三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半。
O
M N
J
K L
圖 6.2-8
已知：如圖 6.2-8，△JKL 中，M 為 的中點，N 為 的中點。
求證： ∥ 且 ＝1
2
想法：延長 至 O 點，使 ＝2 ，然後證明 LKMO 為平行四邊形，
利用平行四邊形對邊相等質可得 ＝ ，所以 ∥ 且 ＝1 2 。 證明：
敘述 理由
(1) 延長 至 O 點，使 ＝ ， 即 ＝1
2
(2) 連接 L 點與 O 點
(3) 在△JNM 與 △LNO 中
＝
∠JNM＝∠LNO
＝
(4) △JNM △LNO (5) ∠JMN＝∠LON (6) 所以 ∥
(7) ＝ (8) ＝
延長線作圖
過兩點可作一直線 如圖所示
由(1)作圖 ＝ 對頂角相等 已知 N 為 中點
由(3) ＆ 根據 S.A.S. 三角形全等性質 由(4) ＆ 全等三角形對應角相等 由(5) ＆ 內錯角相等的兩線互相平行 由(4) ＆ 全等三角形對應邊相等 已知 M 為 中點
(9) ＝
(10) 四邊形 MKLO 中
∥ 且 ＝
(11) 所以 MKLO 為平行四邊形
(12) ∥ ( 即 ∥ ) (13) ＝
(14) ＝1 2
(15) 所以 ∥ 且 ＝1 2
由(7) ＆ (8) 遞移律 如圖所示
由(6) ∥ ＆ (9) ＝
由(10) ＆一組對邊平行且相等的四邊形 為平行四邊形定理
由(11) ＆ 平行四邊形的對邊平行 由(11) ＆ 平行四邊形的對邊等長 由(1) ＝1
2 ＆ (13) ＝ 由(12) ∥ ＆ (14) ＝1 2
Q. E. D.
例題 6.2-36：
如下圖，△ABC 中，D、E 分別是 及 的中點。若 ＝6，則 ＝______。
想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中，
D、E 分別是 、 的中點 (2) ＝
2 1 ＝
2
1×6＝3
如圖所示 已知
由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝6
例題 6.2-37：
如下圖，△ABC 中，已知 D、E 分別是 、 的中點。若 ＝5，
∠B＝40°，∠A＝80°，則：
(1) ＝？ (2) ∠AED＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中，
D、E 分別是 、 的中點 (2) ∥ ＆ ＝
2 1
(3) 所以 ＝2 ＝2×5＝10 (4) △ABC 中，
∠A＋∠B＋∠C＝180°
(5) 80°＋40°＋∠C＝180°
(6) ∠C＝180°－80°－40°＝60°
(7) ∠AED＝∠C＝60°
如圖所示 已知
由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半
由(2) ＝ 2
1 ＆ 已知 ＝5
如圖所示
三角形內角和 180°
由(4) ＆ 已知 ∠A＝80°，∠B＝40°
由(5) ＆ 移項
由(2) ∥ 已證 ＆ 同位角相等
＆ (6) ∠C＝60° 已證
例題 6.2-38：
如下圖，△ABC 中，F、G 分別為 及 的中點，D、E 分別為 及 的中點。若 ＝12，則 ＋ ＝______。
想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中，
F、G 分別是 、 的中點 (2) ＝
2 1 ＝
2
1×12＝6
(3) △AFG 中，
D、E 分別是 、 的中點 (4) ＝
2
1 ＝
2
1×6＝3
(5) ＋ ＝6＋3＝9
如圖所示 已知
由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝12 如圖所示
已知
由(3) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ (2) ＝6 已證 由(2) ＝6 ＆ (4) ＝3 已證
例題 6.2-39：
如下圖，有一三角形的荷花池 ABC，取三邊中點 D、E、F，建三座橋 、 、 。已知橋的長度 ＝6 公尺， ＝5 公尺， ＝4 公尺，
那麼 ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中
D、E 分別是 、 的中點 (2) ＝
2 1
(3) 6＝
2 1
(4) ＝2×6＝12 公尺 (5) △ABC 中
E、F 分別是 、 的中點 (6) ＝
2 1
(7) 4＝
2 1
(8) ＝2×4＝8 公尺 (9) △ABC 中
D、F 分別是 、 的中點
如圖所示 已知
由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半
由(2) ＆ 已知 ＝6 公尺 由(3) 等式兩邊同乘以 2 如圖所示
已知
由(5) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半
由(6) ＆ 已知 ＝4 公尺 由(7) ＆ 等式兩邊同乘以 2 如圖所示
已知
(10) ＝ 2 1
(11) 5＝
2 1
(12) ＝2×5＝10 公尺 (13) 所以 ＋ ＋
＝8 公尺＋12 公尺＋10 公尺 ＝30 公尺
由(9) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半
由(10) ＆ 已知 ＝5 公尺 由(11) ＆ 等式兩邊同乘以 2 由(4) ＆ (8) ＆ (12) 加法
例題 6.2-40：
如下圖所示，已知 D、E、F 分別是 、 、 的中點， ＝80，
＝88， ＝72，則 ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中
D、F 分別是 、 的中點 (2) ∥ ＆ ＝
2 1 ＝
2
1×88＝44
(3) D、E 分別是 、 的中點 (4) ∥ ＆ ＝
2
1 ＝
2
1×72＝36
(5) 四邊形 DECF 中
∥ ＆ ∥ (6) DECF 為平行四邊形
(7) ＝ ＝44 ＆ ＝ ＝36
(8) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝44＋36＋44＋36＝160
如圖所示 已知
由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線 平行等於第三邊的一半 ＆ ＝88 已知
由(3) ＆ 三角形的兩邊中點連線 平行等於第三邊的一半 ＆ ＝72 如圖所示
由(2) ∥ ＆(4) ∥ 已證 由(5)＆兩組對邊平行為平行四邊形 由(6) ＆ 平行四邊形兩組對邊相等
＆ (2) ＝44 ＆ (4) ＝36 由(7) 加法
例題 6.2-41： (四邊形四邊中點連線所成的四邊形為平行四邊形)
如下圖，E、F、G、H 是四邊形 ABCD 四邊的中點。若四邊形 ABCD 的對 角線和為 68，則：
(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？
(2) ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半
圖(a) 解：
敘述 理由
(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，
且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝68
