行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告
曲線齒圓柱型齒輪特性研究(2/3)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2212-E-009-009- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立交通大學機械工程研究所 計畫主持人： 蔡忠杓 計畫參與人員： 曾瑞堂、游明達、趙立碁 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 95 年 6 月 14 日
一、中英文摘要
本專題研究計畫為三年期研究計畫之第 二年(93 年 8 月至 94 年 7 月)，係參照研究計 畫 之 第 一 年 所 建 立 的 曲 線 齒 圓 柱 型 齒 輪 (Cylindrical Gears with Curvilinear Shaped Teeth)之齒面，將曲線齒圓柱型小齒輪與大齒 輪之齒面的數學模式經由座標轉換，建立包 含組裝誤差的曲線齒圓柱型齒輪組在實際接 觸嚙合時之數學模式，利用此嚙合模型所發 展的齒面接觸分析電腦軟體，探討齒輪組在 不同的裝配狀況與設計參數下的傳動誤差及 接觸率。本研究計畫係利用齒面接觸外形法 來(Surface Topology Method)求解並預測接 觸齒印，亦即假設齒面為剛體的情況下，以 齒面幾何外形為基礎，來預測和模擬此類型 齒輪在不同的設計參數下，兩齒面的接觸齒 印大小與位置。 關鍵詞：曲線齒圓柱型齒輪，齒輪接觸分析， 接觸齒印，接觸比 Abstract
This is the first year’s research report of a three-year NSC research project. During the research process, a cylindrical gear pair with curvilinear shaped teeth has been set up firstly according to the first year of the research project. The assembly errors are considered in the mathematical model of this cylindrical gear pair with curvilinear shaped teeth. Furthermore, tooth contact analysis (TCA) is adopted to determine the kinematic errors and the contact ratios of the cylindrical gears with curvilinear shaped teeth, respectively. Moreover, the effects of assembly conditions and design parameters on the kinematic errors of the gear pair have been studied. The influences of design parameters on the dimension of contact patterns have also been investigated by using the surface topology method.
Keywords: Cylindrical Gears with Curvilinear Shaped Teeth, Tooth Contact Analysis, Contact Pattern, Contact Ratio
