n 多邊形的內角和等於 ( n－2 )180
P
圖 6.4-3
想法一：多邊形內取一點與多邊形的每一頂點相連，則此 n 多邊形就由 n 個三 角形構成如圖 6.4-3，利用三角形內角和 180°的性質，以所有三角形之 內角和，減去不是多邊形內角的部份，即是多邊形之內角和。
證明一：
敘述 理由
(1) 在多邊形內任取一點 P，作 P 點與多邊形各頂點的 連線，則此多邊形分為 n 個三角形，如圖 6.4-3 (2) 多邊形內角和
＝n 個三角形的內角和－(不是多邊形內角的部份)
＝n180－360
＝n180－2×180
＝( n－2 )180
(3) 所以 n 多邊形的內角和等於 ( n－2 )180
兩點可作一直線
全量公理
三角形內角和為 180，
不是多邊形內角的部份 為三角形不與多邊形為 邊的角度，即為以 P 點 為中心，繞 P 點一周的 角度，共 360
由(2)
Q.E.D
A
圖 6.4-4
想法二：在多邊形上取一頂點，作此頂點與其他不相鄰的多邊形的頂點的連 線，則此多邊形就由( n－2 )個三角形構成，如圖 6.4-4，利用三角形 內角和 180°的性質，所有( n－2 )個三角形之內角和，即是多邊形之內 角和。
證明二：
敘述 理由
(1) 在多邊形上取一頂點 A，作 A 點與其 他不相鄰的多邊形的頂點的連線，如 圖 6.4-4，則此 n 多邊形就構成( n－2 ) 個三角形
(2) 所以 n 多邊形內角和( n－2 )180
兩點可作一直線
三角形內角和 180° & 全量公理 Q.E.D
例題 6.4-1：
四邊形的內角和為 度。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360° 已知 n 多邊形內角和( n－2 )180
例題 6.4-2：
五邊形的內角和為 度。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 五邊形的內角和為(5－2)×180°＝540° 已知 n 多邊形內角和( n－2 )180
例題 6.4-3：
有一 n 邊形，其內角和為 2160°，則 n＝ 。 想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) ( n－2 )×180°＝2160°
(2) n＝( 2160°÷180° )＋2＝14
已知 n 邊形，其內角和為 2160° ＆ n 多邊形內角和( n－2 )180
由(1) ＆ 解一元一次方程式
例題 6.4-4：
四邊形 ABCD 中，∠A＝85°，∠ABC＝55°，∠C＝130°，求∠ADC。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°
(2) ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
(3) ∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C ＝360°－85°－55°－130°
＝90°
已知 n 多邊形內角和( n－2 )180
由(1) ＆ ∠A、∠B、∠C、∠D 為四 邊形四個內角
由 (3) 移項 ＆ 已知∠A＝ 85°、∠
ABC＝55°、∠C＝130°
例題 6.4-5：
四邊形 ABCD 中，∠A＝75°、∠B＝2x°、∠C＝3x°、∠D＝（4x＋15）°，
求∠D。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(2) 四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°
(3) ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
(4) 75°＋2x°＋3x°＋（4x＋15）°＝360°
(5) x＝30
(6) 所以∠D＝（4x＋15）°
＝（4×30＋15）°
＝135°
已知 n 多邊形內角和( n－2 )180
由(1) ＆ ∠A、∠B、∠C、∠D 為四 邊形四個內角
將已知∠A＝75°、∠B＝2x°、
∠C＝3x°、∠D＝（4x＋15）° 代入(2) 由(3) ＆ 解一元一次方程式
已知∠D＝（4x＋15）° ＆ (4) x＝30
例題 6.4-6：
有一 n 邊形的一個內角為 100°，其餘內角皆為 160°，則 n＝ 。 想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) n 邊形的內角中，有一個內角為 100°，
有(n－1)個內角為 160°
(2) (n－2)×180°＝100°＋(n－1)×160°
(3) n＝15
已知 n 邊形的一個內角為 100°，
其餘內角皆為 160°
由(1) ＆
n 多邊形內角和( n－2 )180
由(2) ＆ 解一元一次方程式
例題 6.4-7：
已知某四邊形有兩個內角分別為 85°、90°，另外兩個內角相差 35°，則此四 邊形的最大內角為 度。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°
(2) 假設四邊行四個內角分別為 85°、90°、
x°、(x＋35)°
(3) 85°＋90°＋x°＋(x＋35)°＝360°
(4) x＝75
(5) 所以四邊行四個內角分別為 85°、90°、
75°、110°
(6) 此四邊形的最大內角為 110°
n 多邊形內角和( n－2 )180
已 知 四 邊 形 有 兩 個 內 角 分 別 為 85°、90°，另外兩個內角相差 35°
由(1) ＆ (2) 全量定理 由(3) ＆ 解一元一次方程式
將(4) x＝75 代入(2)四邊行四個內 角分別為 85°、90°、x°、(x＋35)°
