管夾式超音波流量測量之換能器引致聲場研究

國 立 交 通 大 學

機械工程學系碩士班

碩 士 論 文

管夾式超音波流量測量之換能器引致聲場研究

Acoustic Fields Induced by Transducers for Clamp-on

Ultrasonic Flow Measurement

研 究 生：李柏勳

指導教授：尹慶中 博士

管夾式超音波流量測量之換能器引致聲場研究

Acoustic Fields Induced by Transducers for Clamp-on Ultrasonic

Flow Measurement

研 究 生：李柏勳 Student：Bo-Shun Li

指導教授：尹慶中 博士 Advisor：Dr. Ching-Chung Yin

國 立 交 通 大 學 機械工程學系碩士班

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Mechanical Engineering July 2013

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

管夾式超音波流量測量之換能器引致聲場研究

研究生：李柏勳 指導教授：尹慶中博士 國立交通大學機械工程學系碩士班

摘 要

流量計是工業節能感控系統量測與驗證中最重要的儀表之一，非侵 入式的超音波流量計更為首要的應用工具。管夾式超音波流量計大多為 Z 型與 V 型架設，頻率範圍在 1-2 MHz，依據聲波在管流內的傳遞時間 計算流速及流量。斜束超音波入射於液固耦合介面，不僅會發生幾何反 射，還會產生滲漏導波，後者折射進入耦合液體與前者干涉，形成非幾 何反射聲場。超音波流量計探頭設計時，窄束剪力波探頭需避開非幾何 反射聲場，以增加精確度，寬束藍姆波探頭則利用滲漏導波達到增加聲 場覆蓋率之需求。本文數值解析有限寬度之超音波聲束傾斜入射於固液 耦合的管壁產生之反射及穿透聲場，找出適當的入射角參數。以市售之 參考探頭及自製壓電探頭為分析對象，從數值結果解釋探頭設計原理與 重要設計因子，並加入實驗佐證。 關鍵字：非幾何反射聲場、滲漏導波、壓電探頭、超音波流量計

Acoustic Fields Induced by Transducers for Clamp-on

Ultrasonic Flow Measurement

Student：Bo-Shun Li Advisor：Dr. Ching-chung Yin

Abstract

Flow meter is one of the important instruments in industrial sensing and control systems for energy saving measurement and verification. Non-invasive clamped-on ultrasonic flow meter is the primary choice among many application instruments. Both Z-type and V-type configurations are usually employed in ultrasonic flow measurement, in which the operating frequency range is from 1 to 2 MHz. The flow velocity can be determined through the time of flights of obliquely incident ultrasound propagating in pipe flow. Nonspecular reflection of a bounded acoustic beam is caused by the interference of geometric reflection and associated leaky guided waves propagating along the interface between liquid and the tube.

Ultrasonic transducers developed for time-of-flight flow meter can be categorized into two groups, narrow beam shear wave and wide beam Lamb wave. Higher accuracy can be achieved by the transducer based on narrow beam shear waves if nonspecular acoustic reflection is avoided. On the other hand, the transducer of broad beam Lamb waves can increase coverage of ultrasonic field transmitting across low acoustic impedance flow by stimulating leaky guided wave along the pipe. This thesis numerically analyzes both reflected and transmitted beam profiles induced by a Gaussian acoustic beam obliquely incident on the fluid coupled pipe. The working principle and several important design factors of ultrasonic transducers for flow meters have been studies and verified through experimental exploration

on the house-made piezoelectric transducers and both types of products available in industry. The appropriate angles of incidence have been determined for above mentioned ultrasonic transducers.

Keyword: Nonspecular acoustic reflection, leaky guided wave, piezoelectric transducer, ultrasonic flow meter

誌謝

在兩年的研究所生活，最感謝的是指導教授 尹慶中博士，從大學 時期就成為老師的專題生到現在碩士即將畢業，老師身上的態度及精神 都成為學生的楷模，於研究上細心的指導，給予非常多的建議，也花費 不少的時間在引導學生，幫助學生的研究順利，能一步步完成論文。同 時感謝楊哲化、廖駿偉與蕭國模老師撥冗擔任口試委員，對本論文不吝 指正，提出許多精闢之建議，使論文更充實完整。 感謝非破壞評估實驗室的學長劉育翔，不只提供實驗上的幫助，也 分享研究心得與軟體撰寫技巧，感謝世民學長於論文原理的指導，感謝 泰和學長教導 Pspice 使用技巧及基本等效電路類型，感謝學長姐吳旻 修、李劭遠、梁均帆與郇心慧，在修課及研究皆給予很大的幫助，感謝 同學何家豪、黃仲平與吳雨倩在碩士生活的一路相伴，還有研究上的協 助與鼓勵，感謝學弟妹陳勁希、張維霖、彭鈺原與羅憶青幫忙處理實驗 室的瑣事，使碩二的我們能更專注於研究，祝你們未來的研究順利。特 別感謝工研院綠能所的褚柏胤、蕭仲興與蔡禮豐先生，提供非常多幫忙 及建議。 最後，感謝家人給予的支持，使我無後顧之憂地完成學業，提出很 多建議，總是讓我茅塞頓開，感謝女友顏杏珊在研究生活的陪伴與照顧。 僅以此論文 獻給家人、師長、朋友及所有關愛我的人

目 錄

摘 要 ... i Abstract ... ii 誌謝 ... iv 目 錄 ... v 表目錄 ... viii 第一章 緒 論 ... 1 1.1 研究背景 ... 1 1.2 文獻回顧 ... 2 1.2.1 超音波流量計 ... 2 1.2.2 非幾何反射聲場 ... 3 1.3 研究目的 ... 4 1.4 內容簡述 ... 5 第二章 理論說明 ... 6 2.1 超音波流量計 ... 6 2.2 超音波流量計探頭技術 ... 8 2.3 超音波探頭的遠近場 ... 9 2.4 非幾何反射聲場 ... 10 2.4.1 幾何反射 ... 10 2.4.2 非幾何反射 ... 10 2.5 液固耦合平板的反射與穿透係數 ... 11 2.5.1 Thomson-Haskell 方法 ... 11 2.5.2 液固耦合平板 ... 14

2.5.3 高斯聲柱的穿透與反射聲場 ... 19 第三章 數值結果與討論 ... 21 3.1 液固耦合平板的反射係數 ... 21 3.2 板波頻散曲線 ... 22 3.3 液固耦合平板的反射聲場 ... 22 3.3.1 波數積分 ... 22 3.3.2 反射聲場比較 ... 23 3.4 多層材料的反射係數及聲場 ... 24 3.4.1 窄束剪力波與寬束藍姆波探頭 ... 24 3.4.2 反射與穿透係數(標題不好！與 3.1 節有何差異？) ... 25 3.4.3 反射聲場分佈及位移響應 ... 26 3.4.4 流體溫度對聲場強度分佈的影響 ... 28 3.5 超音波流量計之入射角選定 ... 28 3.6 雛型探頭模擬 ... 30 3.6.1 壓電陶瓷圓形碟片電性分析及振動模態 ... 30 3.6.2 雛型探頭模擬 ... 31 第四章 實驗結果與討論 ... 33 4.1 窄束剪力波探頭的設計製作與測試 ... 33 4.1.1 探頭基本結構與選用材料 ... 33 4.1.2 探頭製作步驟 ... 33 4.1.3 試製探頭之試驗 ... 34 4.2 參考探頭的性能 ... 36 4.2.1 參考探頭之電性阻抗曲線分析 ... 36 4.2.2 參考探頭的時頻域訊號分析 ... 37

4.3 窄束剪力波探頭水下聲場量測實驗 ... 38 4.3.1 實驗裝置 ... 38 4.3.2 聲場量測結果 ... 38 4.4 參考探頭的聲場量測 ... 39 第五章 結論 ... 41 5.1 結論 ... 41 5.2 未來工作展望 ... 42 參考文獻 ... 43

表目錄

附表 ... 45 表 1 計算所採用的材料係數表 ... 45 表 2 超音波參考探頭之入射角度與折射角度 ... 45 表 3 水的聲速與溫度對照表 ... 45 表 4 計算所採用的 PZT-4 及 PZT-5A 壓電陶瓷的材料係數 ... 46 表 5 工程塑膠 ABS 及 PEI 材料性質表 ... 47

