動態規劃數值解：退休後資產配置 - 政大學術集成

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(1) . 國立政治大學風險管理與保險學系碩士學位論文指導教授：黃泓智博士. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 動態規劃數值解：退休後資產配置. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. 研究生：蔡明諺撰中華民國九十九年七月. v.

(2) . 謝辭這篇論文能夠順利完成，首先我想先感謝我的指導老師黃泓智教授。在剛開始我毫無研究方向時，是老師不斷地提點我，適時的給予我各種幫助，因此才會有這篇論文的誕生，同時也感謝口試委員王昭文教授、楊曉文教授、李永琮教授在口試時給予我許多建議，讓本論文變得更加完整，同時也要感謝義謙學長指點我許多關於論文及程式上的問題。. 感謝在這兩年所認識的研究所同學們，在碩一必修保險法時，是法律組的同學們不斷地帶領我們認識保險法；必修風險管理與保險理論時，是管理組的. 政治大程內容時，一步一步地求解給我看，讓我可以跟上課程進度。立. 同學們讓我們更能了解這個領域。而我精算組的同學們在我無法理解精算的課. ‧ 國. 學. 雖然在念研究所的這段時間裡，我一直都持續地在玩樂團，但有時課業與. ‧. 樂團是很難兼顧的，但幸運的是我還是能順利地完成這篇論文，而玩團生活也還算順遂，最近才剛發行第二張EP，在首賣當天看到所有來捧場的朋友們也讓. sit. y. Nat. 我感到很感動，希望在往後的路上，我還能夠堅持著最初的夢想，當個上班族. io. n. al. er. 樂團，偶爾去各國各地巡迴，這樣子的話我就很滿足了！. Ch. i n U. v. 另外要感謝的就是我所支持的英格蘭足球職業聯盟的球隊阿森納了，在每. engchi. 個週末的聯賽與週中的歐洲冠軍盃都是我必看的節目之一，看著這群年輕小伙子無所畏懼英超普遍球隊的身體對抗，還是秉持著快速傳導二過一與控球率，不得不說他們真的是極具觀賞性的一支球隊，雖然接下來就要入伍了，但還是希望這個賽季他們可以如願奪冠，還有法布也不可以離開！. 在打完謝辭的這一刻，各位，我畢業了！. 蔡明諺謹於民國九十九年七月. .

(3) . 摘要動態規劃的問題並不一定都存在封閉解(closed form solution)，即使存在，其過程往往也相當繁雜。本研究擬以 Gerrard & Haberman (2004) 的模型為基礎，並使用逼近動態規劃理論解的數值方法來求解，此方法參考自黃迪揚 (2009)，其研究探討在有無封閉解的動態規劃下，使用此數值方法求解可以得到逼近解。本篇嘗試延伸其方法，針對不同類型的限制，做更多不同的變化。 Gerrard & Haberman (2004)推導出退休後投資於風險性資產與無風險性資產之最適投資策略封閉解，本研究欲將模型投資之兩資產衍生至三資產，分別投資在高風險資產、中風險資產與無風險資產，實際市場狀況下禁止買空賣空的. 政治大下的投資結果，並加入不同的目標函數:使用控制變異數的限制式來降低破產機立情況與風險趨避程度限制資產投資比例所造成的影響。並探討兩資產與三資產. ‧ 國. 數過於複雜，但是用此數值方法還是可以得出逼近解。. 學. 率、控制帳戶差異部位讓投資更具效率性。雖然加入這些限制式會導致目標函. ‧. 關鍵字: 資產配置(Asset Allocation) 、動態規劃(Dynamic Programming) 、數值. y. sit. io. n. al. er. (ruin probability). Nat. 解(Numerical Solution) 、二次損失函數(Quadratic Loss Function)、破產機率. Ch. engchi. . i n U. v.

(4) . Abstract Dynamic Programming’s solution is not always a closed form. If it do exist, the solution of progress may be too complicated. Our research is based on the investing model in Gerrard & Haberman (2004), using the numerical solution by Huang (2009) to solve the dynamic programming problem. In his research, he found out that whether dynamic programming problem has the closed form, using the numerical solution to solve the problems, which could get similar result. So in our research, we try to use this solution to solve more complicate problems. Gerrard & Haberman (2004) derived the closed form solution of optimal investing strategy in post retirement investment plan, investing in risky asset and riskless asset.. 政治大 risk asset and riskless asset.立 Forbidden short buying and short selling, how risk. In this research we try to invest in three assets, investing in high risk asset, middle attitude affect investment behavior in risky asset and riskless asset. We also observe. ‧ 國. 學. the numerical result of 2 asset and 3 asset, using different objective functions : using variance control to avoid ruin risk, consideration the distance between objective. ‧. account and actual account to improve investment effective. Although using these. y. Nat. restricts may increase the complication of objective functions, but we can use this. er. io. al. sit. numerical solution to get the approximating solution.. n. Keywords: Asset Allocation, Dynamic Programming, Numerical Solution, Quadratic Loss Function, ruin probability.. Ch. engchi. . i n U. v.

(5) . 目錄第壹章緒論 ................................................................................................ 1 第一節、研究動機及目的 ................................ ................................ ................. 1 第二節、研究架構 ................................ ................................ ............................ 2. 第貳章文獻探討 ........................................................................................ 4 第參章退休需求規劃 ................................................................................. 6 第一節、帳戶價值累積 ................................ ................................ ..................... 6 第二節、最適動態策略 ................................ ................................ ..................... 9 第三節、目標函數類型探討 ................................ ................................ ........... 10. 治政大第一節、數值解方法 ................................ ................................ ...................... 12 立第伍章數值模擬 ...................................................................................... 15. 第肆章動態規劃的數值解 ........................................................................ 12. ‧ 國. 學. 第一節、數值結果比較 ................................ ................................ ................... 15 第二節、重複模擬 ................................ ................................ .......................... 22. ‧. 第三節、買空賣空限制 ................................ ................................ ................... 22 第四節、三資產投資 ................................ ................................ ...................... 28. y. Nat. sit. 第五節、投資比例限制 ................................ ................................ ................... 29. al. er. io. 第六節、改變目標函數 ................................ ................................ ................... 31. 第陸章結論與建議 ................................................................................... 38. n. v i n Ch 參考文獻 .................................................................................................... 40 engchi U 附錄一三資產投資的數值結果.................................................................. 42 附錄二. 三資產下風險中立者的數值結果 .................................................... 47. 附錄三. 三資產下風險趨避者的數值結果 .................................................... 51. 附錄四. 兩資產下帳戶變異數控制的數值結果 ............................................. 55. 附錄五. 兩資產下控制帳戶差異部位的數值結果.......................................... 59. 附錄六. 三資產下帳戶變異數控制的數值結果 ............................................. 63. 附錄七. 三資產下控制帳戶差異部位的數值結果.......................................... 68.

