103年數學科學科能力測驗試卷-2

103 年 數學科 學科能力測驗試卷

__________科__________班　學號__________姓名_____________

_

總

分

　

　

　

第 ﹕選 60 分 一部分 擇題（占 ） 一 30 分 ﹑單選題（占 ） 說 ﹕第 1 題 6 題 5 明 至第 ﹐每題有 個 5 項當得﹐者對答題各﹒項選的適﹐選或確正是個一有只中其最 分 個算計分零以題該﹐者項選一﹔於多記畫或答作未﹑錯答﹒ ( 　 )1. 請   　 問下列哪一個選項等於 5 3 log 2    ﹖ (1)

 

3

5log 2 　 (2)3 5log 2 　(3)5log 2 log3 　

(4)5 log 2 log3







　(5)_{3 log 2}5 _{﹒ ﹝第 CH3﹞ 一冊}

( 　 )2. 令A



5,0,12



﹐B



5,0,12



為 P 為xy 平 　 ﹐令且空點兩之中間標坐 面上滿足 13 PA PB  的 P ﹖ (1)



5,0,0



　(2)



5,5,0



　 中哪點﹒請問下列一點個選項為能可的 (3)



0,12,0



　(4)



0,0,0



　(5)



0,0,24



_﹒ ﹝第 CH1﹞ 四冊 ( 　 )3. 在

 

1,1 ﹐



1,1



﹐



 1, 1



及



1, 1



等 　 ﹐以坐平面上標 正與﹐形方頂的點為點個四圓 2 2 2 2 1 0 x y  x y  有 (1)1個 (2)2 個 (3)3個 (4)4 個 (5)0 個 點﹖幾個交　 　 　 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 三冊 ( 　 )4. 請 4x12 2x 的 x 所 　 式不值對絕足滿問等 實數 為項選個一哪列下度形長其﹐間區的成﹖ (1)1　 (2)2 　(3)3　 (4)4 　(5)6 ﹒ ﹝第 CH1﹞ 一冊 ( 　 )5. 設



1 2



6 a b 2 ﹐ a ﹐b 為 b 等 (1) 　 中其 數整問請﹒ 於列哪一個選項﹖下 6 6 2 6 3 6 0 2 2 2 4 2 6 C  C  C  C 　(2) 6 6 2 6 1 2 3 2 5 C  C  C 　 (3) 6 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 C  C  C  C  C  C  C (4) 6 2 6 3 6 1 3 5 2C 2 C 2 C 　 (5) 6 2 6 4 6 6 6 0 2 2 2 4 2 6 C  C  C  C ﹒ ﹝第 CH2﹞ 二冊 ( 　 )6. 某 70%﹐可 A 治 　 病第疾占類一﹕型類種兩為分可 物由藥藉 療﹐其每一次療程的成功率為 70%﹐且 A 一﹔物藥﹐類二第為餘其立次獨每互否與功成的程療相 治 A 方患物藥用且﹐型類的病疾此所式療患道知不在﹒效無全完者 第 (1) 次下件機率最接近列的哪一個選項﹖　條功療下程失敗的情況﹐一進行第二次療程成 0.25 　(2)0.3　 (3)0.35 　(4)0.4 　(5)0.45 ﹒ ﹝第 CH3﹞ 二冊 二 30 分 ﹑多選題（占 ） 說 7 題 12 題 5 明：第 至第 ﹐每題有 個 所項獨立判定﹐有之選項均答對者﹐選題選一項﹐其中至少有個各是正確的選項﹒得 5 分 1 個 3 分 2 個 1 分 2 錯答﹔ 項﹐得選者 錯答﹔ 選者﹐得項 ﹔答錯多於 個 者算計分零以題該﹐答選作未均項選有所或項﹒

( 　 )7. 設 x 坐 y坐 　 平上﹐標坐面 標與 圖形上有選格子點的項選出點請﹒點子格為稱的數整為皆標﹕ (1)_{y x} 2 _(2)3y_9x_{1　 (3)y}2 _{  x 2 　(4)x}2_y2 _3　(5) 9 1 log 2 y x _﹒ ﹝第 CH2﹞ 三冊 ( 　 )8. 關 (1) 13 3.5 　(2) 13 3.6 　 (3) 　 選式於下列不等請﹐出﹕項選的確正 13 3 10 　 (4) 13 3 16 　(5) 1 0.6 13 3  ﹒ ﹝第 CH1﹞ 一冊 ( 　 )9. 一



