第
一
章
一
、
單
選
題
（ 1.下 X 的 X = 1 2 3 4﹐ ﹐ ﹐ ﹖ ） 機變數隨列 能取值﹐何者為可 (1) 一 10 件 3 件 4 件 X 表 盒中有 樣品﹐其中 取任中盒自品良不為﹐ ﹒令 品數件的取良不得示﹒ (2) 甲 4 人 X 表 丙丁乙 頭令﹐負勝定決」布﹑石拳同﹑猜時﹐以「剪刀 示得勝的人數﹒ (3) 自 5 張 X 表 A 點 副克牌中隨機取出一撲 ﹐令 示其中 的張數﹒ (4) 擲 X 表 個骰子﹐令一 正數個數因出的數點擲示﹒ 4 解答 解 (1)X表 X = 0 1 2 3﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 析 取得不良的件數﹐則示品 (2)X表 X = 0 1 2 3﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 示得勝的人數﹐則 (3)X表 A 點 X = 0 1 2 3 4﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 示其中 的張數﹐則 (4)X表 X 的 ﹐與數因正的數點示各數個數因正的數點出擲 取值如下﹕ 答 (4)﹒ 案為 （ 2.下 (1) 任 (2) 每 40 ） 敘 ﹖列正何述確的「有」關者隨號表碼機 都 同相碼表號機個兩隨 列 個 4 個 0 (3) 每 000 的 字裡﹐恰好有數 裡現出﹐組字數的一個三 機率是 1 1000 (4) 表 0000 這 4 個 (5) 能出現像可中不 樣 連續的數字 從 樣果結的同相有會都﹐抽任機隨單簡的始開列一﹒ 3 解答 解 (1) 不 析 機因此任兩個隨號同﹐表不一定相碼不同生同的方法所產的能隨機號碼表可﹒ (2) 隨 出不能代表每個數字現﹐的次數都是相同的但的機出號碼表每個位置上現等各數字的機率都是相﹒ (3) 隨 現都率機的字數各出機上置位個每表碼號是 1 10 ﹐ 000 的 3 因此出現 機率為 1 1 10 =1000 ﹒ (4) 出 0000 這 4 個 4 現 樣 連續的數字的機率為 1 1 10 =10000 ﹐ 0﹐ 還 是不仍但﹐小很然雖 是有可能出現 0000﹒ (5) 隨 列但不能代表從不同取的出的結果是相同的﹐等機出號碼表每個位置上現相各數字的機率都是﹒ 故 (3) 正 選項 確﹒（ 3. ） 某 廠 商 委 託 民 調 為百分比（以下簡稱「民知名度」）﹒結果之居機該構在甲地調查聽過品地牌洗衣粉的居民占當在 95%信 [0.608,0.672]﹒ 準的水為間區賴信之度名知地之心在粉衣洗牌品該﹐下甲 試 (1) 此 64% 項次問 ﹖的確正是此選中些調民﹐下列哪 地有恰中民居體全解甲﹕為讀可果結查調次 的 (2) 若 [0.608,0.672] (3) 過產品 聽人該 所為仍間區賴信得次﹐調民一實再地甲在施 真 95%的 [0.608,0.672] 中 (4) 正的知名度有 機會在區間 若 95%會 民有約中間區得以﹐調所次式多樣方同在甲地進行 包含真正的知名度﹒ 4 解答 解 (1) 調 析 表果結的體全並代不﹐果結的查﹒ (2) 若 [0.608,0.672]﹒ 地賴甲為樣一必未間區信再得在﹐調民次一施實所 (3) 真 [0.608,0.672] 的 0﹐ 就 1﹒ 正知的間區在度名 率不是機 是 (4) 正 確﹒ （ 4.甲 8 次 (1) 會 4 次 4 次 (2) 若 ） 枚均勻幣一丟硬 確 ﹖的些正是哪有項選﹐下列 面正到得好正 及反面 前 4 次 4 次 4 次 4 次 4 次 (3) 恰 4 到面正得 則後﹐ 得到正面 面反得到於小機的率 的機率 好得到 次 4 次 正面及 反面的機率大於 1 4 (4) 若 4 次 4 丟完硬幣知出現正面已共 與反面 次 4 次 4 次 大前在中集面正是程過擲丟﹐於率正則丟擲過機是程反面交錯出現的 或後 的機率﹒ 3 解答 解 (1) 不 4 次 4 次 析 面正到得好正會定一 及反面 ﹒ (2) 若 4 次 4 次 4 次 4 次 4 次 4 前 得面正到 後則﹐ 得到正面 面反得到與率的機 的機率皆為 1 ( ) 2 ﹒ (3) 恰 4 次 4 次 84 4 4 到好得 正面及 面的機率為反 1 1 35 1 ( ) ( ) 2 2 128 4 C = ﹒ (4) 正 4 4 反面交錯出現的機率為 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 128 = ﹐ 4 次 4 次 4 4 若集面正前中在 則後﹐ 機為率面以所﹐反皆為 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 =256 ﹐ 4 次 4 次 4 4 若集面正後中在 則前﹐ 機為率面以所﹐反皆為 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 =256 ﹐ 因為 1 1 1 128= 256 256 ﹐ 所以機率相等﹒
故 (3) 正 選項 確﹒
二
、
多
選
題
（ 1.關 ） 選項選的確正出敘﹐述的值望期於﹕ (1) 擲 1 次 個公正骰子一 的現點數均算術平能數出於可有所等值望期的數點﹐﹒ (2) 擲 2 次 個公正骰子一 和現點數平的算術能均數出於可有所等值望期的和數點﹐﹒ (3) 丟 1 次 枚均勻硬幣一 數值望期的面次現出正﹐是 1 2 ﹒ (4) 丟 2 次 1﹒ 勻幣均枚一硬 期是值望次的數現面正﹐出 1234 解答 解 (1) 因 1 次 析 骰子正公個一擲為 數皆率機的﹐點種一每現出為 1 6 ﹐ 點數的期望值為 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 = ﹐ 能數均平術算的數點現出可所有所於等值望期的數點以﹒ (2) 因 2 次 X 的 為擲一個公正骰子 和數點﹐ 可能取值與機率分布如下﹕ 期望值為 1 2 3 4 5 6 ( ) 2 3 4 5 6 7 36 36 36 36 36 36 E X = 5 4 3 2 1 252 8 9 10 11 12 7 36 36 36 36 36 36 = = ﹐ 可能出現點數和的算術平均數為 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 11 = ﹒ (3) 因 1 次 X 的 丟一枚均勻硬幣為 現數次出面正﹐ 可能取值與機率分布如下﹕ 所以期望值為 1 1 1 ( ) 0 1 2 2 2 E X = = ﹒ (4) 因 2 次 X 的 丟一枚均勻硬幣為 現數次出面正﹐ 可能取值與機率分布如下﹕所以期望值為 1 2 1 ( ) 0 1 2 1 4 4 4 E X = = ﹒ 故 (1)(2)(3)(4)正 選項 確﹒ （ 2.