(6) . 圖目錄圖一： Gerrard & Haberman (2004)投資模型示意圖 ................................ ........... 6 圖二：第 T期投資決策表示意圖 ................................ ................................ .......... 13 圖三：數值解每期投資決策圖 ................................ ................................ ............. 20 圖四： Gerrard & Haberman(2004)每期投資決策圖 ................................ .......... 21 圖五：兩資產下原目標函數與控制帳戶變異數係數 0.1的每期投資決策圖 ......... 36 圖六：兩資產下原目標函數與控制帳戶差異部位係數 2的每期投資決策圖 ........ 36 . 表目錄表一：投資決策表範例 ............................................................................. 12 表二：兩資產模型下各年度投資決策表的模擬結果 ................................ 20 ......................... 21 政治數據比較大表四：兩資產模型下加入買空賣空限制的各年度投資決策表模擬結果 .. 27 立表五：兩資產模型下有無買空賣空限制的各項數據比較 ......................... 27 表三：數值解與 Gerrard & Haberman (2004). ‧ 國. 學. 表六：兩資產模型與三資產模型的各項數據比較 .................................... 29 表七：三資產模型下風險程度的各項數據比較........................................ 30. ‧. 表八：兩資產模型下控制帳戶變異數係數的各項數據比較 ..................... 31. y. Nat. 表九：三資產模型下控制帳戶變異數係數的各項數據比較 ..................... 31. io. sit. 表十：兩資產模型下控制帳戶差異部位係數的各項數據比較 ................. 32. n. al. er. 表十一：三資產模型下控制帳戶差異部位係數的各項數據比較 ............. 33. i n U. v. 表十二：兩資產模型下目標函數類型的各項數據比較 ............................ 34. Ch. engchi. 表十三：三資產模型下目標函數類型的各項數據比較 ............................ 35. .

(7) . 第壹章緒論第一節、研究動機及目的自從我國於民國94年7月開始，勞工保險退休金制度正式由確定給付制 (defined benefit) 轉為確定提撥制(defined contribution) ，投資的風險因此由雇主轉移到員工身上，在現今確定提撥退休金制度下，一般人於工作到退休的這段期間都會累積一定的退休金。為了不在退休後到老死前即把這筆退休金花費掉，. 政治大金給付，以保障退休後的收入是穩定的。但由於醫療技術進步，通貨膨脹等因立通常會在退休時點購買年金，於是從退休到老死的這段期間，每期皆能得到年. 素，使得每期年金給付不足以支付日常生活開銷，因此若在退休時點時先不把. ‧ 國. 學. 退休金轉變為年金，而是將退休金拿去作投資，預期在投資過後將這筆錢轉化. ‧. 為年金會得到比之前更好的年金給付。因此在投資的這段期間，適當的資產配. sit. y. Nat. 置方法是非常關鍵的要素。. al. er. io. 長時間的投資期間，往往會遭遇金融市場大幅波動，導致投資無法達到目. v. n. 標。一般對於資產配置的作法，往往無法依照實際帳戶的狀態調整投資比例，. Ch. engchi. i n U. 因此需要一套因應帳戶的變動調整投資行為的方法，彈性化地調整投資比例，達到有效的投資。對於未來投資的目標函數(objective function) 大致上可分為兩種: (1) 使用二次損失函數(quadratic loss function) 最小化期望帳戶與實際帳戶的差距。二次損失函數可以使每期投資皆依目標帳戶作最適決策。此方法目的為使實際帳戶逼近目標帳戶，同時懲罰實際帳戶與目標帳戶之間的差距，同時此方法也可以考慮風險趨避程度，隨著風險趨避程度的不同訂定不同的目標帳戶。 (2) 使用效用函數，以最大化投資者效用為目標，來追求每期效用的最大化，但可能會導致為了最大化每期效用，而導致每期投資在高風險資產比例過高。而在本篇我們所 1.

(8) 使用的目標函數為二次損失函數，由於此函數可以控制期望帳戶與實際帳戶之間的差距，因此無論低於目標或高於目標都算是一種損失，因此二次損失函數於控制投資上佔有較大的優勢。動態規劃是一種專門用來解決最適化的數學方式，將原問題分解為相似的子問題，在求解的過程中通過子問題的解求出原問題的解，為了避免多次解決這些子問題，它們的結果會在過程中被計算被保存下來，從簡單的子問題直到整個問題都能被解決。運用在資產配置上，可以依照情況的改變，隨時調整資產配置組合。. 政治大. 本研究的主要目的為使用一種逼近動態規劃理論的數值方法，藉著模擬的. 立. 方式求解，以 Gerrard & Haberman (2004) 的模型為基礎，驗證此方法是否真的. ‧ 國. 學. 有效逼近理論解。 Gerrard & Haberman (2004) 討論在兩資產下無買空賣空的投資行為，本研究將衍生資產至三資產，並限制投資者的投資比例與訂定不同的. ‧. 目標函數觀察其數值結果。. sit. y. Nat. io. n. al. er. 第二節、研究架構本論文的研究架構，依章節分述如下：. . Ch. engchi. 2 . i n U. v.

(9) . 第壹章：緒論說明本研究之研究動機及目的以及研究架構. 第貳章：文獻回顧資產配置的介紹以及後續相關研究. 政治大. 第參章：退休需求規劃. 立. 討論 Gerrard & Haberman(2004)模型及相關衍生目標函數. ‧ 國. 學 ‧. 第肆章：動態規劃的數值解. n. al. 第伍章：數值模擬. Ch. engchi. er. io. sit. y. Nat. 介紹動態規劃的數值解方法. i n U. v. 分別對前面章節假設作模擬並比較. 第陸章：結論與建議提出本研究之結論以及後續相關研究建議. . 3 .

(10) . 第貳章文獻探討動態規劃的概念一開始是由 Richard Bellman在1940年代所提出，當初的解釋是對於問題尋找每一個最適決策的方法。在1962年提出了動態規劃最佳原則。將最適化問題分解成數個子問題，逐步在每個子問題上，使其中的某一變數達到最適值，每一個子問題的最適值再與下一個子問題的決策變數共同構成此決策階段的最適值。以此類推直到最適化問題答案求出為止。而Bellman的貢獻最耳熟能詳的就是Bellman Equation，對於最適化問題以遞迴的形式來展現. 政治大動態規劃已經被廣泛運用在很多方面，此方法專門用來解決一連串相關的立. 動態規劃的結果。. ‧ 國. 學. 決策問題，無論是空間上或時間上的連續決策。當動態規劃應用在資產配置方面時，則可因應情況的改變，隨時調整其資產配置組合，使得投資者的淨財富. ‧. 價值達到最大化。 Haberman & Sung (1994)在確定給付(defined benefit)退. sit. y. Nat. 休計畫下，考慮利率隨機與非隨機的情況，視提撥金額為控制函數並以動態規. io. al. contribution)下用動態規劃方式找出最適投資策略。. er. 劃方式求得最適提撥策略。Vigna & Haberman (2001)則在確定提撥制(defined. n. v i n Ch 動態規劃的方法可以針對不同期間作不同的情境假設，並考慮很多因素進 engchi U. 去，例如交易成本、稅等因素，若是在退休後的投資上還可以將醫療成本與遺產等因素考慮進去。但求解過程中往往都需要很多假設。因此在理論上動態規劃能解決的問題很多，但加越多限制，模型的複雜度也會越高，大大降低實用性。近年來，有學者開始對動態規劃用模擬的方式求解，Bacinello (1988)和 Chang (1999)以工作到退休這段時間為參數，預測員工帳戶價值，透過模擬的方式找出每一年退休計畫的負債。 Winklevoss (1982)以退休帳戶負債與資產模擬模型(PLASM)衡量退休前理財。 Raymar & Zwecher (1997) 則使用模擬與動態規 . 4 .