3,6



出



_v 　 平由面體物坐標的中點 發﹐沿著向量 所 (1)



_{v }



_{1, 2}



　 (2) 以選的方向持續前進﹐可﹕項的進確正出選指﹒限象一第入請



1, 1



v  



　(3)



_{v }



_0.001,0



　 (4)



_{v }



_0.001,1



　(5)



_{v  }



_0.001,1



﹒ ﹝第 三冊 CH3﹞ ( 　 )10. 設 f x

 

為 f

 

1 0 ﹐f

 

2 0﹐ f

 

3 0﹒ 　 係數實知已且﹐式項多次二 令

 

  

2

 

3



g x  f x  x x ﹐ (1)y f x

 

正確的選項﹕選請出 的 (2)y g x

 

的 (3)g

 

1  f

 

1 線物形圖是開口向下的拋 物線拋的下向口開是圖形 (4)g x

 

0 在1 與2 之 (5) 若 為f x

 

0的 實根個一有恰間 最大實根﹐則

 

0 g   ﹒ ﹝第 CH2﹞ 一冊 ( 　 )11. 設a11 且a1 ﹐a2 ﹐a3 ﹐ (1) 若a100 0 ﹐ 　 的﹕項選差確正出選請﹒列數等為… 則 1000 0 a  (2) 若a100 0 ﹐ a1000 0 (3) 若a10000 ﹐ a1000 (4) 若a10000 則 則 ﹐ a1000 (5)a1000a10 10



a100a1



﹒ ﹝第 CH1﹞ 二冊 則 ( 　 )12. 　 所 謂 某 個 年 齡 範 圍 的 失 業 率

該 年 齡 範 圍 的 失 業 人 數 與 勞 動 力 人 數 之 比 ﹐ 以 百 分 數 表 個表為去年某國四年﹒齡範圍的失業率下）達時（進行統計分析﹐示所有年齡以整數表﹐ 其 ﹒ 中的年齡範圍有所重疊 年 齡 範 圍 （ 歲 ） ～ 44 ～ 39 ～ 44 ～ 49 失 %）12.66 9.80 13.17 7.08 業率（ 請 (1) 在 40 ～ 44 選上根﹕項據的正出選表確 圍以﹐中個範齡年四述上 歲 (2)40 ～ 44 歲 45 ～ 49 歲 (3)40 ～ 率為最高業失的 於多數人動勞力 勞動力人數 49 歲 13.17 7.08 % 的失業率等於 2        (4)35 ～ 39 歲 40 ～ 44 勞動力人數少於

歲 (5) 如 40 ～ 44 歲 45 ～ 49 歲 勞動力人數 果 則﹐低降率業失的 的失業率會升高﹒ ﹝第 CH4﹞ 二冊 第 ﹕選 40 分 二部分 填題（占 ） 說 ﹕第 A至 H題 5 分 明 答給對全完題每﹐ 完分給不對答全答未﹐扣倒不錯﹐﹒ A. 設 O 之 24 ﹐_OC26 ﹐_OC 交 O 於A 點 _CD 切 O 於D 點 B 為A 圓 徑半為 圓 ﹐ 圓 ﹐ 點 _OD 的 _AB 　 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 三冊 到 圖﹐則下如﹐足垂 　　　 為最簡分數）（化 A O B C D

B. 坐 y ax b  （ a ﹐b 為 _{y x} 2 面直線平若﹐上標 中其 實）與二次函數數 的 y



x2



2 12的 a 　 ﹐b 數函於一點﹐亦恰二形次圖與交 形圖則﹐點於交恰一 　　　 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 一冊 C. 小 A 距 6 公 B 相 12 鎮 筆道路一離直 的鎮小道上路與並里﹐ 距 公 級使場市 與其 A﹑B 等 場市級 今此在里欲超家一蓋上路道﹒ 距﹐則此超 與 須 A 的 為　 距離 　　　 公 ﹝第 CH1﹞ 三冊 里﹒（化為最簡根式） D. 坐 A



2,0,0



﹐B



3,4,2



﹐C



2,4,0



與D



1,3,1



﹒ P 在 CD 四空標間中有點 若點 直線 上 變 內積 ﹐動 _{PA PB}

 

