行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告
子計畫三：摻鉻光纖波導分析之研究(1/3)
計畫類別： 整合型計畫 計畫編號： NSC93-2215-E-110-012- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學電機工程學系(所) 計畫主持人： 吳宗霖 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 94 年 5 月 20 日
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行政院國家科學委員會專題研究計劃期中報告
摻鉻光纖波導分析之研究（子計畫三）（1/3
）The Study of the Waveguide Characterization of Chromium-Doped Fiber 計劃類別：個別型計劃;整合型計劃 計劃編號：NSC 93-2215-E-110-012 執行期間：93 年 8 月 1 日至 94 年 7 月 31 日 主持人：吳宗霖 中山大學 電機所 副教授 一、中文摘要 新一代無氫氧離子吸收光纖可擴展使 用低損失光纖波段範圍由 1300 至 1600 nm 共 300 頻寬，惟現有摻鉺光纖增益波段使用 範圍限制於 C-band 1530-1560 nm 及 L-band 1570-1610 nm 共 70 nm 頻寬，在光通訊分 波多工系統中僅使用低損失光纖波段範圍 之 25%，因此現有摻鉺光纖放大器與新一代 光纖結合之技術，無法充分利用 300 nm 低 損失光纖頻寬。中山大學光電所研究團對雖 自製摻鉻晶纖與抽絲製程可研發摻鉻晶纖 之放大自發輻射頻寬由 1300 至 1600 nm，但 以目前本所設備與技術，抽絲研製困難達到 具有產品化規格之摻鉻光纖。因此需透過擁 有光纖抽絲製程公司協助，例如與高雄華榮 電線電纜公司合作，進行利用達到具有產品 化規格之摻鉻光纖來研發超頻寬光纖放大 器。 本子計畫第一年將完成分析摻鉻光纖 的不均勻核心效應，包括其在 980nm 幫浦光 源波長及輸入信號頻寬 1300nm-1600nm 中 的傳播常數行為最低模態及高階模態之場 型分析，並結合子計畫二所量出摻鉻光纖的 增益分佈(Gain pattern)，分析及了解摻鉻光 纖的模態傳播特質。除此，亦對摻鉻光纖之 極化特性及色散行為做深入探討。第二年將 設計並分析核心的最佳直徑與兩層 cladding 的相對尺寸，以達最佳的耦光效率及最小的 confinement loss(限制損耗)，並嘗試與已商 業化的摻鉺光纖的波導特性比較。第三年將 以發展分析軟體及了解孔隙光纖的基本特 性為主軸，包括其空氣孔柱大小及週期對模 態場型，傳播常數，極化特性，色散行為的 影響，並與國外之實驗結果比較。以第一， 二年的基礎，分析以摻鉻孔隙光纖取代傳統 摻鉻光纖的可行性，分別就其各方面的傳播 特性做比較，並設計出較可行的摻鉻孔隙光 纖的結構。 關鍵詞：傳播模態、孔隙光纖 二、緣由及目的 本整合型計畫旨在研發創新超頻寬光 通 訊 摻 鉻 光 纖 （ Chromium-doped fiber, CDF），使摻鉻光纖放大器（Cr-doped fiber amplifier, CDFA）使用光纖波段範圍由 1300 至 1600nm，其頻寬高達 300 nm。跟現有摻 鉺光纖放大器（EDFA）增益波段使用範圍， C-band 1530-1560 nm (30 nm) 及 L-band 1570-1610 nm (40 nm)，共 70 nm 頻寬比較， CDFA 比 EDFA 頻寬多 4.3 倍，這新一代超頻 寬光通訊摻鉻放大器之研發將可提昇國內光 通訊關鍵元件與模組之自製率及在國際上之 能見度。尤其最近低密度分波多工(Coarse wavelength division multiplexing, CWDM)模 組/系統快速崛起，藉由波段約 20 nm 低頻寬 的條件下，使用低成本雷射光源與被動元 件，可使 CWDM 廣泛應用低成本 Gigabit Ethernet，都會區接區，及 CATV 等短距離 光通訊系統。所以本計畫前瞻超寬頻摻鉻光 纖放大器相關元件與模組的開發，將使低成 本 CWDM 系統仍然能維持足夠之通訊頻道 數目。
