一些常見的結不變量

一些常見的結不變量

孫維民

* 譚克平

國 立 臺 灣 師 範 大 學 科 學教 育 研 究 所

壹、前言

結 理 論(knot theory)主 要 是 研 究 如 何 將 各 式 各 樣 的 結 分 類 ， 即 給 定 兩 個 結 ， 探 討 該 如 何 判 斷 它 們 在 實 質 上 是 否 可 視 為 是 同 一 個 結 的 問 題。直 觀 上 我 們 可 以 用 實 際 打 結 的 方 式， 直 接 用 繩 子 打 出 兩 個 結 後，試 著 將 其 中 一 個 結 的 某 條 曲 線 段 作 任 意 變 形 的 動 作，看 是 否 能 變 形 成 另 一 個 結。但 這 樣 的 實 作 方 式，即 使 在 嘗 試 了 很 多 次 後，發 現 這 個 結 無 法 變 形 成 另 一 個 結，也 不 能 肯 定 這 兩 個 結 是 不 相 等 的。數 學 上 常 利 用 的 方 法，是 應 用 Reidemeister 定 理 ， 首 先 在 分 別 代 表 這 兩 個 結 的 兩 個 結 圖 之 間 找 到 一 組 Reidemeister 移 動的 組 合(簡 稱 R 移 動 組 合)、 並 判 斷 這 兩 個 結 圖 是 相 等 後 ， 再 推 得 其 所 代 表 的 兩 個 結 亦 相 等 。 但 實 務 上 此 方 法 仍 然 不 容 易 進 行，原 因 是 如 果 這 兩 個 結 圖 比 較 複 雜，實 際 上 在 測 試 時，也 只 能 像 前 述 實 際 打 結 操 作 方 式，藉 由 不 斷 嘗 試 用Reidemeister 移動 來 測 試 這兩 個 結 圖 之間 是 否 存 在一 個 R 移 動 組 合，可 以 將 其 中一 個 結 變 形成 為 另 一 個結，實 務 上並 無 一 定 判準 來 決 定 這 個 R 移 動 組 合 是 否 存 在(孫 維 民 與譚 克 平 ，2017)。 為 提 供更 有 效 判 斷兩 個 結 是 否相 等 的 方 式， 數 學 家 常 利 用 結 不 變 量(knot invariant)的概 念 來 進 行判 斷 。 但 由於 結 有 很 多不 同 的 類 型， 目 前 尚 未 找 到 一 個 萬 能 的 結 不 變 量，可 以 用 來 判 斷 任 意 兩 個 結 是 否 相 等，因 此 目 前 在 相 關 文 獻 中，可 以 找 到 若 干 個 不 同 的 結 不 變 量 的 概 念，各 有 其 優、缺 點 及 適 用 範 圍。以 下 本 文 會 先 介 紹 一 些 需 要 用 到 的 符 號，接 著 引 進 一 些 結 不 變 量 的 概 念 及 例 子，最 後 再 提 供 一 些 題 目 給 有 興 趣 的 讀 者 練 習 及 思 考 ， 從 中 學 習 數 學 推 理 。

貳、符號定義

一、結

(或鏈)的賦向(orientation)及交叉點(crossing point)類型

什 麼 是 結(或 鏈)的賦 向?以 結為 例，簡 單來 說，就 是在 結 上 給 出一 個 固 定 方向，這 個 固 定 方 向 即 為 結 的 賦 向。在 此 定 義 下，我 們 可 以 把 結 想 像 成 一 條 有 固 定 方 向 的 道 路，若 某 人 從 這 條 道 路 上 的 某 個 點 出 發，依 照 這 個 方 向 沿 著 道 路 一 直 走，最 後 一 定 會 回 到 原 出 發 點。 同 理，由 於 鏈 是 有 限 個 互 不 相 交 的 結 的 集 合 體，所 以 一 個 鏈 的 賦 向 是 由 組 成 這 個 鏈 的 數 個 *為本 文 通 訊 作 者

結 的 賦 向 所 決 定。習 慣 上 我 們 會 在 結 圖 的 某 條 曲 線 段 上 畫 上 箭 頭 表 示 這 個 結 的 賦 向，並 稱 此 圖 為 有 向 結 圖(oriented knot diagram)。以 三 葉 結 為例，它 其 中一 個 賦 向 可參 考 圖 1 所 示。

圖 1、 三 葉結 的 賦 向 圖 1 中 關 於 交 叉點 等 圖 例 的定 義 ， 可 參考 孫 維 民 與譚 克 平(2017)中的 說 明 。 今 給 定 一 個 結 的 有 向 結 圖，我 們 可 以 依 照 圖 中 箭 頭 方 向 及 一 些 規 則，將 該 圖 中 各 個 交 叉 分 為 兩 種 不 同 類 型 的 交 叉 點。舉 例 來 說，若A 點是 由 甲、乙 兩曲 線 段 所形 成 的 交 叉點， 判 斷A 點是 哪 種類 型 交 叉 點的 規 則 如 下： (1) 將 A 點 上方 的 曲線 段 依 逆 時針 方 向 旋 轉，若第 一 次碰 到 下 方 曲線 段 時 恰 巧兩 曲 線 段 的 箭 頭 重 合 ， 則 稱 A 點為 ＋1 類 型交 叉 點。 (2) 將 A 點 上方 的 曲線 段 依 順 時針 方 向 旋 轉，若第 一 次碰 到 下 方 曲線 段 時 恰 好兩 曲 線 段 箭 頭 重 合 ， 則 稱A 點 為－ 1 類 型 交叉 點 。 這 兩 種 類 型 交 叉 點 的 圖 例 如 圖 2 所 示，其 中 圖 2(a)的 交 叉 點 為＋ 1 類 型，圖 2(b)的 交 叉 點 為 －1 類 型。 圖 2、 ＋ 1、－ 1 兩 種 類型 交 叉 點 依 照 上 述 規 則 ， 我 們 可 以 把 有 向 結 圖 中 的 每 個 交 叉 點 分 別 歸 類 為 ＋1 類 型或 －1 類 型 交 叉 點，並 應 用 於 接 下 來 所 探 討 的 某 些 結 不 變 量 上。若 以 函 數ϵ 表 示 某 結圖 中 各 個 交叉 點

