圓柱形棒磁鐵與圓環形薄片磁鐵之間
的磁作用力
周章
1蔡尚芳
2*
1私 立 吳 鳳 科 技 大 學 國際 企 業 管 理系 2私 立 吳 鳳 科 技 大 學 電機 工 程 系壹、引言
在 一 般 高 中 與 大 學 的 物 理 課 程 中 ， 通 常 多 半 是 利 用 必 歐-沙 伐 (Biot-Savart)定 律 (余 健治、陳 家 駒、閔 振 發、褚 德 三、蔣 亨 進、蔡 尚 芳，2006；Crummett & Western， 1994；Halliday & Resnick，1988；Serway & Jewett Jr.，2010；Wolfson & Pasachoff， 1999)來計 算 電 流所 產 生 的 磁場，以 闡 釋磁 性 物 體 的 磁 作 用 力 與 磁 現 象 ； 但 這 種 處 理 方 式 ， 由 於 牽 涉 到 較 高 深 的 數 學 技 巧 ， 對 大 多 數 高 中 學 生 而 言 ， 實 際 上 是 很 難 理 解 或 運 用 的 ， 也 因 此 無 法 有 效 用 來 解 決 與 磁 鐵 有 關 的 問 題 。 但 如 將 磁 鐵 視 為 是 由 許 多 磁 偶 極 子 所 組 成 ， 則 可 利 用 磁 偶 極 子 的 磁 場 公 式 ， 經 由 相 當 簡 單 的 基 本 向 量 運 算 ， 對 與 磁 鐵 有 關 的 磁 作 用 力 與 磁 現 象 ， 做 相 當 深 入 而 定 量 化 的 探 討(蔡 尚芳 ，2002)。 本文 即 利 用上 述 模 型，針 對 2010 年 7 月17 日 至 25 日 在 克羅 埃 西亞 舉 行 的 國際 物 理 奧 林 匹 亞 競 賽 實 驗 第 二 大 題(41st International Physics Olympiad，2010)，進 行 理 論 分 析 ， 並 將 理 論 與 實 驗 結 果 ， 做 一 *為本 文 通 訊 作 者 比 較 ， 以 驗 證 兩 者 的 一 致 性 ， 並 供 國 內 高 中 物 理 教 學 與 有 志 參 加 各 類 國 際 物 理 競 賽 之 學 生 參 考 。 以 下 的 討 論 ， 假 設 軸 方 向 取 為 鉛 直 向 上 ， 如 圖 1 所示 ， 並 以 、 、 ̂ 分別代 表 一 直 角 坐 標 系 沿 三 個 坐 標 軸 方 向 的 單 位 向 量 。貳、磁偶極子所產生的磁場
對 於 一 個 體 積 可 忽 略、磁 偶 極 矩 (簡 稱 磁 矩 )為 的磁偶極子，當空間中一點 相 , y, 0 圖 1、磁 偶 極子 在 直 角 坐標 系 中 的 位置對 於 此 磁 偶 極 子 的 位 置 向 量 不 為 零 時 ， 此 磁 偶 極 子 在 點 所 產 生 的 磁 場 可 根 據 蔡 尚 芳 (2002)中 (6)式 結 果 (Griffiths，1989； Jackson， 1975； Reitz, Milford & Christy， 1993)， 求 得 其 為 4 1 3 · , 1 上 式 中， | | 為磁偶極子到 點的距離， 為 真 空 的 磁 導 率 。 如 圖 1 所 示 ， 考 慮 一 磁 偶 極 子 在 坐 標 為 0,0, 的 點 所 產 生 的 磁 場 。 假 設 此 磁 偶 極 子 位 於 平 面 上 一 個 半 徑 為 的 圓 上 ， 其 坐 標 為 , , 0 ， 磁 矩 為 ̂，則 此磁偶極子至 點的相 對 位 置 向 量 為 s ̂ ， 且 ， 而 純 量 積 · 。 根 據 (1) 式 ， 此 磁 偶 極 子 在 點所產生的磁場為 4 3 1 ̂ 3 . 2 上 式 顯 示 磁 場 的 分量為 4 3 1 . 3 圖 2 所 示 為 以 / 4 為 單 位 時 ， 隨 / 的變化； 的極 小值出現 在 0， 而 極 大 值 則 位 於 / 3/2。 由 圖 2 或(3)式 可看 出 = 。 圖 2、 磁 偶極 子 在 z 軸 上 產 生 的 磁場 鉛 直 分 量 / / / 4