(11) 劃混合的方式評價美式選擇權。本篇採用黃迪揚 (2009)所使用的數值解法，使用模擬的方式求動態規劃問題的逼近解。過去也有許多針對HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程式去解決的數值解法，但此方法可以由問題的本身來設計，不需要由HJB方程式著手。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. 5 . i n U. v.

(12) . 第參章退休需求規劃員工於退休時，對於退休金往往無法妥善的處理。若是正常的花費退休金時，可能會在尚未過世前即將退休金花費掉，會面臨長壽風險(longevity risk)的問題 ; 若是在退休時購買年金，則可避免長壽風險，但由於通膨與醫療費用的臨時開銷等因素，購買的年金可能不足以未來的開銷，會面臨年金風險 (annuity risk)。於是我們開始考慮購買年金的時間點是否往後移較為恰當，若在退休時，將退休金拿去投資期望可以在未來的時點購買年金，使得購買年金後每期給付比剛退休時即購買年金的給付更多。 Gerrard & Haberman (2004). 治政給定未來各個時點投資帳戶的目標價值，並利用最佳化的方式最小化變異以獲大立得最適資產配置。在此我們先簡單地介紹 Gerrard & Haberman 所使用的最適動 ‧ 國. 學. 態投資模型(Gerrard &Haberman 2004)。. ‧. 第一節、帳戶價值累積. sit. y. Nat. Gerrard & Haberman (2004)探討員工退休後，若決定先作投資再轉換為年. io. er. 金，則期望會比在退休時即購買年金來得好，但退休後並沒有收入，因此每期. al. 還是需要固定的消費。所以我們以退休時即購買年金時每期的給付(我們用來. n. v i n Ch 表示)為基準，每期從投資帳戶領取;此給付與轉換年金時點(我們用 engchi U. 表示)都是. 固定的，且除了轉換年金外，我們不考慮其他的脫退因素。退休後到購買年金的示意圖如下：. 圖一：Gerrard & Haberman (2004)投資模型示意圖. . 6 .

(13) . 另外在每年期初也都必須決定該年度的投資決策，在 Gerrard & Haberman (2004)探討退休金後的投資模型假設將資金投資在兩種不同標的上：分別是無風險性資產與風險性資產。無風險性資產為常數報酬率 r ;風險性資產服從幾何布朗運動，漂移項為 λ ，擴散項為 σ 。 € 投資帳戶在時間點 t 所累積的價值滿足下式： € € dX(t) = [X(t)(y(t)( λ − r) + r) − b]dt + X(t)y(t)σdW (t) € t 所累積的價值， y(t) 為 [t,t + 1]期間投資其中 X(t)為退休金帳戶在時間點. € b 為每期從帳戶提領金額， W (t) 為標準布朗運動。在風險性資產上的比重， €. 政治大. € € € 上述模型為連續時間下投資帳戶之變動情形，若將此模型轉化為離散時，. 立. €. €. 學. ‧ 國. 則可得下式：. X(t + 1) = X(t) + [X(t) ⋅ (y(t)( λ − r) + r) − b] Δt + X(t)y(t)σ ΔW (t). ‧. 以上所述，帳戶投資在風險性資產與無風險性資產，若考慮三資產的情. € 況，帳戶分別投資在高風險性資產、中風險性資產與無風險性資產，假設高風. y. Nat. n. al. er. io. 模型改寫成：. sit. 險性資產與中風險性資產都服從幾何布朗運動且三資產相互獨立，則我們可將. Ch. i n U. v. X(t + 1) = X(t) + [X(t) ⋅ (y1 (t) λ + y 2 (y)µ + (1− y1 (t) − y 2 (t)) ⋅ r) − b] Δt + X(t) ⋅ (y1 (t)σ1 ΔW1 (t)) + X(t) ⋅ (y 2 (t)σ 2 ΔW 2 (t)). engchi. 其中 y1 (t) 代表投資在高風險性資產的比重; y 2 (t) 代表投資在中風險性資產的 € 比重; 1− y (t) − y (t) 代表投資在無風險性資產的比重， σ 與 σ 分別代表高風 1 2 1 2. €. € 險資產與中風險資產的標準差，而高風險資產、中風險資產與無風險資產所對. € 應的報酬率分別為 λ 、 µ 和 r ，本研究擬衍生Gerrard € € & Haberman (2004)的模型，觀察投資三資產對帳戶所造成的影響。. €. . €. €. 7 .

(14) . 退休需求模型-各期目標價值投資帳戶必須設定每年投資帳戶的目標價值，為了與Gerrard & Haberman (2004)的數值作比較，因此我們使用Gerrard & Haberman (2004)研究所使用的目標帳戶價值，比較以此目標價值的基準的投資結果。假設各期目標為一時間的函數 (t = 1,2,...,T)，根據 Gerrard & Haberman (2004)的假設，從退休後開始投資的這段期間，第 t 期目標價值為 F(t) ： €. T −t. F(t) = b ∫ e−rsds + F(T)e−r(T −t ) € 0 € b b −r(T −t ) = + (F(T) − )e r r. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 其中 F(T) 為最後一期帳戶目標價值，預期在 T 時點將帳戶轉化為年金， € 在 t ~ T 這段期間還是保持每期消費，而在期末時帳戶目標價值 F(T) 則是期. € € t時望可以達到未來每期年金給付 b* 所需的價格，兩者相加後再一起折現回. ‧. €. €. 點。而最後一期帳戶目標價值 F(T) 為：. n. Ch. engchi. sit. €. er. io. al. y. Nat. € Ω−T F(T) = b* ∫ e−rsds 0 € * b = (1− e−r(Ω−T ) ) r. i n U. v. b* 為投資結束後購買年金每期給付， Ω為退休後的平均餘命， € 預期在投資結束後每期都可獲得 b* 的給付。 €. €. 投資決策的最適化 €. 當每年投資帳戶的目標價值決定以後，我們便可定義成本函數。. . 8 .