圖目錄

圖 1.1 超音波流量計之量測及探頭架設 ... 48 圖 1.2 架設位置不同時超音波訊號振幅大小 ... 48 圖 2.1 都卜勒頻移式超音波流量計原理示意圖 ... 49 圖 2.2 (a) V 法則、(b) Z 法則之歷時式超音波流量計原理示意圖 ... 49 圖 2.3 窄束剪力波流量計探頭工作示意圖 ... 50 圖 2.4 寬束藍姆波流量計探頭工作示意圖 ... 50 圖 2.5 超音波換能器示意圖 ... 51 圖 2.6 超音波振幅在遠場與近場的分布[15] ... 51 圖 2.7 幾何反射場 ... 52 圖 2.8 幾何反射聲場強度分佈 ... 52 圖 2.9 非幾何反射場 ... 53 圖 2.10 非幾何反射聲場強度分佈 ... 53 圖 2.11 簡化之超音波流量計量測流量模型 ... 54 圖 2.12 多層等向性材料 ... 54 圖 2.13 分段計算之第一部分 ... 55 圖 2.14 分段計算之第二部分 ... 55 圖 2.15 分段計算之第三部分 ... 56 圖 3.1 浸入水中之 3mm 厚的壓克力平板 ... 57 圖 3.2 不同入射角之反射係數的值 ... 57 圖 3.3 不同相速度之反射係數的值 ... 58 圖 3.4 3mm 壓克力平板之頻散曲線與圖 3.3 逆時針旋轉九十度 ... 58 圖 3.5 高斯積分與波數積分之差異 ... 59

圖 3.6 (a) LSV 模型、(b) LSL 模型 ... 59 圖 3.7 參考文獻[10]反射聲場分佈，曲線 1 為入射聲場，曲線 2、3 為 LSV、LSL 模型的反射聲場 ... 60 圖 3.8 適應性積分計算反射聲場結果 ... 60 圖 3.9 (a) ACTSONIC 廠牌之超音波流量計探頭 T-M1 實體照片，(b) Fluxus M 系列探頭實體照片 ... 61 圖 3.10 a. 超音波流量計探頭之示意圖，1：殼體、2：斜束聲波導圓 柱、3： 壓電片、4：導線、5：背襯材料、6：訊號接頭、α： 聲束傾角、θ：入射角。b. 圓柱波導前端投影之長、短軸長 L 及 D。 ... 61 圖 3.11 Fluxus M 系列探頭 X 光透視影像 ... 62 圖 3.12 超音波入射 3mm 厚壓克力板與不鏽鋼板之穿透係數 T ... 62 圖 3.13 超音波入射 3mm 厚壓克力板與不鏽鋼板之反射係數 R... 63 圖 3.14 超音波入射簡化之超音波流量計量測流量模型， 第二階段穿 透係數 R2 ... 63 圖 3.15 超音波入射簡化之超音波流量計量測流量模型， 第二階段位 移 (2) bz u ... 64 圖 3.16 高斯聲束照射 3 mm 厚不銹鋼板的反射及穿透聲場， 黑色虛 線為入射聲束 ... 64 圖 3.17 高斯聲束照射 3 mm 厚壓克力板的反射及穿透聲場， 黑色虛 線為入射聲束 ... 65 圖 3.18 高斯聲束照射簡化之超音波流量計量測流量模型(管壁厚 3 mm 之不銹鋼板)的第三階段反射聲場及相位 ... 65

圖 3.19 高斯聲束照射簡化之超音波流量計量測流量模型(管壁厚 3 mm 之壓克力板)的第三階段反射聲場及相位 ... 66 圖 3.20 高斯聲束照射簡化之超音波流量計量測流量模型(管壁厚 3 mm 之不銹鋼板)的第三階段位移響應及相位 ... 66 圖 3.21 高斯聲束照射簡化之超音波流量計量測流量模型(管壁厚 3 mm 之壓克力板)的第三階段位移響應及相位 ... 67 圖 3.22 窄束剪力波探頭照入 3mm 壓克力管壁，不同溫度下位移響應 分佈 ... 67 圖 3.23 寬束藍姆波探頭照入 3mm 壓克力管壁，不同溫度下位移響應 分佈 ... 68 圖 3.24 窄束剪力波探頭照入 3mm 不鏽鋼管壁，不同溫度下位移響應 分佈 ... 68 圖 3.25 寬束藍姆波探頭照入 3mm 不鏽鋼管壁，不同溫度下位移響應 分佈 ... 69 圖 3.26 入射角 32 度至 36 度的位移響應分佈(壓克力管壁) ... 69 圖 3.27 入射角 37 度至 41 度的位移響應分佈(壓克力管壁) ... 70 圖 3.28 入射角 41.9 度至 46 度的位移響應分佈(壓克力管壁) ... 70 圖 3.29 入射角 32 度至 36 度的位移響應分佈(不鏽鋼管壁) ... 71 圖 3.30 入射角 37 度至 41 度的聲場強度分佈(不鏽鋼管壁) ... 71 圖 3.31 入射角 41.9 度至 46 度的聲場強度分佈(不鏽鋼管壁) ... 72 圖 3.32 裸圓碟型壓電片之上視圖與側視圖 ... 72 圖 3.33 裸圓碟型壓電片之電性阻抗曲線分析 ... 73 圖 3.34 自然頻率為 91KHz 之振動模態 ... 73 圖 3.35 自然頻率為 119KHz 之振動模態 ... 74

圖 3.36 雛型探頭尺寸 ... 74 圖 3.37 雛型探頭之電性阻抗曲線分析 ... 75 圖 4.1 超音波流量計探頭實體之(左)斜柱波導及外殼的(中)上視、(右) 下視照片 ... 76 圖 4.2 輔以夾具黏貼壓電片 ... 76 圖 4.3 製作完成的超音波探頭 ... 77 圖 4.4 網路分析儀 HP 8751 ... 77 圖 4.5 直徑 25mm、厚 2.2 mm 之圓碟形 PZT-4 及 PZT-5A 壓電陶 瓷的實測阻抗曲線 ... 78 圖 4.6 PZT-4 及 PZT-5A 之雛形探頭實測阻抗曲線 ... 78 圖 4.7 PZT-4 及 PZT-5A 之試製探頭實測阻抗曲線 ... 79 圖 4.8 PZT-4 材質之試製探頭的阻抗曲線 ... 79 圖 4.9 PZT-5A 材質之試製探頭的阻抗曲線 ... 80 圖 4.10 工研院綠能所製造之流量計 ... 80 圖 4.11 穿透鋁質規塊實驗 ... 81 圖 4.12 試製探頭穿透鋁塊的聲場訊號 ... 81 圖 4.13 試製探頭穿透鋁塊的聲場訊號 FFT ... 82 圖 4.14 試製探頭穿透鋁塊的聲場訊號強度分佈圖 ... 82 圖 4.15 窄束剪力波探頭的阻抗曲線 ... 83 圖 4.16 寬束藍姆波探頭的阻抗曲線 ... 83 圖 4.17 實驗架設圖 ... 84 圖 4.18 窄束剪力波探頭穿透內壁間距 80 mm 壓克力水槽的超音波訊 號(上)及頻譜(下) ... 85

圖 4.19 寬束藍姆波探頭穿透內壁間距 80 mm 壓克力水槽的超音波訊 號(上)及頻譜(下) ... 85 圖 4.20 量測聲場實驗系統方塊圖 ... 86 圖 4.21 窄束參考探頭的水下聲場分佈 ... 86 圖 4.22 XZ 平面掃瞄的聲場分佈色階圖 ... 87 圖 4.23 水下麥克風與探頭間距之振幅分布 ... 87 圖 4.24 窄束剪力波參考探頭與水之間加上一層 5mm 板之聲場量測 結果 ... 88 圖 4.25 加一層 5mm 板之 XZ 平面掃瞄的聲場分佈色階圖 ... 88 圖 4.26 聲場量測實驗 (a) 1MHz 音洩探頭接收面 (b) 1MHz 音洩探頭 背面 (c)實驗架設示意圖 ... 89 圖 4.27 以窄束剪力波探頭量測不鏽鋼水槽之時域訊號的峰對峰值 .... 89 圖 4.28 以寬束藍姆波探頭量測不鏽鋼水槽之時域訊號的峰對峰值 .... 90 圖 4.29 以窄束剪力波探頭量測壓克力水槽之時域訊號的峰對峰值 .... 91 圖 4.30 以窄束剪力波探頭量測壓克力水槽之時域訊號的峰對峰值 .... 92 圖 4.31 量測 50mm 不鏽鋼管流流量 ... 93 圖 4.32 量測 300mm 不鏽鋼管流流量 ... 93