_ 之 　 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 冊四 則 值為能可小最 　　　 為簡分數）化（最 E. 設



_u ﹐



_v 為 1 的

 

_{u  v} 與



_u 的 個長兩為皆度 若量向﹒ 夾 為 內 為 角 積 75 ﹐



_u 與



_v 的 則 ﹒ （ ﹝第 CH3﹞ 三冊 化為最簡根式） F. 一 房 個 間 的 地 面是由 12 個 正 方 形 所 組 成 長形方用 磚瓷鋪 地 形長方 兩蓋個相 鄰 即 ﹐ 如 下圖﹒今 想 滿 ﹐已知面一每 塊 磚 可瓷 以 覆 的正方形﹐ 或 ﹐ 6 塊 滿 則用 瓷磚鋪 房 地 法 間 面的方 有　 種 　　　 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 二冊 G. 已 a b 知 c d       是 一個 轉 移 矩 ﹐並且其行列式 陣 （ 值 ）為 5 8﹐ a d  　 ﹒ 則 　　　 （化為最簡分數） ﹝第 CH3﹞ 四冊 H. 如 rABC 的 圖﹐正 邊 為長 1 ﹐       1 2 3 15 ﹒ sin15 6 2 且並 已知 4    ﹐ rDEF 則正 的 邊 為 　長 ﹒ ﹝第 CH1﹞ 三冊 　　　 （化最簡根式）為

A A B C D E _F 1 2 3

答

案

　

第 ﹕選 一部分 擇題 一 ﹑單選題 　 1. (5) 　 2. (4) 　 3. (2) 　 4. (4) 　 5. (2) 　 6. (2) 二 ﹑多選題 　7. (1)(3)(5) 8. (1)(4) 　 9. (2)(3)(4) 　10. (3)(4)　 11. (2)(3)(5) 12. (1)(4) 第 ﹕選 二部分 填題 　 A. 120 13 　B. a6 ﹐b 9　 C. 4 3 　D. 5 4 　E. 3 2  _F. 11 　G. 13 8 　H. 6 2 2  2

解

　

析

第 ﹕選 一部分 擇題 一 ﹑單選題 1. 利 用 公 式 log t log ar t ar ﹐ 得  ₃5 5 log 2_  _ 3 log 2   ﹒ 故 選 (5)﹒ 2. 設P x y



, ,0



﹒ 因 為PA PB 13 ﹐ 所以





2 ₂





2 ₂ 5 144 5 144 13 x y   x y   ﹐ 即









2 ₂ 2 ₂ 5 25 5 25 x y x y           ﹒ 兩 式相 減 ﹐得



_x5

 

2_{ x5}



2_x2_{10x25x}2_{10x25 x 0 ﹐} 代 入 式得 即 原 y0 ﹐ P



0,0,0



﹒ 故 選 (4)﹒ 3. 將 圓 式﹐得 改寫 成標 準



x1

 

2 y1



21 ﹐ 得 心 知其圓 為



 1, 1



﹐ 1 ﹒ 半徑為 由 下圖得知此圓與正方形 共 有2 個 交點﹒ x y O (,1) (,-1) (-1,-1) (-1,1) 故 選 (2)﹒

當x3 時 原 ﹐ 式 為 即 4x12 2 x ﹐ x6 ﹐ 3 x 6 ﹒ 得 當x3 時 原式 



4x12



2x ﹐ x2 ﹐ ﹐ 為 得 即 2 x 3 ﹒ 綜 上述  ﹐ 2 x 6 ﹐ 6 2 4  ﹒ 合  得 此區間長度為 故 選 (4)﹒ 5. 利 用 ﹐得 二 項 式定 理





6

   

2

 

3

 

4

 

5

 

6 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 1 2 C C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2



6 6 2 6 3 6

 

6 6 2 6



0 2 2 2 4 2 6 1 2 3 2 5 2 C C C C C C C        _﹐ 即b C 162C3622C56 ﹒ 故 選 (2)﹒ 6. 依 題 得下圖 ﹕ 意 某疾病 70% 30% _100% 第一類 第二類 失敗 成功 失敗 失敗 30% 70% 100% 失敗 成功 30% 70% 根 義 據條件機率的定 ﹐ 得



|



P 第二次成功 第一次失敗 P



_

_



P   第一次失敗 第二次成功 第一次失敗 70% 30% 70% 70% 30% 30% 100%       49 170  0.288  ﹒ 故 選 (2)﹒ 二 ﹑多選題 7. (1) 有