(15) 將 t 時點所發生的成本定義為二次損失函數：. C(t) = [X(t) − F(t)]2 ， t = 1,2,...,T −1 €. C(T) = θ[X(T) − F(T)]2 ， θ ≥ 1 € F(t) 為目標帳戶價值, θ 為懲罰係數。投 € X(t)為實際帳戶價值，其中. € € 資時，相較於期中帳戶累積是否達到目標價值，我們更關心期末的帳戶 €θ 。 € € 是否達到目標，因此期末時乘上一個懲罰係數. € T 為止，未來各個時點定義函數 G(t) ，從時間點 t 到轉換年金時點所發生的成本現值：. 政治€ 大 G(t) = ∑ v C(s). €. €. T. s−t. 立. s= t. ‧ 國. 學. 其中， v 是主觀的折現率。. € 第二節、最適動態策略. ‧. Nat. {π t }. n. al. sit. min G(t). er. io. €. y. € 時點 t 的損失函數定義為：. i n U. v. 其中 {π t } = {{y1 (s), y 2 (s)}s= t,t +1,...,T } ，代表了未來各個決策時點，所有可能投. Ch. engchi. 資策略的集合。根據 Gerrard & Haberman (2004)的投資模型，其目的就是選擇. € 一個可行的投資策略使得未來的成本現值最小，使每期投資都能接近目標，可. €. 惜的是此目標函數是以最小化實際帳戶與目標帳戶的差距，因此投資高於目標的部份也會遭到懲罰，此種目標函數無法特別注重目標帳戶高於實際帳戶的部份。. . 9 .

(16) . 第三節、目標函數類型探討退休後的投資，由於每位投資者對於投資有不同的看法，例如：投資風險比例高低、破產機率、投資的效率性等，因此本篇嘗試以不同的目標函數使投資方式具更多元的變化。. 帳戶變異數控制退休後的投資偏向對風險有所規避，退休者並不期望在轉換年金時，帳戶價值過低導致無法轉換年金，亦即破產。為了降低破產機率，我們在目標函數加上一些限制：. 立. T. 政治大. min ∑[v s−t C(s) + α var(X(s))] s= t. ‧ 國. 學. 在原本的目標函數加上控制每期實際帳戶價值的變異數，其中 α 為控制係. ‧. € 數，使用此目標函數一方面除了原本最小化目標與實際帳戶差距的部份以外， € 加上一個控制實際帳戶的變異，使得每一期的帳戶之間的差異不會過大。加入. y. Nat. io. sit. 係數可以調整對帳戶變異數的控制，我們可藉由調整係數的高低來調整對帳戶. n. al. er. 變異控制程度的高低。我們預期此目標函數相較原目標函數可以降低破產機. Ch. i n U. v. 率，但由於降低了變異，因此也可預期此目標函數的投資效益可能會低於原目標函數。. engchi. 控制實際帳戶低於目標帳戶部位另一個目標函數則是控制實際帳戶低於目標帳戶部位，原目標函數只能降低目標帳戶價值與實際帳戶價值的差距，對於低於目標帳戶價值的實際帳戶價值作懲罰，同樣也對高於目標帳戶價值的實際投資帳戶價值作懲罰，也就是追求目標帳戶的價值要精準。但有時投資高於目標帳戶價值並不是一件壞事，但此目標函數無法只在意實際帳戶價值低於目標帳戶價值的那部份，因此我們在這邊重新修改目標函數為： . 10 .

(17) T. min ∑[v s−t C(s) + β (F(s) − X(s)){F(s)>X (s)} ] s= t. 當目標帳戶價值大於實際帳戶價值時才會考慮，其中 β 為控制係數，我們可藉. € 由調整係數的高低來調整注重實際帳戶低於目標帳戶的部份，使我們可以只在. € 意投資不效率的部份。我們預期此目標函數相較原目標函數可以提升投資的效率性;而破產機率相較原目標函數則無法確認，因每一期低於目標帳戶價值時，投資風險性資產部份都需要增加更多比例，可以使低的帳戶價值有機會可以提升，但另一方面，因為投資過多的風險性資產，也有可能因為當期投資效益不佳而增加破產的可能性。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. 11 . i n U. v.

(18) . 第肆章動態規劃的數值解本研究以 Gerrard & Haberman (2004)所使用退休後投資決策模型為基礎，而透過我們的數值解，期望可以達到接近文獻中動態規劃所得的理論解。. 第一節、數值解方法根據 Gerrard & Haberman (2004)所使用的投資模型，將其離散化後，轉換為年金的時點為 T ，這表示在我們轉換成年金的時點前共有 T 個決策時點，分別為 t = 1,2,...,T (分別代表每期期初)，在這些決策時點上，我們必須決定每期的. € 政治大本數值解參考自本所學長黃迪揚論文所使用的數值解方法，其概念近似作立. € 投資決策，也就是投資在各資產上的權重。 €. ‧ 國. 學. 業研究中的向後法，面對各個決策點的選擇，由最後一期每個狀態去考慮，決定好最後一期的決策後，再倒退回前一期的每個狀態去做決策，直到第一期為. ‧. 止，如此一來可以形成一個完整的決策表，每一期的每個狀態都有相對應的決. sit. y. Nat. 策，因此在投資時我們即可因應當期的帳戶狀態來決定我們的決策，屬於一種. io. n. al. er. 動態的數值解方法。以第 t 年的投資決策表為例，如下表所示：. €. Ch. engchi. i n U. 表一：投資決策表範例 . 12 . v.

(19) 決策表左欄為狀態變數(state variable)，右欄為相對應的最適投資決策，狀態變數10對應的最適投資策略為 y *t,1 ，狀態變數20對應的最適投資策略為 y *t,2 ，若今天 t −1期帳戶累積到21時，因為21落在狀態變數20和30之間，所以第 t 期的最適投資決策由 y *t,2 和 y *t,3 線性內插而得： y *t = 0.9y *t,2 + 0.1y *t,3 ，要注意的是實際 € € € € 帳戶價值落在狀態變數範圍內時才能使用內插，因此狀態變數範圍不適合設的太窄。我們在每一年的投資決策表都可以找到相對應的投資決策。 € € €. 建構第T期投資決策表. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖二：第T期投資決策表示意圖. i n U. v. 假設在第 T −1時點年底投資帳戶為 X T −1 ，透過任意的第 T 年投資決策. Ch. engchi. yT ，我們可以得到 m 組第 T 年帳戶累積的價值： X T ,1 、 X T ,2 、、 X T ,m ，. € € 將這些不同情境下累積的帳戶價值再根據 Gerrard € & Haberman (2004)投資 € € € € € T 年目標帳戶，以最小化成本值的條件下我們模型所定義的成本函數和第. €. 可以得到第 T 年的最適投資策略 yT* ,1 、 yT* ,2 、. 、 yT* ,m ，完整地建構出第 T 期. 的投資決策表。 €. €. . €. €. €. 13 . €.

