行四邊形 菱形也是平行四邊形 菱形也是平行四邊形 例題 6.2-24
正方形也是平行四邊形 正方形也是平行四邊形 正方形也是長方形 正方形也是平行四邊形 正方形也是菱形
正方形也是長方形 例題 6.2-25