 

1,1 ﹒ 格子點 (2) 若x ﹐y為 3y 是3 的 整數﹐則 倍 倍 ﹐ 但數 9x1 不 3 的 ﹐數 是 得 知 圖形無格子點﹒ (3) 有



3,1



﹒ 格子點 (4) 兩 非 整數的 為 因 為但 負 和 3 之 0 3 與1 2 兩 2 ﹐3 有﹐形情 種﹐ 皆 非 完全 平 方 數﹐所以圖形無格子點﹒ (5) 有

 

3,1 ﹒ 格子點 故 選 (1)(3)(5)﹒

8. (1) 因 為 _3.52 _{12.25 13 ﹐ 13 3.5 ﹒ 所以} (2) 因 為 _3.62 _{12.96 13 ﹐ 13 3.6 ﹒ 所以} (3) 因 為 即



3 10



2 13 2 30 13  ﹐ 3 10 13 ﹐ 13 3 10 ﹒ 所以 (4) 因 為



13 3



2 16 2 39 16  ﹐ 13 3 16 ﹒ 所以 (5) 1 13 3 3.7 1.8 6 0.6 10 10 10 13 3        ﹒ 故 選 (1)(4)﹒ 9. 各 略 向量的 圖 如 下 （ 其 通原過 中



_{v }



_{1, 2}



的 點O ） 向方 ﹕ x y O v =(-0.001,1) v =(0.001,1) v =(0.001,0) v =(1,-2) v =(1,-1) (-3,6) 由 (2)(3)(4) 正 上圖得知﹐選項 確﹒ 10. 依 題 可得 略 意 y f x

 

的 圖如 下 ﹕ x 1 2 3 (1) 由 y f x

 

是 得﹐圖上知 拋線物開的上向口﹒ (2) 由 (1) 知 f x

 

是 的式項多次二數正為係項次二﹐ 因 此g x

 

也 是 二 次 次﹐式項多二的正為數係項 即y g x

 

的 圖形是開口向上的拋物線﹒ (3) g

 

1  f

  

1  1 2 1 3

 

 



f

 

1  2 f

 

1 _﹒ (4) g

 

1 _﹐g

 

2 _﹐g

 

3 的 負 正 情 形 如 下 ﹕

 

 

 

 

 

 

1 1 2 0 2 2 0 0 3 3 0 0 g f g f g f           _{  }  ﹐ 利 用 根定 理推 得﹐二次方程式 勘 g x

 

0 在

 

1,2 及

 

2,3 各 區間 恰有一實根﹒ (5) 由y f x

 

的 略 又 為 因 圖得 2  3﹒ f

 

 0 ﹐ 知 所以

 

  

2

 

3

 

2

 

3



0 g   f            _﹒ 故 選 (3)(4)﹒ 11. 設 d ﹒ 公差為 利 用公 an  a1



n1



d ﹐ 式 得 100 1 99 a   d _﹐a1000 1 999d ﹒

(2) 若a100 1 99d 0 ﹐ 即 1 99 d   ﹐ 1000 所以 999 1 999 1 0 99 a   d   ﹒ (3) 若a1000  1 999d 0﹐ 即 1 999 d   ﹐ 100 所以 99 1 99 1 0 999 a   d    ﹒ (4) 反 ﹕當 d  0.01 時 a1000  1 9.99 8.99 0 ﹐ 例 ﹐則 但 a100  1 0.99 0.01 0  ﹒ (5) 因 為 a1000a10  



1 999d

 

 1 9d



990d ﹐ 　 10



a100a1



10 1 99



 d 1



990d ﹐ 　 所 a1000a10 10



a100a1



﹒ 以 故 選 (2)(3)(5)﹒ 12. 設 各範圍的勞動人數如下﹕ 年 齡 範 圍 （ 歲 ） ～ 39 ～ 44 ～ 49 勞 動 人 數 （ 人 ） a b c (1) 在 13.17% 最 失業率中﹐以 大﹒ (2) 僅 由 意 題 ﹐不能確 b c ﹒ 定 (3) 40 ～ 49 歲 b 13.17% c 7.08% 的失業率為 b c     ﹐ 不一定等於 13.17 7.08 % 2        ﹒ (4) 因 為 a 9.80% b 13.17% 12.66% a b    _  ﹐ 即