的 類 型 與 ＋1、 －1 兩個 常 數之 間 的 對 應關 係 ， 則 可用 數 學 式 子表 示 如 下 。 1 , 若 點是 1 類型交叉點 1 , 若 點是 1 類型交叉點

二、弧

(arc)

由 結 圖 形 成 的 原 理 可 知，結 圖 中 的 任 何 一 個 交 叉 點 都 是 由 上 方 曲 線 段 與 下 方 曲 線 段 所 形 成 的 視 覺 上 的 交 點，事 實 上 兩 曲 線 段 並 沒 有 真 正 相 交，只 是 上 方 曲 線 段 在 視 線 方 向 部 分 遮 蓋 了 下 方 曲 線 段，而 弧(arc)是 表 示 圖中 任 兩 個 相鄰 下 方 交 叉點 之 間 的 曲線 段 (孫 維民 與 譚 克 平，2017；Adam, 2004)。為 了方 便 讀者 更 理 解 弧的 定 義，我 們 將結 圖 中的 部 分 圖 形 以 灰 色 線 表 示，如 圖 3(a)所 示。若 A、B 兩 點 是 此 圖中 的 兩 個 交叉 點，我 們以 、 表示 A、

B 兩點 於 下 方 曲線 段 上 的 相對 位 置 ， 這兩 個 點 之 間的 曲 線 段 即為 弧 ， 如 圖 3(b)所 示 。 圖 3、 (a)某 結 圖 的 部 分圖 形 (b)弧

參、將結

(或鏈)分類的方法--結不變量

不 變 量 是 數 學 上 非 常 重 要 的 概 念 之 一，它 表 示 在 某 一 組 數 學 研 究 的 對 象(mathematical objects)中 ， 如 果 它 們 具 有 相 同 的 特 徵 或 性 質 ， 則 通 常 可 以 依 照 這 些 特 徵 或 性 質 建 立 一 些 特 殊 的 函 數，使 得 當 這 些 函 數 應 用 在 這 一 組 數 學 對 象 上，將 會 得 到 相 同 的 值。若 將 此 概 念 應 用 於 數 學 結 之 上，我 們 可 以 根 據 同 類 型 結 中 的 特 定 性 質 整 理 出 一 個 函 數，當 我 們 遇 到 一 個 新 的 結 時，可 將 先 前 整 理 的 函 數 應 用 在 新 的 結 上，若 所 求 出 的 值 與 應 用 在 該 類 型 結 是 相 同 的，據 此 可 以 判 斷 對 於 該 性 質 而 言，新 的 結 可 歸 入 該 類 型 結 之 內，稱 這 個 值 是 該 類 型 結 的 一 個 結 不 變 量(楊 樹 文 ，2001; Murasugi, 1996)。 以 數 學 符 號 表 示，給 定 同 類 型 的 任 意 兩 個 結

、

∗，函 數 f 表 示 作用 在 結 上 的特 定 規 則，f(K)表 示 以 特定 規 則 作 用在 結 K 後 所得 到 的 值，若 ∗_{，稱 這 個 值 是 一 個 結 不} 變 量。但 請 注 意，用 這 樣 的 方 式 所 求 出 的 值 不 一 定 是 數 字，也 可 能 是 顏 色、多 項 式 等 符 號。 另 外 ， 這 兩 個 結 只 是 相 對 於 該 函 數 而 言 是 同 類 的 ， 在 其 他 方 面 不 見 得 也 是 同 類 的 。 要 如 何 找 出 函 數 f ？ 通 常 我 們 可 先 制 定 作 用 在 結 圖 或 鏈 圖 上 的 特 定 規 則 後 ， 再 分 別

用 此 規 則 求 出 作 用 在 原 結 圖 及 經 由 三 型Reidemeister 移 動(以 下簡 稱 R 移 動)後 的 新 結 圖， 若 所 得 到 的 兩 個 量 相 等 ， 則f 就是 上 述所 謂 的 特 定規 則，而 利 用 f 作 用 在結 圖 後 所 得到 的 量 即 為 前 述 的 不 變 量 ， 這 個 不 變 量 也 是 此 圖 所 代 表 的 結 的 結 不 變 量(Livingston, 1993)，原 因 是 依 據 Reidemeister 定 理，若 、 ∗分 別 是 結 K、 ∗ 的結圖，兩個結 、 ∗相 等 的 充 分 必 要 條 件 是 在 、 ∗之 間 可 找 到 一 個 R 移 動組 合，使 得 可變 形 成 ∗。因 此，雖 然 一 個 結 會 有 若 干 個 不 同 的 結 圖，但 若 已 求 得 其 中 某 個 結 圖 的 不 變 量 後，這 個 結 的 其 他 所 有 結 圖 都 會 具 有 此 不 變 量 。 關 於 R 移 動的 介 紹 ，可 參 考 孫 維民 與 譚 克 平(2017)及 Adam(2004)的說 明 。 我 們 可 依 照 上 述 方 式 來 判 斷 兩 個 結 是 否 相 等。判 斷 方 式 是 先 找 出 f 後，將 其 作 用 在 給 定 的 兩 個 結 的 結 圖，若 得 到 的 兩 個 量 不 相 等，則 由 結 不 變 量 的 定 義 可 知 這 兩 個 結 是 不 相 等 的。但 如 前 所 述，若 給 定 的 兩 個 結 圖 皆 具 有 某 個 不 變 量，並 不 代 表 它 們 所 代 表 的 結 是 相 等 的，因 為 依 特 定 規 則 分 別 求 出 作 用 在 兩 個 不 同 的 結 之 上，只 要 它 們 具 備 對 應 於 該 特 定 規 則 的 性 質，所 得 到 的 兩 個 量 也 有 可 能 是 相 等 的，即 便 如 此，這 些 不 變 量 仍 可 協 助 我 們 瞭 解 結 部 分 的 性 質。以 下 我 們 介 紹 三 種 相 對 簡 單 的 不 變 量，它 們 皆 是 以 數 值 或 顏 色 來 表 示 的 結 不 變 量 或 鏈 不 變 量，為 了 方 便 閱 讀，我 們 將 沒 有 經 過R 移 動 的 原始 結 圖(或 鏈圖)記 為 D，而 將 D 經 過 某 類 型 R 移 動 組 合後 所 得 到 的新 結 圖(或 新鏈 圖)記 為 ∗_。