第一章 緒 論

1.1 研究背景

因應全球性節能減排之訴求及環境的挑戰，各行各競相提高生產效率 與減低耗能，因此增加工廠自動化生產能力與即時監控生產條件，流量 計逐漸扮演了重要角色。此外，在石油天然氣等能源行業裡，運輸設備 也需要可靠之流量測量設備。 工業上藉流量計量測管流中液體與氣體的流速，將泵維持在最省能 量之流速達到節能目的。管夾式(clamp-on)超音波流量計具有非侵入式的 特點，對流速沒有影響也無壓力損失，即使面對高黏度、高腐蝕性、非 導電性等流體，皆能進行流量量測，因此選擇其為研究對象。 超音波流量計架設方式有 Z 型、V 型與 W 型，應用上是以 Z 型與 V 型為主，頻率範圍在 1-2 MHz，且大多為斜向入射，其原理是超音波在 液體中傳播時，流體的流動將使傳播時間產生微小變化，且傳播時間之 變化正比於液體的流速，由此可求出液體的流速。但超音波在斜向入射 液固耦合之介面(圖 1.1)，可能發生反射聲場與入射聲場的強度分佈不 同，除了主要的幾何反射外，還伴隨一強度較弱的聲波沿伸至遠離入射 波束不可忽略之距離，才折射至周遭的介質，其與幾何反射互相干涉形 成非幾何反射聲場，又稱為滲漏導波(leaky Lamb wave)。因滲漏導波較 幾何反射波多傳遞了一段距離，使得兩者聲波傳遞時間不相同，造成流 量計的誤差。此誤差影響根據窄束剪力波(narrow beam shear wave)技術設 計的超音波探頭，依據寬束藍姆波(broad beam Lamb wave)技術設計之探 頭，應用滲漏導波特性，使得超音波聲場覆蓋範圍增加，利於量測氣體

流量，因氣體聲阻係數太小不易穿透，使超音波訊號極弱，而透過聲場 覆蓋範圍增加，會使接收能量增強。 不同的管材、管壁厚度及使用之超音波探頭技術，皆是設計超音波 流量計探頭入射角度需考慮的參數，這些參數與超音波之聲場強度分佈 息息相關，故本研究探討超音波聲場，建立各個參數的關係。

1.2 文獻回顧

1.2.1 超音波流量計

Brody and Meindl [1]曾提出一都卜勒流量計模型，推導出超音波會

在血液裡會發生隨機的逆向散射(back scattering)，計算功率譜密度(power

spectral density)與血液流速的關係。Motegl et al [2]改良傳統超音波流量

計使用的楔形塊(wedge)形狀，減少超音波在管壁的板模態(plate mode)

波傳對流量量測的影響。Funck and Mitzkus [3]將圓管簡化為二維模型，

使用角譜法(angular spectrum)推導超音波流量計之聲傳遞函數(acoustic transfer function)，流量計因子K_v為超音波探頭位置的函數，使用K_v可增 加流量量測的準確度，尤其是應用於較大之超音波換能器。Mahadeva et al [4]提出超音波探頭的架設距離與管材、管徑、管內襯、管材溫度及流體 溫度等影響，若超音波探頭不是位在最佳架設距離，則會對流量量測造 成誤差，其預測與流速無關之 S-曲線可以作為調整流量計系統的依據。 Hauptmann et al [5]曾回顧超音波感測器的優點與缺點，以及超音波感測 器在流量計上的應用。

1.2.2 非幾何反射聲場

Mungur and Gladwell [6]曾探討超音波在具有流速的黏性管流內部之 波傳問題，並考慮無黏性及速度為分佈函數之情況，如紊流的特殊案例。 以 Navier-Stokes 方程式推導，結果與前人研究成果接近。Bertoni and Tamir [7]提出有關入射角度接近臨界之雷利角(Rayleigh angle)時，反射聲 場會出現一些非幾何反射現象，以複數之波數(wave number)平面的極點 (pole)，解釋了非幾何反射場的一些現象，包括相平移的現象，反射聲場 出現強度為零或很微弱的空白區，以及產生一強度較強或較弱且延伸至 遠離入射波束的拖曳區成因。此後之相關研究多採用相同的分析理論。 Plona et al [8]延續 Bertoni and Tamir 的理論，探討一平板浸沒於液體

(即 LSL 介面耦合情形)之反射場，驗證了入射及反射強度分布的差異與 板厚、聲波頻率及入射角度有關。Pitts et al [9]使用數值方法，計算出超 音波聲柱入射於 LSL 介面時，反射係數與入射角之關係，並比較雷利型 與藍姆型(Lamb type)在不同板厚之反射聲場強度的分布情形。Kundu [10] 曾探討以有限寬度之聲柱，入射於各種不同的液體耦合固體平板(LS、 LSL、LSV、LSS、LSSL、LSSV)之反射聲場強度。以 Thomson-Haskell method 推導，並簡化不同液體耦合界面的反射係數形式，研究不同頻率、 入射角之超音波，不同板材及不同液體耦合界面的反射聲場，幾何及非 幾何反射聲場之關係，使用高斯積分法(Gaussian quadrature)，並調整波 數積分範圍進行數值積分運算。Chimenti and Nayfeh [11]對 LSV 模型的 鋁板非幾何反射討論，在數值反射聲場的模型中，考慮黏滯阻尼影響， 與實驗結果驗證，黏滯阻尼的考慮將可以拉近實驗與數值結果。

Bianco and Tommasi [12]考慮具有黏性之流體且縱波與橫波存在衰 減值時，LS 模型的入射角與反射係數關係。假設黏性流體如同一般等向

性固體材料，同樣會有縱波及橫波波傳。數值模擬結果顯示黏性流體可 接受橫波傳遞，也會因為多了橫波的衰減，使反射係數值下降，但僅限 於極高頻的超音波，越高頻，效應越明顯。耿維德[13]曾研究高斯分布之 聲波柱，入射至沒入水中的複合材料平板，所產生之非幾何反射聲場， 並將分析推廣至三維聲場，數值與實驗結果有良好的一致性。 鄭博毅[14]曾探討單晶壓電換能器在半無限域固體基材中激發的指 向性聲場，並以有限元素法對於等向性石墨複材與異向性純石墨進行聲 場指向性的模擬分析，數值結果顯示純石墨介質的橫向與縱向剛性差異 大，主辦(main lobe)集中於中間軸，側瓣(side lobes)則難以產生，石墨複 材則相反。

1.3 研究目的

圖 1.1 為管夾式超音波流量計於管線外量測流量的示意圖，探頭發射 之超音波折射進入管壁，分成縱波(longitudinal wave)與橫波(transverse wave)，由於縱波波速較快，折射角較大。理想流體的水無法承受剪應力， 當波進入水中之後，只剩下縱波傳遞，到達管內壁發生幾何反射，但於 某些入射角度，有部分超音波會平行管壁傳遞一段距離，才又折射進入 水中，發生非幾何反射聲場，使得反射聲場與入射聲場強度分佈相異。 架設超音波流量計探頭時，接收位置通常位於接收能量最大處，以 求得最佳的量測結果(圖 1.2)，若主要反射區(幾何反射區)聲場強度較次 要反射區(非幾何反射區)大，則不影響流量計在量測時的結果，若主要反 射區(幾何反射區)聲場強度小於次要反射區(非幾何反射區)，就會造成量 測誤差。即使超音波探頭的入射角固定，管材、管壁厚度及管徑大小改 變時也有可能會出現上述情況。

入射角是超音波流量計探頭的重要設計參數，本研究探討管夾式超 音波流量計探頭的聲場，將管路簡化為固體平板與流體耦合的模型，進 行有限寬度聲柱的反射及穿透聲場解析。討論聲柱穿透管壁或反射的聲 場分布，找出適當的入射角參數。

1.4 內容簡述

本文分為四章，第一章為研究背景、文獻回顧、研究目的。第二章說 明理論基礎，介紹超音波流量計量測原理、探頭遠場及近場效應、非幾 何反射聲場及反射係數之推導。第三章介紹數值積分結果，計算反射及 穿透係數，並解析窄束剪力波及寬束藍姆波探頭之聲場，探頭入射角的 優化並解釋其原因。第四章說明超音波探頭製作的流程與測試結果，展 示參考探頭電性分析，聲場量測實驗架構與結果。第五章為結論及未來 工作。

