Rasch 模型

在IRT 的理論中，又以將模型設定為僅探討個人能力（ability）與題目難度

（difficulty）之差異，造成每個人在每個題目測度上差異之 Rasch 模型為最廣為 使用之探討架構。此模型為Rasch 所提出，其理論最主要精神乃透過勝算比（Log

­odds）之觀念，將每個題目（item）之每個選項（category）上，由受試者整體 之回應，校估出該題目之難度（difficulity）。換言之，當多人未答對該題（或多 人選擇該題相對較低之選項），即代表該題本身設計之難度較高。當每個題目皆 以此方式校估出難度，則可藉由每個受試者在各個難易不同之題目上表現，得到 受試者在此份試題上之評量分數。以二元選項之Rasch 模型而言，假設第 n 位受 測者（能力為Bn）答對第 i 題（題目難度為 Di）之機率為P B ，其公式同「一 個參數對數形模式」，表示如下：

P B e^{B D} 1 e^{B D}

在取勝算比並取自然對數(ln)後，可得

ln ^{P B}_{P B} B D ………(4) 若題目之選項採用李克特五尺度之設計，則Rasch 模型之基本概念如圖 3.6 所示。第n 個受訪者（能力為 Bn），相對應於每個題目之難度產生不同之結果，

如圖3.7 之第一題與第二題做比較，同樣的能力在第一題落在選項 3 之區域，然 第二題卻落在該題選項4 之區域（亦即相對較高之區域），由此可簡單推論此兩 題之間，第一題之整體難度相對第二題較高。將所有的受訪者在每個題目上的表 現進行綜合性之校估，則可得到每個題目之整體難度評量，以及每個人之能力評 量。

圖3.6 Likert 五尺度問項之衡量概念圖

圖3.7 Likert 五尺度之數學校估概念圖

為有效校估李克特五尺度門檻，Rasch 模型中採用跳過門檻之難度作為校估 之基準，如圖3.6 所示。以圖 3.7 為例，若最低之尺度（如選項 0）為基礎，其 被選擇之機率如式(5)，每一個題目中選答選項 1 之機率相對於該基礎，可認為 其能力已跳過第一個門檻（0 到 1 之間: D1），換言之根據式(4)中之基本模型，

可將其機率模化為式(6)；同理可推，選答選項 2 之機率，可謂之其能力應已跳 過第一個與第二個門檻，故其機率可模化為式(7)，同理可得選項 3 與選項 4 之 對應機率如(8)、(9)兩式。而式(10)為上述算式中共同之分母。

P _C ………(5)

P ^{B D}_C ………(6)

P ^{B D}_C ^{B D} ………(7) B‐D1 

B‐D2

B‐D3

B‐D4

1   2   3   4   5 

1   2   3   4   5 1   2   3   4   5

B

第 n 個首訪者之能力

項目 Item 第一題

第二題

第 n 題 .

. .

. . .

P ^{B D B D}_C ^{B D} ………(8)

P ^{B D B D}_C ^{B D B D} ………(9)

C 1 e^{B D} e^{B D B D} e^{B D B D B D} e^{B D B D B D B D} …(10) 由Rasch 模型在校估的過程中可發現，每個題目（item）之難度皆透過各選 項之門檻進行校估，換言之，除了得到每個題目之整體難度評量外，更可以深入 針對各個題目裡面的各個選項，分析探討其相對應難度之位置，如此可幫助我們 瞭解，在受訪者之整體表現上，各個題目相對應之難度為何。在Wright & Stone

【52】與 Wright & Master【53】兩篇文獻中，針對 Rasch 模型之操作結構以及李 克特五尺度如何模化並校估參數有完整之描述與探討，從此Rasch 模型廣泛應用 於心理量測與教育測驗之領域。

Rasch 模型之評分具有許多尺度變數評分的優點，包括：

1. 單一維度性：所有分數可以在同一個尺度座標上做比較。

2. 局部獨立性：當影響測驗表現的能力被固定不變時，受試者對任一試題 上的反應，在統計學上而言是獨立的；簡單地說，這意謂著涵蓋在試題 反應模式裡的能力因素，才是唯一影響考生在測驗試題上做反應的因 素。

3. 可再製性：其操作架構具有一定數學理論基礎，排除研究者之主觀給分 造成之差異。

4. 可驗證性：其模型可針對模式之配適進行統計探討，並提供對應之指 標。

就Rasch 模型之參數而言，均為相對量尺所估計而得之結果。一般在教育與 心理計量領域中，多透過平均難度之定錨，也就是將試題反應理論之試題平均難 度設定為固定值，常見的預設值通常設定為0 logit；個別試題之難度與受測者之 能力則按該預設值進行校估。難度與能力校估值之單位亦以 logit 為單位，且其 為近似等距之連續性數線量尺，並存在類等距與可加性等良好性質，可提供更多 訊息與更精確之數據表現。

Rasch 模型為 IRT 中最簡單之模型，本研究將使用 Rasch 做題目難易度及判 定受測者能力分析，由Rasch 模型校估的過程中，每個題目之難度皆透過各選項 之門檻進行校估，換言之，除了得到每個題目之整體難度評量外，更可以深入針 對各個題目裡面的各個選項，分析探討其相對應難度之位置，如此可幫助我們瞭 解，在受訪者之整體表現上，各個題目相對應之難度為何。本研究利用Rasch 模

式對受測者做分析，可準確評估出受測者的能力，並可將試卷中題目做難易度排 序，了解試卷題目應如何選取，將同難度的題目分為同一群，以利未來需新試卷 時，可隨機挑選群組中試題，而不影響難度，讓每一份試卷題目不同，但難度都 一樣，以防止受測者有作弊行為，也可預防同能力受測者因不同問卷而有不同結 果。