投 2 次 A 表 B 表 C ） 擲均勻硬幣一 ﹐若 面﹐件事的正示出現第一次 示第二出現反面的事件﹐次 表 (1) 事 A 與 B (2) 事 B 與C (3) 為同兩次 ﹖件事立獨為互者何示各列下﹐件事的面一組 件 件 事 A 與C (4) 事 A﹐B﹐C﹒ 件 件 123 解答 解 S = {( 正 ) (﹐ 正 ) (﹐ 反 ) (﹐ 反 )}﹐ 析 間樣本空 正﹐ ﹐反 ﹐正 ﹐反 A = {( 正 ) (﹐ 正 )}﹐B = {( 正 ) (﹐ 反 )}﹐C = {( 正 ) (﹐ 反 )}﹐ 正﹐ ﹐反 反﹐ ﹐反 ﹐正 ﹐反 故 AÇB = {( 正 )}﹐BÇC = {(反 )}﹐AÇC = {(正 )} ﹐反 ﹐反 ﹐正 (1)P(AÇB) = 1 1 1 4= =2 2 P(A)P(B)﹐事 A 與 B 獨 件 立﹒ (2)P(BÇC) = 1 1 1 4= =2 2 P(B)P(C)﹐ 事 B 與C 獨 件 立﹒ (3)P(CÇA) = 1 1 1 4= =2 2 P(A)P(C)﹐ 事 A 與C 獨 件 立﹒ (4)AÇBÇC = Æ﹐得 P(AÇBÇC) = 0﹐ P(A)P(B)P(C) = 但 1 1 1 1 2 2 2 8 = P(AÇBÇC)﹐ A﹐B﹐C 不 故 是獨立事件﹒ 答 (1)(2)(3)﹒ 案為 （ 3.已 p﹐ 出 (1 - p)﹐將 n ） 的某知為機丟面板枚銅正率﹐其現出 的面率為現反機 此枚銅板丟擲 次 1 元 2 丟出在擲獎﹐可﹐時現金次中一過程得﹐面第正 ﹐金獎得再可出時現次二面正﹐第 元 3 元 ﹐﹐金獎得可再時現出次三第面正 哪的確正是項選些以列下問試﹒推類此﹐﹖ (1) 若 n 次 k 次 2 擲中出現正面丟 ﹐總共得到獎金 1 ( ) 2 k -k 元 ﹒ (2) 丟 1 元 2(p - p2)﹒ 次金銅板第之二獎擲計累﹐後得 的機率為 (3) 總 2 元 2 2 共得到獎金 的機率為 ( 1) (1 ) 2 n n n p p -- ﹒ (4) 總 2 共得到獎金 1 ( ) 2 n -n 元 n(pn - 1 - pn)﹒ 的機率為 24 解答 解 (1) 若 n 次 k 次 析 現面正出中擲丟 ﹐得到獎金為
1 2 3 … k 2 1 1 ( 1) ( ) 2k k 2 k k = = （ 元）﹒ (2) 丟 1 元 C p12 (1- p) 2(= p p- 2) ﹒ 金後銅板第二次之﹐擲累計得獎 為率機的 (3) 不 2 元 0﹒ 可能得到獎金 ﹐所以機率為 (4) 因 2 為 ( 1)( 1 1) 1 1 2 3 ( 1) ( ) 2 2 n n n - - n n - = = - ﹐ 1( 2 ) 獎金到得所以 2 n -n 元 ﹐ n 次 (n - 1)次 1 1(1 ) ( 1 ) 表擲投示 現出恰中 正﹐其機率為面 n n n n n C p - p n p - p - - = - ﹒ 所 (2)(4) 正 以選項 確﹒ （ 4.在 20 次 (1) 可 20 次 (2) ） 硬幣重勻均枚一丟複 是 ﹖的確正述者何敘列﹐中驗試的下 能出現 正面 恰 10 次 出現 正面的機率為 1 2 (3) 出 6 次 14 次 (4) 現 面的機率等正出現於 正面的機率 出 10 次 現正面次數的期望值為 ﹒ 134 解答 解 (1) 正 0 1 2 … 20﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 次 析 面的次數可能為 ﹒ (2) 恰 10 次 1020 10 10 出現 正面的機率為 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 C ﹒ (3) 出 6 次 620 6 14 現 正面的機率為 1 1 ( ) ( ) 2 2 C ﹐ 14 次 1420 14 6 出現 正面的機率為 1 1 ( ) ( ) 2 2 C ﹐ 兩者相等﹒ (4) 出 現正面次數的期望值為 1 20 10 2 = （ 次）﹒ 故 (1)(3)(4)﹒ 答案為 （ 5.想 臺 ） 要了解 灣 對 議 支持 的度程所 作 如下果表區結得所﹐分﹕ 的 某 題 ﹐查樣抽的調 依性別 民公 請 問 ﹖ 灣 從 此 抽樣次推些哪列下得以可果結到 論 (1) 全臺 男 公民 贊成 此 性 議 例 議 例 灣 題比的 大於 女性 公民 贊成 此 比的題 (2) 在95%的 臺 信心水準之下﹐全 女 公民 贊成 此 性 議 例 之比題 間為區賴信的 [0.48,0.56] （ 四入五捨 ） 後第二位﹐以下點數到算計小 (3) 此 次抽樣的 女 性 公民數 於 別 ﹐性 樣抽次此 議 例 少 性 公男 數民 (4) 如 贊成 此 題的比 p 區不果分 介 於 性別 ﹐樣抽此次 標 差 0.52與0.59之 (5) 如 p 的 準 p(1 p) 間 分果不區 n -介 於 0.02與0.04 之 間﹒
24 解答 解 (1) 不 析 正確﹒ (2)95% 的 [0.52 - 2 0.02,0.52 2 0.02] = [0.48,0.56]﹒ 信心水準之下﹐信賴區間為 (3) 設 女性 公 民 的 題 知﹕ 抽 樣 數為人 n1﹐男 公民 n2﹐由 意 性 的 抽 為數人樣 1 1 0.52(1 0.52) 0.02 n 624 n - = = （ 人） 2 2 0.59(1 0.59) 0.04 n 151 n - = （ 人） 女性 公民數多於 所以抽樣的 男 性 公民數﹒ (4) 不 區分 性 別 ﹐此次抽樣 議 例 贊成 此 題的比 為p ﹐ 624 0.52 151 0.59 0.52 0.59 624 151 p = ﹒ (5) 由 (4) 知 ﹐ 0.52 p 0.59 ﹐ 0.41 1 - p 0.48 0.52 0.41 p(1-p) 0.59 0.48 p 的 標 差 準 (1 ) (1 ) (1 ) 0.59 0.48 0.02 624 151 775 775 p p p p p p n - = - = - ﹒ 故 (2)(4) 正 選項 確﹒ （ 6.隨 X 是 ） 機變數 一個 參 重複 操功成作 率機為 伯 努 利 數為
20, 0.3 的
即 0.3 的 驗試 20 次 20 項（布分二 ﹐ 次 成功 的次數為 X ） 中 ﹐其機率分布 圖 下﹒選出正確的如 (1)X的 6 (2)X 選 期望值為 項 ﹕ 的 標 差 大 準 大於 4 (3)X = 6 時 最 (4)P(X = 8) P(X = 10) (5)P(X = 7) = P(X = 5)﹒ 的機率 134 解答 解 (1)X的 E(X) = np = 20 0.3 = 6﹒ 析 期望值為 (2)X的 標 差 準 ( )X = np(1- p) = 20 0.3 0.7 = 4.2 4 ﹒ (3) 由 機 圖 大﹒ 率 分 布 知X = 6 時 最 的機率 (4) 由 機 圖 率 分 布 知P(X = 8) P(X = 10)﹒ (5) 由 機 圖 率 分 布 知P(X = 7) P(X = 5)﹒ 故 (1)(3)(4) 正 選項 確﹒（ 7.