AHP與FAHP法則

一、傳統 AHP 法之理論

(一)AHP 法之目的與假設

分析層級程序法(Analytic Hierarchy Process ,AHP)，是由 Thomas L. Saaty 於 1971 年所創，發展的目的是要將複雜的問題系統化，由不同層面給予層級 分解，並透過量化的判斷後加以綜合評估，以提供決策者選擇適當方案的充分 資訊，同時減少決策失誤(曾國雄，1989)。

Satty 認為 AHP 法有九項基本假設：

1. 一個系統可被分解成許多種類或成分，並可形成如網路般的層級架構。

2. 層級結構，每一層級的要素均假設具獨立性。

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3. 每一層級內的要素，可用上一層級內某些或所有要素做為評估基準。

4. 比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度。

5. 成對比較後，可使用正倒矩陣處理。

6. 偏好關係滿足遞移性。不僅優劣關係滿足遞移性(A優於B，B優於C，則A優 於C)，同時強度關係也滿遞移性(A優於B二倍，B優於C 三倍，則A優於C 六倍)。

7. 完全具遞移性不容易，因此容許不具遞移性的存在，但需通過一致性 (Consistency)的程度。

8. 要素的優勢程度，經由加權法則(Weighting Principle)求得。

9. 任何要素只要出現在層級結構中，不論其優勢程度如何，均被認為與整個評 估結構有關。

(二)AHP法操作步驟之內容利用AHP 法進行決策問題，包括以下6 階段

1. 建立層級結構：

層級為系統結構的骨架，可研究階層中各要素的交互影響，以及對整個系 統的衝擊(曾國雄，1989)。透過分析架構將決策問題之目標、評估項目、評估 細項及在有選擇方案的情況下逐一分層，並將其上下串聯建構為系統化模式。

2. 問卷設計與調查：

根據層級結構設計問卷，對每一層級內的決策因素進行因素間的成對比 較；即針對兩個因素做相互重要程度評估，將成對比較所需之尺度劃分成等 強、稍強、頗強、極強到絕強，再加上分別介於兩者間的強度，分別給予 1 到 9 的評比來表達相對強弱程度，決策者就上述尺度，對於兩兩因素間的相對重 要程度比較，選取合適描述的尺度數字如表6。

表6

AHP尺度說明表

評估尺度 定 義 說 明

1 同等重要

(Equal Importance)

兩個比較方案的貢獻程度具有同等的 重要性→等強(Equally)

3 稍微重要

(Weak Importance)

經驗與判斷稍微傾向喜好某一方案→

稍強(Moderately)

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表6(續)

5 重要

(Essential Importance)

經驗與判斷強烈傾向喜好某一方案→

頗強(Strongly) 7 很重要

(Very Importance)

經驗與判斷非常傾向喜好某一方案→

很強(Very Strong) 9 極為重要

(Extremely Importance)

有足夠的證據可以肯定絕對喜好某一 方案→超強(Extremely)

2、4、6、8 相鄰尺度之中間值 (Intermediate values)

需要折衷值時

資料來源：「層級分析法(AHP)的內涵特性與應用(上)」，曾國雄、鄧振源 (1989)，中國統計學報，27(6)，頁6-22。

3. 建立成對比較矩陣：

決策者對於 n 個評估構面共需進行 n(n–1)/2 次的重要性成對比較，而每次 比較之比重值aij 填入成對比較矩陣(A)內的上方三角矩陣中，而 A 矩陣內的下 三角形矩陣內各元素值為上三角形矩陣內各元素之對應倒數值 1/a^ij