(20) . 建構第T-1期投資決策表方法類似前述，假設 T − 2 時點年底投資帳戶已累積 X T −2 ，透過任意的第 T −1投資決策 yT −1，我們可以得到第 T −1年帳戶累積的價值，這些帳戶. € € T 年投資決策表以及內插方法，我們可以分別獲價值再透過前述所得的第 €. € € 得第 T 年的投資決策，將這些不同情境下累積的帳戶價值透過成本函數， € T −1期的成本值條件下得到第 T −1期的最適投資策以最小化第 T 期與第 €. 略，並完整的建構出第 T −1期的投資決策表。. €. €. 建構第T-2期、第T-3期. €. 投資決策表. 政治大以同樣的方法往前依序建構，即可得到每一期使未來成本現值最小的立 €. ‧. ‧ 國. 學. 投資決策表。. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. 14 . i n U. v.

(21) . 第伍章數值模擬第一節、數值結果比較首先我們先使用 Gerrard & Haberman (2004) 的數據來套用在我們所使用的數值方法中，再與其比較數值結果：一工作者於60歲退休後加入此計畫，並預計在75歲時購買年金，因此投資期間共15期( T = 15 )，以下是參數假設：模擬情境組數：10000 風險性資產報酬率 λ ：0.10 風險性資產標準差 σ ：0.20. 立. € r ：0.05 無風險性資產報酬率. €. 政治大. ‧. ‧ 國. € 折現率 v ：0.95. 學. b ：7.56 每年提領€. € X 0 ：100 期初投資帳戶價值. y. sit. al. n. €. io. € 無買空賣空限制. er. ：1. Nat. € 懲罰係數 θ. i n U. v. 利用本研究所使用的數值方法，我們須先求得第15年、第14年、. Ch. engchi. 到第2年. 的投資決策表，每個決策表左邊欄位為狀態欄，決策表右邊代表給定狀態變數下相對應的最適投資策略，為投資在風險性資產的比例。而其中每一年由於狀態變數是給定的，而在模擬帳戶變動時可能會出現一些較極端的值，使得實際帳戶價值不在狀態變數範圍內，而無法使用內插來取得最適投資策略，為避免此情況發生，當帳戶價值超過狀態變數範圍時，我們以狀態變數極值所對應的最適投資決策表為代表。在未對買空賣空有所限制下，狀態變數過低時則投資風險性資產比例可能會大於1，也就是會有買空的情況發生;當狀態變數過高時，投資風險性資產比例可能會小於0，也就是會有賣空的情況發生。模擬後得每期狀態變數相對應的 15 . .

(22) 各期決策表如下：第14年決策表. 第13年決策表. 10.0. 10.638. 20.0. 1.920. 27.5. 1.601. 12.5. 8.252. 22.5. 1.914. 30.0. 1.589. 15.0. 6.661. 25.0. 1.887. 32.5. 1.564. 17.5. 5.524. 27.5. 1.849. 35.0. 1.522. 20.0. 4.672. 30.0. 1.804. 37.5. 1.472. 22.5. 4.009. 32.5. 1.750. 40.0. 1.422. 25.0. 3.479. 35.0. 1.684. 42.5. 1.363. 27.5. 3.045. 37.5. 1.616. 45.0. 1.299. 30.0. 2.683. 40.0. 32.5. 2.377. 35.0. 2.115. 立45.0. 37.5. 1.888. 40.0. 42.5. 政1.535治 47.5 大 1.431 50.0. 1.220 1.135. 47.5. 1.173. 55.0. 1.689. 50.0. 1.060. 57.5. 0.867. 42.5. 1.513. 52.5. 0.951. 60.0. 45.0. 1.357. 55.0. 0.853. 62.5. ‧. 47.5. 1.218. 57.5. 0.766. 65.0. 50.0. 1.092. 60.0. 67.5. 52.5. 0.979. 0.611. 55.0. 0.875. a l62.5 Ch. 0.686. i n U. 57.5. 0.781. 67.5. 60.0. 0.694. 62.5. n. e n0.542 gchi. 0.956. 0.783. y. 0.704 0.628. sit. io. 65.0. 70.0. 1.044. 0.559. er. ‧ 國. 52.5. 學. 1.304. Nat. . 第15年決策表. v. 0.495. 72.5. 0.435. 0.479. 75.0. 0.379. 70.0. 0.420. 77.5. 0.326. 0.615. 72.5. 0.365. 80.0. 0.277. 65.0. 0.541. 75.0. 0.314. 82.5. 0.231. 67.5. 0.473. 77.5. 0.266. 85.0. 0.187. 70.0. 0.410. 80.0. 0.221. 87.5. 0.146. 72.5. 0.352. 82.5. 0.178. 90.0. 0.107. 75.0. 0.297. 85.0. 0.139. 92.5. 0.071. 77.5. 0.245. 87.5. 0.101. 95.0. 0.036. 16 .

(23) 0.066. 97.5. 0.003. 82.5. 0.152. 92.5. 0.032. 100.0. -0.028. 85.0. 0.109. 95.0. 0.000. 87.5. 0.069. 97.5. -0.030. 90.0. 0.031. 第11年決策表. 第10年決策表. 35.0. 1.336. 40.0. 1.178. 47.5. 0.867. 37.5. 1.327. 42.5. 1.174. 50.0. 0.859. 40.0. 1.299. 45.0. 1.155. 52.5. 0.839. 42.5. 1.263. 47.5. 45.0. 1.222. 立50.0. 47.5. 1.160. 52.5. 1.037. 60.0. 50.0. 1.095. 55.0. 0.974. 62.5. 52.5. 1.029. 57.5. 0.908. 65.0. 55.0. 0.960. 60.0. 0.842. 67.5. ‧. 57.5. 0.893. 62.5. 0.771. 70.0. 0.552. 60.0. 0.827. 65.0. 0.702. 72.5. 62.5. 0.760. 0.638. 75.0. 65.0. 0.694. 67.5. 0.627. a l67.5 70.0 Ch. 70.0. 0.558. 75.0. 0.462. 82.5. 0.327. 72.5. 0.495. 77.5. 0.409. 85.0. 0.284. 75.0. 0.436. 80.0. 0.357. 87.5. 0.241. 77.5. 0.380. 82.5. 0.309. 90.0. 0.201. 80.0. 0.328. 85.0. 0.263. 92.5. 0.163. 82.5. 0.279. 87.5. 0.220. 95.0. 0.127. 85.0. 0.232. 90.0. 0.178. 97.5. 0.093. 87.5. 0.189. 92.5. 0.140. 100.0. 0.061. 90.0. 0.148. 95.0. 0.103. 102.5. 0.030. 0.803 0.764 0.720 0.677 0.637 0.593. 0.507. n. er. io. 72.5. 政1.126治 55.0 大 1.086 57.5. 學. ‧ 國. 第12年決策表. y. 90.0. sit. 0.197. Nat. . 80.0. iv 0.578 77.5n e n0.518 gchi U 80.0. 17 . 0.461 0.416 0.371.