由(5) ＆ 110°＞90°＞85°＞75°
例題 6.4-8：
如下圖，∠1＝60°，則∠2＋∠3＋∠C＋∠D＝________度。
想法：(1) 一個三角形內角和 180°
(2) n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 三角形 ABE 中，∠1＋∠4＋∠5＝180°
(2) ∠4＋∠5＝180°－∠1＝180°－60°＝120°
(3) ABCD 為四邊形，
四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°
(4) ∠BAD＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°
(5) (∠2＋∠4)＋(∠5＋∠3)＋∠C＋∠D＝360°
(6) ∠2＋∠3＋∠C＋∠D＋∠4＋∠5＝360°
(7) (∠2＋∠3＋∠C＋∠D)＋(∠4＋∠5)＝360°
(8) ∠2＋∠3＋∠C＋∠D＝360°－(∠4＋∠5) ＝360－120°＝240°
(9) 所以∠2＋∠3＋∠C＋∠D＝240°
已知三角形內角和 180°
由(1) 移項 ＆ 已知∠1＝60°
如圖所示
已知 n 多邊形內角和為 ( n－2 )180
由(3) ＆ 全量定理
由(4) ＆ ∠BAD＝∠2＋∠4
、∠ABC＝∠5＋∠3 由(5) ＆ 加法交換律 由(6) ＆ 加法結合律 由(7) 移項 ＆ (2) ∠4＋∠5°＝120°
由(8)
例題 6.4-9：
正五邊形的一個內角為 度。
想法：(1) n 多邊形內角和( n－2 )180
(2) 正五邊形的 5 個內角皆相等 解：
敘述 理由
(1) 五邊形的內角和為(5－2)×180°＝540°
(2) 正五邊形的一個內角為 540°÷5＝108°
n 多邊形內角和( n－2 )180
由(1)＆ 正五邊形的 5 個內角皆相等 由例題 6.4-9 中，我們可以得知正 n 多邊形一個內角的度數為
( n－2 )×180°÷n 。
例題 6.4-10：
已知有一個正 n 邊形可分成 7 個三角形，則：
(1) n＝ 。
(2) 此正 n 邊形的內角和為 度。
(3) 此正 n 邊形的一個內角為 度。
想法：(1) n 邊形可分割成(n－2)個三角形 (2) n 多邊形內角和( n－2 )180
(3) 正 n 邊形的 n 個內角皆相等 解：
敘述 理由
(1) n 邊形可分割成(n－2)個三角形 (2) n－2＝7
(3) n＝9
(4) 此正 n 邊形的內角和為 (9－2) ×180°＝7×180°＝1260°
(5) 此正 n 邊形的一個內角為 1260°÷9＝140°
多邊形內角和定理-想法二
由(1) ＆ 已知 n 邊形可分成 7 個三角形 由(2) 移項
由(3) ＆ n 多邊形內角和( n－2 )180
由(4) ＆ 正 n 邊形的 n 個內角皆相等
例題 6.4-11：
有一正 n 邊形的每一個內角為 140°，求 n。
想法：正 n 多邊形一個內角的度數為( n－2 )×180°÷n 解：
敘述 理由
(1) ( n－2 )×180°÷n＝140°
(2) n＝9
已知正 n 邊形的每一個內角為 140° ＆ 正 n 多邊形一個內角的度數為( n－2 )×180°÷n 由(2) ＆ 解一元一次方程式
例題 6.4-12：
如下圖，正方形 ABCD 和正三角形 ADE 有共同邊 ，則∠BEC＝ 度。
想法：(1) 正 n 多邊形一個內角的度數為( n－2 )×180°÷n (2) 等腰三角形兩腰相等且兩底角相等
(3) 周角為 360°
解：
敘述 理由
(1) 正方形 ABCD 中 ∠BAD＝∠ADC
＝(4－2)×180°÷4＝90°
＆ ＝ ＝
(2) 正三角形 ADE 中
∠AED＝∠EAD＝∠ADE ＝(3－2)×180°÷3＝60°
＆ ＝ ＝
(3) 三角形 ABE 中
＝
(4) 所以三角形 ABE 為等腰三角形 (5) ∠BAD＝∠BAE＋∠EAD (6) ∠BAE＝∠BAD－∠EAD
＝90°－60°＝30°
(7) ∠AEB＝( 180°－∠BAE )÷2 ＝( 180°－30° )÷2＝75°
(8) 三角形 DEC 中
＝
如圖所示
正 n 多邊形一個內角的度數為 ( n－2 )×180°÷n
＆ 正方形四邊等長 如圖所示
正 n 多邊形一個內角的度數為 ( n－2 )×180°÷n
＆ 正三角形三邊等長 如圖所示
由(2) ＝ ＆ (1) ＝ 遞移律 由(3) ＆ 兩腰等長為等腰三角形
如圖所示，全量等於分量之和 由(5) 移項 ＆ (1) ∠BAD＝90° ＆ (2) ∠EAD＝60°
由(4) ＆ 等腰三角形底角與頂角之關係
＆ (6) ∠BAE＝30°
如圖所示
由(2) ＝ ＆ (1) ＝ 遞移律
(9) 所以三角形 DEC 為等腰三角形 (10) ∠ADC＝∠EDC＋∠ADE (11) ∠EDC＝∠ADC－∠ADE
＝90°－60°＝30°
(12) ∠DEC＝( 180°－∠EDC )÷2 ＝(180°－30°)÷2＝75°
(13) 360°＝∠AED＋∠DEC＋∠BEC ＋∠AEB
(14) ∠BEC＝360°－∠AED－∠DEC －∠AEB
＝360°－75°－60°－75°
＝150°
由(8) ＆ 兩腰等長為等腰三角形 如圖所示，全量等於分量之和
由(10) 移項 ＆ (1) ∠ADC＝90° ＆ (2) ∠ADE＝60°
由(9) ＆ 等腰三角形底角與頂角之關係
＆ (11) ∠EDC＝30°
如圖所示，全量等於分量之和 ＆ 周角為 360°
由(13) 移項 ＆ (2) ∠AED＝60° ＆ (12) ∠DEC＝75° ＆ (7) ∠AEB＝75°
定理 6.4-3 多邊形外角和定理