丟 10 次 n 次 記 ） 均勻硬幣枚一 現出好﹐恰 正面的機率 為 pn﹐選 (1) 5 出正確的選項﹕ 1 2 p = (2)p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10 中 最 的 大 值 是 p5 (3)p3 = p7 (4)p3 p5 (5)p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p… 10 的 0.5﹒ 平均值為 234 解答 解 (1) 5 105 5 10 5 析 1 1 252 1 ( ) ( ) 2 2 1024 2 p =C - = ﹒ (2) 10 10 10 10 10 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 1024 i i i i i i C C p =C - = = ﹐ 其 i = 0 1 2 … 10﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 中 p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p10… 分 母 而 大 為值大 ﹐ 故 同相 分子以 C105 最 最 p5﹒ ﹐ (3) 10 10 3 7 3 210 210 7 C C p = = = p ﹒ (4) 由 選 大 項 ﹐ 所 以 (2) 知p5 最 p3 p5﹒ (5)p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p10… 的 平均為 10 10 10 10 10 0 1 2 10 0 1 2 10 2 1 11 11 1024 11 1024 11 p p p p =C C C C = = ﹒ 另 解﹕ p0﹐p1﹐p2﹐ ﹐p10… 代 情形 的以所﹐率機﹐ 因為 能可所表有 p0 p1 p2 … p10 = 1﹐ 0 1 2 10 因此﹐ 1 11 11 p p p p = ﹒ 故 (2)(3)(4) 正 選項 確﹒ （ 8. ） 甲 乙 丙 三 人 投 擲 一 枚 不 均 勻 的 硬
幣 各 若 干 次 （ 每 人 投 擲 次 數 可 不 相 同 ） ﹐ 在 各 自 選 定 的 信 心 水 準之下﹐ 作 圖形 如間區的丙乙中其（下和 相﹖確正者何列下﹐）同度 出正面機擲率 長 的 信 區賴間 (1) 丙 最 擲出正面的比率 大 大 (2) 甲 誤差最 (3) 的抽樣 若 甲比準水心信的則投﹐同相數次擲乙 低 少 (4) 若 (5) 準相同﹐則水的投擲次數比乙心信甲 若 的多乙比數次擲投丙信則﹐同相準水心﹒ 1245 解答 解 析 由 圖 形 知 (1)(2) 正 確﹐
(3) 因 n 和p 皆 p(1 p) 數次甲擲投乙和 等﹐所以相 n -相 等﹐ 今 高 的區間甲 較長 ﹐水比準甲心信的示表 ﹒ 乙 (4) 甲 p 相 誤差 p(1 p) 乙和的 相但等﹐﹐在同下準水心的信 n -甲 較 大﹐ 因 為 (1 ) p -p 相 同﹐ n 值 故甲的 較 ﹐ 甲的投擲次 少 少 數 比 乙 即 ﹒ (5) 乙 和丙的信心水準相同﹐ 且 同所﹐以相度 誤差 間 長區 p(1 p) n -相 n 與p(1-p) 成 等﹐ 正 比 ﹐ 又 2 1 2 1 (1 ) ( ) 2 4 p - p = -p = - -p p 在 1 0.5 2 p= = 時 ﹐此二次 函 最 較 數p(1-p) 有 大值 對n 的 大﹒ 由圖 知的丙 p=0.5 ﹐ 就值 相 ﹐ 所以丙的投擲次數比乙多﹒ 選 (1)(2)(4)(5)正 項 確﹒ （ 9.投 ） 出率機的面正現勻﹐幣硬均不枚一擲為 3 4 ﹐ 出現反面的機率為 1 4 ﹒ 今 丟擲 5 次 X 此 ﹐若 硬 幣 表 下確正者何述敘列則示﹐數次的面正現出﹖ (1)X = 1 的 機率為 15 512 ﹒ (2)X = 2 的 X = 3 的 機率小於 機率﹒ (3)X = 3 的 機率 最 大﹒ (4)X的 期望值為 15 4 ﹒ (5)X的 標 差 準 為 154 ﹒ 245 解答 解 X 為 X 的 析 令隨機變數 則﹐數次的面正現出 取值與機率分布如下﹕ 期 望值為
1 15 90 270 405 243 15 ( ) 0 1 2 3 4 5 1024 1024 1024 1024 1024 1024 4 E X = = ﹐ 變 異 數為 2 15 2 90 2 270 2 405 2 243 15 2 15 ( ) 1 2 3 4 5 ( ) 1024 1024 1024 1024 1024 4 16 Var X = - = ﹐ 標 準 為 差 15 15 ( ) ( ) 16 4 X Var X = = = ﹐ 所 (2)(4)(5) 正 以選項 確﹒
三
填
充 題
、
1.袋 中 有 球 ﹐ 球 ﹐ ﹐ 球 ﹐ 袋 到取﹐ 球 自 裝 1 號 1 顆 2 號 2 顆 … 10 號 10 顆 中任取一 球 k 號 時﹐ (100 - k)元 k 可 （ 得 = 1 2 … 10﹐ ﹐ ﹐ ） ﹐試問任取一 球 元﹖ 的期望值為多 少 93 元 解答 解 析 由 意 中總共有 題 知﹐ 袋 10 (10 1) 55 2 = 顆 ﹐ 球 今 袋 球 球 自 中取一 取到﹐ k 號 的機 55 率 為 k ﹐ 且 可得 (100 到 - k) 元 ﹐故期望值為 10 10 2 1 1 1 (100 ) (100 ) 55 55 k k k k k k = = - =-
1 10 (10 1) 10 (10 1) (2 10 1) [100 ] 93 55 2 6 = - = （ 元）﹒ 2.甲 X 表 求(1)P(X = 0) (2)X的 頭令﹐﹑猜」布﹑拳石刀剪「出各丙﹑乙﹑ 數﹐勝人的得示 機率分布﹒ (1) 解答 1 3 ;(2) 見 解 析 解 (1)P(X = 0)表 析 機其﹐種出出各或拳的同相一能人三可﹐率機的負勝分不人三示率 P(X = 0) 3 3 3! 9 1 3 27 3 = = = ﹒ (2)X的 取值與機率分布如下﹕ 3.某 男 見 調意 查果結﹐ 效 卷 校 學 處務 行是「進 收招成贊否女 生」的 收 有回 問 1600 張 贊成 者 1280 張 ﹐其中 ﹒ (1) 求 贊成 比 ﹒ 例 (2) 在95%的 誤差 是多 少 信心水準下﹐這次調查的 個 百 分 點 ﹖ (3) 計 95%的 算 信賴區間﹒ (1)0.8;(2)0.02;(3)[0.78 , 0.82] 解答解 (1) 在 1600 張 卷 析 問 中 ﹐ 有 贊成 ﹐ 1280 張 贊成 率為 表示 1280 0.8 1600 p= = ﹒ (2) 在95%的 信心水準下﹐ 誤 差 是 2 (1 ) 2 0.8 (1 0.8) 2 0.01 0.02 1600 p p n - -= = = ﹒ (3)95% 信 [0.8 - 0.02 , 0.8 0.02] = [0.78 , 0.82]﹒ 賴區間為 4.袋 子 裝 編 四 卡片 ﹐自 袋 若﹐兩出抽張 求 中 有 號1 2 3 4﹑ ﹑ ﹑ 的 張 隨 意中 X 表 卡片 兩的﹐均平號碼 X 的抽所示出 的 期望值與 標 差 準 ﹒ 解答 期望值 5 2 ﹐ 標 差 準 156 解 析 因為 四 卡片 隨 抽出兩張﹐有 張 意 4 2 6 C = 種 情 ﹒隨機 形 變 數 X 表 卡片 兩碼﹐均平的號 X 的抽所示出 的 取值與機率分布如下﹕ X 的 期望值為 3 1 1 5 2 1 7 1 5 ( ) 2 3 2 6 6 2 6 6 2 6 2 E X = = ﹐ 變 異 數為 2 2 2 2 2 3 5 1 5 1 5 5 2 5 1 7 5 1 5 ( ) ( ) (2 ) ( ) (3 ) ( ) 2 2 6 2 6 2 2 6 2 6 2 2 6 12 Var X = - - - - - = ﹐ 標 準 為 差 ( )X = Var X( )= 125 = 156 ﹒ 5.從 實驗 室 現 標 差 數 據的 證 實﹐人的 眠 時睡 數 呈 常態 分數為布均平其﹐ 7.5 小 準 1 時﹐ 小 時﹒ 根 據 此 項比數人的占所各列下計 ﹒ 睡眠 分試﹐布 估 例 (1) 睡 時數 超 眠 過 7.5 小 . 時者 (2) 睡 時數 介 眠 於 6.5 到 8.5 小 . 時者 (3) 睡 時數 8.5 小 眠 不 時者﹒ 到 (1)50%;(2)68%;(3) 解答 84 100 解 (1) 常 分布 析 態 為 左 右 對 超 的分布﹐其平均稱 曲線 的所有約以心﹐點中 50%的 過7.5 小 數 數值 時﹒ 在 (2)6.5 到 8.5 小 距1 個 時為與平均數相 標 差 圍 ﹐範 則 ﹒ ﹐ 約 占 準 的 根據 68-95-99.7 規 68%的 例 比