(3) △ABD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
兩不平行直線必相交於一點
已知四邊形 ABCD 的對角線和為 68 如圖所示
已知 E、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半
(4) △CBD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(5) △ABC 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(6) △ACD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(7) ∥ ∥ ＆ ∥ ∥
(8) 所以四邊形 EFGH 為平行四邊形
(9) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝
2
1 ＋
2 1 ＋
2
1 ＋
2 1 ＝ ＋ ＝68
如圖所示
已知 F、G 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 E、F 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 G、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 由(3) ∥ 、(4) ∥ ＆ (5) ∥ 、(6) ∥ 遞移律 由(7) ∥ ＆ ∥ ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形 題目所求
由(3) ＝ 2
1 、(4) ＝ 2 1
(5) ＝ 2
1 、(6) ＝ 2 1
＆ (2) ＋ ＝68
例題 6.2-42： (平行四邊形四邊中點連線所成的四邊形為平行四邊形)
如下圖，E、F、G、H 是平行四邊形 ABCD 四邊的中點。若平行四邊形 ABCD 的對角線和為 48，則：
(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？
(2) ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半
圖(a) 解：
敘述 理由
(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，
且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝48
(3) △ABD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(4) △CBD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
兩不平行直線必相交於一點
已知四邊形 ABCD 的對角線和為 48 如圖所示
已知 E、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 F、G 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半
(5) △ABC 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(6) △ACD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(7) ∥ ∥ ＆ ∥ ∥
(8) 所以四邊形 EFGH 為平行四邊形
(9) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝
2
1 ＋
2 1 ＋
2
1 ＋
2 1 ＝ ＋ ＝48
如圖所示
已知 E、F 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 G、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 由(3) ∥ 、(4) ∥ ＆ (5) ∥ 、(6) ∥ 遞移律 由(7) ∥ ＆ ∥ ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形 題目所求
由(3) ＝ 2
1 、(4) ＝ 2 1
(5) ＝ 2
1 、(6) ＝ 2 1
＆ (2) ＋ ＝48
例題 6.2-43： (矩形四邊中點連線所成的四邊形為菱形)
如下圖，E、F、G、H 是矩形 ABCD 四邊的中點。若矩形 ABCD 的對角線 和為 24，則：
(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？
(2) ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半
圖(a) 解：
敘述 理由
(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，
且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝24
(3) ＝
(4) △ABD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
兩不平行直線必相交於一點
已知四邊形 ABCD 的對角線和為 24 已知 ABCD 為矩形 ＆ 矩形對角線 相等
如圖所示
已知 E、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半
(5) △CBD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(6) △ABC 中
∥ ＆ ＝ 2
1 ＝
2 1
(7) △ACD 中
∥ ＆ ＝ 2 1 ＝
2 1
(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥ ＆
＝ ＝ ＝ ＝
2 1
(9) 所以四邊形 EFGH 為菱形
(10) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝
2
1 ＋
2 1 ＋
2
1 ＋
2 1 ＝ ＋ ＝24
如圖所示
已知 F、G 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 E、F 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 ＆ (3) ＝
如圖所示
已知 G、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 ＆ (3) ＝
由(4)、(5)、(6) ＆ (7) 遞移律
由(8) ∥ 、 ∥ 、
＝ ＝ ＝
＆ 四邊等長的平行四邊形為菱形 題目所求
由(4) ＝ 2
1 、(5) ＝ 2 1
(6) ＝ 2
1 、(7) ＝ 2 1
＆ (2) ＋ ＝24
例題 6.2-44： (菱形四邊中點連線所成的四邊形為矩形)
如下圖，E、F、G、H 是菱形 ABCD 四邊的中點。若菱形 ABCD 的對角線 和為 36，則：
(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？