。而主對 角線上所有元素值均為 1，如此即可獲得完整成對比較矩，矩陣形式如下所 示：

a ：為兩兩因素間的比值； i , j =1,2,3,….n ij

w ：為要素i的權重值；i , j =1,2,3,….n i

A：為成對比較矩陣，此矩陣具下列特性：

4. 計算最大特徵值與特徵向量

利用常見特徵值解法，找出特徵向量 Wi 及最大特徵值 λ max，計算公式如 下：

(1)求解特徵向量Wⁱ：

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，

其中n代表決策要素個數。

(2)求解最大特徵值(λ_max)：

最大特徵值λ_max在實務上的計算方法乃以成對比較矩陣A乘以已 求得之特徵向量Wi，可得一新向量W^'，再求算兩者間之平均倍數即 為λ_max，計算公式如下：

5. 檢定成對比較矩陣之一致性

檢定一致性的主要目的是檢測受訪者對於問卷之填寫是否符合遞移性；若 不符合即表示問卷之結果不可採信。一致性的檢定涵蓋兩個層面，一為檢查決 策者在評估過程中，回答之問題所構建的成對比較矩陣是否為一致性矩陣；檢 定的依據為一致性指標 CI(Consistency Index)，一致性指標之定義，計算公式 如下：

n：為評估要素之個數

當 CI = 0 時，表示決策者前後判斷具一致性，CI 愈大表示不一致性愈 高，一般多以CI < 0.1 做為容許的偏誤值，若 C.I.不小於 0.1 應立即找出不一

……….………..(1)

……….(3)

……….(2)

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致之地方，予以修正，直到通過一致性檢定為止。另外為檢查層級架構是否具 一致性，則以一致性比率 CR(Consistency Ratio)表示。而當 CR＜0.1 時，則代 表權重之分配具合理性；反之，則應重新評估以獲得滿意之數值，計算公式如 下：

根據Oak Ridge National Laboratory 與 Wharton School 進行之研究，從評 估尺度為 1-9 隨機構建之相倒矩陣(reciprocal matrix)，在不同階數下所產生之 一致性指標，稱之為隨機指標(Random Index，R.I.)隨機指標。其中，矩陣階數 1~11 的 R.I.值係 500 個樣本所得結果的平均值，而 12~15 的 R.I.值則為 100 個樣本所得結果之平均值。RI 值會隨矩陣階數之增加而增加，計算公式如下：

表7

RI值對照表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59

資料來源：「層級分析法(AHP)的內涵特性與應用(下)」，曾國雄、鄧振源，

1989，中國統計學報，27(7)，頁1-19。

上述一致性指標與一致性比率，主要是針對單一配對比較矩陣作檢測，而 整合各層之一致性，可用層級一致性指標(C.H.R)作檢測，而判斷準則，C.H.R

＜0.1則可視為滿足層級一致性指標，計算公式如下：

H C R CH H

C. . = _{, 1}

1

1 +

=

=

∑

∑

= _{i j}

n

i ij

h j

R W CH

ij

h ： j h= 1,2,3..., 表示第 j 層所包之要素項目 Wij：表示第 j 層 i 個個要素的合成權數值

1 ,j+

Ui

：表第 j+1 層中所有要素對 j 層第 i 要素之一致性指標 nij ：第 j 層中第 i 個要素

CH ：層級一致性隨機指標

R

^i,j+1：第j+1 層中所有要素，第j 層第i個要素之一致性隨機指標

………….……… (5)

……….(4)

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1 , 1 1

+

=

=

∑

∑

= ⁿ _{i j}

i ij

h j

R W CH

ij

6. 計算各替代方案之權重值各層級要素間的權重計算完成後，再進行整體層級 權重之計算，最後依各替代方案之權重，以決定終目標之最適替代方案。

三、AHP法之優點：

曾國雄與鄧振源(1989)認為AHP 法具下列優點：

1. AHP 法理論簡單，操作容易，能有效擷取多位專家及決策者共識的意見。

2. AHP 法能配合研究目的，將影響研究目標的相關因素納入模型之中。

3. 在經過數學方式處理後，各相關因素皆可以具體數值顯示優先順序。

4. 將複雜的評估因素用簡單的層級架構呈現，易為決策者接受。

5. 分析層級程序法屬多準則決策分析中多屬性決策方法，適合應用於多人組成 之群體決策，且計算目標、準則等各要項之重要性時，其結果必須經過一致 性檢定，因此較具理論基礎及客觀性。

