第二章 擺線齒形創成與齒面接觸分析
2.7 TCA 與 TPDPM 之誤差分析與時間計算比較
在本研究中，擺線齒輪上離散點取法分為兩個階段。第一階段為在擺線齒輪 輪廓接觸點左右 0.2 度取離散點，每 0.2 度分為 72 個區間，編號為從左至右 1 到 第 i 個離散點。輸出離散化的取法為，在理論輸出值正負 0.2 度內做離散化，每 0.2 度分為 72 個區間，編號為順時針由 1 到第 i 個離散輸出角度。將第 i 個離散 點乘以第 i 個離散輸出會得到一個逼近針齒輪廓的方向，如此，輸出角度的精度 將約為 10 arcsec。再判斷第幾個離散點和針齒中心最接近且無干涉，在此稱為第 一階段之輸出點。第二階段為從第一階段之輸出點為起始點，在擺線齒輪輪廓上 以該點為起始點，左右取 10 arcsec，再 10 arcsec 間分為 100 個區間，編號為從左 至右 1 到第 j 個離散點。輸出離散化的取法為，在第一階段之輸出點正負 10 arcsec 內做離散化，每 10 arcsec 做輸出離散化，將 10 arcsec 分為 100 個區間，
編號為順時針由 1 到第 j 個離散輸出角度。將第 j 個離散點乘以第 j 個離散輸出會 得到一個逼近針齒輪廓的方向，最後輸出角度的精度約為 0.1 arcsec。再判斷第幾 個離散點和針齒中心最接近且無干涉，該點即為為最終輸出點。透過將程式分為 兩個階段，可以再增加程式求解的速度。程式的流程(pseudo code)如圖 2-24 所 示。
Main Kinematic Error and Backlash
Set the design parameters of the cycloidal reducer
Set the numbers and interval of discrete points and discrete outputs
First time approach (discrete points and discrete output with larger interval)
for every discrete point do
(1) transform discrete points from cycloidal coordinate to frame coordinate (2) calculate the distance between the center of pin and discrete points
end for
if the distance between the center of pin and discrete points is the closest then
the corresponding output of the discrete point is the first time actual outputend if
if there is no discrete points that is interfering with the cycloidal contour then
set larger interval and redo the process so that there is at least one discrete point that
is interfering with the cycloidal contourelse
Second time approach (discrete points and discrete output with smaller interval)
for every discrete point do
(1) transform discrete points from cycloidal coordinate to frame coordinate (2) calculate the distance between the center of pin and discrete points
end for
if the distance between the center of pin and discrete points is the closest then
the corresponding output of the discrete point is the actual outputend if
Calculate kinematic error and backlash
圖 2-24 利用 TPDPM 計算運動誤差和背隙之 pseudo code
在輸出求解當中，TCA 為利用非線性求解工具以數值方法求解，其疊代精度 可以達到 10-10以下的精準度，或甚至誤差值可手動調至更低，如此的精準度可以 暫時忽略，將 TCA 求出的值當作實際值，所以以 TCA 當作 TPDPM 的比較參 考。表 2.3 為三組不同修形量之設計參數，圖 2-25 為第一組設計參數下，以 TCA 和 TPDPM 所得出運動誤差之差值(TCA 之運動誤差減去 TPDPM 之運動誤差)。
圖 26 為第二組設計參數下，以 TCA 和 TPDPM 所得出運動誤差之差值。圖 2-27 為第三組設計參數下，以 TCA 和 TPDPM 所得出運動誤差之差值。所得出的 最大誤差在皆在 1 arcsec 以內。因此，我們可以得知以 TPDPM 求解，精準度很 高。
表2-3 三組不同修形量之設計參數
nc np Rp dRp Rrp dRrp e 第一組 10 11 30 0.01 3 0.03 1.1
第二組 10 11 30 0 3 0.02 1.1
第三組 10 11 30 -0.02 3 -0.01 1.1
圖 2-25 第一組設計參數的 TCA 和 TPDPM 運動誤差之差值
圖 2-26 第二組設計參數的 TCA 和 TPDPM 運動誤差之差值
圖 2-27 第三組設計參數的 TCA 和 TPDPM 運動誤差之差值
另外，所耗費計算時間也是程式的一個重要指標。在 TCA 求解過程，本文 利用 MATLAB 中之”fsolve”指令求解非線性方程式。因為的求解工具是經由初始 值透過疊代計算，每次程式只能計算一個接觸點，若針齒齒數增加，計算的時間 會線性增加；其次，疊代的次數也需耗費時間，若要疊代 n 次，時間也是約為疊 代一次的 n 倍。此外，若要計算背隙，則需要計算擺線齒輪另一半邊的接觸，總 時間為計算運動誤差的兩倍。然而，TPDPM 的演算法裡，是將所有的離散點存 成矩陣，再從中找尋最接近針齒中心的點，一次可判斷出接觸的針齒，沒有疊代 的計算，所以節省相當多的計算時間。表 2-4 所列為以表 2-3 之設計參數的 TCA 和 TPDPM 時間比較圖，使用電腦之規格為 CPU：Intel Core I7 3770，RAM：
DDR3 12G，Motherboard：ASUS Rev X.0x，軟體為 MATLAB 2013 版。
表2-4 TCA與TPDPM時間
第一組 第二組 第三組
TCA 7324 (s) 6976 (s) 6432 (s)
TPDPM 6 (s) 6 (s) 6 (s)
另外，討論計算一條逼近方向和兩條逼近方向的計算時間，如圖 2-18 中選擇 左邊的 ith個點和右邊的 ith個點，如表 2-5 所示。
表2-5 TPDPM中選擇一條和兩條逼近方向之時間
第一組 第二組 第三組
一條 6 (s) 6 (s) 6 (s)
兩條 8 (s) 8 (s) 8 (s)
由表 2-5 得知，選擇一條逼近方向的時間較選擇兩條逼近方向來的少，所以 在此僅選用一條逼近方向作為做法。
經由以上的討論，TPDPM 具備了精準度與耗費時間短之優點。在本研究之 後的可靠度章節，需要大量樣本，會以 TPDPM 作為求解運動誤差及背隙的演算 法。