(3)8.5 小 1 個 時在平均數以上 標 差 左邊 區 比 例的 準 的地方﹐ 由圖 知此的數在 域 約為 50 68 1 84 100 100 2 100 = ﹒ 6.設 A﹐B﹐C 為 三獨立事件﹐若 1 ( ) 4 P A BÇ = ﹐ ( ) 1 6 P B CÇ = ﹐ 且 2 ( ) 3 P A C = ﹐ 求 P(A)﹐P(B)﹐P(C)﹒ 解答 1 ( ) 2 P A = ﹐ ( ) 1 2 P B = ﹐ ( ) 1 3 P C = 解 A﹐B﹐C 為 A 與 B﹑B 與C 及 A 與C 亦 析 若 三獨立事件﹐則 為 獨 立 事件﹒ A 與 B 為 獨立事件﹐ 1 ( ) ( ) ( ) 4 P A BÇ =P A P B = … B 與C 為 獨立事件﹐ 1 ( ) ( ) ( ) 6 P B CÇ =P B P C = … A 與C 為 P(AÇC) = P(A)P(C) 獨立事件﹐ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 P A C =P A P C -P A CÇ =P A P C -P A P C = … 由 ¸ ﹐ 得 3 ( ) ( ) 2 P A = P C …﹐將代 入 得 ﹐ 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ( ) ) 2P C P C -2 P C =3 9P(C)2 - 15P(C) 4 = 0 [3P(C) - 1][3P(C) - 4] = 0 1 ( ) 3 P C = 或 ( ) 4 3 P C = （ 合 不 ） 將 1 ( ) 3 P C = 分 別 入 代 ﹑得 1 ( ) 2 P A = ﹑ ( ) 1 2 P B = 所 以 1 ( ) 2 P A = ﹐ ( ) 1 2 P B = ﹐ ( ) 1 3 P C = ﹒
7.(1) 單 一選 擇 對 題每題有 4 個 得可 5 分 幾扣倒應 分﹖ 正確選項﹐恰有一個選項答題每若﹒是的 ﹐答錯 (2) 上 記 述 分 方 式 意 一之中其的選個三項 中 ﹐ ﹐ 則 選項定確若 為值望期得的何分﹖題該 A 不 答 另猜 隨正確﹐ (1) 解答 5 3 分;(2) 5 9 分 解 (1) 設 析 答 應倒扣 錯 x 分 ﹐則 1 3 5 ( ) 0 4 x 4 - = ﹐ 得 5 3 x= ﹒ 應倒扣 5 故每題答錯 3 分 ﹒ (2) 確 A 不 定選項 正確﹐隨 意 對 猜答時﹐猜 的機率為 1 3 ﹐ 猜錯的機率為 2 3 ﹐ 該題得分的期望值為 1 5 2 5 5 ( ) 3 3 3 9 - = 分 ﹒ 8.設 中有 7 顆 ﹐分 別編 號1 到 7 號 袋 球 ﹐自 袋 ﹐ 大碼號的﹒ 令 隨 機變數 中出取 3 球 X 表 最 示其中 (1) 求 P(X = 5)﹒ (2) 求 X 的 機率分布﹒ (1) 解答 6 35 ;(2) 見 解 析 解 X 表 析 令隨機變數 示自 袋 ﹐ 大的號碼﹐ 其 中 中取出 3 球 最 (1)P(X = 5)表 3 球 示 中 大號碼 為 最 5 之 即 機率﹐ 4 1 2 1 7 3 6 ( 5) 35 C C P X C = = = ﹒ (2)X的 機率分布如下﹕ 9.某 校 學 學段考成績 均平﹐布分 準 呈 常 態 有 生 1000 位 成績 72 分 標 差 12 分 數次某﹐ ﹐ ﹒ (1) 此 次數 學 段 考 （ 學 幾 不及 格 60 分 生約有 位﹖ 以下）的 (2) 成 績超 過 位﹖ 96 分 幾 的約有 (3) 某 成績 84 分 他 生 ﹐ 在 全 校 第 名﹖ 大約 排 幾 (1)160位 ;(2)25 位 ;(3) 第 160 名 解答 解 (1) 成 析 績呈 平 均 準 標 差 72 分 標 差 12 分 常態 分布﹐ 60 分 1 個 準 方地的﹐ ﹐ 的 下以數均平在 由 成 間在區 常 績 態 分布 規律 ﹐約有 68%的 [72 - 12 , 72 12] = [60 , 84] 之 間﹒ 也 在 合 就是 成績落 60 分 84 分 占32%﹐ 以下及 以上 由 稱 知 就 及 格不 對 是 大 有約 性 60 分 84 分 16%﹐也 160 位 學成 ﹒ 與下以 占各上以 數 績 (2) 成 績落 在 區 間 [72 - 2 12 , 72 2 12] 者 95%﹐ 約占 也 學 績 在成 是就 5% 的 生 48 分 96 分 大 以下或 以上﹐ 約 有 由 稱 知 就 學 績 在成 對 是 大 有約 性 績 在成 96 分 2.5%﹐ 也 25 位 生 96 分 占約者上以 以上﹒ (3) 成 84 分 1 個 績 為平均數以上 標 差 討 知 約 排大 左 ﹒ 論 右 準 ﹐方地的 由(1) 的 他 在第 160 名
10. 甲 參 角逐 某 的 選 對 支持 ﹒ 選 里 寶座長里 ﹐其 競 團隊 隨機樣抽 100 人 64 人 甲表 其中有﹐ 示 (1) 求 甲 支持 率95%的 信賴區間﹒ (2) 在 支持 率與信心水準 相同的 的 條 欲使 信間賴區 長 短 一縮 ﹐ 抽樣多 人﹖ ﹐件下 度 半 需 少 (1)[0.544,0.736];(2)400人 解答 解 (1) 在 100 位 析 受 者當中 支持 ﹐甲的 訪 ﹐ 有 64 位 支持 率 示表 64 0.64 100 p= = ﹒ 又 2 (1 ) 2 0.64 (1 0.64) 2 0.048 0.096 100 p p n - -= = = ﹐ 95%的 [0.64 - 0.096,0.64 0.096] = [0.544,0.736]﹒ 得 信賴區間 (2) 設 抽樣 n 人 依 需 ﹐ 題 意 0.64 (1 0.64) -n =1 0.64 (1 0.64)2 -100 ﹐ n = 400﹒ 解得 需 故 抽 樣 400 人 ﹒ 11. 設 兩 事 件 A 與 B 滿 足 1 ( ) 2 P A = ﹐ ( ) 7 10 P AB = ﹒ (1) 設 A 與 B 為 斥 互 事 件 ﹐ 求 P(B)﹒ (2) 設 A 與 B 為 求 P(B)﹒ 獨立事件﹐ (1) 解答 1 5 ;(2) 2 5 解 (1)A與 B 為 斥 析 互 事 件
﹐ 即AÇB = Æ﹐P(AÇB) = 0﹐P(AB) = P(A) P(B) - P(AÇB)
即 7 1 ( ) 0 10 = 2 P B - ﹐ 得 7 1 ( ) 10 2 P B = - 1 5 = ﹒
(2)A與 B 為 P(AÇB) = P(A) P(B) 獨立事件﹐