第二章

理論說明

超音波流量計進行管流流量量測時，探頭架設方式以 V 型及 Z 型為 主。若以 V 型架設為例(圖 1.1)，探頭發射一超音波，超音波折射進入管 壁，形成縱波與橫波，由於縱波波速較快，其折射角較大。當超音波折 射進入理想流體之管流時，介質無法承受剪應力，只剩下縱波傳遞，到 達管內壁發生幾何反射。超音波於某些入射角度，部分能量會沿著管壁 平行傳遞一段距離，才發生反射返回管流，使得反射聲場出現非幾何反 射現象。超音波流量計架設時，除了要避開非幾何反射之外，還需考慮 遠近場之效應，本研究也將對超音波探頭之遠近聲場進行探討。

2.1 超音波流量計

超音波流量計應用超音波優異的穿透性，毋需像其他類型的流量計一 般，將感測器架設在管線內部，本研究探討之超音波流量計探頭使用安 裝快速、簡單、方便的管夾式。超音波換能器架設於管線外部，不影響 內部的流場及流速分布，可精確量測管線流量。 超音波流量計的發展可追溯至 1960 年代，依工作原理可分為歷時 (transit time)式及都卜勒頻移(Doppler frequency shift)式兩類。圖 2.1 所示 為都卜勒頻移式流量計原理示意圖，通常應用於管路內有氣泡或懸浮顆

粒的二相流(two phase flow)管路。超音波發射器為一固定聲源，隨流體作等

速度運動之懸浮顆粒與聲源有相對運動，其可把入射的超聲波反射至超 音波接收器。入射聲波與反射聲波之間產生的頻率差是流體中懸浮顆粒 運動產生的都卜勒頻移，不考慮管壁的影響，假設流體為理想流體，且

0 2v cos f f c    (2.1) 其中 f₀為入射超音波之頻率，c 為超音波在管線內的聲速，v 為管線內流 體的流速，為超音波波傳路徑與流體流動方向的夾角。通過測量頻率 差就可以求得流速，進而可以得到流體流量。然而，(2.1)式應用於管路 流量量測的有效性受到兩項限制[5]，流體流速 v 必須遠小於超音波在流 體中的聲速 c，即 v c；流體內懸浮的顆粒狀反射體必須大於超音波在 流體中波長的 1/10，倘若懸浮的顆粒或氣泡較小，超音波換能器的工作 頻率就必須增加。工作頻率愈高，流速量測的解析度就愈高。 本研究探討對象為歷時式超音波流量計，架設於管線外部，以 Z 型 及 V 型為主。圖 2.2 所示為歷時式流量計原理示意圖，固定於管壁外側 的超音波換能器發射超音波斜束脈波(pulse)，沿著管流方向順流(down stream)及逆流(up stream)傳遞至接收換能器。V 型架設方式的超音波發射 器與接收器置於管線同一側，超音波在管線內折返各一趟；Z 型架設法 則的超音波發射器及接收器則分別置於管線兩側，超音波在管線內只傳 遞一趟。超音波順流與逆流傳遞所需的波程時間(time-off-light)分別為 down nL t c vcos   up nL t c vcos   (2.2) 其中，L 為超音波在管線內單趟傳遞的波程距離，其餘參數皆與(1)式相 同。n 為超音波在管線內傳遞的趟次，在 Z 型中，n =1；在 V 型中，n =2。 整理(1)式可以獲得管線流速 v 與t_down及t 量測值的倒數差成比例， _up 1 1 2cos _{down up} nL v t t     _  _   (2.3) 黏性流體在管壁會形成層流(laminar flow)，造成管路截面的波速不 是均勻分佈，截面中心的波速流速最快，因此流量 Q 的計算不單純只是

流速 v 與管路截面積 A 的乘積，還需要乘上一個修正因子 K，該修正因 子是雷諾數(Reynolds number)的函數。因此，流量的計算公式修正為 1 1 2cos _{down up} nL Q AK t t     _  _   (2.4)

2.2 超音波流量計探頭技術

超音波流量計探頭技術採用窄束剪力波技術、寬束藍姆波技術，窄 束剪力波探頭在設計時，會確保入射角大於超音波折射進入管材的臨界 角(critical angle)，讓壓力波發生全反射，僅允許剪力波折射進入管材， 確保單一聲束超音波折射進入管流中，發出之窄聲束如圖2.3所示。窄聲 束探頭在使用時，超音波能量覆蓋的範圍很窄，所以探頭架設的位置不 能偏差太大。寬束藍姆波探頭利用超音波折射進入管材中，經過多次反 射，僅有滿足管件邊界條件的藍姆波得以平行於管件傳遞，折射角為 90，其餘的波動會逐漸消散(圖2.4)，利用藍姆波的特性使超音波能量覆 蓋的範圍增大，可提高探頭架設位置的容錯率。 窄束剪力波探頭的頻寬也較窄，信號振盪次數多，一般僅適用於量 測液體流速。寬束藍姆波技術所採用之超音波探頭具有較寬的頻帶，信 號振盪次數少，激發方式採用單一脈衝，只要探頭的中心頻率落在頻帶 內即可被激發，激發超音波的方式與窄束剪力波技術採用單一頻率之正 弦波或方波不同。寬頻探頭的振盪次數少，不利於流量計的演算程序， 為了改善此一缺點，可使用背襯回波法讓正向傳遞的聲波與背襯介質的 反射回波將形成建設性干涉，強化正向波傳聲波的振幅大小及增加信號 振盪次數。

2.3 超音波探頭的遠近場

超音波換能器內部為積層結構，由壓電材料(piezoelectric material)、 聲阻匹配層(acoustic impedance)、背襯材料(backing material)構成，外部 以外殼(housing)保護。壓電換能器產生之聲波非源於一個點波源，是許 多位於壓電元件表面的小波源發射出來的超音波，互相產生建設性及破 壞性干涉，形成所謂的超音波輻射樣式(radiation pattern)。

超音波聲場可由超音波波前平行或聲場強度得均勻性，區分為遠場 (far field)與近場(near field) 。在近場中，超音波波前會扭曲不平行、聲 場強度不均勻，在近場範圍內，難以採用超音波評估材料特性或流量量 測。近場又可稱作菲涅爾區(Fresnel zone)，圖 2.5 為一個超音波換能器的 示意圖，其中，r 為超音波換能器中心點正 y 方向之距離，超音波換能器 中心軸上的距離 z 可表示為[15] 2 a z S   (2.5) 其中，a 為超音波換能器的半徑，為超音波波長，S 為菲涅爾參數(Fresnel parameter)。當S1，即za2 /，就稱為菲涅爾區，S1時之位置則為 近場與遠場的交界處，將此時的 z 值稱為近場長度，以 N 表示。超音波 換能器近場長度關通常表示如下： 2 4 D N   (2.6) 其中，D 為超音波換能器直徑，為發出之超音波波長。圖 2.6 顯示超音 波探頭產生的聲場振幅之徑向分佈，隨著菲涅爾參數的變化而改變，橫 軸為探頭 y 方向之徑向距離與超音波換能器半徑的比值 r/a，縱軸為振幅 大小。超音波振幅分佈在近場區參差不齊，有數個峰值，於遠場範圍則

呈現高斯分布。於近場與遠場的交界處，也就是近場長度的位置，有最 大強度。在超音波非破壞檢測應用中，缺陷位置落在換能器的近場長度 為最佳檢測條件。流量計在量測時，管線內壁位於近場長度位置也會有 最精確的管流流量結果，所以市面上販售之流量計探頭常會以管子的管 徑做為參考參數，建議使用者依據管徑的大小採用不同型號的探頭。

2.4 非幾何反射聲場

平面聲波在聲阻係數不連續的界面只會發生反射與折射，稱為幾何 聲場。有限幅寬之聲柱(acoustic beam)的幾何反射與滲漏導波折射進入周 遭流體的聲波互相干涉而成之聲場，稱為非幾何反射聲場。

2.4.1 幾何反射

考慮超音波換能器斜向發射一有限寬度的超音波聲柱，當聲柱到達 聲阻不同之兩種材質的界面時，會有部分能量反射、部分能量折射。若 反射聲柱的反射聲場強度分布與入射聲場的強度分佈相同，像是以一法 線做鏡射 (圖 2.7)，則此情形稱之為幾何反射。圖 2.8 所示為 1MHz 之超 音波斜向入射一浸於水中之 3mm 的壓克力平板，假設入射聲場為一高斯 分佈，於兩介質界面發生反射後，反射聲場若為接近高斯分佈之聲柱， 可知在此條件下為一幾何反射場，壓克力平板在此條件下，未發生滲漏 藍姆波。

