第三章 研究方法
第一節 Merton 模型
第三章研究方法
第一節 Merton 模型
一般來說，在公司負債到期之時，若其資產總額小於負債面額、又無法取得 再融資的情形之下，則公司無法償還其全部之負債，我們稱之為公司於負債到期 之時違約。又在事前一般人無法確定負債到期日時公司資產的價值，故我們可把 到期日的公司資產價值是為一隨機變數。事實上，公司在負債到期之時的違約機 率，則可由資產價值的機率分配與負債面額所決定。又一般我們常見或財務研究 上所使用的機率分配，皆被其一階動差與二階動差獨特決定，故在一般應用上，
我們只須了解資產價值的期望值與變異數，便可推算破產機率。而 Black 及 Scholes(1973)與 Merton(1974)所提出具有高度原創性卓越之作，則是為我們如 何推估資產價值的分布、進而推算公司於負債到期時的違約機率，提供了一個相 當好的出發點。
考慮 Merton(1974)的負債評價模型，為了維持其原意，但簡化討論，我們 提出以下假設：
(1)資產市場完美性(perfect market)。
(2)資產的交易可以連續進行。
(3)零息公債殖利率曲線(zero rate curve) 為水平，不論多少年期的無風險利 率皆為固定常數。
(4)公司的資金來源只有兩類：普通股以及單一等級、到期前不發利息的純折價 債券(pure discount bond)。且在負債到期之前，公司不可發放普通股股利。
(5)資產價值服從幾何布朗運動；亦即在不發放股利及在負債到期前不付利息的 情況下，
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dA μAAdt σAAd t (1) 其中 A 為資產價值，µA為資產瞬時報酬率的期望值，σA為資產瞬時報酬率
的標準差，而 dB (t)為一個標準布朗運動。
由以上假設，我們可以推得在債券到期時，若公司資產價值大於等於負債面額，
則債權人所得之報償即為負債面額，股東所得之報償則為資產價值超過負債面額 的部分。亦即此時可視為股東以負債面額等同金額，向債券人買下公司資產。但 若到期時公司資產價值小於負債面額，此時公司違約，債券人無成本取得公司所 有資產，且股東的報償為零。如此，我們可把普通股視為其標的物為公司資產、
而其執行價格為負債面額的歐式買權。在滿足以上假設，我們可引用 Black 與 Scholes(1973)的結果，算出公司權益的價值：
E AN d Fe TN d 2 當中 E 為普通股的價值，F 為負債面額，r 為無風險利率，T 為觀測時點距負債 到期日的時間，
d
A
F σA
σE√T (3) d d σE√T (4) 而 N(‧)為標準常態分配的累加機率密度函數。這條方程式，對我們推算公司的 μA與σA相當重要。
接著，我們可以參考 Merton(1974)的作法，假設普通股價值服從幾何布朗 運動；亦即在不發放股利的情況下，
dE μEEdt σEEdB t (5) 其中 E 為股票價值，μE為股票瞬時報酬率的期望值，σE為股票瞬時報酬率的標 準差，而 dB (t)為一個標準布朗運動。又事實上，普通股價值可視為公司資產 價值與時間的函數：E=E(A,t)，藉由伊藤引理，我們可得
dE E dt EAdA EAA dA (6)
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又由(1)，我們可得
dE E dt EA μAAdt σAAd t 1
2EAA μAAdt σAAd t
E μAAEA μAA EAA dt σAAEAd t (7) 既然(5)與(7)相等，我們可得
μEE E μAAEA μAA EAA (8) σEE σAAEA (9) B t d t (10) 考慮(9)，可得
σE A
EEAσA (11) 由 Hull(2009)，可得
EA E
A N d (12) 故σE AEN d σA (13) 這裡我們同時考慮(2)與(13)，帶入 E、F、r、T、σE、d 、d 等值，可由數值 方法解出 A 與σA的近似值，見 Hillegeist et al. (2004)。再由算出來 A 的歷 史資料，可推估μA的值。
有了μA與σA的估計值，我們可以進一步來計算公司的違約機率。再一次，
由 dA t μAA t dt σAA t d t (1) 考慮G t e μA σA σAB (14) 可得d A t G t G t dA t A t dG t dA t dG t
G t μAA t dt σAA t d t A t μA σA G t dt
σAG t d t σAG t dt μAA t dt σAA t d t μA
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11
故令πMerton P A T F N ln
F
A μA 12σA2 T
σA√T (19) (19)即為 Black 及 Scholes(1973)與 Merton(1974)理論中的公司違約機率。
考慮(19)，令 DD ln
A
F μA A T
A√T (20) DD 意為違約距離(distance to default)，表示資產價值與負債面額的距離，還 有幾倍資產價值的標準差。其為公司於負債到期時不違約之正向指標，違約距離 之值越大，表示公司於負債到期之時的違約機率越低。