DEM 精度品質評估之方法

抽 樣 檢 測 高 程 並 計 算 其 均 方 根 誤 差 (Root

1國立成功大學測量及空間資訊學系碩士

2國立成功大學測量及空間資訊學系教授

收到日期:民國 97 年 05 月 26 日 修改日期:民國 97 年 08 月 04 日 接受日期:民國 98 年 01 月 09 日

Mean Square Error, RMSE)，當成精度指標，是 DEM 如Höhle and Potucková (2005)以 DEM 生產的重疊 正射影像匹配，當DEM 有錯誤時在兩張重疊正射 影像上的灰階會有差異，以偵測可能的錯誤點。

Jancso and Zavoti (2005)將 DEM 網格點反投影回對 應的一組空照影像上，再利用影像匹配技術獲得相 對應的高程，比較與原本DEM 高程的差異。Kim and Shan (2005)則是以偵測粗差為主，空間中越接 近的點高程就會越相近之理論基礎，使用3x3 的罩 窗將所有DEM 網格點分類為錯誤點、危險點和正 常點三種情形以評估品質。Paszotta and Szumilo (2005)則使用重疊區的 DEM 來作品質的檢測，如 理性。採用Kraus (2006)所提出的最小二乘內插 的估計法，藉由量測原始點和內插所得之規則 (moving least squares, MLS)，以觀測點內插計算網 格點估計DEM 之精度指標，Kraus 認為每個 DEM

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ZG為在網格點G 的高程，若將坐標系統平移至以 網格點G 之平面位置，引用式(1)，則 G 點之平面 式可寫成：

即在網格點上係數a0即代表G 點之高程。此時，

以網格點為中心，在某一限定範圍內搜尋原始點，

如圖1。每一原始點之觀測量可形成一個觀測方程 式，並列所有搜尋後之原始點的觀測方程式，形成 的觀測方程式矩陣式如下：

圖1 搜尋範圍示意圖 (Kraus, 2006) 1 X Y

1 X Y · Z

Z (3) 式(3)可列成矩陣式：

V · (4) 依據內插理論，每個原始觀測點對內插點之影響量 不同，可賦予觀測量不同的權重以調整其影響量。

以DEM 內插理論而言，可考慮距離及地形變化因 素來調整。原始點的權可以以式4 表示之：

(5)

其中，si為原始點到網格點的距離，rαi為原始點朝 向網格點的曲率半徑。上式之設計理念是使權與距 離的平方成反比，但以曲率半徑的平方調整其影響 量，使得權的值域範圍在0 到 1 之間。依最小二乘 理論解算式(4)之未知平面參數及權單位中誤差如 下：

T T T (6)

σ ^T (7) 期中n 為觀測數，u 為未知參數之個數，在此為 3。

而未知參數的協變方矩陣為：

(8) 本研究重點在估計點 G 高程的精度，也就是參數 a0的精度。亦即不計算 N 之逆矩陣，而直接計算 a0的後驗精度（協變方）：

(9) 如此便可估算DTM 每一內插點的精度：

(10) 由於式(10)之權單位中誤差須經由完整的平差計 算才能求得，Kraus (2006) 提出的替代方案是計算 原始點與DEM 表面的差值 di（如圖2）來取代殘 差vi，即：

σ ^{DT D} (11)

圖 2 DEM 表面與原始點差值 (Kraus, 2006) 上述精度估計方式較適用於觀測點分佈均勻 的資料，如空載光達資料。若應用於觀測點分佈相 當不均勻的資料（如人工量測的航測資料）時，參 與計算點數的將嚴重影響計算結果，如果採用固定 大小範圍內的原始點計算，在平地區域觀測點很稀 疏，常造成範圍內沒有足夠的點去計算平面；在崎

0 2 1

0 a X a Y a

a

Z_G = + + =

$ $

2 1

ˆ

σ N

∑ =

0

2

2 a

pX pXY

pXY pY

q N

∑ ∑

∑ ∑

=

0 0

ˆ ˆ

σ

σ =

(2)

嶇地形卻又加入太多的點，造成山區地形比平地精 度還要好的情形，顯然不合理。因此針對航測的資 料，將固定搜尋範圍估算的方式修改成有不固定的 邊界。先決定一個平面，此平面由周圍九個規則網 格點以最小二乘法決定，然後分別向東西南北四個 方向擴張，計算網格點到此平面的距離，當此距離 大於某個門檻值就停止。如此就可得到四個方向的 邊界，取此範圍內的原始點計算。如圖3，圖中灰 色部份為九個網格點決定的平面，紅色框為判斷所 得的搜尋邊界，將邊界範圍內的原始點納入計算。