2.4.2 非幾何反射

若反射聲束的反射聲場強度分布與入射聲柱的強度分佈不相同(圖

稱為 null point。除了主要反射的幾何反射聲場之外，有時會產生一強度 較強或較弱，且延伸至遠離入射聲柱一段距離，此區域通常被稱為拖曳 場(trailing field)。拖曳場是滲漏導波與幾何反射場的干涉結果，此時的反 射聲場可能發生相位平移。當反射聲場具有上述幾何反射場所沒有之特 性時，稱為非幾何反射。 窄束剪力波技術所採用的超音波探頭使聲場強度分布集中，反射聲 場強度分佈盡量接近入射聲場分佈也就是使超音波不發生非幾何反射之 現象。反之，寬束藍姆波探頭則希望發生滲漏藍姆波。研究非幾何反射 發生的條件及參數，有助於選擇超音波流量計探頭適當的設計參數。

2.5 液固耦合平板的反射與穿透係數

本文主要探討超音波流量計引致聲場的研究，分析方法延續 Kundu [10]的方法，使用 Thomson-Haskell 方法分析等向性層狀介質，並將圓管 簡化成二維平板模型。

2.5.1 Thomson-Haskell 方法

考慮一平面聲波在多層之等向性材料(圖 2.12)中傳遞，其中聲波在第 m 層內的波傳位移及應力分量可以勢函數(Helmholtz potential functions)

表示如下：



( 2 1) ( 2)



1 2 1 1 1 ( , ) i m x ym i m ym x exp ( ) m x x C em C em i k x t   _   _       (2.1a)



( 2 1) ( 2)



1 2 2 2 1 ( , ) i m x ym i m ym x exp ( ) m x x C me C me i k x t      _       (2.1b)

其中，平行於介質上下表面波傳的波數為 k，_m、_m分別代表在第 m 層內的縱波及橫波波傳，_m、_m則為在第 m 層內的層狀介質厚度方向 之波數，是聲波的頻率。 定義層狀介質界面連續條件所需之狀態向量(state vector)為 T 2 2 2 ( ) { ( ) ( ) } m x  m x m x S U T (2.2) 狀態向量由位移向量及垂直界面的應力向量所構成， T 2 2 2 ( ) { ( ) ( ) } m x  um x vm x U (2.3a) T 2 12 2 22 2 ( ) { m( ) m( ) } m x   x  x T (2.3b) 應力向量可由勢函數計算而得 2 1 2 ( ) m m m u x x x       (2.4a) 2 2 1 ( ) m m m v x x x       (2.4b) 2 2 2 12 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 m m m m m m x k x x x   _        _      (2.4c) 2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 ( ) 2 2 m m m m m m x k x x x    _        _      (2.4d) 其中，_m為第 m 層介質的剪力模數(shear modulus)，k_2m為第 m 層介質 的波數，第 m 層介質內的狀態向量能以矩陣式表示如下： 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m m x x x x   _{ }   U S E D C T (2.5) 其中， T 1 2 1 2 { } m Cm C m Cm C m      C ，

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 m m m m m m m m m h m m m m m m m h m ik iv ik iv i ik i ik k k k k k k k k v k k k v k     _             _{  }    m E            及主對角矩陣 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 _{( )} ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 m m m m m m m m i x y i v x y m _{i x y} i v x y e e x e e                        D   為確保單值函數(single-value function)的要求，在層狀介質的厚度方向 (x2-direction)波數定義如下： 2 2 1 1 2 2 1 1 , , m m m m m k k k k k k i k k  _{ }      2 2 2 2 2 2 2 2 , , m m m m m k k k k k k i k k  _{ }      (2.6)

建立一傳遞矩陣(transfer matrix)，將第 m 層介質之上下界面 ym、ym-1

處的狀態向量S(y_m)、S(y_m1)予以聯結，其詳細推導如下： (y_m) _{m m}(y_m) _m S E D C S(y_m1)E C_{m m} (2.7) 因此，獲得傳遞矩陣L_m， 1 1 (y_m) _{m m}(y_m) _m (y_m ) S E D E S 1 1 1 (y_m ) _m _m(y_m) _m (y_m) _m (y_m) S E D E S L S (2.8) 將之推廣，可以聯結全部層狀介質之上下表面的狀態向量， 0 1 2 N 1 N N N (y ) _{m } (y ) (y ) S L L L L L S AS (2.9)

方程式(8)的反矩陣 1 ( ) m ym  D 及E 可以解析方式推導獲得， _m1 1 ( ) [ i m mh i m mh i m mh i m mh ] m ym diag e e e e        _ D (2.10)                                                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ) 2 ( 2 1 2 2 ) 2 ( 2 2 1 2 ) 2 ( 2 1 2 2 ) 2 ( m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m k k k k k i k k k i k k k k k k i k k i k k k k k i k k k i k k k k k k i k k i E (2.11) 此處，h_m為第 m 層介質之厚度。透過上下表面的狀態向量及傳遞矩陣的 關係，可推導出反射係數 R 及穿透係數 T 的表示式。

2.5.2 液固耦合平板

超音波流量計量測對象通常為圓管，為了簡化模型，將三維的圓管 假設成二維的液固耦合平板(圖 2.11)，模型中以甘油代替耦合劑，簡化後 的圓管管壁為兩層平板，平板中間的液體為水，第二層平板的下方沒有 任何介質，其中，水與甘油皆假設為理想流體。以 V 型架設為例，超音 波探頭發射的超音波依序先經過甘油、平板、水及平板，在兩個不同介 質的介面上皆會發生反射及透射。第二層平板下方為空氣，聲阻(acoustic impedance)與平板差異很大，可假設為超音波無法傳遞的真空(vaccum)， 超音波抵達模型底部會發生全反射，再經過水、平板及甘油，最後到達 接收探頭。 本研究採用 Thomson-Haskell 方法分析超音波的反射與透射聲場，透 過上下表面的狀態向量及傳遞矩陣，推導出反射係數 R 及穿透係數 T。

假設層狀介質均為等向性固體材料，具有縱波及橫波波數，層狀介質模 型簡化為 LSLSV (liquid-solid- liquid-solid-vaccum)模型。理想流體無法傳 遞橫波，不能直接計算整個管壁與管流模型的傳遞矩陣，因此將超音波 穿透及反射過程分為三階段分析、計算。 第一階段(圖 2.13)為超音波入射至液固耦合平板界面，甘油與平板的 介面上發生反射及折射，聲波行進方向往右為x₁方向，往下為x₂方 向，入射角為_Glycerine。超音波在每個介質不連續的界面，都會因聲波折 射或反射生成縱波及橫波，稱為波式轉換波(mode-converted waves)，平 板的縱波波速較剪力波波速快，縱波折射角_L大於橫波折射角_S。第一 階段模型可視為 LSL 模型，平板的上下方理想流體的 Helmholtz 勢函數 可寫成



0 2 0 2



(1) 0 ( ,1 2) exp( 1) i x i x x x e R e ik x    x₂ 0 (2.11a) (1) 0 ( ,x x1 2) 0   x₂ 0 (2.11b) 2 ( ) (1) 1 2 1 ( , ) i b x H exp( ) b x x T e ik x     x₂ H (2.11c) (1) 1 2 ( , ) 0 b x x   x₂ H (2.11d) 此處，R 與 T 分別代表勢函數的反射係數與穿透係數，H 表示平板厚度。 位於平板上表面(x₂  y₀)的甘油設為理想流體，其位移及應力向量為





T 0 u0 i0(1R) U (2.12a)



₂



T 0  0  0 (1R) T (2.12b) 另一方面，位於平板下表面(x₂ H)之理想流體水的位移及應力向量為





T b  ubx i Tb U (2.13a)



₂



T 0 b   b T T (2.13b)