二、前言 一對共軛齒形之齒輪在理想狀態裝配下 嚙合傳遞運動是不會有運動誤差的產生，但 是齒輪在製造時，由於刀具的磨損或工具機 本身精度的限制或刀具設計之不準確，可能 會製造出具有齒形誤差、節距誤差、導程誤 差、齒厚誤差及偏擺等之不良齒輪，而且齒 輪在裝配時亦可能發生組裝之不準確，造成 齒輪在旋轉軸方向或中心距之裝配偏差。以 上各種狀況將使得被動齒輪在傳遞運動時， 其實際輸出軸的旋轉角度與理論輸出的旋轉 角度間會產生差異，此差異即為齒輪組之運 動誤差(Kinematic Error)。有關齒輪組運動誤 差之研究甚多，Tsay[1]於 1988 年探討螺旋齒 輪之齒面數學模式及其接觸分析與應力分 析。Munro[2]於 1990 年探討最佳齒形修整與 傳動誤差之關係。Tsay 與 Fong[3]於 1991 年 對於圓弧形齒輪及漸開線齒之配對嚙合，探 討其接觸特性。Fong 與 Tsay[4]於 1992 年研 究蝸線傘齒輪之運動最佳化。Litvin 等人[5,6] 於 1989 及 1994 年提出具有拋物線型運動誤 差之修整型齒面的合成。Lin 等人[7]於 1996 年探討戟齒輪之接觸分析。Chang 等人[8]於 1997 年對於修整型螺旋齒輪組進行運動誤 差之最佳化設計。 目前對於齒輪組的運動誤差，可以使用 電腦數值分析方法或實際利用測試機加以檢 測。理論數值分析方法在使用上彈性較大， 只要齒面數學模式推導完成後，即可分析齒 輪組在各種設計參數及組裝誤差下對於齒輪 組運動誤差的影響。若再配合齒輪之齒面敏 感度分析，則更可進一步分析各種齒輪設計 參數及其刀具設定對齒輪運動誤差或齒輪齒 面變化量的影響程度。使用測試機量測齒輪 之運動誤差，即可掌握實際運動誤差的大 小，主要用於量測齒輪的精度等級與探討齒 輪之振動及噪音，但是測試機台成本甚高， 而且所量測的結果比較難應用於齒輪之齒面 修整判別。兩齒面在傳遞運動或動力時，由 於齒面承受負荷，將使得齒面在接觸點附近 發生彈性變形，此彈性變形區域之形狀為橢 圓形，故稱之為接觸橢圓(Contact Ellipse)。 齒輪之接觸齒印(Contact Pattern)可利用齒印 測試機量測，其原理是在齒面上塗抹一層紅 丹 ， 而 紅 丹 之 微 粒 (particle) 直 徑 為 6.32
μ
m[9]，然後再將兩齒輪置於測試機上 實際嚙合運轉，兩齒面接觸後齒面彈性變形 區域內的紅丹將被刮除，而形成齒面接觸彈 性變形之齒印，稱為接觸齒印。利用數值方 法亦可求得近似的接觸橢圓，其分析方法依 照假設條件而分為剛體齒印分析及彈性變形 齒印分析，前者則可利用兩齒面曲率的變化求得接觸齒印，後者考慮齒輪材料機械性 質，齒面摩擦係數，溫度及負載等條件，可 利用有限單元法(Finite Element Method)分析 負載下的接觸齒印。剛體齒印分析常用之方 法有齒面曲率分析法及齒面外形法(Contact Surface Topology Method)。曲率分析法由 Litvin[10]教授於 1989 年提出，係應用微分 幾 何 的 觀 念 ， 分 析 兩 齒 面 的 主 軸 方 向 (Principal Directions)與曲率(Curvatures)，若 經實驗測得齒面彈性變形量，即可求得接觸 橢圓長短軸之長度及接觸橢圓之分佈情形。 在本研究中則採用齒面外形法[11]來求取齒 輪之接觸橢圓，此法較為簡單而不需推導繁 雜的齒輪曲面與曲率之關係式，可利用數值 計算方式求得。 為了使提高齒輪組之承載能力，可將齒 輪組設計成高接觸比(Contact Ratio)，使齒輪 在傳遞動力時，同時有多齒接觸，以分散齒 面負荷的作用。高接觸比除了可以提高齒輪 組之負荷承載力外，更可有效降低齒輪組的 運動誤差，因而使得齒輪之振動及噪音降低。 三、研究方法與結果 本專題研究計畫為三年期之研究計畫， 今年度為本研究計畫之第二年(93年8月至94 年7月)。本研究計畫第二年規劃之工作項目 如下：(一)建立曲線齒圓柱型大小齒輪組嚙 合之數學模式。(二)完成曲線齒圓柱型齒輪 對之齒面接觸分析數學模式與電腦軟體。(三) 完成曲線齒圓柱型齒輪對之運動誤差、接觸 比及接觸齒印之計算與分析。 茲簡述本研究計畫至目前為止已完成和 獲得之結果如下： 運動誤差分析 兩齒面∑1及∑2在傳遞運動的過程中，兩 齒面上之瞬間接觸點表示在固定的參考座標 系Sf(Xf,Yf,Zf)應具有相同的位置向量，而且 兩齒面在接觸點的共同法向量亦為共線，因 此，兩嚙合齒面在嚙合點處之關係式可表示 如下： 0 ) 2 ( ) 1 ( − = f f R R (1) 0 ) 2 ( ) 1 ( × = f f n n (2) 其中 (1) f R 及R(f2)分別表示齒面∑1及∑2其接觸 點的齒面位置向量； (1) f n 和n(f2)表示兩齒面在 接觸點的齒面單位法向量。