參、均勻細圓環磁鐵所產生的磁場
(3)式 的 結 果 可 以 很 容 易 的 推 廣 到 一 個 位 於 平面的均勻細圓環磁鐵。 假 設 此 一 磁 鐵 的 中 心 位 於 原 點 ， 圓 環 半 徑 為 ， 總 磁 矩 為 ̂。 我 們 將 此 磁 鐵 視 為 係 由 均 勻 分 布 於 圓 環 上 的 個 磁 偶 極 子 所 組 成 ( 1)，所有磁偶極子的磁矩 總 和 與 此 磁 鐵 的 總 磁 矩 相 等 ， 即 ∑ ̂ ̂，其中 ̂為第 個磁偶極子 的 磁 矩 。 由 (3)式 可 求 得 第 個 磁 偶 極 子 在 軸 上 坐 標 為 (0,0, )處所產生的磁場 分量為 4 3 1 . 4 依 磁 場 的 疊 加 原 理 ， 所 有 的 總 和 即 為 細 圓 環 磁 鐵 在 (0,0, )處 所 產 生 的 磁 場 的 分 量 ， 故 得 4 ∑ 3 1 . 實 際 上 因 為 ∑ ， 故 上 式 結 果 與 (3) 式 完 全 相 同 。 若 細 圓 環 磁 鐵 的 磁 矩 沿 著 圓 環 均 勻 分 布，則 由(2)式與 對 稱 性 考量，可 知 位於 圓 環 任 一 直 徑 兩 端 的 一 對 磁 偶 矩 子 ， 因 其 坐 標 分 別 為 , , 0 與 , , 0 ，故兩者在 軸 上 一 點 所 產 生 的 磁 場，其 分 量 或 分 量 彼 此 正 負 相 消。故 均 勻 細 圓 環 磁 鐵 在 軸 上 所 產 生 的 磁 場 只 有 分 量，即 ̂， 而 得 ̂ 4 3 1 ̂. 5肆 、 均 勻 圓 環 形 薄 片 磁 鐵 所 產 生 的
磁場
如 圖 3 所示 的 中空 圓 環 形 薄片 磁 鐵 ， 位 於 平 面 ， 內 徑 為 ， 外 徑 為 ， 總 磁 矩 為 ̂。因假設此磁鐵為均勻，故其每 單 位 面 積 的 磁 矩 ， 等 於 其 總 磁 矩 與 總 面 積 之 比 ， 即 ̂ ̂. 6 如 圖 3 所 示，此 磁 鐵 在 半 徑 到 的 部 分( ，可 近 似 為 半 徑 為 的 細 圓 環 磁 鐵，故 適 用(5)式 的 磁 場公 式。由 於此 部 分 的 面 積 為2 ， 故 其 所 具 有 的 磁 矩 為 ̂ 2 2 ̂. 7 由(5)式可 得 此 部分 的 磁 鐵 在 z 軸 上 坐 標 為(0,0,z)處 所產 生 的 磁 場 z 分量 為 4 3 1 . 8將 上 式 對 半 徑 積 分 後 ， 可 求 得 整 片 磁 鐵 所 產 生 的 磁 場 分 量 為 4 2 3 1 2 1 2 . 9 圖 4a 與 圖 4b 所示 為 上 式 之 以 / 4 為 單 位 時 ， 隨 / 的 變 化 。 由 此 二 圖 或(9)式，可看 出 ，且 不 論 比 值 / 為 何 ， 的 極 小 值 恆 出 現 在 0，而極大值則出現在| / | 3/2。 一 如 預 期，當 / 1時，磁鐵可近似為一 細 圓 環 ， 故 圖 4a 趨 近 於 圖 2； 而 由 圖 4b 可 看 出 ， 當 / 趨 近 於 零 時 ， 的 極 大 值 會 出 現 在 愈 靠 近 0 的地方，而此時在 0 處的 ， 其 絕 對 值 也 變 得 愈 大 。 圖 3、 均 勻圓 環 形 薄 片磁 鐵 示 意 圖 ∑ ̂ ̂
