第三章 研究方法
第二節 Merton 模型延伸變數
A μA 12σA2 T
σA√T (19) (19)即為 Black 及 Scholes(1973)與 Merton(1974)理論中的公司違約機率。
考慮(19)，令 DD ln
A
F μA A T
A√T (20) DD 意為違約距離(distance to default)，表示資產價值與負債面額的距離，還 有幾倍資產價值的標準差。其為公司於負債到期時不違約之正向指標，違約距離 之值越大，表示公司於負債到期之時的違約機率越低。
第二節 Merton 模型延伸變數
一、簡單版本
為了檢驗之前所述之第三個假說，亦即測試聯立求解目前公司資產市值、公 司資產預期成長率與資產成長率標準差那些值的步驟是否必要；我們採用 Bharath 及 Shumway(2008)提出之一個較簡單的方法，其並不需要以數值方法來 聯立求解(2)與(13)，來估計公司資產市值及其衍生相關變數之值。他們採行的 簡單作法，必須要滿足以下兩個條件：一是簡單方法得到的結果必須要盡量捕捉 到πM 所包含的資訊，故他們保留原本πM 複雜的函數型式；二是要在維 持複雜的函數型式之下，盡量簡化計算量。因此，我們採用與 Bharath 及 Shumway(2008)相同的步驟，計算在 Black 及 Scholes(1973)與 Merton(1974)理 論架構下，的簡單版本破產機率。
首先，他們把目前負債的市值用負債面額來估計，simple D 為在此模型中，
負債的市場價值，即
12
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的µ換成 r，則可得到公司違約的風險中立機率。
πMµ Q A T N
F
A A T
A√T (27) 上中 Q 代表風險中立機率測度。雖然風險中立機率並非模型隱含之真正違約 機率，但仍然是公司是否違約之一個機率測度；且因為其函數形式與πM 一 樣、加上其估計A及σA的步驟也與πM 相同，我們認為其對公司是否違約，仍 具有一定程度的預測能力。
三、隱含波動性
如上所述，我們認為在計算πM 時，我們使用的股價報酬率之標準差，
是由歷史資料所估算出來的，其很有可能無法代表人們真正對股價未來波動性之 預期。故我們認為若使用把股價放入 Black-Scholes 選擇權評價模型，所得到之 隱含波動性(implied volatility)來對公司是否違約進行預測，會得到更加精確 之結果。事實上，根據 Bharath 及 Shumway(2008)亦指出，在較小的樣本之下，
使用隱含波動性來進行預測，的確較以其他模型進行預測所得之結果來得精準。
但國內個股選擇權的市場並不發達，做為選擇權標的物之個股相當有限；若使用 個股選擇權來預測，會使我們可使用的樣本大大受限、結果難以一般化，且可能 面臨樣本選擇(sample selection)問題，真正拿來應用的空間相當受限。因此，
我們採取一個修正的方法，來推估選擇權隱含未來個股報酬率的標準差，進而估 計模型隱含之破產機率。
首先，我們考慮資本資產訂價模型。
r r β r r ε (28) 其中r 為個股的股價報酬率、r 為無風險利率、r 為大盤報酬率、β為個股報酬率 對大盤報酬率之敏感程度、而ε 為個別風險。在無風險利率為固定常數、及以大
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盤報酬率與個別風險無相關之假設下，我們可得
σE β σ σ (29) 考慮(29)，由歷史資料，我們可推出β、σE、σ 之值，又由上式可推得σ 。接著，
我們可以由大盤選擇權，反推大盤的隱含波動性 σ ，帶回(29)可得 σE β σ σ (30)
其中σE 為修正過後之隱含個股波動性。所以我們可以改寫(2)與(13)分別為：
E A N d Fe TN d (31) σE A E N d σA (32)
d
A F
A
E √T (33) d d σE √T (34)
考慮(31)與(32)，帶入 E、F、r、T、σE 、d 、d 等值，可由數值方法解出 在此模型中公司資產市值的估計值A 、與資產市值成長率標準差的估計值 σA ，進一步可推估此模型中資產市值期望成長率之估計值µA 。得到
A 、µA 與σA 後，我們將其放入 Black 及 Scholes(1973)與 Merton(1974)的理論架構中，即代入(19)，可得
πM N
F
A µA A T
A √T (35) 其中πM 代表使用修正後隱含波動性所算出之理論違約機率。