(1)式顯示兩齒面 之接觸點表示在Sf(Xf,Yf,Zf)座標系具有相 同的位置向量，而(2)式則表示兩齒面瞬間接 觸點的單位法向量共線，以上兩式稱為兩嚙 合 齒 面 之 嚙 合 條 件 式 。 在 三 維 (Three-Dimensional) 卡 式 (Cartesian) 座 標 系 中，兩嚙合齒面之單位向量只要確定其中兩 個分量，即可完全描述該單位向量，因為 1 ) 2 ( ) 1 ( = = f f n n ，故(2)式只包含兩個獨立方程 式，再配合(1)式可知，在三維空間中，齒面 接觸嚙合之條件式係由五個獨立方程式所組 成： 0 ) 2 ( ) 1 ( − = f f x x (3) 0 ) 2 ( ) 1 ( − = f f y y (4) 0 ) 2 ( ) 1 ( − = f f z z (5) 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( − = fy fz fz fyn n n n (6) 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( − = fz fx fx fzn n n n (7) 為模擬齒輪對具有裝配誤差之嚙合狀 況，各齒輪之組裝關係如圖一所示，其中座 標系S2(X2,Y2,Z2)固聯於大齒輪，而Z2軸為大 齒輪之旋轉軸，座標系S1(X1,Y1,Z1)則固聯於小 齒輪，而Z1軸為其旋轉軸。另外，座標系 ) , , ( v v v v X Y Z S 和Sh(Xh,Yh,Zh)則為輔助座標系， h Z 軸與Zf軸之間有一夾角Δγh，係用以模擬 齒輪組在水平軸方向之組裝偏差，而Δγv為 h X 軸與Xv軸之夾角，則用以模擬齒輪組在垂 直軸方向之偏差；C′表示齒輪裝配之中心 距，ΔC則表示裝配時之中心距誤差； φ′2及φ′1 則分別表示大小齒輪之旋轉角。為了求得兩 齒面之嚙合條件式，必須先將大、小齒輪之 齒面數學模式及齒面單位法向量，分別由座 標系S1(X1,Y1,Z1)及S2(X2,Y2,Z2)轉換至相同之 固定座標系Sf(Xf,Yf,Zf)。此座標轉換可利用 下列齊次座標轉換(Homogeneous Coordinate Transformation)矩陣方程式求得：
[ ]
[ ][ ]
1 1 ) 1 ( R Rf = Mfh Mhv Mv (8)[ ]
2 2 ) 2 ( R Rf = Mf (9)[ ]
[ ][ ]
1 1 ) 1 ( n nf = Lfh Lhv Lv (10)[ ]
2 2 ) 2 ( n nf = Lf (11)其中
[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ − ′ ′ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 1 1 1 1 1 φ φ φ φ v M ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = 1 0 0 0 0 cos 0 sin 0 0 1 0 0 sin 0 cos v v v v hv M γ γ γ γ ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 h h h h fh M γ γ γ γ ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ − ′ ′ = 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos 1 1 1 1 1 φ φ φ φ v L ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = v v v v hv L γ γ γ γ cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = h h h h fh L γ γ γ γ cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 ,[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ ′ ′ ′ ′ − ′ = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 sin cos 2 2 2 2 2 f f Z C M φ φ φ φ , 及[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ ′ − ′ = 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos 2 2 2 2 2 φ φ φ φ f L 。 