(24) 92.5. 0.109. 97.5. 0.068. 105.0. 0.001. 95.0. 0.072. 100.0. 0.035. 107.5. -0.025. 97.5. 0.037. 102.5. 0.003. 100.0. 0.004. 105.0. -0.026. 57.5. 0.665. 60.0. 0.562. 55.0. 0.783. 60.0. 0.664. 62.5. 0.558. 57.5. 0.756. 62.5. 0.654. 65.0. 0.548. 60.0. 0.715. 65.0. 0.628. 67.5. 0.533. 62.5. 0.680. 67.5. 65.0. 0.647. 立70.0. 67.5. 0.612. 72.5. 0.537. 75.0. 70.0. 0.573. 75.0. 0.501. 77.5. 72.5. 0.530. 77.5. 0.468. 80.0. 75.0. 0.486. 80.0. 0.431. 82.5. ‧. 77.5. 0.439. 82.5. 0.393. 85.0. 0.324. 80.0. 0.393. 85.0. 0.354. 87.5. 82.5. 0.350. 0.314. 90.0. 85.0. 0.308. 87.5. 0.268. a l87.5 90.0 Ch. 90.0. 0.228. 95.0. 0.194. 97.5. 0.155. 92.5. 0.190. 97.5. 0.156. 100.0. 0.125. 95.0. 0.154. 100.0. 0.121. 102.5. 0.094. 97.5. 0.120. 102.5. 0.087. 105.0. 0.066. 100.0. 0.087. 105.0. 0.054. 107.5. 0.039. 102.5. 0.056. 107.5. 0.023. 110.0. 0.014. 105.0. 0.026. 110.0. -0.006. 112.5. -0.010. 0.516 0.491 0.461 0.429 0.395. 0.359. 0.288. n. er. io. 92.5. 政0.601治 70.0 大 0.570 72.5. 學. ‧ 國. 0.794. y. 第7年決策表. 52.5. Nat. . 第8年決策表. sit. 第9年決策表. v i n 0.273 92.5 U i e n0.233 h g c 95.0. 18 . 0.256 0.222 0.189.

(25) . 第6年決策表. 第5年決策表. 65.0. 0.505. 72.5. 0.474. 75.0. 0.440. 67.5. 0.505. 75.0. 0.469. 77.5. 0.432. 70.0. 0.495. 77.5. 0.456. 80.0. 0.418. 72.5. 0.482. 80.0. 0.434. 82.5. 0.395. 75.0. 0.457. 82.5. 0.413. 85.0. 0.367. 77.5. 0.430. 85.0. 0.388. 87.5. 0.337. 80.0. 0.400. 87.5. 0.356. 90.0. 0.311. 82.5. 0.374. 90.0. 0.325. 92.5. 0.285. 85.0. 0.347. 92.5. 87.5. 0.316. 90.0. 0.285. 立95.0 97.5. 92.5. 0.251. 95.0. 政0.291治 95.0 大 0.257 97.5. 0.259 0.232. 100.0. 0.190. 102.5. 0.218. 102.5. 0.156. 105.0. 0.138. 97.5. 0.187. 105.0. 0.123. 107.5. ‧. 100.0. 0.154. 107.5. 0.092. 110.0. 0.077. 102.5. 0.124. 110.0. 0.061. 112.5. 105.0. 0.093. 112.5. 0.031. 115.0. 107.5. 0.064. 0.002. 117.5. 110.0. 0.036. io. n. 117.5. e -0.022 ngchi. 第2年決策表. 80.0. 0.376. 82.5. 0.346. 82.5. 0.371. 85.0. 0.340. 85.0. 0.362. 87.5. 0.327. 87.5. 0.346. 90.0. 0.315. 90.0. 0.324. 92.5. 0.301. 92.5. 0.298. 95.0. 0.281. 95.0. 0.270. 97.5. 0.258. 19 . 0.170. y. 0.108. 0.048. sit. Nat. a 115.0 l C h. 0.201. 0.021. er. ‧ 國. 100.0. 學. 0.225. 第3年決策表. . 第4年決策表. i n U. v. -0.006.

(26) 97.5. 0.240. 100.0. 0.234. 100.0. 0.206. 102.5. 0.205. 102.5. 0.179. 105.0. 0.176. 105.0. 0.152. 107.5. 0.149. 107.5. 0.125. 110.0. 0.119. 110.0. 0.096. 112.5. 0.088. 112.5. 0.067. 115.0. 0.058. 115.0. 0.039. 117.5. 0.030. 117.5. 0.011. 120.0. 0.002. 表二：兩資產模型下各年度投資決策表的模擬結果. 政治大. 當每一期的投資決策表都建構完成後，透過這些決策表我們可以獲得期初. 立. 由數值結果所推出來數值解每期投資決策圖如下：. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 圖三：數值解每期投資決策圖. . 學. ‧ 國. 風險性資產的最適比例0.223。. 20 . i n U. v.

(27) Gerrard & Haberman (2004)中的每期決策圖如下：. 政治大. 圖四：Gerrard & Haberman(2004)每期投資決策圖. 立. 比較下，可以看出數值解的方式在95分位數的地方有些差異，且決策曲線. 學. ‧ 國. 較平，沒有鋸齒狀，造成此情況發生可能是因為 Gerrard & Haberman (2004) 內是以一個禮拜為一單位，相較之下數值解以一年為單位，因此期數較短，曲線. ‧. 較平緩，在極值的部份無法完全準確。而對於期初比例、投資結果等數據如下. n. al. 低於退休時轉換年金機率. Ch. 0.0340. e0.1970 ngchi. sit. Gerrard&Haberman(2004). 數值解. er. io 破產機率. y. Nat. 表所示：. i n U. v. 0.2277. 期末價值到達目標機率. 0. 0.0010. 期末轉換年金5分位數. 0.450b. 0.398b. 期末轉換年金25分位數. 1.071b. 1.035b. 期末轉換年金50分位數. 1.283b. 1.285b. 期末轉換年金75分位數. 1.389b. 1.404b. 期末轉換年金95分位數. 1.442b. 1.474b. 表三：數值解與 Gerrard & Haberman (2004)數據比較. . 0.0388. 21 .

