第二章 頻率轉換與光參振盪器相關理論
2.4 二維空間的準相位匹配及模擬分析
2.4.2 Ewald 釋義圖
欲檢驗基頻光源在某個方向入射時，是否能夠達到準相位匹配以 產生二倍頻輸出，可利用Ewald 釋義圖（Ewald Construction）來檢驗，
如圖2.4-2 所示。
圖2.4-2 非線性之 Ewald 釋義圖
通常2| | | |，Ewald 釋義圖的畫法與一般晶格繞射不同。在 被作用的倒置晶格點（稱為原點）附近距2| |處為中心點，即 Ewald 圓的中心，以| |為半徑畫一圓。則由恰巧落在圓上的倒置晶格點，
便可決定發生二維準相位匹配的倒置晶格向量 位置，在此可產生二 倍頻。在同樣的倒置晶格點陣列平面中，可能不只有一個點在圓上，
那麼可符合準相位匹配的倒置晶格向量就不只一個。同時，可藉由改 變溫度、入射光波長的方式，改變基頻光與倍頻光的動量，亦即改變 Ewald 圓的半徑；轉動晶體角，即轉動倒置晶格結構的角度，都可能在 不同方向得到倍頻光的輸出。
因此，在二維週期性極化反轉的結構中，由於能提供多種不同大 小的光柵動量，除了二倍頻轉換，亦有可能經由準相位匹配，來達成 其他種類的非線性轉換如和頻、差頻等等。
2.4.3 lling Ratio
)倒置晶格向
雖然二維結構可提供更多準相位匹配所需的倒置晶格向量，但這 所需付出的代價是其傅立葉分量變小。佔空比1: 1的一維結構可提供的 第一階倒置晶格向量強度為 0.6366，而二維結構之最低階倒置晶 格向量強度經傅立葉轉換計算可得約為 0.3185，約為一維結構倒置晶 格向量強度的一半，如此一來，理論上轉換效率就差了四倍左右。
另外，佔空比事實上在二維結構中可衍伸出更具一般性的開孔率 (Filling Ratio)概念，開孔率定義為單位晶格中，極化反轉區域所佔的面 積比例。開孔率對倒置晶格向量強度的影響由傅立葉轉換後可以算出，
圖2.4-4 一維結構開孔率對鉭酸鋰非線性係數的影響
圖2.4-5 二維結構開孔率對鉭酸鋰非線性係數的影響
以鉭酸鋰為例，可得出如圖 2.4-4、圖 2.4-5 之一、二維結構等效非線 性係數對開孔率之作圖。
我們可歸納出兩個在設計二維非線性頻率轉換晶體可考慮的因 素：(1) 兩向量在基底方向上的週期以及(2) 基底之夾角。然對不同的 相位匹配倒置晶格向量，須設計相對應的開孔率，才可使該倒置晶格 向量有最大的使用強度，進而使有效非線性係數最大，轉換效率才會 高。頻寬的拓展方面，透過二維結構設計是可以等效達成的，與基頻 光 共 線(Collinear) 的 向 量 有 其 相 位 匹 配 頻 寬 ， 而 在 非 共 線 (Non-Collinear)方向上，仍有許多可達成相位匹配的倒置晶格向量，基 頻光波長的移動，將激發其他倒置晶格向量達成準相位匹配。
2.5 光參產生和光參共振之理論
2.5.1 傳統光參產生及準相位匹配光參產生
考慮三個不同頻率的單頻光ωp、ωs、和ωi，滿足下面關係：
(2.5-1)
其中p 代表泵浦光(Pump)，s 代表信號光(Signal)，i 代表閒置光 (Idler)。考慮緩慢振幅變化後，描述三者在光行進方向(x 方向)上振幅 變化的耦合波方程(Coupled Wave Equation)為：
∆ 到光參放大的單次通過功率增益(Single-Pass Power Gain)為：
| |
其中
Λ
為光柵週期。將式(2.5-5)代入式(2.5-2)，可以得到耦合波方假設泵浦光強度不變，可以得到準相位匹配的光参產生之單次通過功 率增益(Single-Pass Power Gain)為：
| |
| | 1 ∆ (2.5-11)
同樣地，式(2.5-11)與式(2.5-4)非常相似。
2.5.2 波長可調性
由式(2.5-7)，當達到第一階準相位匹配
Δ
kQ=0 時，, , ,
(2.5-12)
其中 、 、 滿足能量守恆 。式(2.5-12)也說明了準 相位匹配光參產生的波長可調特性：
1. 固定光柵週期 ，調整溫度 T，輸出光的波長會改變。
2. 固定溫度 T，調整光柵週期 ，輸出光的波長也會改變。
2.5.3 光參產生細部理論
重寫式(2.5-2)，並假設 不衰減(Undepleted Pump)可得：
∆
(2.5-13)
∆
其中
；
