習題 6.4-8:
已知有一個正 n 邊形可分成 4 個三角形,則:
(1) n= 。
(2) 此正 n 邊形的內角和為 度。
(3) 此正 n 邊形的一個內角為 度。
習題 6.4-9:
有一正 n 邊形的每一個內角為 108°,求 n。
習題 6.4-10:
如下圖,正五邊形 ABCDE 中,F 為內部一點,使得△CDF 為正三角形,則 ∠BFC= 度,∠BFE= 度。
習題 6.4-11:
如下圖,四邊形 ABCD 中, = , = ,求:
(1)∠1。 (2)∠2。 (3)∠3。
習題 6.4-12:
如下圖,有一個六邊形的公園,其中∠FAB=100°,小明從 P 點依逆時針方 向繞公園行走,最後到達 Q 點,則小明共轉了 度。
習題 6.4-13:
有一個四邊形,其外角分別為 x°、(x+5)°、(2x-7)°、42°,則 x= , 最大外角為 度。
習題 6.4-14:
若某六邊形的一組外角成等差數列,且最小外角為 10°,則最小內角為?
習題 6.4-15:
若某 n 邊形的內角和為其一組外角和的 5 倍,則此 n 邊形的內角和為 度。
習題 6.4-16:
正十邊形的一個外角為 度。
習題 6.4-17:
有一正 n 邊形,其每一個外角為 36°,則 n= 。
習題 6.4-18:
若有一正 n 邊形的一個內角為 108°,則 n= 。
習題 6.4-19:
有一正 n 邊形,其一個外角度數的 6 倍等於一個內角度數,則此正 n 邊形的 內角和為 度。
本章重點
本章介紹多邊形包含正方形、菱形、鳶形、平行四邊形、梯形、n 多邊形等,
並介紹這些多邊形的一些性質,:
1. 平行四邊形的對邊相等及對角相等性質 2. 平行四邊形的對角線互相平分性質 3. 判別平行四邊形的方法:
(1) 四邊形的一組對邊若平行且相等,則為平行四邊形。
(2) 四邊形的兩組對邊若分別相等,則為平行四邊形。
(3) 四邊形的對角線若互相平分,則為平行四邊形。
(4) 四邊形的兩組對角相等,則為平行四邊形。
4. 平行四邊形全等定理:一平行四邊形的兩邊及其夾角若分別等於另一平行四 邊形的兩邊及其夾角,則此二平行四邊形全等。
5. 三角形兩邊中點連線定理:三角形的兩中點連線必平行第三邊且等於第三邊 的一半。
6. 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半。
7. 等腰梯形的兩底角相等。
8. 凸多邊形與凹多邊形。
9. n 多邊形的內角和為 (n-2)180。
10. n 多邊形外角和為 360。
11. 正 n 多邊形的一個外角為 360÷n。
12. 正 n 多邊形的一個內角為(n-2)180÷n 或等於( 180-360÷n )。
歷年基測題目
1. 圖(一)、圖(二)、圖(三)分別表示甲、乙、丙三人由 A 地到 B 地的路線圖。
已知:
甲的路線為:A→C→B。
乙的路線為:A→D→E→F→B,其中 E 為 的中點。
丙的路線為:A→I→J→K→B,其中 J 在 上,且 > 。
符號「→」表示「直線前進」,則根據圖(一)、圖(二)、圖(三)的數據,判斷三 人行進路線長度的大小關係為何?(98-1)
(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D) 丙<乙<甲
70
60
50
A
C
B 圖(一)
70
50 60
70 70
50 60
70
K F I
D
B
A E A J B
圖(二) 圖(三) 解答:(A) 甲=乙=丙
想法:平行四邊形之對邊相等
110
110 110 110
70
70
70
70
60 50 60 50
70 50 60
70 70
50 60
70 K
F I D
C C
B
A E B A J
解答說明:
敘述 理由
(1) 甲路線長度= +
(2) 延長 及 ,兩延長線交於 C 點 (3) 四邊形 CDEF 為平行四邊形
(4) = , =
(5) 乙路線長度= + + + = + + + = + + +
=( + )+( + ) = +
(6) 延長 及 ,兩延長線交於 C 點 (7) 四邊形 CIJK 為平行四邊形
(8) = , =
(9) 丙路線長度= + + + = + + + = + + +
=( + )+( + ) = +
(10) 所以甲的路線長度 =乙的路線長度
=丙的路線長度= +
已知甲的路線為:A→C→B 作延長線,不平行兩線交於一點 如圖 & 兩組對角相等為平行四邊形 由(3) & 平行四邊形的對邊相等 已知乙的路線為:A→D→E→F→B 將(4) = , = 代入 加法交換律
加法結合律
全量等於分量之和
作延長線,不平行兩線交於一點 如圖 & 兩組對角相等為平行四邊形 由(7) & 平行四邊形的對邊相等等 已知丙的路線為:A→I→J→K→B 將(8) = , = 代入 加法交換律
加法結合律
全量等於分量之和 由(1)、(5) & (9) 遞移律
2. 如下圖,等腰梯形 ABCD 中, =5, =7, =13,且 之中垂線 L 交 於 P 點,連接 。求 + + + =?(98-1)
(A)24 (B) 25 (C) 26 (D) 27
解答:(B) 25
想法: (1) 等腰梯形兩腰等長
(2) 中垂線上任一點到線段兩端等距離 解答說明:
敘述 理由
(1) =
(2) = =7
(3) + + +
= + + +
= +( + )+
= + +
=7+13+5=25 (4) 所以本題選(B) 25
已知 之中垂線 L 交 於 P 點 & 中垂線上任一點到線段兩端等距離
已知 ABCD 為等腰梯形 &等腰梯形兩腰等長
& 已知 =7 題目所求
將(1) = 代入 加法結合律
全量等於分量之和( = + )
將(2) =7 & 已知 =13、 =5 代入 由(3)
3. 在五邊形 ABCDE 中,若A=100,且其餘四個內角度數相等,則C=?