P(AB) = P(A) P(B) - P(AÇB) = P(A) P(B) - P(A) P(B) 即 7 1 1 ( ) ( ) 10= 2 P B - 2 P B ﹐ 得 1 7 1 ( ) 2P B =10 2 - 故 2 ( ) 5 P B = ﹒ 12. 袋 中 編 至 任張一取﹐ 有 號1 號 10 號 卡片 各一張﹒ 今 的 (1) 若 k 號 k 元 求 取出 ﹐則可得 ﹐ 所 得 金 的期望值﹒ 額 (2) 若 k 號 k2元 求 取出 ﹐則可得 ﹐ 所 得 金 的期望值﹒ 額 (1) 解答 11 2 元;(2) 77 2 元 解 (1) 期 析 望值為 1 1 1 1 11 1 2 10 (1 2 10) 10 10 10 10 2 = = （ 元）﹒ (2) 期 2 2 2 2 2 2 望值為 1 1 1 1 77 1 2 10 (1 2 10 ) 10 10 10 10 2 = = （ 元）﹒
13. 設 人 病 對 的機率為 某種 治療藥物 有反 應 0.9﹐ 且 不 人 此 與 ﹒件事獨為立 今 病 接受 此項 治療 ﹐ 同 的 病 對 物 的藥 反 應 否 有三位 人 求 (1) 其 2 位 中有 有反 應 的機率﹒ (2) 至 有一 少 位 病 應 人有反 的機率﹒ (1)0.243;(2)0.999 解答 解 A﹐B﹐C 分 析 令 別 反 件事的﹒ 甲表 對療藥物治 應 ﹑ 乙 丙三人﹑ (1) 有 2 位 有反 應 情形 為 事件 事件 的 A 與 B 有 應 (AÇBÇC¢) 或 B 與C 有 應 (A¢ÇBÇC) 或C 與 A 反 反 有 應 反 事 件 聯 (AÇB¢ÇC) 三 集﹒因為 A﹐B﹐C 三 者之 立所﹐件事事獨為互均件以
P(AÇBÇC¢) P(A¢ÇBÇC) P(AÇB¢ÇC)
= P(A) P(B) P(C¢) P(A¢) P(B) P(C) P(A) P(B¢) P(C) = 0.9 0.9 0.1 0.1 0.9 0.9 0.9 0.1 0.9 = 0.243﹒ 2 位 故有 有反 應 的機率為 0.243﹒ (2) 至 有一 少 位 病 應 情形 為 件事或 事件或 ﹐件事 聯 三 者 之 人有反 的 A 有 應 B 有 應 C 有 應 集 反 反 反 (ABC)﹐ 因 A﹐B﹐C 三 求 為 事件均為獨立事件﹐所互 為
P(ABC) = 1 - P(A¢ÇB¢ÇC¢) = 1 - P(A¢)P(B¢)P(C¢)
= 1 - (1 - 0.9)(1 - 0.9)(1 - 0.9) = 1 - 0.1 0.1 0.1 = 0.999﹒ 至少 有一位 故 病 應 人有反 的機率為 0.999﹒ 14. 下 圖 是 一 個 彈 珠 台 ﹐ 從 上 方 放 一 入 顆 彈 珠 彈珠 每 釘柱 時﹐會隨機的 向左 或 下 必 層 柱 ﹐釘 後 下到方 號 ﹐ 滑落撞擊 到 向落右 而 擊 到撞 一下 的 最 落 編 0 到 6 的 格 向落右 子中 彈珠 每次 向左 或 下的機率相等﹐則 ﹒ 若 (1) 彈 珠落 到 格 ﹖ 1 號 子的 少 機 率 是多 (2) 寫 出 到各 格 為多 少 彈珠 子中的機率分 別 ﹖ 落 (3) 彈 珠落 到 號 子機率 大﹖ 幾 格 最
(1) 解答 3 32 ;(2) 見 解 析 ;(3)3 號 解 (1) 彈 方 析 珠向左 落 下的機率 1 2 p= ﹐ 向 方 下的機率 右 落 1 1 2 p - = ﹒ 因為 彈 珠 台 ﹐ 落 最 入落 格 向 ﹐ 有 左 有6 層 珠 會彈 下6 次 後 1 號 子中 路徑 有5 次 只 1 若﹐ ﹐ 表 其示 次 向 （其中 路徑 如 ）﹐其機率為 右 一 圖 16 1 5 1 1 6 3 ( ) ( ) 2 2 64 32 C = = ﹒ (2) 設 隨 彈 格 ﹐ 那號 落彈麼珠 編 情 有是 向 ﹐ 機 珠 形 右 變 最 數 X 為 在後所 的 編子 到 號k 的 k 次 6 k -次 向 左 落 下﹐其機 率 為 6 1 1 6 6 1 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 k k k k P X =k =C - =C ﹐k = 0 1 2 … 6﹐ ﹐ ﹐ ﹐ X 的 得 機率分布如下﹕ (3) 由 機 格 大﹒ 率 分 得知﹐布 彈珠落入 3 號 子的 最 機 率 15. 某 司 公 有 性別 與 員工 124 人 國籍 列表如下﹕ ﹐其 (1) 從 A 表 男性 的件﹐事 B 表 抽出一人﹐令中 是人此 此人是本 國 籍 的事件﹐則 否 A 與 B 是 為獨 立 事 件﹖
(2) 公 司 得 國工員性女 少 到 籍 獨國 的立 應 幾聘增 ﹖ 事 部人 覺門 乎 本似 人數過 ﹐為 達 別 與性 目標 ﹐ 再 名本 國女性 (1) 否 ;(2)20 名 解答 解 (1)A表 析 抽出 男 性 的事件﹐ 80 ( ) 124 P A = ﹐ B 表 國籍 的事件﹐ 抽出本 70 ( ) 124 P B = AÇB 表 抽出 男 性 且 為本 國籍 的事件﹐ 50 ( ) 124 P AÇB = ﹐ 因為 80 70 50 124 124 124 ﹐ 即 P(AÇB) P(A) P(B) A 與 B 非 所以 獨 立 事 件﹒ (2) 設 再 國女性 國籍 列下如表﹕ 聘 本增 x 名 性別 與 此﹒時 此時 80 ( ) 124 P A x = ﹐ 70 ( ) 124 x P B x = ﹐ 50 ( ) 124 P A B x Ç = ﹐ A 與 B 為 P(AÇB) = P(A) P(B)﹐ 當 獨立事件時﹐ 即 50 80 70 ( )( ) 124 124 124 x x x x = ﹐ 整 得 理 50(124 x) = 80(70 x)﹐ 解 x = 20﹒ 得 A 與 B 為 A¢與 B﹐A 與B¢﹐A¢與B¢ 因為當 獨立事件時﹐事件 亦 均 達 別 與性 標 ﹒目 為 獨 此可如立﹐件事 到 國籍 獨立的 應 故 再 ﹒ 增聘 20 名 國女 本 性 16. 根 某 據 汽 車 公 的 人 的 車 色 如顏 下﹕ 司 料 ﹐資 出列 50 名 車 士 性別 及 種 開 試 性別 」與「 問﹕「 車 顏色 」是 否 種 為獨立事件﹖ 解答 是 解 析 先 表中各列與 求 各 雙 行 向 總和﹕ 令A 表 車 開 人 為 士 男性 的事件﹐則 30 3 ( ) 50 5 P A = =