/ / / 4 圖 4b、圓 環形 薄 片 磁 鐵產 生 的 磁 場分 量 ( / 0.2) 圖 4a、 圓 環 形 薄 片 磁 鐵產 生 的 磁 場分 量 ( / 0.99) / / / 4
伍、磁場對棒磁鐵的磁作用力
根 據 蔡 尚 芳(2002)的(7b)式，棒 磁鐵 可 視 為 是 由 位 於N極的正磁 荷(亦稱磁極強度 或 極 強) ， 與 位 於S極 的 負 磁 荷 所 組 成 。 若 負 磁 荷 至 正 磁 荷 的 位 移 向 量 為 ，則 此 棒 磁 鐵 的 磁 矩 等於磁荷 與 位 移 的乘積，即 . 10 此 外，由 蔡 尚 芳(2002)的(9b)式，可 知 當磁 荷 在 磁 場 中 時，其 所 受 到 的 磁 作 用 力 為 . 11 假 設 如 圖 5 所 示， 中 空 圓 環形 薄 片 磁 鐵 位 於 平面，內徑為 ，外徑為 ，總磁 矩 為 ̂， 而 棒 磁 鐵 只 能 沿 軸 自 由 移 動，其 中 心 點 的坐標為 0,0, ，S 極到N 極 的 位 移 為 2 ̂ ， 磁 矩 為 2 ̂。 依 據(9)式，圓 環形 薄 片 磁 鐵在 棒 磁 鐵 的 S 極 與 N 極 所 產 生 的 磁 場 分 別 為 ̂與 ̂， 故 由 (10)與 (11)式 得 棒 磁 鐵 受 到 的 磁 作 用 力 為 ̂ ̂ ̂ 12 上 式 中 與 分 別 為 作 用 於N極 與 S 極 的 磁 力 分 量 ， 其 定 義 式 如 下 ： 2 13 圖 5、 中 空圓 環 形 薄 片磁 鐵 與 棒 磁鐵 的 位 置 關係 2由(13)式 可 看 出 每 單 位 磁 荷 受 到 的 力 / 或 / ， 其 隨 棒 磁 鐵 中 心 點 坐 標 的變化，與(9)式之 完 全 相 同 ， 只 是 坐標 的 原 點 分 別 左 移 或 右 移 一 段 距 離 /2 而已(參見圖 4a)，如圖 6 與 圖 7 所 示 。 圖 7、棒 磁 鐵 S極 每 單 位磁 荷 受 到 的力 (磁 鐵 的 b/ 2.5, / 0.99 / / / 4 圖6 、棒 磁鐵 N極 每 單 位磁 荷 受 到 的力 (磁 鐵 的 b/ 2.5, / 0.99 / / / 4
依 據(12)與(13)式，將 圖 6 與 圖 7 的 曲 線 相 減 ， 即 得 棒 磁 鐵 每 單 位 磁 荷 所 受 來 自 圓 環 形 薄 片 磁 鐵 的 磁 作 用 力 ， 如 圖 8 所 示 。 圖 8 中， / 2.5， / 0.99，故近 似 於 細 圓 環 形 磁 鐵 的 情 形 。 此 時 在 / 2 的位置上，棒磁鐵所受的磁力為 零 ， 而 接 近 此 二 位 置 時 的 磁 力 ， 呈 現 類 似 彈 簧 力 的 恢 復 力 特 性 ， 故 此 二 位 置 為 穩 定 平 衡 點 ； 而 在 0 的 位 置 ， 則 為 中 性 平 衡 點 。 當 圓 環 形 薄 片 磁 鐵 內 徑 與 外 徑 的 比 / 夠小時(參見圖 4b)，在 0 的位置， 也 會 轉 變 成 為 穩 定 平 衡 點 ， 並 另 外 出 現 兩 個 不 穩 定 平 衡 點 ， 介 於 相 鄰 的 兩 平 衡 點 之 間 ， 如 圖 9 所 示 。 圖 8、 棒 磁鐵 每 單 位 磁荷 受 到 的 淨力 (磁 鐵 的 b/ 2.5, / 0.99 / / / 4 圖 9、 棒 磁鐵 每 單 位 磁荷 受 到 的 淨力 (磁 鐵 的 b/ 2.5, / 0.2 / / / 4