將曲線齒圓柱型大齒輪之齒面∑2R及小 齒輪之齒面∑1L代入方程式(8)、(9)、(10)及 (11)，並且利用嚙合條件式(1)和(2)式，便可 獲得五個獨立非線性方程式，包含lF、θF、 p l 、θp、φ1′及φ2′等 6 個未知數，其中lF和θF為 小齒輪之齒面參數座標；lp和θp為大齒輪之 齒面參數座標；φ2′及φ1′則為大小齒輪在嚙合 時之旋轉角。若設定小齒輪之旋轉角φ1′為已 知，則由五個獨立非線性方程式組成的齒面 接觸嚙合方程式可解五個知數。 利用齒輪接觸分析技術並配合電腦數值 分析方法，即可模擬兩齒面在具有裝配誤差 之下的運動關係，可分析出兩齒面嚙合之瞬 間接觸點及其大、小齒輪嚙合時旋轉角φ1′及 2 φ′之關係。兩齒面在嚙合時，其大齒輪輸出 之旋轉角φ2′為小齒輪輸入旋轉角φ1′之函數， 可表示為φ2′(φ1′)。大齒輪實際輸出旋轉角與理 論輸出旋轉角之差，即稱為齒輪組之運動誤 差 (Litvin,1989,1994)，其計算式如下所示： 1 2 1 1 2 1 2(φ) φ (φ ) φ φ′ ′ = ′ ′ − ′ Δ N N (12) 其中N2及N1分別為大、小齒輪之齒數，φ2′(φ1′) 是由數值方法所求得之大齒輪實際輸出旋轉 角度。 齒面外形法 齒面外形法其原理如圖二(a)所示，其中 T O 為兩齒面∑1及∑2之瞬間接觸點，n為兩齒 面在接觸點OT之共同法向量，T 為兩齒面之 共 同 切 平 面 (Tangent Plane) ； 座 標 系 ) , , ( T T T T X Y Z S 稱為接觸點座標系，其座標原點 與嚙合齒面之瞬間接觸點OT重合，ZT軸選定 為與兩齒面接觸點共同法向量n同方向，並 且 座 標 系 ST(XT,YT,ZT) 為 正 交 座 標 系 ， 故 T T Y X − 平面必為兩齒面之切平面。齒面外形 法主要是模擬兩齒面接觸齒印測試過程時， 位於兩齒面接觸點附近齒面因接觸受力而造 成彈性變形區，此彈性變形區內的紅丹微粒 將因兩齒面在接觸點附近之齒面彈性變形， 使得其齒面間距變小而被刮除，故使用數值 模擬計算接觸點附近齒面間距時，可假設兩 齒面在瞬間接觸時，兩齒面距離在紅丹微粒 之直徑 6.32μm 以內者將被刮除而形成接觸 橢圓。 圖二(b)所示之d1和d2為兩嚙合齒面與其共 同切平面上某一選定計算測試點的距離，而 兩齒面在ZT軸之座標值的差，即是兩齒面的 距離。為了求得兩齒面上所有間距為 6.32μm 之點集合，可使用自動搜尋的方法，亦即在 接觸點座標系上再定義一個r−θ極座標系， 搜尋的過程中，可先設定一θ值，而r值則由 零逐漸遞增，直至檢測到兩齒面的間距為紅 丹直徑大小後才停止，並記錄此點之位置(即 r及θ值)，然後再改變一個θ值，繼續相同的搜尋步驟，直到搜尋之θ值已含括整個2π範 圍(即整個共同切平面)後，即可連接所有被 記錄兩齒面間距等於紅丹直徑大小的點，即 形成接觸橢圓。 接觸分析範例 以下將分析嚙合齒輪組在不同的裝配條 件時，齒輪組之運動誤差，齒輪組主要設計 參數如表一所示；由以上資料可計算出小齒 輪工作齒面範圍為lF=0.0~5.93 mm，θF=-30 度~30 度，其中lF=0.0 mm 對應工作區之最低 點，lF=5.93 mm 對應工作區之最高點，亦即 齒頂；大齒輪工作齒面範圍為lp=0.0~6.186 mm，θp=-30 度~30 度，其中lp=0.0 mm 對應 工作區之最低點，lp=6.186 mm 對應大齒輪 之齒頂。 例一： 曲線齒圓柱型齒輪組之主要設計參數 所示。本例將探討齒輪組在理想裝配條件 下，亦即Δγh=0.0 度，Δγv =0.0 度，ΔC=0.0 mm 時，欲探討其接觸狀況。