, ，假設解為定義光參增益係數(Parametric Gain Coefficient)為：
(2.5-18) 將邊界條件 0
、
0 代入(2.5-14)可得：0 (2.5-19)
0
解式(2.5-15)、式(2.5-19)，可得一般解為：
0 ∆ 0 ∆
(2.5-20)
0 ∆ 0 ∆
得到單次通過功率增益(Single-Pass Power Gain)為
| |
| | 1 1 ∆
(2.5-21)
在高增益近似下：
2
(2.5-22)
＜
或
在低增益近似下：
(2.5-23)
定義增益頻寬為：
∆ (2.5-24)
2.5.4 光參振盪理論 OPO)或是脈衝波(Pulse OPO)。依共振腔腔鏡鍍膜設計的不同也可分為 很 多 種 。 其 中 最 重 要 的 兩 種 為 SRO(Singly Resonant Oscillator) 及 DRO(Doubly Resonant Oscillator)，前者共振腔只對信號光或閒置光其 中之一進行高反射鍍膜，後者共振腔之設計同時對信號光及閒置光進
0 0 0
(2.5-25)
0 0 0
其中
、
為信號光及閒置光在腔內來回一次之電場損耗(Roundtrip Electric Field Loss)。假設低損耗， ~1
、
~1 ，可解得 1(2.5-26)
~
~2
其中
、
為信號光和閒置光之單次通過(Single-Pass)功率損耗。單次通過功率增益(Single-Pass Power Gain)在光參振盪器中扮演了 很重要的角色。準相位匹配技術比傳統的雙折射相位匹配能提供更大 的增益。近年來在微影製程及極化反轉技術方面的進步，也使光柵週 期能做的更小、更精確，使得準相位匹配光參振盪器之頻譜範圍更廣，
應用更多。
第三章 晶體設計與模擬分析
3.1 倍頻晶體週期之設計
設定好泵浦光源的波長與頻率轉換方式，可由式(2.3-2)、(2.4-2)計 算 出 所 對 應 的 週 期 性 極 化 反 轉 共 熔 組 成 鉭 酸 鋰(Periodically Poled Congruent Lithium Tantalate, PPCLT)週期，以達到準相位匹配，藉此滿 足最大的頻率轉換效率所需條件。以第一階的二倍頻轉換說明，式 非普及化(Extraordinary)折射率。而鉭酸鋰晶體的折射率，採用J. P.
Meyn和 M. M. Fejer等人所提出的色列米爾方程式(Sellmeier Equation) 計算15，如下式所示：
由式(3.1-1)、式(3.1-2)可以計算出各種基頻光在進行一階二倍頻轉 換時，所需要的準相位匹配週期Λ。針對鉭酸鋰可列舉幾個特定波長的 倍頻轉換及其對應的週期作比較，如表3.1-1 所示：
表3.1-1 鈮酸鋰波長轉換與準相位匹配週期的關係
吾人可由上表中歸納出簡單的結論：(1)當操作溫度相同時，越短 波長的倍頻轉換，所需要的週期越小；(2)當波長固定時，操作溫度越 高，所需要的週期也會些微縮小。
Wavelength (nm) Type Temperature (℃) QPM period (μm)
1260 + 1260 Æ 630 (R) SHG 27 12.67
1064 + 1064 Æ 532 (G) SHG 27 7.83
930 + 930 Æ 465 (B) SHG 27 5.13
1260 + 1260 Æ 630 (R) SHG 100 12.49
1064 + 1064 Æ 532 (G) SHG 100 7.71
930 + 930 Æ 465 (B) SHG 100 5.04
930 + 930 Æ 465 (B) SHG 140 4.99
868 + 868 Æ 434 (B) SHG 150 3.95
3.2 光參振盪器晶體週期之設計
3.2.1 光參振盪器晶體週期設計
欲製作光參振盪器使用之週期性極化反轉鉭酸鋰晶體，準相位匹 配的光柵週期可由式(2.5-9)計算。對於第一階準相位匹配， ∆ 0，
光柵週期須為：
, , ,
(3.2-1)
其中
、 、
分別為泵浦光(Pump)、信號光(Signal)、閒置光 (Idler)之波長，T 為溫度，n 為折射率。所使用鉭酸鋰折射率之色列米 爾公式如式(3.1-2)所示。由式(3.1-2)、(3.2-1)，可設計出用於光參振盪 器晶體之光柵週期。此實驗中所使用之泵浦光波長為532nm 之脈衝綠圖3.2-1 532nm 泵浦光參振盪器之信號光、閒置光與晶體光柵週期關係圖