(2.12)、(2.13)式中的位移u₀、u_b是理想流體與固體耦合界面的滑移(slip) 運動項。 透過方程式(2.9)聯結(2.12)與(2.13)式的狀態向量，可以獲得 11 12 13 14 0 21 22 23 24 0 31 32 33 34 2 2 41 42 43 44 0 (1 ) 0 0 (1 ) bx b b A A A A u u A A A A i R i T A A A A A A A A R T             _      _                         (2.14) 將(2.14)式重新組合成為未知數u₀、u_b、R 及 T 的聯立方程式， 2 11 12 14 2 0 21 22 24 2 31 32 34 2 2 2 0 41 42 44 0 1 0 0 0 0 0 0 b b bx T b b b x b b b b b A i A A u i A i A A i u A i A A T A i A A R                                 _      _{ }            _          (2.15) 為了簡化運算符號，此處採用 δ-矩陣的符號定義， ij kl ik jl il jk A  A A A A ， 則反射係數 R 與穿透係數 T 可以表示如下： 2 23 2 34 4 23 34 0 12 0 14 0 14 0 12 2 23 2 34 4 23 34 0 12 0 14 0 14 0 12 ( ) ( ) ( ) b b b b b b b b i A A A A R k i A A A A                               (2.16) 2 0 0 31 2 23 2 34 4 23 34 0 12 0 14 0 14 0 12 2 ( ) ( _{b b} ) _{b b} i A T k i A A A A                    (2.17) 第二階段(圖 2.14)為超音波從水中入射至平板，發生反射及折射，將 平板下方介質設為真空，耦合條件稱為 LSV 模型。接續第一階段計算的 結果，此時的超音波入射振幅不再是一個實數 1，而為前一階段計算的 複數穿透係數 T，計算時需考慮實部與虛部的相位影響。平板上方的理 想流體及下方介質的 Helmholtz 勢函數可寫成



( 2 ) 2



(2) 0 ( ,1 2) 2 exp( 1) b b i x H i x x x Te  R e ik x    H x₂ H D_inner (2) ( ,x x ) 0   H x H D

(2) 1 2 ( , ) 0 b x x   x₂ D_outer (2) 1 2 ( , ) 0 b x x   x₂ D_outer 此處，R₂與 T 代表管流理想流體之勢函數的反射係數與入射係數，D_inner 及D_outer表示管內徑及管外徑之值。 位於平板上表面(x₂ H D_inner)之理想流體水的位移及應力向量為



_{( )}



T 0( 2 ) b inner b inner i D i H D t ut i Te R e        U (2.18a)



_{2 ( ) ( )}



T 0 2 0 ( i b H Dinner i b H Dinner ) t Te R e           T (2.18b) 另一方面，位於平板下表面(x₂ D_outer)的位移及應力向量為





T b  ubx ubz U (2.19a)





T 0 0 b  T (2.19b) (2.18)、(2.19)式中的位移u_t是理想流體與固體耦合界面的滑移運動項， bx u 、u_bz則代表固體與真空界面切線方向及厚度方向的位移。 透過(2.9)式將(2.18)與(2.19)式的狀態向量予以聯結，可以獲得 11 12 13 14 ( ) 2 21 22 23 24 31 32 33 34 ( ) 2 2 41 42 43 44 ( ) 0 0 ( ) 0 b inner b inner b inner b inner t bx i D i H D b bz i D i H D b u A A A A u i Te R e A A A A u A A A A Te R e A A A A                   _       _{ }    _{ }    _{ }  _{ }  _ _     (2.20) 將(2.20)式重新組合成為未知數u₀、u_bx、u_bz及R₂的聯立方程式， 11 12 ( ) 21 22 31 32 ( ) 2 2 41 42 2 0 1 0 0 0 0 0 0 b inner b inner b inner b inner bx i D i H D b b bz t i D i H D b b A A u i Te A A i e u A A u Te A A e R                          _ _   _ _{ }    _{  } _   _{  }       (2.21)

反射係數R₂、厚度方向位移u 與入射係數 T 關係可以表示如下： _bz 34 2 32 12 12 2 34 2 32 12 12 ( ) ( ) b inner i D b b b b i A A Te R k i A A           (2.22) 2 31 34 2 32 12 12 2 ( ) b inner i D b b bz b b i A Te u k i A A           (2.23) 第三階段之模型(圖 2.15)為接收端與管壁接觸，模型近似第二階段， 皆為 LSV 模型，兩者差別在於第三部分的入射係數是前一階段計算之反 射係數R₂，且入射波波傳方向往x₂方向，相位會與第二階段不同，需 做一些修正。Helmholtz 勢函數改寫成



( 2) ( 2 )



(3) 0 ( ,1 2) 2 3 exp( 1) b b i H x i x H x x R e  R e  ik x    x₂ H (3) 0 ( ,x x1 2) 0   x₂ H (3) 1 2 ( , ) 0 b x x   x₂ 0 (3) 1 2 ( , ) 0 b x x   x₂ 0 位移及應力之狀態向量改為





T (3) 0 0 ( 2 3 ) b b i H i H b u i R e R e    U (2.24a)





T (3) 2 0 0 ( 2 3 ) b b i H i H b R e R e         T (2.24b)





T (3) b  ubx ubz U (2.25a)





T (3) 0 0 b  T (2.25b) 之後計算過程與第二階段相同，反射係數R₃、厚度方向位移ubz與入射係 數R₂的關係式如下： 2 34 2 32 12 12 2 3 34 2 32 12 12 ( ) ( ) b i H b b b b i A A R e R k i A A           (2.26)

2 2 31 2 34 2 32 12 12 2 ( ) b i H b b bz b b i A R e u k i A A           (2.27)

2.5.3 高斯聲柱的穿透與反射聲場

超音波探頭的孔徑幅寬有限，發射的聲場強度在遠場範圍可以假設 為高斯分佈，振幅包絡函數(amplitude modulation function)設為

2 2 1 1 ( ) exp( ) A x  x b (2.28) 此處，basec ，a 為超音波探頭的半徑。參考圖 2.12 所示的卡氏座標 系統，在反射物體的上表面(x2 = 0)的入射聲場函數可以表示為 0( , 0)x1 A x( )exp(1 i k xi 1)   (2.29) 此處，k_i k₀sin₀，k₀  ₀，₀及₀為入射角及入射介質的縱波波速。 0( , 0)x1  函數的空間傅立葉轉換為 1 2 ( ) 0 2 1 1 ( ) ( , 0) ( ) exp 2 i i k k x k k bi k x A x e d x  b     _          __{  }      



(2.30) 由參考文獻[10]可知，第一階段的反射聲場_r( ,x x_{1 2})及穿透聲場_t( ,x x_{1 2}) 函數可以表示為 1 (1) 1 2 1 ( , ) ( , 0) ( ) 2 i k x r x x i k R k e d k     



 (2.31) 1 1 ( ) (1) 1 2 1 ( , ) ( , 0) ( ) 2 i k x H t x x i k T k e d k       



 (2.32) 其中，反射係數 R(k)及穿透係數 T(k)定義如(2.16)、(2.17)式。

第二階段的反射聲場_r( ,x x_{1 2})函數及位移函數積分式u_bz(2)( ,x x_{1 2})可 表示為 1 ( ( )) (2) 1 2 2 1 ( , ) ( , 0) ( ) 2 b inner i k x H D r x x i k R k e d k        



 (2.33) 1 (2) (2) ( ( )) 1 2 1 ( , ) ( , 0) ( ) 2 b inner i k x H D bz i bz u x x k u k e  d k      



 (2.34) 其中，反射係數R k₂( )、 (2) ( ) bx u k 定義如(2.22)、(2.23)式。 第三階段的反射聲場_r( ,x x_{1 2})及厚度方向位移積分式u_bz(3)( ,x x 函數_{1 2}) 能表示為 1 1 ( ) (3) 1 2 3 1 ( , ) ( , 0) ( ) 2 i k x H r x x i k R k e d k       



 (2.34) 1 1 (3) (3) ( ) 1 2 1 ( , ) ( , 0) ( ) 2 i k x H bz i bz u x x k u k e  d k     



 (2.35) 其中，反射係數R k₃( )及厚度方向位移積分式u_bz(3)( )k 定義如(2.26)、(2.27) 式。

第三章 數值結果與討論

本章分析窄束剪力波與寬束藍姆波探頭入射角度對於引致聲場的影 響，根據自由板波的頻散曲線與液固耦合平板之反射係數頻譜，討論影 響滲漏藍姆波發生之參數。再使用波數積分，計算高斯聲柱產生之反射 及透射聲場的強度分佈，由聲場分佈及位移響應判斷是否有滲漏藍姆波 的發生。本章最後以有限元素法計算單晶壓電片及粘著於斜圓柱波導 (wave guide)壓電探頭之模態與阻抗分析。

3.1 液固耦合平板的反射係數

圖 3.1 所示為一沒入水中的 3mm 厚壓克力平板，入射之平面聲波頻 率為 1MHz，以自行發展的數值程式計算反射係數與入射角之關係曲線。 圖 3.2 所示為計算結果，橫軸為入射角，縱軸為反射係數絕對值，在某 些入射角下，反射係數接近零，代表平面波折射進入平板，形成沿著平 板傳遞的板波，部份板波能量經由耦合界面折射進入周遭流體，故稱此 板波為滲漏藍姆波。板波的相速度與入射角及超音波於液體的聲速滿足 斯涅爾定律(Snell’s law)， sin water phase i C C   (3.1) 其中，C_phase為板波的相速度，C_water為水的聲速，_i為入射角。圖 3.3 所 示是依據(3.1)式，將橫軸座標轉換成相速度，重新繪製不同角度入射於 上述平板的聲波反射係數曲線，反射係數值接近零所對應的波速即為滲 漏藍姆波相速度。