(2) ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半
圖(a) 解：
敘述 理由
(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，
且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示
不平行的兩直線必相交於一點
(2) ＋ ＝36 (3) ⊥
(4) △ABD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(5) △CBD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(6) △ABC 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(7) △ACD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥
(9) 四邊形 EFGH 為平行四邊形
(10) ⊥ 、 ⊥ 、 ⊥ 、
⊥
(11) 所以四邊形 EFGH 為矩形
(12) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝
2
1 ＋
2
1 ＋
2 1 ＋
2 1 ＝ ＋ ＝36
已知四邊形 ABCD 的對角線和為 36 已知 ABCD 為菱形 ＆ 菱形對角線 互相垂直且平分
如圖所示
已知 E、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 F、G 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 E、F 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 G、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 由(4) ∥ 、(5) ∥ ＆ (6) ∥ 、(7) ∥ 遞移律 由(8) ∥ 、 ∥
＆ 兩組對邊平行為平行四邊形
由(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥
＆ (3) ⊥
由(9)、(10) ＆ 四個角皆為直角的 平行四邊形為矩形
題目所求 由(4) ＝
2
1 、(5) ＝ 2 1
(6) ＝ 2
1 、(7) ＝ 2 1
例題 6.2-45： (正方形四邊中點連線所成的四邊形為正方形)
如下圖，E、F、G、H 是正方形 ABCD 四邊的中點。若正方形 ABCD 的對 角線和為 56，則：
(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？
(2) ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半
圖(a) 解：
敘述 理由
(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，
且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝56
(3) ⊥ 且 ＝
不平行兩直線必相交於一點
已知四邊形 ABCD 的對角線和為 56 已知 ABCD 為正方形 ＆
正方形對角線互相垂直 ＆ 正方形兩對角線相等
(4) △ABD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(5) △CBD 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(6) △ABC 中
∥ ＆ ＝ 2
1 ＝
2 1
(7) △ACD 中
∥ ＆ ＝ 2 1 ＝
2 1
(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥ ＆
＝ ＝ ＝ ＝
2 1
(9) 四邊形 EFGH 為菱形
(10) ⊥ 、 ⊥ 、 ⊥ 、
⊥
(11) 所以四邊形 EFGH 為正方形
(12) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝
2
1 ＋
2
1 ＋
2 1 ＋
2 1 ＝ ＋ ＝56
如圖所示
已知 E、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 F、G 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 E、F 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 ＆ (3) ＝
如圖所示
已知 G、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 ＆ (3) ＝
由(4)、(5)、(6) ＆ (7) 遞移律
由(8) ∥ 、 ∥ 、
＝ ＝ ＝ ＆ 四邊等長的平行四邊形為菱形
由(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥
＆ (3) ⊥
由(9)、(10) ＆ 四個角皆為直角的 菱形為正方形
題目所求 由(4) ＝
2
1 、(5) ＝ 2 1
(6) ＝ 2
1 、(7) ＝ 2 1
例題 6.2-46：
如下圖，O 點為平行四邊形 ABCD 內部之一點，且 E、F、G、H 分別是 、
、 、 的中點。若 ＝15 公分， ＝12 公分，則 (1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？
(2) ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) 平行四邊形 ABCD 中 (2) ∥ ＆ ∥ (3) ＝ ＆ ＝ (4) △OAB 中
(5) E、F 分別是 、 的中點 (6) ∥ ＆ ＝
2 1 ＝
2
1×15＝
2 15
(7) △OBC 中
(8) F、G 分別是 、 的中點 (9) ∥ ＆ ＝
2 1 ＝
2
1×12＝6
(10) △OCD 中
(11) G、H 分別是 、 的中點 (12) ∥ ＆ ＝
2 1
(13) △OAD 中
如圖所示
平行四邊形兩組對邊平行 平行四邊形兩組對邊相等 如圖所示
已知
由(5) ＆ 三角形的兩中點連線平行 等於第三邊的一半 ＆ ＝15 如圖所示
已知
由(8) ＆ 三角形的兩中點連線平行 等於第三邊的一半 ＆ ＝12 如圖所示
已知
由(11) ＆ 三角形的兩中點連線平 行等於第三邊的一半
如圖所示
(14) E、H 分別是 、 的中點 (15) ∥ ＆ ＝
2 1
(16) 四邊形 EFGH 中 (17) ∥ ∥ ∥
(18) ∥ ∥ ∥
(19) EFGH 為平行四邊形
(20) ＝ ＝ 2
15 ＆ ＝ ＝6
(21) ＋ ＋ ＋ ＝
2
15＋6＋
2
15＋6＝27
已知
由(14) ＆ 三角形的兩中點連線平 行等於第三邊的一半
如圖所示
由(6) ∥ ＆ (2) ∥
＆ (12) ∥ 遞移律 由(9) ∥ ＆ (2) ∥
＆ (15) ∥ 遞移律 由(17) ∥ ＆ (18) ∥ 兩組對邊平行為平行四邊形 由(19) 平行四邊形兩組對邊相等
＆ (6) ＝ 2
15 ＆ (9) ＝6
由(20) 加法