當 / 1時，棒磁鐵可近似為點狀的 磁 偶 極 子，此 時 其 受 力 的 情 形 如 圖 10 與 圖 11 所 示。在 此 情 況 下，不 論 圓 環 形 薄 片 磁 鐵 內 徑 與 外 徑 的 比 / 為何，穩定平衡的位 置 有 二，但 0 的位置則為不穩定平衡。 由 (12) 式 或 圖 8 ～ 11 ， 可 看 出 。 圖 10、 磁 偶極 子 每 單 位磁 荷 受 到 的淨 力 (磁 鐵的 b/ 0.1, / 0.99 / / / 4 圖 11、 磁 偶極 子 每 單 位磁 荷 受 到 的淨 力 (磁 鐵的 b/ 0.1, / 0.2 / / / 4
陸、理論與實驗結果的比較
第 41 屆 國 際 物理 奧 林 匹 亞競 賽 實 驗 第 2 題 的 裝 置 如圖 12 與圖 13 所 示(41st International Physics Olympiad ， 2010 ， Experimental problem 2)。圓 環形 薄 片 磁鐵 固 定 於 一 個 透 明 的 圓 筒 頂 端 ， 棒 磁 鐵 則 可 沿 圓 筒 中 心 的 鉛 直 通 道 移 動 ， 其 所 受 的 磁 作 用 力 以 圖13 所 示 的磅 秤 裝置 量 得 。
主 辦 單 位 所 公 布 的 解 答 (41st International Physics Olympiad ， 2010 ， Experimental problem 2)，包 含利 用 對 稱性 所 得 的 0 的實驗數據(如圖 14)與全部 值 的 磁 作 力 曲 線(如 圖 15)。在 此 二 圖 中 ， 代 表 兩 磁 鐵 的 磁 矩 彼 此 同 向 平 行 時 棒 磁 鐵 受 到 的 磁 作 用 力 ， 此 與 本 文 以 上 所 考 慮 的 情 形 是 相 同 的，故 與(12)式中 之 相 同 。 除 了 坐 標 軸 使 用 的 單 位 不 同 外 ， 圖14 與 圖 9 顯 然 完 全 一致 。 在 大 學 普 通 物 理 或 高 中 物 理 課 程 中 ， 有 關 磁 鐵 及 其 作 用 力 的 理 論 與 實 驗 ， 並 不 常 見 ， 本 次 國 際 物 理 奧 林 匹 亞 競 賽 的 這 個 實 驗，可 以 說 是 相 當 深 入 淺 出 的 一 項 創 作， 尤 其 難 能 可 貴 的 是 整 個 實 驗 使 用 的 只 是 一 些 常 見 的 儀 器 裝 置 ， 一 般 學 生 也 可 以 適 度 掌 握 其 相 關 的 物 理 理 論 ， 因 此 是 值 得 在 國 內 物 理 教 學 上 ， 特 別 加 以 介 紹 推 廣 的 。 圓 環 磁 鐵 棒 磁 鐵 透 明 圓 筒 磅 秤 裝 置 圖 12、 磁 鐵裝 置 圖 13、 磅 秤裝 置
圖 14、 兩 磁鐵 之 磁 矩 同向 時 的 磁 作力 曲 線 與 實驗 數 據 ( 0)
參考文獻
余 健 治 、 陳 家 駒 、 閔 振 發 、 褚 德 三 、 蔣 亨 進 、 蔡 尚 芳(2006)： 普 通 物 理 。 台 北 市 ， 東 華 。 蔡 尚 芳(2002)： 磁 鐵 的 極 強 、 磁 矩 與 磁 場, 科 學 教 育 月 刊250(6), 31-37.41st International Physics Olympiad (2010), Experimental problem 2: Forces between magnets, concepts of stability and symmetry: 2010 年 8 月 2 日，取 材 自 http://ipho2010.hfd.hr /file/Problems/EXPProblem2-text.p df & http://ipho2010.hfd.hr/file/ Problems/EXPProblem2-Solution.pd f.
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