3.2 板波頻散曲線

將 3mm 厚的壓克力平板之材料參數代入板波的頻散方程式求解，可 獲得自由板波(free plate waves)頻散曲線(圖 3.4)。將圖 3.3 所示之反射係 數與滲漏藍姆波相速度曲線逆時針方向旋轉 90 度，置於自由板波頻散曲 線旁進行比對，自由板波頻散曲線於頻率 1MHz 的相速度解與圖 3.3 所 示之滲漏藍姆波相速度值相近，兩者之間的差異稱為流體耦合效應(fluid- coupling effect)。依據自由板波的頻散曲線可以大略估算滲漏藍姆波的相 速度，獲得滲漏藍姆波發生時的超音波入射角，作為窄束剪力波與寬束 藍姆波探頭設計的依據。

3.3 液固耦合平板的反射聲場

3.3.1 波數積分

從(2.31)式可知要得到高斯聲柱入射液固耦合平板的反射聲場，需對 1 x 方向之波數作一維的波數積分，被積函數(integrand)包含振盪函數

(oscillation function) exp(ikx1)與非振盪函數。當前者引數內的位置座標 x1

較大時，變數 k 稍微改變就會造成被積函數在正負之間快速振盪，不適 合以一般的數值積分法予以計算。Kundu [10]採用高斯積分法(Gaussian quadrature)計算反射聲場，計算效率較低。本研究則使用適應性積分法

(adaptive integration) [16]，先將非振盪函數等間距以二次曲線擬合(curve fitting)，再計算擬合函數與振盪函數乘積的積分確切解。圖 3.5 說明本研 究採用之適應性數值積分與高斯積分的差異。以高斯積分法對於振盪函 數積分時，會將積分範圍等分成很多小段，若積分值未收斂，則將全部 積分範圍繼續等分，直到收斂為止。高斯積分的積分點為非等距離分佈，

每一次積分都得重新計算，無法使用前一次積分好的計算結果，故計算 量及時間大幅增加，效率低。適應性積分在計算時，先將積分範圍分成 幾個區間，比較積分區間不分段與切成四段之結果，若兩者差別不大則 停止，差別很大則將已切成四段的每一小段再分為四段，比較該小段於 前一次積分的結果與細分成四段的積分結果，若兩者差別不大，則停止 該小段的數值積分，否則繼續分割。此方法的好處是積分點等距離分佈， 前一次分割的積分點函數值可以保留至下一次計算，繼續使用。在振盪 函數變化較急遽的地方自動多取一些點，在變化不大的部分則取較少的 點，可有效率獲得精確的數值結果。

3.3.2 反射聲場比較

為了證實數值方法之正確性，本研究比較 Kundu [10]的結果與適應 性積分法計算 LSV 及 LSL 耦合模型(圖 3.6)之反射聲場分佈。將一頻率 3MHz、半寬 20mm 的高斯分佈聲柱傾斜入射厚度 1mm 的鋁板，入射角 為 14.2 度，其他參數如表 1 所列。文獻的結果如圖 3.7 所示，橫軸為 x/a 之比值，縱軸為聲場大小，曲線 1 為入射聲場強度分佈，曲線 2、3 分別 為 LSV、LSL 模型的反射聲場強度。圖 3.8 所示為適應性積分獲得之反 射場強度分佈，黑色虛線代表入射聲場強度，紅及藍線為 LSV、LSL 模 型的反射聲場強度。比較兩者的反射聲場分佈情形，文獻假設高斯分佈 聲柱從右邊斜向入射於平板，朝x₁方向傳遞，而本文推導的式子則假設 超音波由左邊斜向入射，往x₁方向傳遞，故反射聲場的分佈會與文獻的 結果呈現左右對稱，數值結果驗證適應性積分法的準確性。接下來，皆 採用適應性積分法計算反射及穿透聲場強度分佈。

3.4 多層材料的反射係數及聲場

超音波流量計探頭產生的聲場分佈是一個固液介質耦合的聲波波傳 問題。超音波聲柱自發射探頭折射進入高分子管材(例如：壓克力、PVC 等)或不銹鋼管材，穿透過管內流體或於管壁內側反射，再依序折射進入 管壁及接收探頭。整個波傳過程延續 2.5.1 節內容，將過程分為三階段來 討論。選取參考的市售窄束剪力波與寬束藍姆波探頭之超音波頻率及入 射角，討論各階段及整體的反射、穿透聲場及位移響應分佈。

3.4.1 窄束剪力波與寬束藍姆波探頭

市售之管夾式超音波流量計探頭依工作原理可分為窄束剪力波與寬 束藍姆波兩種，本研究各選取一組探頭為代表予以討論。窄束剪力波探 頭選用 ACTSONIC 超音波流量計探頭，型號為 TM-1 (圖 3.9a)，中心頻 率為 1 MHz，尺寸為 60×45×45 mm。寬束藍姆波探頭選用 Fluxus M 系列 氣體流量計超音波探頭，圖 3.9b 所示為該項產品之實體照片，尺寸分別 為長 72 mm、高 40 mm、寬 27 mm，頻率同樣為 1 MHz。 圖 3.10 所示為窄束剪力波探頭，主動振盪元件為一圓碟狀壓電陶 瓷，黏合於一傾斜圓柱波導的末端，圓柱波導的前端磨平，與待測物體 表面接觸，圓柱波導於前端投影成一橢圓形，短軸與長軸的比值 D/L 等 於傾角α 的正弦函數，或為入射角 的餘弦函數。ACTSONIC 廠牌之超 音波流量計探頭的結構與圖 3.9a 相似，其中，圓柱波導的直徑投影後為 橢圓短軸 D = 29 mm，橢圓的長軸 L = 39 mm，傾角 α = sin-1 (29/39) = 48o、 入射角θ = 42o_{。圖 3.11 所示為以數位 X 光檢測設備拍攝寬束藍姆波探頭} 結構，探頭的右端連接一屏蔽之同軸信號線。影像中的白色影像代表金 屬材質或壓電陶瓷，深黑色代表高分子材料，顏色淺灰者代表矽膠。探

頭內部置一楔型塊，楔塊末端黏貼一壓電陶瓷單晶，在 X 光影像中呈現 白色。壓電晶片邊緣的上下表面各錫銲一條導線，與阻抗匹配電阻及信 號線連接，後者以螺栓固接於楔型塊上方。在壓電晶片後方另置有一金 屬反射層，兩者之間夾著一個聲阻匹配層，X 光影像呈現淺灰色。壓電 晶片與探頭底部平面的夾角為 52.6o_{，故探頭的超音波入射角為 52.6} o_。 由幾何關係估算窄束剪力波探頭與 X 光拍攝得知寬束藍姆波探頭之 入射角，根據斯涅爾定律，入射介質的聲速與入射角正弦函數的比值等 於折射介質聲速與折射角正弦函數的比值。

sin sin sin

i S L i rS rL c c c      (3.2) 此處，c_i、c_S、c_L分別為入射介質的壓力波速、折射介質的剪力波速、 折射介質的壓力波速，_i、_rS、_rL為入射角、剪力波對應的折射角、壓 力波對應的折射角。 假設探頭內部波導的聲速與高分子材料 ABS 的聲速相等，將表 1 所 列之材料參數代入斯涅爾定律，計算參考探頭發射之超音波折射進入不 同介質的折射角度(表 2)。

3.4.2 模型各階段的反射與穿透係數

圖 3.12、圖 3.13 所示為超音波穿透耦合劑(甘油)，入射下方與水耦 合之 3 mm 厚的不銹鋼、壓克力平板(圖 2.13)，不同入射角所對應之穿透 及反射係數。黑色、紅色線是板材為不鏽鋼、壓克力的穿透及反射係數， 橫軸代表超音波在甘油介質的入射角度。穿透係數值增大的角度與反射 係數值減少的角度相對應，分別不會超過 1。本研究以勢函數推導反射 與穿透係數，而不是以能量表示，故反射與穿透係數的總和不會等於 1。