四、AHP法的缺失：

AHP 法因為方法簡單且易使用，因此普遍應用於許多決策問題上，但其 仍無法避免一些問題，茲據相關文獻將傳統AHP 法主要問題整理如下：

1. 決策屬性具相關性問題(曾國雄，1989)：

基 於AHP 偏好與強度皆具遞移性的假設，則成對比較矩陣需滿足 n

k j i a a

a_ij× _jk = _ik,1≤ , , ≤ ， 但 若x1 、 x2 、 x3 間 的 判 斷 比 皆 為 極 強 ， 即 a12=9、a₂₃=9、a₁₃=9 ，由此可知前述之關係並不成立，要a₁₃=a₁₂ ×a 必₂₃ 須a₁₂=3、a₂₃=3，由此同樣是極強的判斷，卻受最高尺度的限制，而須儘可 能使用稍強的程度，因此對於使用比率尺度進行成對比較時，須加以檢討。

2. 不精確問題(Belton & Gear, 1985)：

AHP 法對於準則間的兩兩比較是基於客觀、精確的假設，此法是將主 觀判斷的模糊性數值，以精確的數值來表示，因此，分析結果往往會與事實 有所差距，而造成決策誤差。

3. 決策具相關性(張保隆、鄭文英，1990)：

AHP 法中各層級須盡量納入與上層相關的所有屬性，而各屬性之間又 須具有互斥性；但在實際應用中，會受思考或資訊取得困難的限制，使各屬

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性在涵義上不具互斥特性，造成評估結果可能逆轉的現象。

4. 層級數增加，效率降低(Millet & Harker, 1990)：

AHP 法採用兩兩成對比較，並運用1-9 的比率尺度將每個層級中決策 屬性的相對重要性找，建立成對比較矩陣。當層級數增加時，所須的兩兩成 對比較次數將呈指數成長，容易使填答者因回答問題過多、思緒混亂，導致 模式效率降低。

二、 模糊集合理論與模糊 AHP 法

1. 模糊集合理論：

模糊集合理論(Fuzzy Sets Theory)，1965年由加州大學柏克萊分校的札 德 教 授(L. A. Zadeh)在 「 資 訊 與 控 制 」(Information and Control) 發表了

“Fuzzy Sets”一文首先提出。

模糊集合理論簡單的說，是探討如何將現實生活中不能用明確劃分範圍 來區分的事物使其數學化，其主要特點在於以隸屬函數來代表模糊集合，認 為領域中不同的元素對於同一集合有不同隸屬度，以隸屬度表示元素和集合 的關係，並進行量化，隸屬函數的範圍在0-1之間，愈接近1 的元素其歸屬 程度值愈高，則此集合的隸屬程度就愈高。模糊理論其重要內容如下：

2. 模糊集合與隸屬函數：

在數學領域的集合是指東西的聚集，有明確的範圍與界限定義。但人類 的思維是具有模糊性與不確定性，例如：長的漂亮、天氣很熱等集合，其界 定的範圍是不明確的，為能表達現實狀況，所以引進模糊集合的概念。

在模糊集合的定義中：對某一元素x而言，以μ^A(X)

來表示x屬於集合A 的程度，即將x對應到0到1之間的函數中，等級愈接近1，則表示該集合包含 x元素的程度愈大，此值稱為隸屬度(Degree of Membership)，所以μ^{( X)}

稱為 隸屬函數(Membership Function)。當隸屬函數的值只有0與l兩種時，表示X屬 於A，該集合就是傳統的明確集合(Crisp Set)。而模糊集合 A~

表示為下式：

3. 模糊數(Fuzzy Number)：

……….…….(6)

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學者Dubois and Prade(1980)認為模糊數的定義為以實數的集合為全集 合，是正規化的模糊子集，必須為凸集合，並具有區段性連續的隸屬函數的 集合，常見的模糊數有三角形模糊數及梯形模糊數，(如圖10、11)，說明如 下：

圖10 三角模糊數(Triangular Fuzzy Number：TFN)

Note. From “Operations on Fuzzy Number,” by Dubois, D. & Prade, H. (1980).

International Journal of System Science, 9(3), p.229-241.

