數學

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國立臺中教育大學 108 學年度教師專業碩士學位學程招生考試

數學試題

【本考科得以鉛筆作答】ㄧ、填充題（每題 4%，共 100%） 1. 6 √7−√5− 12 √11+√5 可以化簡為𝑎√11 + 𝑏√7 + 𝑐√5，則𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = U 。 2. 3(2𝑥−3)+(3𝑥+1) 2 + (2𝑥−3)−3(3𝑥+1) 3 = 1 6� �。 3. 二元一次方程式設有2𝑥 + 3𝑦 = 24 有組正整數解。 4. 設𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ，𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 9，求 𝑥2+ 2𝑦2+ 𝑧2+ 4𝑦的最小值為。 5. 設𝑓(𝑥)為𝑥的多項式，且8𝑓(𝑥) − 5𝑥6𝑓(𝑥2) − 2𝑓(𝑥3) + 18 = 0，則𝑓(𝑥)的常數項為。 6. 多項式𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑝𝑥2+ 𝑞𝑥 + 𝑟，其中𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℝ，若𝑓(𝑥)除以𝑥 − 1和𝑥 + 1的餘數均為3，且𝑓(0) = −2，則𝑓(2) = U 。 7. 假設被除數為𝑎、除數為𝑏、商為𝑞、餘數為𝑟，若已知𝑎 = 531、𝑟=27，則除數 𝑏最小的值可能為。 8. 2730 除以13的餘數是。 （背面尚有試題） 准考證號碼：

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第 2 頁，共 3 頁 A B C D 9. 已知一等差數列的公差是2，前10項和是70，此等差數列的首項𝑎₁ =U 。 10. 已知一等比級數的前10項和為36，前20項和為45，則此等比級數的前30項和為。 11. 如下圖，正方形𝐴𝐴𝐴𝐴的邊長為10公分，𝐴𝐴與圓相切，則此圓的半徑為多少公分？。 12. 𝐴(−3)，𝐴(−1)，和𝑃(𝑥)為數線上相異三點，其中𝑥 ∈ ℝ，且𝐴在𝐴𝑃上。若 𝐴𝐴: 𝐴𝑃 = 1: 6，則𝑥 = _。 13. 已知−3與2𝑥 − 𝑦成反比，且當𝑥 = 3時，𝑦 = −2，則𝑥和𝑦的關係式在坐標平面上的圖形不通過第幾象限？。 14. 已知二次函數𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐有最小值6，且𝑎: 𝑏: 𝑐 = 2: 4: 5。若𝛲為此二次函數上的動點，則_{𝛲到直線𝐿: 𝑦 = 4𝑥的最短距離為。} 15. 在△ 𝐴𝐴𝐴中，已知∠𝐴 = 112°且𝐼為△ 𝐴𝐴𝐴的內心，則∠𝐴𝐼𝐴 =U 度。 16. 已知三直線𝐿₁: 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0, 𝐿₂: 𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0, 𝐿₃: 4𝑥 − 𝑦 − 13 = 0圍成一個三角形，則此三角形的重心座標為。 17. 已知△ 𝐴𝐴𝐴的三邊長分別為7, 8, 9 ，則△ 𝐴𝐴𝐴的內切圓半徑為。

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第 3 頁，共 3 頁 A B C D 18. 已知一圓𝑥2 + 𝑦2 = 4及點𝑃(2,3)，則過𝑃點且與該圓相切的直線方程式為。 19. 已知一橢圓的兩焦點為(1,3), (1,5) 且其短軸長為 6 ，則該橢圓方程式為。 20. 由𝑦 = 𝑥2與𝑥 = 𝑦2所圍成的圖形繞𝑥軸一圈所得的旋轉體體積為。 21. 若無窮數列〈�2𝑥 1−𝑥� 𝑛 〉收斂，則𝑥之範圍為。 22. 設一隨機試驗的樣本空間𝑆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，若事件𝐴 = {2,4,6,8}，則與𝐴互斥的事件共有幾個？。 23. 已知2𝑠𝑠𝑠2𝑥 + 5 𝑐𝑐𝑠 𝑥 + 1 = 0，則𝑠𝑠𝑠 𝑥 = U 。 24. 設𝑎 = 𝑠𝑠𝑠 1 , 𝑏 = 𝑠𝑠𝑠 2 , 𝑐 = 𝑠𝑠𝑠 3 , 𝑑 = 𝑠𝑠𝑠 4，則𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑的大小順序為何？。 25. 右圖為2 × 2的方格，若將1, 2, 3, 4四個數字隨機填入方格中，且每個方格中恰填一個數字，但數字可重複使用。試求事件「A方格的數字大於B方格的數字，且C方格的數字大於D方格的數字」的機率為。