一、鏈結數(linking number)

鏈 為 有 限 個 互 不 相 交 的 結 的 集 合，其 中 每 個 結 稱 為 這 個 鏈 的 分 支(component)，且 組 成 此 鏈 的 結 的 個 數 稱 為 這 個 鏈 的 分 支 數。例 如，鏈L 是結 、 結 、...、結 等 n 個 互 不相 交 的 結 的 集 合 ， 對 任 意i 而 言， 結 皆 是 鏈 L 的 分 支， 稱 鏈 L 的 分 支 數 為 n。那 什 麼 是鏈 L 的 鏈 結 數 呢 ？ 讀 者 可 先 回 顧 前 述 交 叉 點 類 型 的 說 明，鏈 結 數 是 將 代 表 鏈 L 中 由 任 意 兩 個 、 結 所 形 成 交 叉 點 的 類 型 的 數 字 相 加 後，再 除 以 2 所 得 到 的值。注 意，該 定義 只 聚 焦 於 任 意 兩 個 結 所 形 成 的 交 叉 點，單 一 個 結 的 曲 線 段 所 形 成 的 交 叉 點 並 不 牽 涉 在 內。由 此 可 知，當 我 們 要 計 算 時，可 先 判 斷 鏈 L 中 的 任 意兩 個 結 、 所 形 成 的 交 叉 點 後， 再 計 算 。若 將 結 、 結 所 形 成 的 鏈 的 鏈 結 數 記 為 , ，則 為 所 有 , 的 總 和 。 以 數 學 符 號 來 表 示 ， 若 組 成 鏈 L 中 的 任 兩 個 結 、 所 形 成 的 鏈 的 鏈 結 數 為 , ， 則 鏈L 的 鏈 結數 ∑ , ，∀1 , (Cromwell, 2004)。 在 實 務 上 ， 我 們 可 以 先 探 討 2 的 情 況 ， 在 求 出 , 後 ， 再 以 類 似 的 方 式 求出 其 他 兩 個 結 的 組 合，最 後 求 出 的一般式，也可以從探討過程中得知所有的 , 皆 為 整 數 ， 進 而 推 得 亦 為 整 數 。 當 2 時，若鏈 L 是結 、 兩 個 互 不 相 交 的 結 的 集 合 體，設D 為 鏈 L 的 有 向 鏈圖，另 設 、 分 別 是 結 、 的有向結圖，即 ∪ ，

∪ 。若 鏈 圖 D 中 的某 個 交 叉 點 為 A 點，則 A 點 的 位 置可 能 在 、 、或在 ∩ 上。由 定 義 可 知，我 們 只 需 要 選 定 在 ∩ 上 的 交 叉 點，並 依 據 結 、 的 賦 向 分 別 判 斷 ∩ 上 的 每 個 交 叉 點 的 類 型 後 ， 把 代 表 交 叉 點 類 型 的+1 或 1 數字相加後除以 2，即為 鏈 結 數 。 若 以lk(L)表 示 鏈 L 鏈結 數 ， 則 lk(L)= ∑ ∩ 。 以 下 先 舉 一 個 簡 單 的 例 子 ， 若 圖4 是 鏈 L 的 鏈 圖 ， 則 鏈 L 的 鏈 結 數=(+1+1)÷2=1。 圖 4、 鏈 L 的 鏈 圖 D 玆 再 以 下 述 比 較 複 雜 的n=2 的鏈 圖 為 例，圖 5 是 某個 分 支 數 為 2 的 鏈 L 的 有 向 鏈 圖， 為 了 方 便 閱 讀 ， 我 們 分 別 用 黑 、 灰 兩 種 不 同 顏 色 的 線 來 表 示 組 成 鏈 L 的 2 個 結 。 圖 5、 分 支數 為 2 的 鏈 L 的 有 向 鏈 圖 觀 察 圖5 中 的 5 個 交 叉 點 可知，A、B、C、D 四 個 點分 別 由 兩 個結 中 的 某 段弧 所 形 成， 而 E 點 卻是 由 單一 個 結 中 的某 兩 段 弧 所形 成，由 定義 可 知，在 計算 鏈 L 的 鏈 結 數 時，E 點 可 以 排 除 不 用 考 慮 ， 故 鏈 L 的 鏈 結 數 2 1 1 1 1 2 0。