B 表 車 開 人 為 士 女性 的事件﹐則 20 2 ( ) 50 5 P B = = C 表 喜 黑色車 好 的事件﹐則 30 3 ( ) 50 5 P C = = D 表 喜 非黑色 的事件﹐則 車 好 20 2 ( ) 50 5 P D = = (1)AÇC 表 車 開 人 為 黑色車 士 男性且喜 好 的事件﹐ 18 9 ( ) 50 25 P A CÇ = = ﹐ 因為 3 3 9 5 5 =25 ﹐ 即 P(AÇC) = P(A)P(C)﹐ 所 A 與C 為 以 獨立事件﹒ (2)AÇD 表 車 開 人 為 非黑色車 的事件﹐ 士 男性且喜 好 12 6 ( ) 50 25 P A DÇ = = ﹐ 因為 3 2 6 5 5 =25 ﹐ 即 P(AÇD) = P(A)P(D)﹐所 A 與D 為 以 獨立事件﹒ (3)BÇC 表 車 開 人 為 黑色車 士 女性且喜 好 的事件﹐ 12 6 ( ) 50 25 P B CÇ = = ﹐ 因為 2 3 6 5 5 =25 ﹐ 即 P(BÇC) = P(B)P(C)﹐ 所 B 與C 為 以 獨立事件﹒ (4)BÇD 表 車 開 人 為 非黑色車 的事件﹐ 士 女性且喜 好 8 4 ( ) 50 25 P BÇD = = ﹐ 因為 2 2 4 5 5 =25 ﹐ 即 P(BÇD) = P(B)P(D)﹐所 B 與D 為 以 獨立事件﹒ 故「 性 別 」與「 種 車 顏色 」為獨立事件﹒ 17. 丟 一個公正的骰子三次﹐ 求 恰出現兩次點數是 6 的 機率﹒ 解答 5 72 解 6 的 析 骰子出現點數是 機率為 1 6 ﹐ 6 的 不出現點數是 機率為 5 6 ﹐ 故 3 2 2 1 5 5 ( ) ( ) 6 6 72 P C= = ﹒ 18. 設 在 滿意 度比 例 不 同 抽的樣分﹐中查調 別訪 問 1200 人 ﹐得樣本 p1=0.3 ﹐ p2=0.5 ﹐ p3=0.8 ﹒ 95% 在 的 最長 ﹖ 信心水準下﹐何者的信賴區間 解答 p2 解 誤差 2 p(1 p) 析 式知抽樣公間區賴信從﹐ n -愈 大 ﹐ 信 賴區間就 愈長 ﹒ 故 只 比 須 較 p(1 p) n -的 大小 即 可﹒
【 解 】 一 計 p 值 p(1 p) 算各 的 n -﹕ 1(1 1) 0.3 (1 0.3) 0.3 0.7 0.21 1200 1200 1200 p p n - - = = = ﹐ 2(1 2) 0.5 (1 0.5) 0.5 0.5 0.25 1200 1200 1200 p p n - - = = = ﹐ 3(1 3) 0.8 (1 0.8) 0.8 0.2 0.16 1200 1200 1200 p p n - - = = = ﹒ 因 0.16 0.21 0.25﹐所 p2(1 p2) 為 以 n -最 大 即 ﹐ 2 p 的 信賴區間 最 長 ﹒ 【 解 】 二 在 n 均 抽樣人數 等的 情 形 下﹐ 只須 比 較 p(1-p) 的 大小﹕ 因 p(1-p) 為p 的 為 二次 函 數﹐ 且 2 1 2 1 (1 ) ( ) 2 4 p -p = -p = - -p p 在 1 0.5 2 p= = 時 ﹐此二次 函 最 數p(1-p) 有 大值 p2=0.5 ﹐ 故 的 抽樣 誤 差 2 p2(1 p2) n -最 大 ﹐ 其 信賴區間 最長 ﹒ 19. 求 下 列 隨 機變數 X 的 可能取值個數﹒ (1) 擲 3 次 X 表 3 次 公正的骰子一 令﹐ 示此 的點數和﹒ (2) 投 10 顆 擲 公 大數點的﹒ 正 骰 ﹐令次一子 X 表 最 其中示 (3) 從 5 雙 尺寸 式 樣 與 子選任中 ﹐ 可 雙 令 色 均顏 同相的 鞋 6 隻 X 表 6 隻 配成 的 數﹒ 此示 (4) 自1 2 3 4 5﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 中 取出三相 異 作成 的數位三﹒ 數令﹐字 X 表 此三字所示數 (1)16 個 ;(2)6 個 ;(3)3 個 ;(4)60 個 解答 解 (1)X表 3 次 X = 3 4 5 … 18﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 共 16 個 析 示此 的點數和﹐ ﹒ (2)X表 最 示其中 大 的 點 數 ﹐ X = 1 2 3 4 5 6﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 共 6 個 ﹒ (3)5 雙 子中 6 隻 鞋 任 選 ﹐ 中 配成 ﹐ 則 6 隻 至少 可 1 雙 X = 1 2 3﹐ ﹐ ﹒ 共 3 個 ﹒ (4)X表 示此三數字所 作 成 的三位數﹐ P53= =5 4 3 60 （ 個）﹒ 20. 欲 調 學 均上平 全﹐數時將 學 編 抽樣 查 全 校700 名 每 天生 網 校700 名 生 號1 到 700 號 擬 1% 人 ﹒ 數﹒ (1) 此 母 調查的 體 是 什麼 ﹖樣本數是多 少 人﹖ (2) 採 簡 書附錄 附 單 隨 機樣抽本自若﹐ 所 的隨機號碼表第 10 列 1 第 個 由左 到 數字開始﹐ 右 所的讀抽到則﹐字數取 樣 本 是哪些號碼﹖ (1) 母 解答 體 學 為 全 校700 名 生﹐ 7 人;(2)239 372 507 306 231 255 084﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 樣 本 數 解 (1) 母 析 體 學 為 全 校700 名 生﹐ 700 1% = 7 人 樣 ﹒ 本 數為 (2)239 372 507 306 231 255 084﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒
31. 丟 4 次 X 表 一均勻的硬幣 數變機隨令﹐ 示出現的正面數﹐ (1) 求 X 所 有可能的取值﹒ (2) 列 X 取 出 各值時的機率﹒ 解答 見 解析 解 析 用 「 」 - 」 表出現正面﹐「 則間空本樣表﹐面反現出為 S = {( , , , ) ( ﹐ , , , - ) ( ﹐ , , - , ) ( ﹐ , - , , ) ( ﹐ - , , , )﹐ ( , , - , - ) ( ﹐ - , - , , ) ( ﹐ , - , , - ) ( ﹐ - , , - , ) ( ﹐ - , , , - )﹐ ( , - , - , ) ( ﹐ , - , - , - ) ( ﹐ - , , - , - ) ( ﹐ - , - , , - ) ( ﹐ - , - , - , )﹐ ( - , - , - , - )} 其 序對 裡面的位 依 中 置 ﹐ 代表 次 出 現 的 結 果 ﹒ 則 X = 0﹐ 表 沒 示 有 出 現 即 正 面 ﹐ 事件 {( - , - , - , - )}﹐ X = 1﹐ 表 示出現一個正面﹐ 即 事件 {( , - , - , - ) ( ﹐ - , , - , - ) ( ﹐ - , - , , - ) ( ﹐ - , - , - , )}﹐ X = 2﹐ 表 示出現二個正面﹐ 即 事件 {( , , - , - ) ( ﹐ - , - , , ) ( ﹐ , - , , - ) ( ﹐ - , , - , ) ( ﹐ - , , , - ) ( ﹐ , - , - , )}﹐ X = 3﹐ 表 示出現三個正面﹐ 即 事件 {( , , , - ) ( ﹐ , , - , ) ( ﹐ , - , , ) ( ﹐ - , , , )}﹐ X = 4﹐ 表 四 示出現 個 正 面 ﹐ 即 事件 {( , , , )} 所 X 所 0 1 2 3 4﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 以隨機變數 有可能的取值為 將X 取 P 列 各值的機率 表如下﹕ 32. 保 公 險 司 針 對 年 險 ﹐壽 元 保費 依統 計 示﹐ ﹐ 60 歲 推出一 期 保險額 2000 萬 2400 元 資料顯 60 族青長 ﹒若 歲 一 長青族 年 內 死 亡 機率為的 保 險 公保 的多期望值是 少 0.0001﹒則 單中﹐ 潤司利 ﹖ 每張 400 元 解答 解 X 為 析 令隨機變數 保 公 所得 利潤 ﹒因為 險 司 60 歲 一 長青族 年 內 可能有平 安 死亡 兩種結果﹐ 平 安若 險 公保 則要 賠 或 又 度過﹐ 司賺 2400 元 否 ﹐ (20000000 - 2400) 元 X 的 ﹐所以 機率分布如下﹕ 故 保 公 的期望值為 險 司利潤 E(X) = 2400 0.9999 (- 20000000 2400) 0.0001 = 2400 (0.9999 0.0001) - 20000000 0.0001 = 2400 - 2000 = 400（ 元）﹒