依據(3)至(12)式及 本計畫所發展之電腦輔助齒面接觸分析程 式，即可分析齒輪組的接觸情形，如表二所 示，本文中之表格內，參數lF及lp之單位為 mm，參數θF、θp、φ1′及φ2′之單位為度，而 運動誤差 KE 之單位則為弧度-秒(arc-sec.)。 由表二之分析結果顯示，曲線齒圓柱型齒輪 組 之 接 觸 點 分 佈 於 齒 面 寬 中 央 截 面 (θF=θp=0 度)，而齒輪組之運動誤差為零。 由於曲線齒圓柱型齒輪之齒面寬中央截面為 標準漸開線齒形，故在理想的裝配條件之 下，齒輪組不會有運動誤差發生。 在齒面寬不變之下，改變表一之中的刀 盤半徑，亦即刀盤半徑分別為 30 mm，50 mm 及 100 mm 時，且曲線齒在無裝配偏差之條 件下，探討兩齒面之接觸齒印。利用上節所 述之齒印分析方式，可求得接觸齒印並繪於 小齒輪之齒面上，如圖三所示。圖中所繪製 之接觸齒印是從小齒輪轉角-6 度至 18 度， 每 2 度繪一接觸齒印之結果。曲線齒圓柱型 齒輪在理想的裝配條件下，接觸橢圓之中心 點位於齒面寬中央截面，而且接觸橢圓之長 軸隨著切削齒輪之刀盤半徑增加而有明顯的 增加，短軸則變化較少。圖四顯示接觸橢圓 長短軸之比值a/b與刀盤半徑Ri之關係，由 圖四可發現長短軸之比值a/b與刀盤半徑Ri 成正比。 例二： 曲線齒圓柱型齒輪組之主要設計參數 與例一相同。本例將探討齒輪組具有中心距 裝配誤差ΔC=0.5mm 之條件下的接觸情形， 分析結果如表三所示。由分析結果顯示，接 觸點依然落在齒面寬之中央截面，與例一相 比較，接觸點只在齒面參數lF及lp之上平 移，而且齒輪組沒有運動誤差產生，此特性 與漸開線正齒輪在具有中心距裝配誤差之下 無運動誤差的特性相同。 例三： 曲線齒圓柱型齒輪組之主要設計參數 與例一相同。本例將分別探討齒輪組在具有 水平軸裝配偏差Δγh=0.1 度及垂直軸裝配偏 差Δγv =0.1 度的接觸情形，其分析結果如表 四及表五所示。曲線齒圓柱型齒輪在具有軸 裝配偏差的條件下，其接觸點將偏離齒面寬 中央截面，但是在此範例之裝配條件下，若 觀察接觸分析結果之參數θF及θp得知，其接 觸點位置偏離齒面寬中央截面甚少。由於此 齒輪組為點接觸，對於軸偏差所造成的運動 誤差並不敏感，觀察表四及表五之運動誤差 可知，曲線齒圓柱型齒輪對於水平軸裝配偏 差所造成的運動誤差大於垂直軸裝配偏差所 造成的運動誤差。 當小齒輪在具有水平軸裝配偏差為正 0.1 度及負 0.1 度時，齒輪組之接觸橢圓如圖 五所示。齒印分析結果顯示當小齒輪水平軸 具有正 0.1 度之偏差時，接觸橢圓將偏向齒 面右側。相反的，小齒輪水平軸具有負 0.1 度之偏差時，接觸橢圓將偏向齒面左側。當 小齒輪具有垂直軸裝配偏差為正 0.1 度及負 0.1 度時，齒輪組之接觸橢圓如圖六所示。小 齒輪在具有垂直軸偏差正 0.1 度時，接觸橢 圓將偏向右側，由於曲線齒左右兩側是對稱 的，故若小齒輪具有一負 0.1 度之垂直軸偏 差，則接觸橢圓將偏向圖六齒面之左側。 曲線齒圓柱型齒輪之接觸比 本計畫所分析之曲線齒圓柱型齒輪組在 配對嚙合時，其大小齒輪嚙合齒面之曲率不 相同，故齒輪組之接觸型式為點接觸，由前 一節之接觸分析可知，齒輪組在沒有裝配誤 差的情形下，其接觸點的路徑分佈在齒面寬
中央截面，亦即曲線齒在理想裝配之下可視 為兩個極薄之正齒輪相互嚙合，其接觸比之 大小應與正齒輪之接觸比相近。對於接觸型 式為點接觸之曲線齒，其理論上的接觸比可 定義為『接觸起點與接觸終點相對於齒輪中 心所包含的作用角除以齒輪兩個齒相對應點 間之夾角』，亦即理論接觸比可以下式計算求 得。 1 1 1 360 N S E o φ φ − (13) 上式中φ1S表示小齒輪接觸起點所對應之小 齒輪轉角，φ1E表示小齒輪接觸終點所對應之 小齒輪轉角。φ1E −φ1S即為作用角，N1為小齒 輪之齒數。本計畫所建立之齒面接觸嚙合條 件式，是由五條獨立非線性方程式所組成， 其中包含六個未知數，故只要給定其中一未 知數(視為已知)，其餘未知數即可解出；利 用此齒面接觸嚙合條件式，設定小齒輪接觸 起點，即大齒輪之齒頂所對應之lp值，即可 解 出 齒 輪 接 觸 起 點 所 對 應 之 小 齒 輪 轉 角 S 1 φ ；同理，設定小齒輪的接觸終點，即小齒 輪之齒頂所對應之lF值，配合齒面接觸嚙合 條件式，即可求得齒輪接觸終點所對應之小 齒輪轉角φ1E。 曲線齒圓柱型齒輪之主要設計參數仍如 表一所示，本例在於計算齒輪組之接觸比。 