至 於 為 什 麼 鏈 結 數 是 一 個 鏈 不 變 量，以 下 僅 提 供 針 對 鏈 結 數 是 2 分 支 鏈 的證 明，推 論 的 過 程 如 下 ： (1) 對 D 進 行 第 一 型 R 移 動 在第 一 型 R 移 動 下，假 設 所 得 的 鏈圖 為 ∗_{，它 會 比 原 來 的 鏈 圖D 增 加 或減 少 一個} 交 叉 點，而 這 個 增 加 或 減 少 的 交 叉 點 可 能 在 或 上，但 不 會 在 ∩ 上，故 ∗ _。 (2) 對 D 進 行 第 二 型 R 移 動 在第 二 型 R 移 動 下，假設 所 得 的 鏈圖 為 ∗_{，它 會 比D 增 加 或減 少 兩 個 交叉 點。這} 是 因 為 當 D 進 行此 移 動 時，形成 新 交 叉點 的 兩 弧 位置 可 能 會 是兩 弧 都 在 上、兩 弧 都 在 上、或 兩 弧 分 別 在 、 上等三種情況。若是第一、二種情況，鏈結數明顯不會 改 變，故 僅 就 第 三 種 情 況 證 明。在 不 失 一 般 性 的 情 況 下，圖6 表 示 對 、 中 各 一 段 子 弧 進 行 第 二 型 R 移 動 後，其 增加 或 減少 的 兩 個 交叉 點，弧 的箭 頭 是 依 照結 、 的 賦 向 所 決 定 。 由 交 叉 點 類 型 的 判 斷 規 則 可 知 ， 這 兩 個 交 叉 點 分 別 是+1 與 1類型 交 叉 點 ， 且+1+( 1)=0，故雖然 ∗ _{增 加 兩 個 交 叉 點 ， 但 這 兩 個 增 加 的 交 叉 點 並 不 會 影 響} ∗ 的 鏈 結 數 的 值。同 理，若 是 減 少 兩 個 交 叉 點，我 們 仍 然 可 以 得 到 鏈 結 數 沒 有 改 變 的 結 果 ， 故 ∗ 。 圖 6、 第 二型 R 移 動 不 影 響 鏈 結 數 (3) 對 D 進 行 第 三 型 R 移 動 圖 7 表示 D 中甲 曲 線 段經 過 第 三型 R 移 動 後 的情 況 。 設 與 為 代 表 組 成 鏈 的 兩 個 結 與 的 結 圖，圖 中 若 甲、乙、丙 三 條 曲 線 段 同 屬 於 或 ，則 由 鏈 結 數 的 定 義，鏈 結 數 會 保 持 不 變，故 接 下 來 僅 需 考 慮 在 不 失 一 般 性 的 情 況 下，這 三 條 曲 線 段 中 乙 、 丙 屬 於 ， 甲 屬 於 ， 由 於 圖 7 (a)中 的兩 個 1 類型的交叉點經過第三型 R 移動 後，這 兩 個 交 叉 點 仍 然 是 1 類型交叉點，同理，圖中+1 類型交叉點仍然維持是+1 類 型 交 叉 點 ， 故 鏈 結 數 保 持 不 變 。 其 餘 情 況 可 用 類 似 方 式 證 明 。

圖 7、 第 三型 R 移 動 不 影 響 鏈 結 數

因 此 ， 我 們 得 到 了 當 2 時， , 是鏈不變量。由於有 n 個分支的鏈的 鏈 結 數 得 自 各 個 , 的 總 和，其 中 所 有 i 與 j 都 符 合1 的條 件，且 任 兩 個 分 支 的 鏈 的 鏈 結 數 是 鏈 不 變 量 ， 故 此 透 過 類 推 的 方 式 證 明 n 分 支 鏈 L 的 也 是 鏈 不 變 量。但 請 注 意，若 兩 個 鏈 圖 的 鏈 結 數 相 同，並 不 表 示 這 兩 個 鏈 圖 所 代 表 的 鏈 相 等。例 如， 圖 8 是 顯然 鏈(trivial link)與懷 特 海 鏈(Whitehead link)兩 個 有 向鏈 圖 ， 分 別計 算 其 鏈 結數 後 ， 可 得 到 兩 者 的 鏈 結 數 皆 為0， 但 顯然 鏈 與 懷 特海 鏈 是 兩 個不 同 的 鏈 。 圖 8、 鏈 結數 皆 為 0，但 不 相 等 的兩 個 鏈

二、三色性(tricolorability)

什 麼 是 三 色 性 ？ 給 定 一 個 結 圖 D 與 紅 、藍 、 綠 三 種顏 色 ， 假 設我 們 要 在 D 中的 各 段 弧 上 各 塗 一 種 顏 色 ， 塗 色 規 則 如 下 ： (1) 從 三種 顏 色 中 任選 一 種 顏 色塗 在 每 段 弧上 ， 不 同 弧上 所 塗 的 顏色 可 重 覆 選擇 。 (2) 對 於整 個 結 而 言， 最 少 要 用超 過 兩 種 以上 的 顏 色 塗色 。 塗 完 色 後，接 下 來 需 要 檢 查 結 圖 中 圍 住 每 個 交 叉 點 的 弧 的 塗 色 結 果，若 每 個 交 叉 點 不 是 被 同 色、就 是 被 三 種 顏 色 的 弧 圍 住，且 至 少 有 一 個 交 叉 點 被 三 種 不 同 顏 色 的 弧 圍 住，稱 此 結 圖 有 三 色 性 ， 若 一 個 結 的 任 一 個 結 圖 皆 有 三 色 性 ， 則 稱 這 個 結 有 三 色 性(Livingston, 1993)。例 如 ， 圖 9 中 有 兩 個結 圖 ， 為 了方 便 閱 讀 ，我 們 分 別 以黑 、 灰 、 淺灰 三 種 不 同顏

色 且 粗 細 不 同 的 弧 表 示 三 段 塗 上 紅、藍、綠 三 色 的 弧，讀 者 可 檢 視 這 兩 個 圖 中 的 各 個 交 叉 點，不 是 被 同 色、就 是 被 三 種 顏 色 的 弧 圍 住，且 兩 個 圖 中 都 至 少 有1 個 交叉 點 被 三 種不 同 顏 色 的 弧 圍 住 ， 故 圖9 中 的兩 個 結 圖 皆有 三 色 性 。 圖 9、 兩 個有 三 色 性 的結 圖 以 下 我 們 用 類 似 證 明 鏈 結 數 是 鏈 不 變 量 的 方 式 ， 透 過 討 論 三 型 R 移 動 作用 在 鍵 圖 上 前 後 的 變 化，藉 此 證 明 三 色 性 是 結 不 變 量。為 了 方 便 讀 者 閱 讀，我 們 在 證 明 過 程 及 圖 中 分 別 用 甲、乙、丙、… 等 字 表 示 結 圖 中 的 弧，由 於 移 動 前、後 的 證 明 方 式 類 似，都 是 要 考 慮 如 何 在 包 圍 交 叉 點 的 弧 上 塗 色，為 了 節 省 空 間，以 下 我 們 只 證 明 第 一、二 類 型R 移 動後 增 加 交 叉 點 ， 及 第 三 類 型R 移 動後 的 情 況。 (1) 對 D 中 的 甲 弧 進行 第 一 型 R 移 動 在此 情 況 下，移 動 後 所形 成 的 新 交叉 點 是 由 甲弧 演 變 出 來的 乙、丙 兩弧 所 圍 出 來 的 ， 如 圖 10 所 示。 圖 10、 第 一型 R 移 動 由 於 產 生 了 乙、丙 兩 個 新 的 弧，且 必 須 按 照 三 色 性 的 塗 色 規 則 為 乙、丙 兩 弧 塗 上 顏 色。 首 先，若 將 乙、丙 兩 弧 塗 上 甲 弧 原 來 的 顏 色，則 ∗ 就 會 符 合 三 色 性 的 要 求。其 次，如 果 將 乙、丙 兩 弧 塗 上 不 同 於 原 甲 弧 的 顏 色，即 乙、丙 兩 弧 各 自 塗 一 種 上 不 同 的 顏 色， 這 樣 的 塗 色 法 並 不 滿 足 三 色 性 塗 色 規 則 的 要 求，因 為 三 色 性 要 求 塗 色 後 每 個 交 叉 點 不 是 被 同 色 就 是 被 三 種 顏 色 的 弧 圍 住，而 乙、丙 弧 僅 能 塗 上 兩 種 顏 色。綜 合 來 說，只 有 將 乙、丙 兩 弧 塗 上 甲 弧 原 來 的 顏 色 才 會 符 合 三 色 性 的 塗 色 規 則，而 這 樣 的 塗 色 法 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。