(28) 數值解的方式和Gerrard & Haberman (2004)的結果在極值方面有一點差異，普遍來看並沒有誤差太多。由於數值法是針對問題來設計，不會受到封閉解的限制，我們可以試著用此數值方法作更多的衍生。. 第二節、重複模擬為了確定每次模擬的結果都不會相差太遠，因此我們重複模擬不同的10000 組情境50次，將得到50組期初最適投資決策的資料,我們分析這50組投資決策的平均數、標準差，分別如下：平均數. 標準差. 0.023 政治大在前面小節的各參數假設下，我們可得期初風險性資產比例為0.223，本節立 0.244. 重複模擬結果為0.244，兩者差異並不大，且標準差0.023也在合理範圍內。因此. ‧ 國. 學. 我們可知每一次的數值解差異並不大。. ‧. 第三節、買空賣空限制. sit. y. Nat. 第一節的數值解對於買空賣空方面並沒有任何限制，不符合實際市場的狀. al. er. io. 況，因此我們加上買空賣空的限制，其結果會較接近現實。加入買空賣空限制. v. n. 下，投資在風險性資產與無風險資產相加等於1，因此在狀態變數太低時，投資. Ch. engchi. i n U. 在風險性資產頂多只有1，在狀態變數到達目標時投資在風險性資產為0，加入限制後每期狀態變數相對應的決策表如下：. . 第15年決策表. 第14年決策表. 第13年決策表. 50.0. 50.0. 1. 50.0. 1. 1. 52.5. 0.979. 52.5. 0.908. 52.5. 0.994. 55.0. 0.875. 55.0. 0.821. 55.0. 0.906. 57.5. 0.781. 57.5. 0.742. 57.5. 0.826. 60.0. 0.694. 60.0. 0.670. 60.0. 0.752. 62.5. 0.615. 62.5. 0.602. 62.5. 0.683. 65.0. 0.541. 65.0. 0.538. 65.0. 0.616. 22 .

(29) 67.5. 0.473. 67.5. 0.478. 67.5. 0.551. 70.0. 0.410. 70.0. 0.422. 70.0. 0.492. 72.5. 0.352. 72.5. 0.365. 72.5. 0.434. 75.0. 0.297. 75.0. 0.314. 75.0. 0.379. 77.5. 0.245. 77.5. 0.266. 77.5. 0.327. 80.0. 0.197. 80.0. 0.221. 80.0. 0.277. 82.5. 0.152. 82.5. 0.178. 82.5. 0.231. 85.0. 0.109. 85.0. 0.139. 85.0. 0.187. 87.5. 0.069. 87.5. 0.101. 87.5. 0.146. 90.0. 0.031. 90.0. 0.066. 90.0. 0.107. 92.5. 0. 92.5. 立95.0. 政0.032治 92.5 大 0 95.0. 0.036. 97.5. 0.003. ‧. ‧ 國. 學. 第12年決策表. 第11年決策表. 第10年決策表. 50.0. 1. 50.0. 1. 50.0. 52.5. 1. 52.5. 1. 52.5. 55.0. 0.967. 55.0. y. 1. io. sit. Nat. 0.924. 0.929. 57.5. 0.855. 60.0. 0.782. a l57.5 Ch. 62.5. 0.715. 62.5. 0.751. 62.5. 0.689. 65.0. 0.655. 65.0. 0.688. 65.0. 0.635. 67.5. 0.598. 67.5. 0.626. 67.5. 0.582. 70.0. 0.544. 70.0. 0.570. 70.0. 0.533. 72.5. 0.486. 72.5. 0.511. 72.5. 0.490. 75.0. 0.431. 75.0. 0.458. 75.0. 0.450. 77.5. 0.377. 77.5. 0.405. 77.5. 0.404. 80.0. 0.327. 80.0. 0.356. 80.0. 0.362. 82.5. 0.278. 82.5. 0.309. 82.5. 0.321. 60.0. n U e n0.816 g c h i 60.0 0.888. 23 . 57.5. 0.857. er. 55.0. n. . 0.071. iv. 0.795 0.740.

(30) 85.0. 0.232. 85.0. 0.263. 85.0. 0.279. 87.5. 0.189. 87.5. 0.219. 87.5. 0.239. 90.0. 0.148. 90.0. 0.178. 90.0. 0.200. 92.5. 0.109. 92.5. 0.140. 92.5. 0.163. 95.0. 0.072. 95.0. 0.103. 95.0. 0.127. 97.5. 0.037. 97.5. 0.068. 97.5. 0.093. 100.0. 0.004. 100.0. 0.035. 100.0. 0.061. 102.5. 0. 102.5. 0.003. 102.5. 0.030. 105.0. 0. 105.0. 0.001. 政治大第7年決策表立第8年決策表. 第9年決策表 1. 50.0. 1. 50.0. 52.5. 0.973. 52.5. 0.970. 52.5. 55.0. 0.903. 55.0. 0.907. 55.0. 0.846. 57.5. 0.840. 57.5. 0.845. 57.5. ‧. 60.0. 0.785. 60.0. 0.791. 60.0. 0.748. 62.5. 0.729. 62.5. 0.739. 62.5. 65.0. 0.675. 65.0. 0.694. 65.0. 67.5. 0.623. 70.0. 0.571. a l67.5 Ch. 72.5. 0.524. 72.5. 0.555. 72.5. 0.526. 75.0. 0.480. 75.0. 0.513. 75.0. 0.483. 77.5. 0.440. 77.5. 0.471. 77.5. 0.441. 80.0. 0.396. 80.0. 0.425. 80.0. 0.404. 82.5. 0.352. 82.5. 0.386. 82.5. 0.368. 85.0. 0.309. 85.0. 0.349. 85.0. 0.329. 87.5. 0.267. 87.5. 0.311. 87.5. 0.290. 90.0. 0.228. 90.0. 0.270. 90.0. 0.254. 92.5. 0.191. 92.5. 0.231. 92.5. 0.220. y. 0.797. sit. io. n. 70.0. 0.914. 0.700. n U e n0.601 g c h i 70.0 0.650. 24 . 67.5. 0.654. er. Nat. . 0.984. 學. ‧ 國. 50.0. iv. 0.609 0.568.