9.80a13.17b12.66 a b 2.86a0.51b _﹐ 所 a b ﹒ 以 (5) 僅 由 意 推 題 ﹐不能 得此 結論 ﹒ 故 選 (1)(4)﹒

26 24 240 120 10 26 13 OC OA AB CD  AB  AB   ﹒ B. 由 聯 立方 y ax b₂ 程 式 y x       ﹐ 得 2 ₀ x ax b  ﹐ 其 別 判 式 為

 

_a 2_{    4 1}

 

_{b a}2_{4b ﹒} 因 為 式為 即 兩 圖 形恰交於一點﹐所以判 別 0 ﹐ _a2_{4b0 ﹒} 再 由 立方程 式 聯





2 2 12 y ax b y x         ﹐ 得





2 2









2 12 0 4 16 0 x  ax b  x   a x b  ﹐ 其 別 判 式 為



_{ 4 a}



2_{  4 1 16}



_b



_a2_{8a4b48 ﹒} 因 為 別 即 兩 圖 判以所﹐點一於交恰亦形 式為 0 ﹐ 2 8 4 48 0 a  a b  ﹒ 解 2 2 4 0 8 4 48 0 a b a a b           ﹐ a6 ﹐b 9﹒ 得 C. 設 級市 超 場 蓋 在 P 點 PA PB x  ﹐ ﹐且 如下圖所示﹒ B 12 A A H P 6 x x 6 3 - x 利 用 理 畢氏 定 ﹐得 _{HB 12}2_62 _{6 3 ﹐ HP}_{6 3}_{x﹒ 則} 再 用 利 畢 氏 定 ﹐得 理





2 2 ₆2 _{6 3} 2 _{36 108 12 3} 2 x   x x    x x ﹐ 解 得 144 12 4 3 12 3 3 x   ﹐ 即 市 超 與A 的 4 3 公 距離為 里﹒ D. 利 用 數式 直 線 參 _CD



﹕ 0 2 4 , z t x t y t t              ﹐ P



 2 t,4t t,



﹒ 設點 因 為



4 , 4 ,

 

5 , ,2



PA PB

 

       t t t t t t



4 t

 

5 t

 

4 t t

   

t 2 t



         2 3t 15t 20    2 5 5 3t     ﹒

所 5 以當 2 t 時 _{PA PB}

 

_ 有 5 ﹐ 最小值 4 ﹒ E. 依 題 ﹐ 用向量 示圖下得﹐﹒表 意 利 加法 的幾 何 75 75 150 u v u v+ 推 得 夾 為 角



_u 與



_v 的 150 ﹒ 故 1 1 cos150 3 2 u v     

 

﹒ F. 原 圖 形 組 論 ﹕討 形 所 是 由個兩 2 3 矩 成﹐分兩 類 排 出 形 兩 ﹕ 個 2 3 矩 排 出 形 底 ﹒ 一 有 個 2 3 矩 下3 種 法 方 利 用 出個兩 形 ﹒ 有 乘法 ﹐ 排得 2 3 矩 3 3 9  種 法 原 方 理 沒 有 出 形 ﹕ 排 2 3 矩 排 有 法 底 下2 種 ﹒ 故 9 2 11  種 法 共 方 ﹒ G. 因 為 轉移矩 ﹐所以 是 陣 c 1 a ﹐b 1 d ﹒ 利 用 義 行 列 式的定 ﹐得 1 5 1 8 a d a d   



1

 

1



5 8 ad a d     



1



5 8 ad a d ad       1 5 8 a d      13 8 a d    _﹒

H. 在rABE 中 ABE    60 15 45 ﹐AEB180     15 45 120 ﹐ ﹐

利

用 弦 理 正 定 ﹐得 1

sin15 sin 45 sin120

BE _ AE _

即 6 2 sin15 ₄ 6 2 sin120 3 2 3 2 BE        ﹐ 2 sin 45 ₂ 2 sin120 3 3 2 AE     ﹒ 又 為rABE 與rCAD 全 _{AD BE} ﹒ 因 等﹐所以 故 正 邊 rDEF 的 長為 _{DEAE AD AE BE  } 2 6 2 3 2 3    3 2 6 2 3   3 6 3 2 6   6 2 2 2   ﹒