(2) 對 D 中 的 甲 、 乙兩 弧 進 行 第二 型 R 移 動 將原 來 乙 弧移 動 後 ， 形成 丙 、 丁 、戊 三 段 弧 ，且 產 生 了 A、 B 兩 個 新的 交 叉 點 ， 以 下 依 照 結 圖D 中 甲、乙 兩段 弧 及 移 動後 結 圖 ∗ _{中 的 丙 弧 顏 色 是 否 相 同 作 為 考 量 點，} 可 分 為 以 下 四 種 情 況 作 進 一 步 的 討 論 。 (i) 甲、 乙 、 丙 三弧 同 色 考 慮 圍 成 A 點 的甲、丙、丁 三 條 弧，如 果 我 們 將 丁弧 塗 上 跟 甲、丙 弧 相 同的 顏 色， 另 外 又 將 戊 弧 塗 上 與 甲、丁 弧 相 同 的 顏 色，如 圖11 所 示，則 此塗 色 法 符 合三 色 性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。 圖 11、 丙 、丁 、 戊 弧 的顏 色 與 甲 弧相 同 (ii) 甲 、 乙 兩 弧同 色 ， 乙 、丙 兩 弧 不 同色 考 慮 圍 成 A 點 的甲 、 丙 、 丁三 條 弧 ， 如果 將 丁 弧 塗上 跟 甲 、 丙弧 皆 不 同 的顏 色， 另 外 又 將 戊 弧 塗 上 跟 甲、丁 弧 皆 不 同 的 顏 色，如 圖 12 所 示，則 此 塗 色 法 符合 三 色 性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。 圖 12、 丙 、丁 、 戊 弧 的顏 色 與 甲 弧不 同 (iii) 甲 、 乙 兩 弧不 同 色 ， 乙、 丙 兩 弧 同色 考 慮 圍 成 A 點 的甲、丙、丁 三條 弧，如 果將 丁 弧 塗上 跟 甲、丙 弧不 同 的 顏色， 另 外 又 將 戊 弧 塗 上 跟 甲、丁 弧 不 同 的 顏 色，如 圖13 所 示，此 塗 色法 符 合 三 色性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。

圖 13、 丙 、丁 、 戊 弧 的顏 色 與 甲 弧不 同 (iv) 甲、 乙 、 丙三 弧 不 同 色 考 慮 圍 成 A 點 的甲、丙、丁 三條 弧，如 果將 丁 弧 塗上 跟 甲、丙 弧不 同 的 顏色， 另 外 又 將 戊 弧 塗 上 甲 、 丁 弧 不 同 的 顏 色 ， 如 圖 14 所 示 ， 此 塗 色 法 符 合 三 色 性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。 圖 14、 丙 、丁 、 戊 弧 的顏 色 與 甲 弧不 同 綜 合 上 述(i)、(ii)、(iii)、(iv) 各種 情 況可 知，如 果結 圖 D 具 有三 色 性，結 圖 ∗ _亦 具 有 三 色 性 。 假 設 、 、 三 點 為 D 中 的 三 個交 叉 點 ， 由於 三 條 弧 有很 多 不 同 的相 對 位 置 ，另 外 結 圖 D 中 各條 弧 所 塗 顏色 有 很 多 種符 合 三 色 性規 則 的 情 況， 且 我 們 主要 目 的 在 證明 ∗ 具 有 三 色 性 ， 因 此 為 了 簡 化 討 論 ， 在 不 失 一 般 性 的 情 況 下 ， 以 下 只 討 論 將 過 、 兩 點 的 曲 線 段 從 點 下 方 滑 動 經 過 點後，形成了 與 兩個新的交叉點，並探討 ∗是 否 具 有 三 色 性。我 們 分 別 依 圍 住 、 、 三點的甲、乙、丙、丁、戊、己這六段弧顏色的三 種 不 同 情 況 ， 進 而 討 論 如 何 將 圍 住 與 兩個 點的 庚、 丙 、 辛 、甲 、 壬 這 五段 弧 塗 色 。 至 於 其 餘 情 況，例 如 當 三 條 曲 線 段 在 不 同 相 對 位 置 之 下 其 三 色 性 的 討 論，建 議 有 興 趣 的 讀 者 可 以 用 類 似 方 式 自 行 推 導 。 (i) 移動 前 甲 、 乙、 丙 、 丁 、戊 、 己 六 弧同 色 先 將 移 動 後 的 庚 弧 塗 上 與 丙 弧 相 同 的 顏 色 ， 再 將 辛 弧 塗 上 跟 丙 弧 相 同 的 顏 色 ， 最