三角模糊數以T~

= (l,m,u)表示，且l　m u。當l大於0時，稱T~

為正三角模 糊數(Positive Trangular Fuzzy Number :PTNF)。其隸屬函數的定義如下：

1 1

−

− m

x 1＜x＜m

T~

μ (X)=

m u

x u

−

− m＜x＜u

0 otherwise

圖11 三角模糊數梯形模糊數(Trapezoidal fuzzy numbers)

Note. From “Operations on Fuzzy Number,” by Dubois, D. & Prade, H. (1980).

International Journal of System Science, 9(3), p.229-241.

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梯形模糊數 F~

=( ^f1、 ^f2、 f³、 ^f4)表示，梯形模糊數的隸屬函數定義如 下，且其代數運算同三角模糊數。

的區間值為 F~

最有可能出現的數值，而當決策者所獲得的資料愈 少時，此區間距離也會愈大，亦即愈模糊。當 時，則為三角模糊數。

4. 解模糊化：

解模糊化是將模糊數轉換成一個明確數值，以作為模糊排序過程中使用 的工具，可依合理性、計算容易與連續性三個準則，找出一個最適合代表模 糊數的明確點，解模糊化並不固定的方法，以下列出常見解模糊化方法：

(1)反三角形模糊數公式：

w = (a,b,c) _i w = _i^,

3 c b a+ +

………..………….…..…..(7)

W = _i^'

∑

= n i

wi wi

1

'

' ………....…..(8)

w : 同一層級解模糊後第i個準則明確權重，同一層共n個評估準則。 _i^, W :在主準則下，第i個次準則正規化後所得權重。 _i^'

(2)重心法：

Fw(i)=

∑ ∑

i i

fw fw i VG( )*

Fw: 最後總評估值

VG(i)：各評價集重心的代表值 fwⁱ:代表評判集中各因素的權重

(3) 平均最大隸屬法

若有多點皆為隸屬度最大值，則取其平均值代表解模糊化的 值。此法多應用於梯形模糊數解模糊化。

……….(9)

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5. 模糊層級分析法相關研究：

有鑑於層級分析法(AHP)無法克服決策時所伴隨模糊性之缺點，

van Laarhoven & Pedrycz(1983)便將Saaty(1980)之傳統層級分析法加以 演化，發展模糊層級分析法(Fuzzy Analytic Hierarchy Process, FAHP)，

將三角模糊數直接代入成對比較矩陣中，以處理在準則衡量、判斷等 過程中所產生之模糊性問題。

將模糊集合理論融入層級分析法(AHP)，以區間值(Interval Value) 取代傳統AHP 之確定數值(Exact Value)，讓專家於決策之時能以較人 性化的尺度評估問題，給予評估因子比較值；FAHP 被廣泛使用在複 雜的多目標準則問題上，表8為各學者對FAHP 所做的相關研究：

表8

FAHP 之相關研究 項

次 論述學者 年代 Fuzzy AHP 的相關研究 1

van Laarhoven, P.J.M.

& Pedrycz, W. 1983

將Satty 成對比較方法擴展，使用三角模糊數 的隸屬函數，依據合適的模糊權重，選擇出方 案。

2 Buckley, J. J. 1985

提出模糊矩陣，使用梯形隸屬函數計算方案的 權重，來解決人類行為上不確定和語意不精確 的決定。

3 Chang D.Y. 1985 評選目標時可對第i個評選項目之模糊合成延 伸值(fuzzy synthetic extent value)作擴充分析。

4 Cheng, C. H. 1996 以模糊AHP法建立海軍飛彈系統的準則，並依 實際資料，來驗證其所建立之績效評分模式。

5 Weck, M.,

Klocke, F., et al. 1997 使用FAHP評估不用生產週期方案，並且依生 產週期選擇最妥善客觀的排列

6 Deng, H. 1999 提出一種模糊的方法，解決實務上多準則評估 的問題。

7

Lee, M., Pham, H.

& Zhang, X.

1999

利 用FAHP 法 ， 提 出 比 較 區 間 (comparison interval)概念，以評價軟體發展流程之優先順 序。

8

Cheng, C. H., Yang, K. L.

& Hwang, C. L.

1999 提出模糊語意變數權重，以模糊理論與AHP 法，來評價攻擊直升機武器系統

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 34-46)