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2 2 , , , , tG k r r k G k r r r r δ ′ ′ ∇ + ′ = − −∫
三、研究方法與成果 本子計畫用以研究摻鉻光纖傳播特性 所 建 立 的 數 值 工 具 乃 是 以 邊 界 元 素 法 (Boundary element method) 為 其 理 論 基 礎 [1]，[2]。邊界元素法可以適用於由數個具 有任意截面的介質柱鑲嵌於同一均勻介質 所組成的波導結構。如圖一所示，假設一角 頻率ω的時間協和(time-harmonic)電磁波 以傳播常數β 傳播於 軸方向上。由於這個 波導結構為區域性均勻介質，所以電磁場在 每一個區域皆滿足如下所示的純量赫姆霍 茲方程式(the scalar Helmholtz equation)：z 2 2 ( ) ( ) 0 tF r k F r ∇ + = (1) 其中F代表直角座標中的任何場量，∇2t 代 表 橫 向 的 拉 普 拉 斯 算 符 (Laplacian operator)，k2 =k02ε β− 2，k 為自由空間中的 傳播常數， 0 ε為各個介質中的介電常數。 接 著 依 據 格 林 第 二 恆 等 式 (Green’s second identity)，可將定義於一均勻區域 R 中的式(1)由微分方程式轉換成積分方程式 如下： (2) (2) 上式左邊為區域 R 的體積分，右邊為區域 R 的封閉面積分， d dn 為指向體積內的法向 微分。接著選擇G滿足下式： (3) (3) 其中δ(r−r )′ 定義為體積分等於1的函數。 將式(1)與式(3)帶入式(2)，則式(2)可以簡化 為下列的形式： (4) (4) 滿足式(3)的函數G具有(1 4 )j H02(k r −r′)的 形式，為二維格林函數(Green’s function)。當 r =r′時，式(4)中格林函數的法向微分會產生 一個奇異點(singularity)。為了避開奇異點， 我們可以改變在這個點的積分路徑，我們將 這個點的積分路徑向外變形為一個半圓，並 且將半徑趨近於零。經由這樣的處理並且利 用漢克函數(Hankel function)的特性，式(4)可 以轉換成下列的形式： ( ) ( ) ( ) (5) 上式的 代表移除 r = 的奇異點之科西主 值 積 分 (the Cauchy principal value integral)。經由式(5)我們可以得到每一個均 勻區域的邊界上之 與 r′ F dF dn的關係。 在以嚴謹的全波向量理論為基礎之 下，由介電常數不連續所造成之邊界上的切 向場量
(
Ez, , , Hz E H)
將考慮的場量轉換 必須連續。根據馬 克斯威爾方程式(Maxwell’s equations)，某些 場量可以由其他場量來表示，因此我們可以 為H 和x Hy的關係式。經 由∇iH =0和 j Eω = ∇ ×H 以得到下列的關係式 這兩條方程式可 ： (6a) (6b) 其中 與 分別代表沿著邊界上的法線方向 和切線方向。如圖一所示， H 與 可以分 別表示為下列與 n n H x H 、Hy相依的關係式： cos sin n x y H =H θ+H θ (7a) sin cos x y H =H θ−H θ (7b) 上式角度θ 為邊界上法線方向與 x 軸方向的 根據 夾角。 −jωμ0H = ∇ ×E這個關係式，橫 截 面 邊 界 上 的 切 向 電 場 E 將 可 以 透 過 x y H −H 關係式自動滿足在邊界上連續的要( )
(
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2 2 , , , , , , , , t t R C F r G k r r G k r r F r dr dG k r r dF r F r G k r r dr dn dn ′ ′ ′ ′ ′ ⎡ ∇ − ∇ ⎤ ⎣ ⎦ ′ ′ ⎡ ′ ′ ⎤ ′ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦∫
∫
= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , C dG k r r F r dn F r d dF r G k r r dn ′ ⎡ ⎤ ′ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ = ′ ⎢ ⎥ ′ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦∫
r ( ) ( ) , , 1 2 , , C dG k r r r F r dr dn dF r G k r r dr dn ′ F = ′ ′ ′ ′ ′ −∫
∫
1 n z H H j E ε ⎝ n ⎠ ω = ⎛⎜∂ −∂ ⎞⎟ ∂ ∂ n z H H j H n β =∂ +∂ ∂ ∂求。因此，經由式(6)我們可以透過H 、x Hy 和兩者所對應的法向微分在邊界上所形成的 關係對整個波導結構作一個完整的描述。所 以在經過匹配縱向場(E 、z H )並且使用式(5)z 的步驟之後，將可以得到特徵值(eigenvalues) 與對應的特徵向量(eigenvectors)，一旦特徵 值與特徵向量決定，對應的場型亦可以經由 式(4)獲得。利用邊界元素法，我們已經於本 年度建立一套適用於模擬複雜結構的波導數 值模型並且以孔隙光纖為範例，將模擬結果 與國際期刊所發表的數據比較來驗證數值模 型的準確性。圖二為孔隙光纖截面的切割示 意圖，由於對稱特性，在實際運算時我們只 需計算第一象限的切割結構，如圖二陰影所 示。圖三(a) ，(b)分別為 11x HE 與 的向量 場型。圖四所示為 11 y HE 11 x HE 模態之有效折射係數 對波長響應圖，實線部份為 Kunimasa Saitoh 等 人 於 2002 年 發 表 於 IEEE Journal of Quantum Electronics 的計算結果 [3]，使用的 方法為有限元素法，點狀標誌為我們使用邊 界元素法所得的結果，由圖四可以明顯發 現，兩種方法所得的結果相當吻合。 四、討論與結論 本計畫係一個三年的計畫，第一年執 行至目前的進度相當滿意並比預期成果提 早。至今為止，我們已經建立出一套可以 模擬複雜結構的波導數值模型並且以孔隙 光纖這一類複雜的結構為範例進行數值計 算與準確性比較，比較的結果與文獻上的 數據相當吻合。 參考文獻:
[1] Tzong-Lin Wu and Chia-Hsin Chao,"Photonic Crystal Fiber Analysis through the Vector Boundary-Element Method: Effect of Elliptical Air Hole,"IEEE Photonics Technology Letters, Jan. 2004.
[2] Tzong-Lin Wu and Hung-Jiun Ou,"A Vector Power Coupling Model for Analyzing Polarization Dependent Loss (PDL) of Equilateral Triangular 3x3 Weakly Fused Fiber Couplers,"Optics Communications, vol. 224, pp. 81-88, Aug. 2003.
[3] K. Saitoh, and M. Koshiba, “Full-vectorial imaginary-distance beam propagation method based on a finite element scheme: application to photonic crystal fibers,”
IEEE J. Quantum Electron., vol. 38, no. 7,
X 1 Region 1, ε 2 Region 2, ε 3 Region 3, ε Y θ r r′ 1 2 1 3 1 n 1 n 2 n 3 n 2 C C3 圖一 兩個任意截面的介質波導柱所組成 的波導結構。 圖二 孔隙光纖截面的切割示意圖。 (a) -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 (b) 圖三 (a) 11x HE 向量場型。(b) 向量場 型。 11 y HE 圖四 11x HE 模態之有效折射係數對波長響 應圖，實線部份為 Kunimasa Saitoh 等 人 利 用 有 限 元 素 法 所 計 算 的 結 果，點狀標誌為我們利用邊界元素法 所得的結果。 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