依據方程式(13)所求得之曲線齒圓柱型齒輪 組理論接觸比為 1.61；而齒輪組在不同設計 參數及齒形壓力角下，其接觸比如表六所 示，其中 a，b 及 M 分別表示齒輪之齒頂， 齒根及模數，N1及N2分別表示小齒輪及大齒 輪之齒數。由表六之分析結果顯示，齒數增 加或壓力角減小或全齒深增加，將使得齒輪 組之接觸比增加。 四、結論及計畫成果自評 本研究已建立曲線齒圓柱型大小齒輪組 嚙合之數學模式，並完成曲線齒圓柱型齒輪 對之齒面接觸分析數學模式與電腦軟體，利 用此軟體可以分析曲線齒圓柱型齒輪對之運 動誤差、接觸比及接觸齒印。曲線齒圓柱型 齒輪之齒面寬中央截面為標準漸開線齒形， 故在理想的裝配條件或具有中心距組裝偏差 之下，齒輪組不會有運動誤差發生。本研究 之曲線齒輪組為點接觸，對於軸偏差所造成 的運動誤差並不敏感，而且即使齒輪組具有 軸偏差，其接觸點亦分佈在齒面寬中央附 近，並不會產生齒緣接觸現象。齒輪組接觸 橢圓長短軸之比值與刀盤半徑成正比，可依 不同的設計需求，選用不同的刀盤半徑。所 發展之曲線齒圓柱型齒輪組具有以上之優 點，適合用於精密機械之傳動。本研究計畫 在今年度之研究項目均依原計畫書規畫之研 究項目內容和目標，完成各項研究工作，所 獲成果相當優良，已有兩篇論文投稿國際著 名之學術期刊 ASME Journal of Mechanical Design 及 Journal of Mechanism and Machine Theory，並已刊載或被接受刊載[12,13]。
五、參考文獻
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[11] Janninck, W. K., ”Contact Surface Topology of Worm Gear Teeth,” Gear Technology, pp. 31-47, March/April 1988. [12] R. T. Tseng and C. B. Tsay, “Contact
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[13] J. T. Tseng and C. B. Tsay, “Mathematical Model and Surface Deviation of Cylindrical Gears with Curvilinear Shaped Teeth Cut by a Hob Cutter,” ASME Journal of Mechanical Design, 2004. (accepted) 表一 曲線齒圓柱型齒輪主要設計參數 表二 理想裝配條件之下齒輪組的接觸情形 1 φ′ φ2′ θ F θ p lF lp KE -10.00 -5.00 0.000 0.000 0.774 5.610 0.000 -8.00 -4.00 0.000 0.000 1.097 5.287 0.000 -6.00 -3.00 0.000 0.000 1.419 4.965 0.000 -4.00 -2.00 0.000 0.000 1.741 4.643 0.000 -2.00 -1.00 0.000 0.000 2.064 4.320 0.000 0.00 0.00 0.000 0.000 2.386 3.998 0.000 2.00 1.00 0.000 0.000 2.709 3.676 0.000 4.00 2.00 0.000 0.000 3.031 3.353 0.000 6.00 3.00 0.000 0.000 3.353 3.031 0.000 8.00 4.00 0.000 0.000 3.676 2.709 0.000 10.00 5.00 0.000 0.000 3.998 2.386 0.000 所有表格中，lF及lp之單位為 mm。θ 、F θ 、p φ1′及 2 φ′之單位為度，而運動誤差 KE 之單位則為弧度-秒 (arc-sec.)。 