由 3.1 節的討論知道反射係數其值接近零時，會有滲漏藍姆波發生。 窄束剪力波與寬束藍姆波探頭於甘油介質的折射角度分別為 34.1°、 41.9°，對應圖 3.13 所示，入射角於 34.1°及 41.9°附近，不鏽鋼板有 2 個 凹陷位置分別為 36.4°及 43.5°，壓克力板則只有 43.7°有凹陷。從(2.31)、 (2.32)式知道高斯聲柱的穿透及反射聲場與平面聲波的穿透及反射係數 有關，上述係數乘上入射聲場的空間傅立葉轉換，再對波數做積分即為 穿透及反射聲場。 超音波流量計採用有限幅寬的探頭，接收端感測的訊號強度近似於 1 2 ( , ) bx u x x ，需先計算如圖 2.11 所示平面聲波入射所產生的位移u_bz(2)、 ) 3 ( bz u ，圖 3.14、圖 3.15 所示為平面聲波入射管流數值模型第二階段的反 射係數與位移函數 (2) bz u ，假設下層管壁的下方沒有介質，超音波無法傳遞 而發生全反射，因此，第二階段之反射係數與第一階段穿透係數曲線(圖 3.12)有相同的數值，但圖中呈現的是大小，波在傳遞時會有相位的改變， 兩者仍有相位的不同，相位不同會影響波數積分後的結果。 超音波於管流數值模型下層管壁反射返回上層管壁時，與第二階段 發生相同情形，反射係數與位移函數曲線將與第二階段相同(圖 3.14、圖 3.15)，相位仍有改變。後續小節將探討對應甘油介質之入射角度為 34.1 °、41.9°時，不同管壁材料之聲場強度分佈及位移響應。

3.4.3 反射聲場分佈及位移響應

考慮一幅寬 12.5 mm 的高斯聲柱(相當於直徑 25 mm 的超音波探頭) 穿透過耦合劑(甘油)，傾斜入射於 3 mm 厚、下方為水之不銹鋼、壓克力 板(圖 2.13)。延續 2.5.3 節推導之積分式，以適應性積分法數值計算超音 波穿透管壁折射進入管內流體的反射及穿透聲場強度分佈。在圖 3.16 及

圖 3.17 中，黑色虛線代表入射聲柱的聲場強度分佈，藍色、紅色實線代 表甘油入射角 34.1o_、41.9o_{對應之聲場強度。寬束藍姆波探頭的入射角較} 大，所產生的反射及穿透聲場都具有明顯較寬的強度分佈，意味著超音 波有較寬廣的面積可以穿透管件，折射進入管內流體。 圖 3.18 及圖 3.19 的下圖所示為幅寬 12.5 mm 的超音波探頭的聲柱穿 透過 3 mm 厚之不銹鋼、壓克力上管壁，折射進入管內流體，再於下管 壁反射，最後在上管壁內側的反射聲場強度分佈，上圖則表示各自的相 位。藍色、紅色線代表超音波在甘油的入射角 34.1o_、41.9o_{對應之聲場強} 度，圖中顯示聲場強度分布較圖 3.16、圖 3.17 所示往+x 方向偏移一段距 離，這是超音波在斜向入射時，滲漏藍姆波的拖曳場影響所致。無論管 壁材料是不鏽鋼或是壓克力，當入射角為 41.9o_{時，滲漏藍姆波引致的非} 幾何反射現象均較 34.1o_{明顯，聲場拖曳較長。若量測對象為管壁 3mm} 板材時，入射角 34.1o_{適合用作窄束剪力波探頭之入射角度，相位與超音} 波抵達該位置時間有關，由圖得知並不是所有的聲波皆同時抵達。 若想與實驗量得之超音波振幅大小分佈比較，則需與接收位置於厚 度方向的位移響應比對，而不是與聲場分佈相比，圖 3.20 及圖 3.21 下圖 所示為不同接收位置下的厚度方向位移響應，上圖一樣表示各自的相 位，超音波在甘油的入射角 41.9o_{可收到的位移響應範圍較大，意味著有} 明顯的滲漏藍姆波發生，於不鏽鋼板材無論是 34.1o_{或 41.9}o_{皆可以看到} 有滲漏藍姆波的發生，但 34.1o_{時較不明顯，壓克力板材則於 34.1}o_時位 移響應呈高斯分布，後續的分析分別設定窄束剪力波與寬束藍姆波探頭 於甘油介質之入射角度為 34.1o_、41.9o_{。非幾何反射聲場的發生與入射角} 度有關，此入射角度應是一個範圍，以窄束剪力波探頭為例，設計時希 望聲場強度分佈呈現高斯分佈，聲束越集中越好，探頭的入射角應避開

滲漏藍姆波發生的入射角度，而不同的管壁材料、管厚，滲漏藍姆波出 現的入射角範圍也不同，因此，超音波流量計探頭設計時需先選定量測 的材料與管徑，再根據需求選用寬束或窄束探頭，決定探頭的入射角。

3.4.4 流體溫度對聲場強度分佈的影響

超音波流量計探頭在使用時，需考慮量測之管材、管徑及流體種類， 假設流體為水，溫度改變會影響超音波在管內流體中傳遞的聲速，表 3 是水在 25°C 與 50°C 的聲速對照表。圖 3.22、圖 3.23 分別為窄束剪力波 探頭及寬束剪力波探頭發射之超音波入射於壓克力管材時之位移響應分 佈，紅色線為流體溫度 25°C 的聲場強度分佈。溫度從 25°C 改變為 50°C， 流體聲速增加了約 3%，但接收位移響應分佈幾乎一致，只有在水平方向 上會有些偏移，這是因為溫度升高時，超音波於水中之波速增加，使得 在水平方向分量增加所致。 圖 3.24、圖 3.25 分別為窄束剪力波探頭及寬束剪力波探頭發射之超 音波於不鏽鋼管材時之聲場強度分佈，位移響應分佈只在某些部分有些 微不同。與壓克力板材結果比較，可知流體聲速改變對兩者的位移響應 分佈皆影響不大，幾乎可以忽略，唯需注意的部分是當溫度變化較大時， 需修正探頭架設的位置。整理上述結果，流體溫度改變造成的聲速變化， 並不會使位移響應的強度分佈發生劇烈改變。

3.5 超音波流量計之入射角選定

綜合以上結果得知，超音波流量計探頭在設計時須考慮相當多的參 數，市售超音波流量計探頭通常分成幾種類型，依據需求選用不同的探

選為入射角，入射角與不同管材及厚度皆與入射角息息相關，本節將探 討不同角度之超音波聲柱照射 3mm 壓克力及不銹鋼管壁之位移響應分 佈，解釋入射角度選擇的影響。 參考市售窄束剪力波與寬束藍姆波探頭的入射角分別為 34.1 及 41.9 度，取入射角度範圍為 32 至 46 度，在這兩個角度附近觀察位移響應之 分布，意味著在這個範圍內將發生幾何與非幾何反射場的變化。圖 3.26、 圖 3.27 及圖 3.28 為不同入射角度之超音波照射 3mm 壓克力管壁後，位 移響應強度分佈，圖中不同顏色線旁邊的說明數字代表超音波於甘油介 質的入射角度。圖 3.26 可看出超音波聲柱照射壓克力管壁時，位移響應 呈現高斯分布，並沒有發生拖曳區與空白區等非幾何反射現象，位移響 應強度分佈集中，只有振幅不同及因入射角度改變產生的水平方向偏 移，此結果可推論設計窄束剪力波探頭以量測壓克力管材時，此範圍之 角度皆合適，只要於此範圍挑選振幅相對大之入射角度即為最佳入射 角。圖 3.27、圖 3.28 顯示有滲漏藍姆波發生，於某幾個特定入射角，位 移響應強度分佈於某幾個入射角會有側峰出現且會沿水平方向向外延 伸，其中 37 及 38 度的位移響應為高斯分佈，也可選為窄束剪力波探頭 之角度，整體比較後，可知鄰近 41.9 度之位移響應因滲漏藍姆波發生， 導致分佈的範圍較大，又寬束剪力波探頭於設計時，就是希望超音波入 射的聲場分佈範圍大一點，從位移響應強度分佈看出 41.9 度是寬束藍姆 波探頭發射之超音波，入射於壓克管材較好的入射角度，但除了考慮壓 克力管材之外，還須考慮適合其他常用管材的入射角度。 圖 3.29、圖 3.30、圖 3.31 為不同入射角度之超音波照射 3mm 不鏽 鋼管壁後，所接收之聲場強度分佈，與壓克力管材有不同之處，不鏽鋼 管材於 32 至 36 度的入射角度範圍，出現了滲漏藍姆波現象，因此，管