後 把 壬 弧 塗 上 跟 甲 弧 相 同 的 顏 色 ， 結 果 如 圖 15 所 示 ， 此 塗 色 法 符 合 三 色 性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。 圖 15、 庚 、辛 、 壬 三 弧同 色 (ii) 移 動 前 甲 、乙 、 丙 三 弧同 色 ， 丁 、戊 、 己 三 弧跟 甲 弧 不 同色 先 將 移 動 後 的 庚 弧 塗 上 與 丙 弧 不 同 的 顏 色 ， 再 將 辛 弧 塗 上 跟 庚 、 丙 兩 弧 不 同 的 顏 色 ， 最 後 把 壬 弧 塗 上 跟 辛 、 甲 兩 弧 不 同 的 顏 色 ， 結 果 如 圖 16 所 示 ， 此塗 色 法 符 合 三 色 性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。 圖 16、 庚 、壬 兩 弧 同 色， 且 跟 甲 、辛 兩 弧 不 同色 (iii) 移 動 前 甲 、乙 、 丙 三 弧不 同 色 ， 且甲 與 己 、 乙與 丁 、 丙 與戊 兩 弧 兩 兩同 色 先 將 移 動 後 的 庚 弧 塗 上 與 丙 弧 不 同 的 顏 色，再 將 辛 弧 塗 上 跟 庚、丙 兩 弧 不 同 的 顏 色 ， 最 後 把 壬 弧 塗 上 跟 辛 、 甲 兩 弧 不 同 的 顏 色 ， 結 果 如 圖 17 所示 ， 此 塗 色法 符 合 三 色 性 的 塗 色 規 則 ， 不 會 改 變 原 來 結 圖 所 具 備 的 三 色 性 。 圖 17、 庚 、辛 、 壬 三 弧不 同 色 ， 且庚 弧 跟 甲 弧同 色

綜 上 所 述，我 們 證 明 了 三 色 性 也 是 一 個 結 不 變 量。雖 然 三 色 性 對 於 分 辨 各 種 類 型 的 結 的 效 果 並 不 明 顯，但 它 仍 有 其 價 值，例 如 我 們 可 利 用 三 色 性 來 判 斷 三 葉 結 與 顯 然 結 是 不 相 等 的 結。理 由 是 因 為 三 葉 結 的 結 圖 有 三 色 性，而 顯 然 結 的 結 圖 沒 有 三 色 性。 請 注 意，若 兩 個 結 圖 皆 沒 有 三 色 性，並 不 代 表 這 兩 個 結 圖 所 代 表 的 結 相 等。例 如；八 字 結 的 結 圖 與 顯 然 結 的 結 圖 皆 不 具 有 三 色 性 ， 但 八 字 結 與 顯 然 結 並 不 相 等 。

三、非結數(unknotting number)

已 知D 是 結 K 的 結圖。若 選 取 D 中 某 些 交叉 點 並 改 變其 交 叉 點 的類 型(crossing switch) 後 形 成 一 個 新 結 圖 ， 則 此 新 結 圖 所 代 表 的 結 可 能 是 顯 然 結 。 例 如 ： 圖 18(a)是 有 7 個 交叉 點 的 結 圖 ， 若 選 定(a)中 的 一個 交 叉 點 A 並 改 變 其 類型 後 ， 原 來的 A 點 變為 A’ 點 ， 並形 成 一 個 新 結 圖(b)，不 難 發 現(b)圖 所 代 表的 結 是 顯 然結 。 圖 18、 改 變 A 點 類 型 的 示 意 圖 將 一 個 結 圖 中 某 些 交 叉 點 的 類 型 改 變 後，會 形 成 一 個 新 結 圖，有 些 時 候 新 結 圖 所 代 表 的 結 會 是 顯 然 結，我 們 稱 改 變 交 叉 點 原 有 類 型 的 次 數 為 該 結 圖 的 非 結 數，而 該 結 的 非 結 數 就 是 取 這 個 結 所 有 結 圖 非 結 數 的 最 小 值，例 如：圖18 的 結 的 非結 數 為 1。以符 號 來 表 示， 已 知K 是 一 個 結，D 是 K 的 結圖，今 改 變 D 中 n 個 交 叉點 的 類型 後，形 成一 個 新 結 圖 ∗_， 且 ∗ 所 代 表 的 結 是 顯 然 結 ， 則 稱 n 為 D 的 非 結數 ， 將 n 記 為 ， 且 結K 的 非 結數

定 義 為 所 有 中 的 最 小 值 ， 即 min (Adams, 2004; Murasugi, 1996)。 由 定 義 不 難 證 明 在 三 型 R 移 動下 皆 保 持不 變，故 是 另 外 一 個 結 不 變 量。但 一 般 而 言 ， 要 計 算 是 頗 為 困 難 的 ， 因 為 沒 有 直 接 方 法 判 斷 該 如 何 挑 選 D 中的 哪 幾 個 交

叉 點 並 改 變 其 類 型 後 ， 所 形 成 的 新 結 圖 是 代 表 顯 然 結 。

0，三 葉 結 的 非 結數 是 1，故 顯 然 結 與 三葉 結 不 相 等。此 外， 除了 是 一 種 結不 變 量 以 外 ， 近 期 在 生 物 化 學 中 探 究 酶(enzyme)作 用 在 去 氧 核 醣 核 酸 (deoxyribonucleic acid, DNA) 後 所 形 成 新 的 DNA 是 否 跟原 來 的 DNA 相同 ， 以 結理 論 的 觀 點來 看 此 問 題， 基 本 上 可將 各 種 不 同 類 型 的 DNA 視 為一 些 結，而 某 種 特 定 酶作 用 在 DNA 後，會 改 變原 來 DNA 中 某 些 交 叉 點 的 類 型 形 成 一 個 新 的DNA， 要如 何 判 斷新 DNA 跟原 DNA 是 否相 同 的 問 題。 由 於 相 關 理 論 已 超 過 本 文 探 討 範 圍，建 議 有 興 趣 的 讀 者 可 參 考 Sumners(1996, 2011)文 章中 的 相 關 內 容 。

