3.2 Banerjee (2008)模型
3.2.1 Banerjee (2008)模型之均衡
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立 政 治 大 學
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
3.2.1 Banerjee (2008)模型之均衡
假設一個經濟體中有N 項資產。 資產可分為無風險資產和風險性資產。 無風 險利率為外生固定為 r, 且 r > 0 , 風險性資產在 t 期支付股息 Dt, 在此給 定
Dt+1= (I − Λ)D + ΛDt+ δt+1 (1) δt+1i.i.d
∼ N (0, Vd)
Vd 是一個描繪股利變化的共變異數矩陣, 並假設是正定矩陣 (positive
definite)。 Λ 是一個對角化矩陣, 描繪股利之間的序列相關 (serial correla-tion), 並假設每一個元素 (element)為非負且皆小於1。
在每一期, 市場上有著連續 (continuum) 無窮的投資者 i。 投資者i在t期 出現, 並有初始財富 wi,t。 投資者的指數型效用(exponential utility) 取決於 下一期的財富多寡wt+1。 為簡化模型,將風險趨避函數 (risk aversion coeffi-cient) 設為1。
我們可以將投資者於t + 1 期的報酬以下列型式寫成:
Rt+1˜ = Pt+1+ Dt+1− (1 + r)Pt (2)
RT = DT − (1 + r)PT −1 (3)
由上述式子, 我們得知投資者下一期的財富為
Wi,t+1˜ = (Wi,t− Xi,tPt)(1 + r) + Xi,t(Pt+1+ Dt+1) = Wi,t(1 + r) + xi,tRt+1˜ (4)
在t期, 投資者會接收到下一期股息變化的私人訊息 Yi,t。 在此, 給定私人 訊息為 Yi,t = δt+1+ si,t , 其中,si.t∼N (0, Vs) 。 投資者之間對於這些訊號各
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息不準, 無法對股利做出良好的預期。 投資者對於自己所持有的訊息較為看 重, 對於他人的訊號較為不重視。 亦即, 投資者在ρ值低時, 投資時可能不完 全參考市場價格。 在此, 我也想曲分。 Y 所代表的, 是信念, 而 s 才是訊息。
因為si,t、sj,t都是訊息; 而Yj,t本身, 才是 i 投資者對於 j 投資者的主觀認定。
在Banerjee (2008)本模型架構中,ρ仍被假設為固定, 亦即投資者並不會因為 隨著時間改變更新 ρ 值。
在此處, 比較Hong and Stein (1999)和Banerjee (2008)模型的異同之處。
消息觀察者和DO 模型類似, 並不參考公開價格, 而是根據私人訊息更新自 己的信念。 只是,Hong and Stein (1999)更加描繪出私人訊息更新的過程。
市場上風險性資產的總體供給和變化為zt+1 = Z+zt+1,其中, zt+1∼N (0, Vz)。 在此經濟體中,風險性資產的數量為隨機。 由於理性預期的假設,為防止價格 完全反映出資訊程度, 此經濟體中假定有供給衝擊(supply shcok)。
在風險性資產供給的函數中, 必須假設各期之間的供給干擾項是 i.i.d(獨 立同分配)。 這是為了以防在DO model 之下,如果各期之間的供給干擾項不
是 i.i.d, 投資者也可能會藉由參考價格 (他人的訊號) 來猜測當期的風險資
產供給。 實際上, 在短期間(例如一天、 一星期) 的總體供給往往具會序列相 關, 所以這樣的假設是專門針對短期間的供給, 因此這樣的假設可能在一個 月以上的長時間長度不具有限制。
• 假設1:Vd、Vs、Vz是對角化矩陣
Banerjee (2008)在此註明, 在這個研究中雖然旨在探討股利變異 (Vd,n)、 風險資產供給變異 (Vz,n)、 訊號雜音 (Vs,n)相互獨立。 但如果Vd,n、Vz,n、Vs,n 具有相同的特徵空間(eigen space), 本文的所有討論仍是成立。
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接著,我們猜測市場均衡價格為線性估計式:
Pt = ADt+ B ¯Yt+ Czt+ K (7)
其中, ¯Yt =R
iYi,tdi。 係數A 可視為價格相對於股利變化的敏感度,係數 B可 視為價格相對於訊號的敏感度。 係數 C 可視為價格相對於總體供給的敏感 度。 值得注意的是, 在理性預期的狀況下,ρ = 1, 因此Y¯t = δt+1; 在意見分歧 的狀況下, ¯Yt 和 δt+1相互獨立。
將投資者的資訊集合(information set)表示為Fi,t,投資者i對於風險性 資產的最適需求給定如下:
xi,t= var(Rt+1| Fi,t)−1E(Rt+1| Fi,t) (8)
其中,Rt+1 ≡ Pt+1+ Dt+1− (1 + r)Pt。 對風險性資產的需求在此便代表著股 票的交易量。
我們將投資者i在t期對於t + 1期股息變化的信念稱為 δt+1˜ ,並且定義
µi,t = E(δt+1| Fi,t) (9)
Vδ = var(δt+1 | Fi,t) (10)
將價格的線性估計式代入上面兩式, 得到:
Vδ ≡ var(δt+1| Fi,t) = (Vd−1+ Vs−1+ ρ2VP−1)−1 (11) µi,t≡ E(δt+1| Fi,t) = Vδ(Vs−1Yi,t+ ρVP−1B−1(Pt− K − ADt)) (12)
其中,F = B−1C,Vp ≡ ((1 − ρ2)Vd+ F VzF0)。 因為假設投資者有對稱的資訊 集合, 每位投資者對於股利的後驗變異數是相同的。 因此, 在 t 期的資訊集