光，欲得到波長為930nm 附近之信號光，可由圖 3.2-1 計算光柵週期在 三個不同溫度下對應到的的信號光與閒置光分佈。考慮晶體溫度控制 上的精準，故設計930nm 信號光與 1260nm 閒置光對應到的溫度在 50
℃ ~ 150℃之間，而由圖 3.2-1 可以得知，應設計的晶體光柵週期約在 7.7μm ~ 7.9μm 之間。
由於光參振盪器可以透過調整晶體溫度而調變輸出信號光與閒置 光之波長，我們在圖3.2-2 計算出光參雷射之晶體溫度調整對波長輸出 之改變。透過如圖3.2-2 的可用頻寬預估作業，再考慮鉭酸鋰晶體在低 溫時仍有相當大的光折變效應，我們最後設計出兩款 532nm 泵浦光參 振盪器晶體，光柵週期分別為7.90μm 與 7.76μm，其模擬之溫度調整
圖3.2-2 532nm 泵浦光參振盪器之信號光、閒置光溫度調整曲線
圖3.2-3 532nm 泵浦光參振盪器光柵週期 7.90μm、7.76μm 溫度調整曲線
曲線如圖3.2-3 所示，以此兩款晶體相互搭配，若忽略光參振盪器之簡 併(Degeneracy)波長，可調波長範圍為 860nm~1390nm。
光柵週期7.90 μm 的晶體主要用來做為二維週期性極化反轉結構藍 光倍頻晶體之光源，因其930 nm 信號光之對應溫度分別在 65.3℃以及 75.8℃，溫度向上調整，即可符合高階準相位匹配之波長。而光柵週期 7.76 μm 之晶體因其 930 nm 信號光與 1260 nm 閒置光之對應溫度均大 於140℃，可使光折變效應更加降低，主要用在一維週期性極化反轉藍 光倍頻晶體之光源以及一、二維週期性極化反轉紅光倍頻晶體。
3.2.2 光參振盪藍光產生器晶體週期設計
一般的光參振盪器，以差頻的方式產生紅外光的可調式光源，而 這樣的性質，使得光參振盪器晶體本身為一雷射共振腔內的增益介 質，若此增益介質本身又可與光參振盪器產生的信號光與閒置光有另 一向上轉換(Up Conversion)的機制，如信號光的倍頻，便可成就自倍頻 的光參振盪器。而這樣的頻率轉換，是利用晶體本身的折射率特性以 高階準相位匹配的方式達成高效率的倍頻產生。
本篇論文主要以脈衝 532nm 綠光泵浦光參振盪器為主，故以 532nm 的泵浦光設計一自倍頻信號光的光參振盪藍光產生器晶體。配 合鎳擴散製程中的穩定條件，佔空比定為 1：3，以一維週期性極化反 轉結構的晶體來說，高階的有效非線性係數以二階為最大，如圖 2.4-4 所示。最後，如前一小節所討論的，溫控器的最佳溫控範圍定在 40℃
~165℃，故以此為設計之溫度範圍。
級聯倍頻光參振盪藍光產生器晶體設計 頻藍光465nm 產生。有了以上設計資訊，以(3.1-1)、(3.1-2)式設計鉭酸 鋰晶體的週期性極化反轉信號光倍頻週期，再以(3.2-1)、(3.1-2)式設計
圖3.2-4 級聯倍頻光參振盪器晶體產生藍光倍頻之溫度交點圖
自倍頻光參振盪藍光產生器晶體設計
℃時達成準相位匹配而出869.1nm 信號光倍頻之藍光。
圖 3.2-5 二階自倍頻光參振盪藍光產生器晶體產生藍光倍頻之溫度交點圖
3.3 腔內倍頻光參振盪器理論與模擬分析
腔內倍頻光參振盪藍光產生器有兩種模式，一為級聯倍頻晶體之光 參振盪器，一為自倍頻之光參振盪器，如圖 3.3-1，兩者的共通點在於 皆使用光參產生並搭配上轉換(Up Conversion)以產生藍光，但兩者在理 論分析上是有差異的。
級聯光參振盪倍頻藍光產生器的光參產生與倍頻過程是分開的，以 耦合波方程(Coupled Wave Equation)的角度來看，兩者的耦合方程式沒 有交互耦合的式子出現，光參產生與倍頻轉換有先後之分，但對於自
產生器的數值模擬分析，再將兩者的耦合方程做一結合後，分析自倍 頻光參振盪藍光產生器。
3.3.1 級聯倍頻光參振盪藍光產生器模擬與分析
一，光參產生必定比倍頻轉換先發生；第二，倍頻藍光之飽和轉換效
簡化後則以有限差分法(Finite Difference Method)的方式進行運算，運算 參數如表3.3-1 所示。
表3.3-1 級聯倍頻光參振盪器耦合波方程模擬參數
表3.3-1 級聯倍頻光參振盪器耦合波方程模擬參數