(97-1)
(A) 65 (B) 100 (C) 108 (D) 110
解答:(D) 110
想法: n 多邊形內角和為 (n-2)180
解答說明:
敘述 理由
(1) 五邊形 ABCDE 內角和
=(5-2)180=3180=540
(2) C=(540-100)÷4=110
(3) 所以本題選(D) 110
n 多邊形內角和為 (n-2)180
由(1) & 已知A=100,其餘四個角相等 由(2)
4. 有一長條型鏈子,其外型由邊長為 1 公分的正六邊形排列而成。下圖表示此 鏈之任一段花紋,其中每個黑色六邊形與 6 個白色六邊形相鄰。若鏈子上有 35 個黑色六邊形,則此鏈子共有幾個白色六邊形?(97-1)
(A) 140 (B) 142 (C) 210 (D) 212
解答:(B) 142
想法: 觀查鏈子圖形,其組成方式是由黑色六邊形與左邊兩個及上、下兩個共 4 個白色六邊形為一組,一組一組串接,在最右邊在加上兩個白色六邊 形組成,所以白色六邊形的個數就是黑色六邊形的個數的四倍再加二個。
解答說明:
敘述 理由
(1) 白色的六邊形個數為 354+2=142 個
(2) 所以本題選(B) 142
如上圖,鏈子由 35 組六邊形組成再加二個 白色的六邊形,每組由 1 個黑色和 4 個白 色的六邊形所組成
由(1)
5. 下圖(一)是四邊形紙片 ABCD,其中B=120,D=50。若將其右下角向 內摺出一△PCR,恰使 ∥ 、 ∥ ,如下圖(二)所示,則PCR=?
(96-1)
(A) 80 (B) 85 (C) 95 (D) 110
120
50
D
A
B C
50
120
R C
B A
D
P
圖(一) 圖(二) 解答:(C) 95
想法:(1) 全等三角形
(2) 平行線之同位角相等
(3) n 多邊形的內角和為 (n-2)180
120
E 50
R C
D
A
B P Q
圖(三) 解答說明:
敘述 理由
(1) 延長 交 於 E 點,如上圖(三) (2) △PCR △PQR
兩不平行直線必相交於一點
已知四邊形紙片 ABCD,將其右下角向內 摺出一△PCR,則兩三角形完全疊合 &
(3) PCR=Q (4) PCR=PED (5) A=PED (6) 所以A=Q
(7) A+B+Q+D=360
(8) A+Q=360-B-D =360-120-50
=190
(9) Q+Q=190
(10) Q=95
(11) 所以PCR=Q=95
(12) 所以本題選(C) 95
由(2) & 全等三角形之對應角相等 已知 ∥ & 同位角相等 已知 ∥ & 同位角相等 由(3)、(4) & (5) 遞移律 四邊形內角和為(4-2)×180
由(7) 移項 &
已知B=120,D=50
減法
由(8) & (6) A=Q 由(9) & 解一元一次方程式
由(10)Q=95 &(3)PCR=Q 遞移律 由(11)
6. 已知小娟家的地板全由同一形狀且大小相同的地磚緊密地舖成。若此地磚的 形狀是一正多邊形,則下列何者不可能是此地磚的形狀?(96-1)
(A) 正三角形 (B) 正方形 (C) 正五邊形 (D) 正六邊形 解答:(C) 正五邊形
想法:(1) 正 n 多邊形的一個內角為 (n-2)180÷n
(2) 正 n 多邊形一個內角度數的倍數為 360的正多邊形才能緊密地結合 解答說明:
敘述 理由
(1) 正三角形一個內角
=(3-2)180÷3=60,可以 (2) 正方形一個內角
=(4-2)180÷4=90,可以 (3) 正五邊形一個內角
=(5-2)180÷5=108,
不可以
(4) 正六邊形一個內角
=(6-2)180÷6=120,可以
(5) 所以本題選(C) 正五邊形
正 n 多邊形的一個內角為 (n-2)180÷n 360÷60=6,6 個正三角形可緊密圍成一圈 正 n 多邊形的一個內角為 (n-2)180÷n 360÷90=4,4 個正方形可緊密圍成一圈 正 n 多邊形的一個內角為 (n-2)180÷n 360 不能被 108 整除,正五邊形不可緊密 圍成一圈
正 n 多邊形的一個內角為 (n-2)180÷n 360÷120=3,3 個正六邊形可緊密圍成 一圈
由(4)
7. 如下圖(一),四線段構成一漏斗的剖面圖,其中管子的內部寬度為 4 公分。
已知水滿時,水面到漏斗頸的高為 6 公分,水面寬度為 12 公分。若水位下降 3 公分,如圖(二),則水面的寬度為多少公分?