33. 盒 6 張 卡片 ﹐分 別標 示碼號 1 2 2 3 3 3﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹒ 中有 同相小大的 今 從 中 一 ﹐再都取完張一出取次 放回 ﹐連取三次﹒ 求 (1) 連 1 的 續三次都取出 機率﹒ (2) 三 6 的 次的總和為 機率﹒ (1) 解答 1 216 ;(2) 11 54 解 卡片 均再 放回 ﹐每碼號的出取次以所 依 析 的出取 均 互 相獨立﹐ 題 ﹐取到 為 意 1 2 3﹐ ﹐ 的 別 機率分 1 6 ﹐ 1 3 ﹐ 1 2 ﹒ (1) 連 1 的 續三次都取出 機率為 1 1 1 1 6 6 6 = 216﹒ (2) 三 6 的 2 或 1 2 3﹐ ﹐ 各 次的總和為 出取都次三為件事 取出 一張﹐其機率為 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3! 3 3 3 6 3 2 =27 6 =54 ﹒ 21. 一 箱 燈 ﹐其中 的﹒ 今 箱 泡 有 中子 10 個 2 個 壞 從 子中取 3 有 是 個 燈 出的取 泡燈壞 泡 測 ﹐ 求試 燈泡 中 個數的期望值﹒ 解答 3 5 個 解 X 為 析 令隨機變數 所取得的 壞 燈 泡 個數﹐則 X 的 0 1 2﹐ ﹐ ﹐ 其 為值取能可 機率分布如下﹕ 因 此﹐ 壞 燈 泡 個數的期望值 E(X) 56 56 8 72 3 0 1 2 120 120 120 120 5 = = = （ 個）﹒ 22. 臺 北 行 司 約「﹕現有 灣 眾 一 中 過 且 銀 委 調查 發 65%的臺 地 在過 去 年 曾購買 樂透券彩 ﹐ 有95% 公調民託 民區 的 信心 認 內 為其 誤差 在2.5 個 ﹒」試計算﹕ 百分點之 (1) 民 調公 司 人﹖ 抽查的樣 少 本 約 為多 (2) 樣 本中 曾 購 買 樂透彩券 的約有多 少 過 人﹖ (3) 我 可以 95%的 們 有 信心 認 曾購買 券樂透彩 民 眾的 例 到多 少 為 過 比 在多 少 之間﹖ (1)1456 人 ;(2)946 人 ;(3)[0.625,0.675] 解答 解 (1) 在 去 析 過 一 中 過 比 年 曾購買 樂透彩券 的民 眾 例 p=0.65 ﹐ 95%的 在 信心水準下﹐ 誤 差 為 2 0.65(1 0.65)n- =0.025
整 理 成 2 65 35n =2.5 =n 1456 ﹐ 1456 人 故抽樣人數 ﹒ (2) 樣 本中 曾 購 買 彩券 的人約有 過 1456 0.65 946 人 ﹒ (3)95% 的 [0.65 - 0.025,0.65 0.025] = [0.625,0.675]﹒ 信賴區間為 23. 數 學 試 定﹐該 測 過 律 記 ﹒已知 項 錄 SAT考 規 果如分的驗總 超 800 分 以800 分 今年 SAT 一﹐ 考 試 現 準 求 比 的 生會 收 呈 態 分常 ﹐其平均布 560﹐ 標 差120﹒ 試 ﹕約 少 例 考 到800 分 成績 單﹖ 有 的 多 2.5% 解答 解 800 = 560 2 120 為 m 2 的 析 位置﹐所以有 1 (1 0.95) 0.025 2 - = 的 考 原 成績 是 過 生 始 超 800 分 的﹐ 即 考 到 約有 2.5% 的 生會 收 800 分 成績 單﹒ 的 24. 丟 3 個 k 個 獲2k元 k = 1 2 3﹐ ﹐ ） 正硬幣﹐若出現公 面可則﹐正 （ ﹐為 使 賭 局 公平﹐出現 3 個 應賠 多 反面時 少 元﹖ 26 元 解答 解 3 個 析 丟 數表下如率機其與正個面現出﹐幣硬正公﹕ 設 出 現 3 個 賠應 x 元 使 期欲 望值為 0﹐ 即 1 2 3 時面反 ﹐ 3 3 1 1 2 2 2 0 8 8 8 -8x= 得x = 26 （ 3 個 賠應 26 元 現出故﹐）元 反面時 ﹒
第
二
章
一
、
單
選
題
（ 1.把 數y = sinx 的 ） 函 圖 平 形 向 右 移 2 單 位﹐所得 新 圖 形 數的 圖形 ﹖ 列哪一個下為 函 (1)y cos(x 2) = -(2)y cos(x 2) = (3)y = sin(-x) (4)y = cosx (5)y = - cosx﹒
5 解答
解 析
利 平 的 的 數為 用 移 性質 ﹐得 新形圖 函 y sin(x 2)
= - ﹒
又y=sin(x-2)= -sin2-x= -cosx ﹐
故 (5)﹒ 選
（ 2.下 ） 列哪一個
5 解答 解 3 弧 析 因為 度 180 540 3 ( ) ( ) 171.9 = = ﹐ 所以選 (5)﹒ （ 3.已 a = sin5﹐ 選 (1) ） 知 正確的選項﹕ 出 1 1 2 a - - (2) 1 0 2 a - (3) 1 0 2 a (4) 1 1 2 a ﹒ 1 解答 解 析
由 道 在 圖 上﹒ 形 a = sin5 知 點 (5,a) 落 y = sinx 的
因 3.14﹐32 4.71 為 ﹐ 11 5.76 6 ﹐ 所 (5,a) 約 以點 略 所示﹕ 位置 圖 如 下 由 知﹐ (5,a) 比 圖 點 點 3 ( , 1) 2 -高 ﹐ 但 比 點 11 1 ( , ) 6 2 -低 ﹐ 因 此﹐ 1 1 2 a - - ﹐ (1)﹒ 故選 （ 4.下 ）
圖 函 是下 數的 圖形 ﹖ (1)y = sinx (2)y = 3sinx (3)y = - 3sinx (4)y = 3sin2x (5)y = - 列 哪 個
3sin2x﹒ 5 解答 解 析 由 數的 週 最 小 當 圖 值 形 為 知此得﹐ 函 期為 ﹐ 值大 3﹐ 最 - 3﹒ 又 0 x 2 為 時 圖形 的y ﹐ 坐 標 即函 數值為負﹒在選 有 合 選故﹐件 項 中 為負 只 y = - 3sin2x 符 上述 條 (5)﹒ ﹐ （ 5.設 a = cos1﹐ 選 (1) - 1 a 0 (2)0 a 12 (3)2 a 1 2 (4)2 2 a 2 23 ） 項選的確正出﹕ (5) 23 a 1﹒ 3 解答
解 析
利 用 4 1 3
﹐ y = cosx 的 及
部 圖形 （如 圖 分 ）﹐
得cos4 cos1 cos 3 ﹐
即 22 a 12 ﹒ 故 (3)﹒ 選
二
、
多
選
題
（ 1.關 函 ） 於 數 值大 f (x) = 3cos2x﹐選 (1) - 2 f (x) 2 (2)f (x)在x=2 時 最 (3) ﹕項選的確正出 有 ( ) f x 的 週 圖 線 形 對 期為 (4)y = f (x) 的 稱於 直 x 2 = (5)f (1) 0﹒ 34 解答 解 析 函 圖 如下﹐ 形 得 數 f (x) = 3cos2x 的 (1) - 3 f (x) 3﹒ (2)f (x)在x 2 = 時 最 有 小 值 - 3﹒ (3)f (x)的 週 期為 ﹒ (4) 因 f (x) 在x 2 為 = 時 最 有 小 值 ﹐ 稱於 直 所 以 圖形對 線x 2 = ﹒ (5) 因 (1 , f (1))在 x 軸 為點 下 方 ﹐ 所以 f (1) 0﹒ 故 (3)(4)﹒ 選三