表三 中心距誤差ΔC=0.5mm 時齒輪組的接觸情形 1 φ′ φ2′ θF θp lF lp KE -10.00 -5.00 0.000 0.000 0.927 5.978 0.000 -8.00 -4.00 0.000 0.000 1.249 5.655 0.000 -6.00 -3.00 0.000 0.000 1.571 5.333 0.000 -4.00 -2.00 0.000 0.000 1.894 5.011 0.000 -2.00 -1.00 0.000 0.000 2.216 4.688 0.000 0.00 0.00 0.000 0.000 2.538 4.366 0.000 2.00 1.00 0.000 0.000 2.861 4.044 0.000 4.00 2.00 0.000 0.000 3.183 3.721 0.000 6.00 3.00 0.000 0.000 3.505 3.399 0.000 8.00 4.00 0.000 0.000 3.828 3.077 0.000 10.00 5.00 0.000 0.000 4.150 2.754 0.000 表四 水平軸偏差Δγh= 0.1o時齒輪組的接觸情形 1 φ′ φ2′ θF θp lF lp KE -10.00 -4.999 -0.836 -0.736 0.773 5.611 0.403 -8.00 -3.999 -0.816 -0.716 1.096 5.288 0.318 -6.00 -2.999 -0.796 -0.696 1.418 4.966 0.235 -4.00 -1.999 -0.776 -0.676 1.741 4.644 0.154 -2.00 -0.999 -0.756 -0.656 2.063 4.321 0.076 0.00 0.000 -0.736 -0.636 2.385 3.999 0.000 2.00 0.999 -0.716 -0.616 2.708 3.676 -0.074 4.00 1.999 -0.696 -0.596 3.030 3.354 -0.146 6.00 2.999 -0.676 -0.576 3.353 3.031 -0.216 8.00 3.999 -0.656 -0.556 3.675 2.709 -0.283 10.00 4.999 -0.636 -0.536 3.997 2.387 -0.349 表五 垂直軸偏差Δγv = 0.1o時齒輪組的接觸情形 1 φ′ φ2′ θF θp lF lp KE -10.00 -5.000 -0.268 -0.304 0.774 5.610 -0.060 -8.00 -4.000 -0.275 -0.312 1.097 5.288 -0.049 -6.00 -3.000 -0.282 -0.319 1.419 4.965 -0.037 -4.00 -2.000 -0.290 -0.326 1.741 4.643 -0.025 -2.00 -1.000 -0.297 -0.333 2.064 4.321 -0.012 0.00 0.000 -0.304 -0.341 2.386 3.998 0.000 2.00 1.000 -0.312 -0.348 2.709 3.676 0.013 4.00 2.000 -0.319 -0.355 3.031 3.354 0.026 6.00 3.000 -0.326 -0.363 3.353 3.031 0.039 8.00 4.000 -0.333 -0.370 3.676 2.709 0.053 10.00 5.000 -0.341 -0.377 3.998 2.386 0.068 表六 曲線齒在不同設計參數時之接觸比 壓力角 設計參數 14.5 度 20 度 25 度 1 N =18 N2=36 a=1M b=1.25M * 1.611 1.445 1 N =36 N2=36 a=1M b=1.25M 2.014 1.692 1.498 1 N =54 N2=36 a=1M b=1.25M 2.083 1.730 1.521 1 N =18 N2=36 a=0.8M b=1M * 1.328 1.181 (* 表示小齒輪已發生過切) 設計參數 小齒輪 大齒輪 齒數 18 36 模數 M 3 mm 3 mm 壓力角 20 度 20 度 齒面寬 W 30 mm 30 mm 刀盤半徑Ri 30 mm 30 mm
圖一 齒輪對嚙合模擬其座標系間之關係 (a) (b) 圖二 嚙合齒面與切平面示意圖 圖三 刀盤半徑對曲線齒接觸橢圓之影響 圖四 齒印長短軸比值與刀盤半徑之關係
圖五 水平軸偏差對接觸橢圓之影響