肆、結不變量的應用

本 節 我 們 將 應 用 上 節 結 果 來 判 斷 某 一 些 量 是 不 是 結 不 變 量，及 區 辨 兩 個 結 是 否 相 等。 讀 者 可 以 先 自 行 思 考 試 答 後 ， 再 參 考 我 們 提 供 的 答 案 ， 相 關 問 題 如 下 ： 問 題 1. 已 知 K 是 一個 結 ，D 是 結 K 的 一個 結 圖 。若 定 義 A(K)是 D 中 所 有弧 的 總 數 量 ， 則 A(K)是 否 是 結不 變 量? 參 考 解 答 ： 若 D 經 過 三 型 R 移 動 前 後 ，弧 的 總 數 量保 持 不 變 ，則 這 個 量 可視 為 是 結 不變 量 。 由 弧的 定 義 可 知 ，D 在 經 過某 一 型 R 移 動 後，弧 的 總 數 量會 增 加。以 五 星 結 為 例，圖 19 是 五星 結 結 圖D 與 其 經過 第 二 型 R 移 動 後 所 形成 的 新 結 圖 ∗_{， 故A(D)=5，} ∗ _{7，兩者不相} 等 ， 故A(K)不 是結 不 變 量 。 圖 19、 (a)五 星 結 結 圖 D (b) D 經 由 第 二 型 R 移 動 後 變 成 ∗ 問 題 2. 圖 20 是 交 叉點 數 量分 別 為 4 與 6 的 兩 個 結圖 。 以 三 色性 判 斷 這 兩個 結 圖 所 代 表 的 結 是 不 相 等 的 。

圖 20、 交 叉點 數 量 分 別為 4 與 6 的 兩 個 結 圖 參 考 解 答 ： 根 據 三 色 性 的 定 義 ， 分 別 選 定 一 個 交 叉 點 並 以 三 種 顏 色 開 始 塗 色 ， 可 發 現 圖 20(a)不 具有 三 色 性 ， 而 圖 20 (b)具 有 三色 性，為 了方 便 閱 讀，分 別 以 黑、灰、淺 灰 三色 粗 細 不 一的 弧 來 表 示 這 三 段 分 別 被 塗 上 紅 、 藍 、 綠 三 種 顏 色 的 弧 ， 如 圖 21 所 示。 據 此 判斷 ， 這 兩 個結 圖 所 代 表 的 結 並 不 相 等 。 圖 21、 交 叉點 數 量 分 別為 4 與 6 的 兩 個 結 圖 問 題3. 已 知 鏈 L 是 一 是 分支 數 為 2 的 鏈，今 同 時 將 L 中 的 所有 分 支 改 變其 賦 向 後，形 成 一 個 新 的 鏈 ∗， 如 圖22 所 示 。計 算 鏈 L 與 鏈 ∗ _{的 鏈 結 數 。} 圖22、 兩 個賦 向 相 反 的鏈 圖

參 考 解 答 ： 依 照 鏈 結 數 的 定 義 ， 可 得 鏈L 的 鏈 結 數 1 1 2 1，鏈 ∗ _的鏈結數 1 1 2 1。 問 題4. 若 鏈 M 是 一個 是 分支 數 為 2、鏈結 數 為 a 的 鏈，今 同時 將 M 中 的 2 個 分 支 改變 其 賦 向 後 ， 形 成 一 個 新 的 鏈 ∗， 且 鏈 結 數 為 b，試 證 明 a=b。 參 考 解 答 ： 由 題 意 可 知，同 時 將 鏈 M 的 2 個 分 支 改變 賦 向 後，其交 叉 點 皆維 持 原 有 類型，故 a=b。前 述 第 三 題 即 為 此 性 質 的 一 個 例 子 。

伍、討論

由 以 上 的 例 子 可 知，雖 然 結 不 變 量 是 研 究 結 時 常 用 的 工 具，且 通 常 是 由 結 圖 的 特 性 定 義 出 特 定 規 則 後 ， 接 著 經 過 計 算 後 所 得 到 的 量 ， 但 除 了 要 符 合 作 用 在 三 型 R 移 動 前後 所 求 得 的 值 不 變 的 條 件 外，在 實 際 操 作 中，要 如 何 判 斷 一 個 結 圖 是 否 具 有 某 不 變 量 時，有 些 時 候 是 相 當 困 難 的 。 例 如 ： 當 讀 者 嘗 試 將 圖 20(b)塗 色測 試 其 是否 具 有 三 色性 時 ， 塗 了很 多 次 都 不 符 合，但 這 並 不 意 味 著 下 一 次 的 塗 色 無 法 成 功。這 反 映 出 雖 然 利 用 結 不 變 量 能 進 一 步 處 理 結 分 類 問 題 ， 但 在 實 際 找 出 規 則 或 是 利 用 已 知 的 結 不 變 量 計 算 時 仍 是 充 滿 挑 戰 的 。 在上 文 中，我 們介 紹 了三 個 在 處 理結 分 類 問 題時 常 使 用 的不 變 量，它 們 卻各 自 有其 限 制，到 目 前 為 止，還 沒 有 找 到 一 個 結 不 變 量 可 以 無 誤 地 判 斷 任 何 兩 個 結 是 否 相 等。雖 然 三 色 性 跟 非 結 數 都 是 結 不 變 量，但 由 結 不 變 量 的 定 義 可 知，當 我 們 利 用 三 色 性 或 非 結 數 等 結 不 變 量 判 斷 出 兩 個 結 的 結 圖 都 具 有 此 結 不 變 量 時 ， 並 不 代 表 這 兩 個 結 是 相 等 的 。 以 三 葉 結、八 字 結、五 星 結 等 三 個 不 一 樣 的 結 為 例，當 我 們 判 斷 它 們 是 否 具 有 三 色 性 及 其 非 結 數 的 值 為 何 時 ， 可 整 理 出 如 圖23 所 示 的 結果 。