此方法有類似偵測斷線的效果，確保原始點高程近 似分佈在同一平面上，且降低了原始點分佈密度對 於精度的影響，更合理的估計航測DEM 精度。

圖3 擴張搜尋範圍的示意圖

2.2 外部精度評估

嚴謹的外部精度評估是將獲得的DEM 與獨立 觀測的檢核資料比較，檢核資料之觀測資料具備較 高精度。然而高精度的檢核資料通常不容易獲得，

獲取之代價也高。在此提出以現有的且獨立觀測的 DEM 來相互比較，以評估相對的外部精度指標。

當比較的DEM 彼此精度、解析度差異很大時，所 獲得的結果就可以視為精度較差的DEM 的精度指 標。而當解析度、精度差異不大時，獲得的即是相 對的精度指標。

而DEM 的相互比較除估計其相對的精度指標 外，也具有檢測相對的粗差或系統性誤差。當兩個 不同的DEM 比較時，局部的粗差將被凸顯出來，

若其中一方有空間性的系統誤差，可藉由檢視比較 後的誤差的分佈，找出原本不容易發現的系統誤 差。

依據上述觀念，本文所提的方法是先將比對的 DEM 內插成相同平面間隔的網格，如此即可直接

比較對應網格點的高程：

∆Z Z Z (12) 展示ΔZ 即可以視覺檢驗兩個 DEM 間之差值，除 了從視覺檢驗獲知明顯的差異處之外，還可採用平 均值(μ)、均方根誤差(RMSE)和標準差(STD)來評 估可能的系統誤差標。在沒有系統誤差的情況下，

DEM 差值的平均值應趨近於 0；差值的均方根誤 差則可用來評估DEM 的相對精度；差值的標準差 則是扣掉平均差值後之相對誤差。

不同時期生產的DEM 可能會有坐標系統不一 致的問題，台灣現行的平面坐標系統的為TWD97，

高程系統以基隆港平均海水面為高程基準面，高度 為正高。早期的平面坐標系統則採TWD67，受限 於當時的測量技術及長時間的地表變動累積，不同 等級或區域的三角點，具有大小不等的區域性系統 誤差。這些系統誤差很難以理論去推算關係，只能 以坐標轉換方式進行 (楊名 et al., 1999)。

不同DEM 的網格解析度也通常不同，而 DEM 的比較必須以重疊的網格點計算其高程差，因此必 須重新取樣為相同的解析度。由於將低解析度 DEM 內插為高解析度 DEM 並不合理，本文建議 以低解析度 DEM 的網格為準，將高解析度 DEM 重新取樣為與低解析度DEM 相同的網格。

綜合以上觀點，本文提出合適的DEM 相對精 度的分析流程如圖4，將 DEM 之坐標系統及解析 度調整一致後再進行高程比對，從視覺及評估指標 分別觀察誤差情形，先分析是否有系統誤差，若有 則以剖面圖和匹配方式分辨是平面或高程系統誤 差，若沒有則檢視是否有粗差。

系統誤差的分析需先檢視是否有平面系統誤 差，若有的話應改正平面系統誤差，否則平面系統 誤差的偏移會影想高程系統誤差的估算。對於平面 的平面系統誤差的分析，除了可以視覺分析檢視兩 個 DEM 高程剖面圖之外，另外一個方式是透過 DEM 匹配原理找尋高程起伏對應位置來分析相對 移位量，計算方法是於DEM_A定義一些區域高程模 型為模版 (template)，將每一模版於 DEMB搜尋匹 配位置，在此計算所有可能匹配位置之高程正規劃

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圖4 DEM 相對精度分析比較流程圖 相 關 係 數 (Normalized Cross Correlation

Coefficient)，以最大相關係數的位置為匹配位置。

相關係數之計算公式如下：

∑ ∑ ·

∑ ∑ ∑ ∑ (13)

實做上，可將DEMA以每一個網格點為中心界 定某大小區域為模版，如同影像匹配，地表起伏不 明顯的模版相當於均調區，容易造成匹配的錯誤，

此時可擴充模版範圍使涵蓋足夠地表起伏的區域，

可避免錯誤匹配。另外亦可設定匹配相關係數的門 檻值，進一步避免錯誤匹配。

若有平面系統誤差，則先改正再進行高程誤差 分析。高程系統誤差形式共可分為隨機誤差、粗差、

及高程系統誤差三項，粗差及簡單的高程系統誤差 可以透過統計檢驗的方式來測定，但跟空間位置有 關的高程系統誤則不容易釐清。因此，最後尚須依 賴透過視覺檢視誤差的剖面圖來偵測可能的區域 性系統誤差。