填
充 題
、
1.求 下 列 各 式的值﹕ (1)cot3 (2) 2 sec 3 (3) 3 csc 2 ﹒(1) 33 ;(2) - 2;(3) - 1 解答 解 析 利 數 係 用 關 倒 式計算如 下 ﹕ (1)cot3 的 意 是 思 cot(3 ) 弧度 ﹒ 因 3 弧 為
度 且 = 3 (180 ) = 60 ﹐ tan3 =tan 60 = 3 ﹒ cot3 = 13 = 33 ﹒ 以所
(2) 因 為 2 1 cos 3 2 = -﹐ 所以 2 sec 2 3 = -﹒ (3) 因 為 3 sin 1 2 = -﹐ 所以 3 csc 1 2 = -﹒ 2.如 圖 下 ﹐ 已 知 圓 半徑 分 為 弧 為 鋪 區 的 長 ﹒ 二 同 心 的 別 3 與 6﹐ 且 AD 的 長 2﹐ 求 色 域 周 與面 積 解答 周 積 長 12﹐ 面 9 解 析 設 AOD = ﹒因 AD=3=2 ﹐ 為 所以 2 3 = ﹒ 因此﹐ 周 長 2 3 6 3 2 12 3 AB BC CD DA = = = ﹒ 面 積 扇 積 扇 積 = 形 OBC 面 - 形 OAD 面 2 2 1 2 1 2 6 3 9 2 3 2 3 = - = ﹒ 3.若 角形 三 三 內 角 度數的比為 最形角 角 是內 多 少 度﹖ 5 ： 6 ： 7﹐ 則 大 弧 三此 解答 7 18 弧 度 解 內角 和為 180﹐ 所 最 析 因為三 以 大 內角 為 7 180 70 5 6 7 = ﹐ 即 7 70 180 18 = 弧 度 ﹒ 4.如 圖 下 ﹐ 已 知 邊 為 別 圓 半 畫弧 ﹐兩 弧 正 長 徑 方 形ABCD 的 6﹐ 分 以A 和 B 為 心﹑ 6 為 交於 E 點 求 ﹐ 鋪 區 的面 積 色 域 ﹒
12-9 3 解答 解 接AE ﹐BE ﹒ AE BE= =AB ﹐ 析 連 因為 所以 △ 角形 ﹐ ABE為 即 EAB 60 3 正三 = = 弧 度 ﹒ 故 鋪 區 的面 積 色 域 為 2 扇 形 △ ABE 的 積 - ABE的 積 面 面 2 1 1 2 ( 6 ) ( 6 6 sin 60 ) 2 3 2 = - 12 9 3 = - ﹒ 5.在 0 x 2 的 範 求 圍 內 ﹐ 方程式 2sin2x 5cosx - 4 = 0 的 解﹒ x 3 解答 = ﹐5 3 解 析 利 原 改 為 用 sin2x cos2x = 1﹐將 方程 寫 式
2(1 - cos2x) 5cosx - 4 = 0 2cos2x - 5cosx 2 = 0﹐
即(2cosx - 1)(cosx - 2) = 0﹐ 解 得 1 cos 2 x= 或2 （ 合 不 ） ﹒ 因 0 x 2﹐ 所 x 3 為 以 = ﹐5 3 ﹒ 6.已 知 3 sin 5 = ﹐ 且 2 ﹐ 求 値 下列 ﹕ 各
(1)csc﹒ (2)sec﹒ (3)cos( )﹒ (4)cot( - )﹒
(1) 解答 5 3 ;(2) 5 4 - ;(3)4 5 ;(4) 4 3 解 (1) 由 數關 係 析 倒 式 ﹐ 得 1 5 csc sin 3 = = ﹒ (2) 由 sin2 cos2 = 1 可 得 2 cos= 1 sin- ﹐ 象限 角 因為 是第二
﹐ cos 0﹐ 所 cos= - 1 sin- 2 以
2 3 4 1 ( ) 5 5 = - - = - ﹒ 由 數關 係 倒 式﹐得 1 5 sec cos 4 = = - ﹒ (3) 4 cos( ) cos 5 = - = ﹒
(4) 4 cos 5 4 cot( ) cot 3 sin 3 5 -- = - = - = - = ﹒ 7.畫 出 數 函 y 3sin(2x 3) 1 = 的 圖 ﹐並 求 週 大值及 小值﹒ 形 其 期﹑ 最 最 解答 圖 解析﹐ 期 最 小 見 值 為 週 ﹐ 大值 4﹐ 最 - 2 為 解 析 根 平 及 縮 形 函 據 圖 形 移 伸 的 式﹐將 數y 3sin(2x 3) 1 = 改 寫 為y 3sin(2(x 6)) 1 = ﹐ 再 透 底 程 出其 圖形 ﹕ 過 下的 流 畫 y = sinx 的 圖 形 3 鉛直方向 拉伸 倍 y = 3sinx的 圖 形 步驟 一 12 水平方向 壓縮 倍 y = 3sin2x 的 圖 步驟 二 形 61 向左平移 單位向上平移 單位 y=3sin(2(x6)) 1 的 圖 步驟 三 形 三 步 圖 驟 示如下﹕ 步 一 驟 步 二 步驟 三 驟 故 函 數y 3sin(2x 3) 1 = 的 週 期是 2 2 = ﹐ 最 小 值 為 大值 3 1 1 = 4﹐ 最 3 ( - 1) 1 = - 為 2﹒
8.已 知 5 6 x 6 ﹐ 求 數 最 最 函 y = cos2x sinx - 1 的 大值 小值﹒ 與 解答 最 大值 1 4 ﹐ 最 小值 0 解 析 利 平方關 式﹐將 數 寫 用 係 函 改 為
y = (1 - sin2x) sinx - 1 = - sin2x sinx = 2
1 1 (sin ) 2 4 x - - ﹒ 因 為 5 6 x 6 ﹐ 所以 1 sin 1 2 x ﹒ 故y 有 最 大值 1 4 ﹐ 最 小值 2 1 1 (1 ) 0 2 4 - - = ﹒ 9.已 是 知 第三 象 限 角 且 ﹐ 25 tan cot 12 = ﹐ 求 下列 各 值 ﹕
(1)sin cos﹒ (2)sin cos﹒ (3)sec csc﹒ (4)sin2﹒
(1) 解答 12 25 ;(2) 7 5 -;(3) 35 12 -;(4) 24 25 解 (1) 因 析 為 2 2
sin cos sin cos 1 tan cot
cos sin sin cos sin cos
= = = ﹐ 所以 12 sin cos 25 = ﹒ (2) 因 為 2 2 2 49
(sin cos ) sin 2sin cos cos 1 2sin cos 25 = = = ﹐ 且 ﹐ 象限 角 sin 0 cos﹐ 0﹐ 所 是第三 以 7 sin cos 5 = - ﹒ (3) 7 1 1 sin cos 5 35 sec csc 12 cos sin sin cos 12
25 - = = = = - ﹒ (4) 利 兩 用 倍 公式﹐得 角 12 24 sin 2 2sin cos 2
25 25 = = = ﹒ 10. 在 0 x 2 的 範 數 圍 內 ﹐兩 函 y = tanx 與 3 3 5 y= - x 的 圖 共有多 個交點﹖ 形 少 3 個 解答 解 析 如下 圖 ﹕
共 3 個 有 交點﹒ 11. 如 圖 圓 半 為 線 別 直 直 且 求 線 域 積 徑 已﹐ O 的 2﹐ 直 OA 分 與 線OC 及 線AB 垂 ﹐ OA=1 ﹐ 斜 區 面 ﹒ 知 直 解答 2 3 3 解 圖 析 如 ﹐ 連 接 OB ﹒ 在 直 △ 角 OAB 中 OA=1 ﹐OB=2 ﹐ ﹐因為 所 ∠AOB = 60°﹒ 以 故 斜 區 面 △ 積 ＋ 扇 線 域 積 = 2 （ OAB 面 形 OBC ） = 2(12 3 12 226 ) = 323 ﹒