圖 23、 三 種結 是 否 具 有三 色 性 及 其非 結 數 的 值 由 上 圖 可 知，三 葉 結 與 五 星 結 具 有 三 色 性，八 字 結 卻 沒 有，且 三 葉 結 與 八 字 結 的 非 結 數 的 值 等 於 皆 為 1，而 五 星結 的 非 結 數的 值 卻 等 於 2，是 故 ，產 生 此 現 象的 原 因 在 於結 不 變 量 只 是 判 斷 兩 個 結 是 否 相 等 的 必 要 條 件，而 非 充 分 條 件。因 此，在 使 用 結 不 變 量 來 判 斷 兩 結 是 否 相 等 時，當 兩 個 結 皆 具 備 某 個 結 不 變 量 時，仍 需 留 意 這 並 不 代 表 這 兩 個 結 必 定 相 等 ， 還 需 要 考 慮 其 他 結 不 變 量 的 情 況 。 在 結 理 論 中，常 利 用 圖 代 表 鏈 或 結，然 而 從 所 給 定 的 圖 形 中，有 時 很 難 直 觀 判 斷 其 所 代 表 的 是 鏈 還 是 結。例 如 讀 者 可 嘗 試 判 斷 圖 24 中 的兩 個 圖 分 別是 代 表 一 個鏈 或 是 一 個結。 圖24、 代 表鏈 或 結 的 兩個 圖 由 鏈 不 變 量 與 結 不 變 量 的 定 義 可 知，當 給 定 一 圖 形 時，要 先 判 斷 出 這 個 圖 形 是 代 表 鏈 或 是 結 後，才 能 正 確 使 用 鏈 不 變 量 或 是 結 不 變 量，因 此，本 文 除 了 介 紹 三 色 性 與 非 結 數 之 外 ， 另 外 還 介 紹 了 鏈 結 數 ， 希 望 能 幫 助 讀 者 釐 清 將 不 變 量 應 用 在 鏈 圖 與 結 圖 的 關 係 。 雖 然 用 個 別 的 結 不 變 量 判 斷 兩 個 結 是 否 相 等 時 會 有 其 限 制，但 應 用 結 不 變 量 判 斷 兩 結 是 否 相 等，至 少 對 於 處 理 兩 結 是 否 相 等 的 問 題 提 供 了 一 個 方 向，當 兩 個 結 的 某 個 結 不 變 量 並 不 相 同 時 ， 我 們 可 以 判 斷 這 兩 個 結 並 不 相 同 。

陸、結語

從 數 學 的 角 度 來 看，若 一 個 結 能 經 由 任 意 連 續 變 形 而 變 成 另 一 個 結 時，則 這 兩 個 結 是 相 等 的，換 一 個 說 法 是 這 兩 個 結 屬 於 同 一 類 型 的 結。是 故，結 不 變 量 是 一 個 由 兩 個 結 圖 來 判 斷 兩 個 結 是 否 相 等 的 方 式。從 上 述 介 紹 結 不 變 量 的 概 念，以 及 判 斷 一 個 量 是 不 是 結 不 變 量 的 內 容 中 可 知，要 判 斷 一 個 量 是 不 是 結 不 變 量，只 要 找 出 特 定 規 則 並 證 明 以 此 規 則 作 用 在 經 過 三 型 R 移 動 前 後 的 兩個 結 圖 上 ，所 得 到 的 兩個 量 是 維 持不 變 的 即 可。 但 若 讀 者動 手 實 作 並 仔 細 思 考 這 些 結 不 變 量 的 意 義 後，或 許 會 發 現 就 算 依 照 這 些 結 不 變 量 的 定 義 進 行 判 斷，有 些 時 候 要 算 出 結 果 亦 會 困 難 重 重。以 結K 的 非 結 數 為 例，因 為 一 個 結 可 以 畫 出 很 多 長 相 不 一 樣 的 結 圖，且 依 的 定 義，必 須 先 計 算 出 各 結 圖 的 非 結 數 後，再 取 最 小 值，故 困 難 之 處 在 於 除 了 如 何 計 算 出 結 圖 的 非 結 數 之 外，還 需 要 思 考 如 何 找 出 無 限 多 個 結 圖 的 非 結 數 的 值 ， 並 取 它 們 的 最 小 值 ， 確 實 不 是 一 件 容 易 的 事 。 有 時 當 我 們 想 計 算 某 個 結 圖 的 不 變 量 並 嘗 試 許 多 次 後，發 現 這 個 圖 沒 有 不 變 量 時，並 不 意 味 著 日 後 再 一 次 的 嘗 試 亦 會 無 法 達 到 我 們 的 目 標。這 就 類 似 於 在 數 學 解 題 過 程 中，即 我 們 對 某 命 題 能 夠 舉 出 多 個 支 持 其 正 確 性 的 例 子，但 卻 不 足 以 形 成 一 個 證 明 的 道 理 一 樣。 這 反 映 出 以 各 種 結 不 變 量 對 結 進 行 分 類 時，有 時 在 決 定 或 計 算 結 不 變 量 是 有 困 難 的，但 也 反 映 出 其 挑 戰 性，從 結 理 論 後 續 發 展 的 歷 程 來 看，能 夠 找 出 各 種 不 同 的 結 不 變 量 來 研 究 如 何 將 結 分 類，將 會 是 可 以 持 續 探 索 的 方 向，建 議 有 興 趣 的 讀 者 可 持 續 閱 讀 參 考 資 料 中 所 列 舉 的 文 獻 。

參考文獻

中 文 文 獻 孫 維 民 與 譚 克 平 (2017)。 結可 以 用 數 學的 角 度 來 研究 嗎 。 科 學 教 育 月 刊 ，394，11-26。 楊 樹 文 (2001)。結 與 結 的 不變 量 。 數 學 傳 播 ，25(2)，4-19。 英 文 文 獻

Adams, C. C. (2004). The knot book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. New York: W.H. Freeman and Company.

Cromwell, P. P. (2004). Knots and links. New York: Cambridge University Press.

Farmer, D. W. & Standard, T. B. (1996). Knots and surfaces: A guide to discovering

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Livingston, C. (1993). Knot theory. Washington, DC: Mathematical Association of America. Murasugi, K. (1996). Knot theory and its applications (B. Kurpita, Trans.). Boston: Birkhauser. Sumners, D. W. (1995). Lifting the curtain: Using topology to probe the hidden action of

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