(94-1)
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
4 6
3
4 12
圖(一) 圖(二) 解答:(C) 8
想法:(1) 平行線截等線段定理 (2) 梯形中線長為兩底和的一半
圖(三) 解答說明:
敘述 理由
(1) 依題意作圖,如圖(三)所示 L∥M∥N 且 = =3 (2) = 且 =
(3) 四邊形 ADEB 為梯形
(4) 為梯形 ADEB 的中線,且
=( + )÷2 =( 12+4 )÷2=8 (5) 所以本題選(C) 8
作圖
水平線互相平行 & 已知敘述 由(1) & 平行線截等線段定理
由(1) L∥N & 一組對邊平行為梯形 由(2)、(3) & 梯形中線長為兩底和的一半 已知 =12 & =4
由(4)
8. 如下圖,四邊形 ABCD 為平行四邊形, ∥ ,D=75,ABE=25。
求GFB+GCB=?
(93-1)
(A) 155 (B) 210 (C) 235 (D) 270
解答:(C) 235
想法: (1) n 多邊形內角和為( n-2 )×180
(2) 平行四邊形的對角相等 解答說明:
敘述 理由
(1) ∠FGC=∠D=75
(2) ∠ABC=∠D=75
(3) ∠ABC=∠ABE+∠FBC (4) ∠FBC=∠ABC-∠ABE
=75-25=50
(5) 四邊形 BCGF 內角和( 4-2 )×180=360
(6) 360=∠FGC+∠FBC+∠GCB+∠GFB (7) GFB+GCB=360-∠FGC-∠FBC
=360-75-50
=235
(8) 所以本題選(C) 235
已知 ∥ & 同位角相等
& 已知∠D=75
已知四邊形 ABCD 為平行四邊形
& 平行四邊形之對角相等 全量等於分量之和
由(3) 移項 & (2) ∠ABC & 已知 ABE=25
n 多邊形內角和為( n-2 )×180
由(5) & 全量等於分量之和 由(6) 移項 & (1) ∠FGC=75
& (4) ∠FBC=50
由(7)
9. 如下圖,ABC 是邊長為 a 的正三角形紙張,今在各角剪去一個三角形,使得 剩下的六邊形 PQRSTU 為正六邊形,則 + + + + + =?
(A) 2a (B) 3a (C)
a 2
3
(D)a 4
9
(92-1)
解答:(A) 2a
想法:(1) 正 n 多邊形每一個內角皆為( n-2)×180÷n (2) 正 n 多邊形每一個外角皆為 360÷n
(2) 正 n 多邊形 n 邊等長且 n 個角皆相等 解答說明:
敘述 理由
(1) = = =a
(2) A=B=C
=(3-2)×180÷3=60
(3) 1=2=3=4=5=6
=360÷6=60
(4) △APQ 為正三角形
(5) = =
(6) △BUT 為正三角形
(7) = =
已知 ABC 是邊長為 a 的正三角形 & 正三角形三邊等長
已知 ABC 為正三角 & 正 n 多邊形每 一個內角皆為( n-2)×180÷n
已知 PQRSTU 為正六邊形 & 正 n 多邊形每一個外角皆為 360÷n 由(2) A=60、(3) 1=2=60 & 等角三角形為正三角形
由(4) & 正三角形三邊等長
由(2) B=60、(3) 5=6=60 & 等角三角形為正三角形
由(6) & 正三角形三邊等長