(31) 95.0. 0.154. 95.0. 0.194. 95.0. 0.188. 97.5. 0.119. 97.5. 0.156. 97.5. 0.156. 100.0. 0.087. 100.0. 0.121. 100.0. 0.126. 102.5. 0.056. 102.5. 0.087. 102.5. 0.095. 105.0. 0.026. 105.0. 0.054. 105.0. 0.066. 107.5. 0. 107.5. 0.023. 107.5. 0.039. 110.0. 0. 110.0. 0.014. 第6年決策表 50.0. 第5年決策表 1. 0.940. 55.0. 0.878. 57.5. 立52.5. 政 1 治 50.0 大 0.971 52.5. 0.956. 55.0. 0.820. 57.5. 0.855. 57.5. 60.0. 0.769. 60.0. 0.811. 60.0. 0.804. 62.5. 0.717. 62.5. 0.770. 62.5. 65.0. 0.678. 65.0. 0.726. 65.0. 0.720. 67.5. 0.633. 67.5. 0.689. 67.5. 70.0. 0.588. 70.0. 0.643. 70.0. 72.5. 0.541. 75.0. 0.501. a l72.5 Ch. 77.5. 0.462. 77.5. 0.521. 77.5. 0.513. 80.0. 0.426. 80.0. 0.483. 80.0. 0.476. 82.5. 0.390. 82.5. 0.446. 82.5. 0.440. 85.0. 0.354. 85.0. 0.409. 85.0. 0.401. 87.5. 0.321. 87.5. 0.369. 87.5. 0.365. 90.0. 0.288. 90.0. 0.332. 90.0. 0.332. 92.5. 0.255. 92.5. 0.295. 92.5. 0.299. 95.0. 0.222. 95.0. 0.259. 95.0. 0.266. 97.5. 0.188. 97.5. 0.226. 97.5. 0.233. 0.852. y. 0.759. sit. io. n. 75.0. 0.900. 0.681. n U e n0.563 g c h i 75.0 0.600. 25 . 72.5. 0.639. er. ‧ 國. 0.911. 學. 55.0. Nat. . 1. ‧. 52.5. 50.0. 第4年決策表. iv. 0.593 0.551.

(32) 100.0. 0.155. 100.0. 0.192. 100.0. 0.202. 102.5. 0.124. 102.5. 0.156. 102.5. 0.169. 105.0. 0.093. 105.0. 0.123. 105.0. 0.139. 107.5. 0.064. 107.5. 0.091. 107.5. 0.108. 110.0. 0.036. 110.0. 0.061. 110.0. 0.077. 112.5. 0.009. 112.5. 0.031. 112.5. 0.048. 第2年決策表. 52.5. 0.906. 50.0. 55.0. 0.854. 57.5. 0.810. 立52.5. 60.0. 0.967. 政0.909治大 0.861. 0.766. 57.5. 0.777. 62.5. 0.731. 60.0. 0.734. 65.0. 0.699. 62.5. 0.695. 67.5. 0.660. 65.0. 0.659. 70.0. 0.619. 67.5. 0.623. 72.5. 0.585. 70.0. 0.588. 75.0. 0.549. 77.5. 0.518. a l72.5 Ch. 80.0. 0.481. 77.5. 0.502. 82.5. 0.442. 80.0. 0.471. 85.0. 0.411. 82.5. 0.443. 87.5. 0.380. 85.0. 0.413. 90.0. 0.348. 87.5. 0.385. 92.5. 0.310. 90.0. 0.356. 95.0. 0.279. 92.5. 0.325. 97.5. 0.241. 95.0. 0.293. 100.0. 0.212. 97. 5. 0.267. ‧ 國. 0.817. Nat. io. n. . 75.0. 0.562. e n0.531 gchi. 26 . ‧. 55.0. y. 47.5. sit. 0.966. 學. 50.0. er. 第3年決策表. i n U. v.

(33) 102.5. 0.180. 100.0. 0.234. 105.0. 0.152. 102.5. 0.203. 107.5. 0.124. 105.0. 0.175. 110.0. 0.096. 107.5. 0.147. 112.5. 0.067. 110.0. 0.118. 115.0. 0.039. 112.5. 0.087. 117.5. 0.011. 115.0. 0.058. 表四：兩資產模型下加入買空賣空限制的各年度投資決策表模擬結果. 透過這些決策表我們可以獲得期初風險性資產的最適比例0.234。以下是對於有無買空賣空限制下各項數據比較：. 治政大無買空賣空限制買空賣空限制立 0.223 0.234 學. ‧ 國. 期初最適投資比例. 0.0359. 低於退休時轉換年金機率. 0.2277. 0.2273. 期末價值到達目標機率. 0.0016. 0.0019. 期末價值50分位數. 76.471=>1.285b. 76.765=>1.290b. 期末價值95分位數. 87.696=>1.474b. 87.730=>1.475b. y. sit. er. io. al. ‧. 0.0388. Nat. 破產機率. v. n. 表五：兩資產模型下有無買空賣空限制的各項數據比較. Ch. engchi. i n U. 我們分別觀察期初最適投資在風險性資產的比例、投資所造成的破產機率、轉換年金後得到的年金給付低於退休時即轉換年金的年金給付機率、期末價值到達目標的機率與期末價值分位數。我們可以透過這些數據了解投資結果，在有買空賣空限制下與無買空賣空限制差異並不大，投資效益無特別改善，但接下來的數值解模擬都是以有買空賣空限制為前提來衍生，較符合現實。或許使用其他的限制或目標函數可以得到更好的結果。. . 27 .

(34) . 第四節、三資產投資在Gerrard & Haberman (2004)的研究中，對於投資資產的選擇只有風險性資產與無風險資產，選擇不多，我們在這邊試著作些區別，將投資的兩資產衍生至三資產，在有多的選擇下，預期投資效益也會得到改善。以下是參數假設：模擬情境組數：10000 高風險資產報酬率 λ ：0.10 高風險資產標準差 σ1：0.20. € µ ：0.07 中風險資產報酬率. € σ 2 ：0.10 中風險資產標準差. 立. € r ：0.05 無風險資產報酬率. 政治大. ‧. ‧ 國. € 折現率 v ：0.95. 學. b ：7.56 每年提領€. € X 0 ：100 期初投資帳戶價值. y. sit. al. n. €. io. € 有買空賣空限制. er. ：1. Nat. € 懲罰係數 θ. i n U. v. 模擬後透過每期狀態變數相對應的決策表，我們可以獲得期初高風險資產. Ch. engchi. 的最適比例為0.232，中風險資產的最適比例為0.297。而三資產與兩資產的數據比較如下：. . 28 .

(35) . 期初投資高風險資產比例. 兩資產. 三資產. 0.234. 0.232 0.297. 期初投資中風險資產比例破產機率. 0.0359. 0.0141. 低於退休時轉換年金機率. 0.2273. 0.1578. 期末價值到達目標機率. 0.0019. 0.0264. 期末價值50分位數. 76.765=>1.290b. 83.363=>1.401b. 期末價值95分位數. 87.730=>1.475b. 89.033=>1.497b. 表六：兩資產模型與三資產模型的各項數據比較. 政治大. 透過此表的比較，我們可以看到破產機率方面，三資產的破產機率較低，. 立. 而轉換後的年金給付也較容易大於退休時的年金給付，達到目標的機率也高於. ‧ 國. 學. 兩資產，在期末價值分位數方面也都高於兩資產。我們可以發現在投資時若資產的選擇增加時，投資的效益會提升。下一節本研究將使用投資比例限制. ‧. 的數值解觀察限制投資比例對投資的影響。. io. sit. y. Nat. 第五節、投資比例限制. n. al. er. 退休後的投資者不一定都會將資金都投資在風險性資產上，有些投資者會. Ch. i n U. v. 頃向將部份的資金放在銀行裡，亦即無風險資產。因此在這邊限制住高風險資. engchi. 產與中風險資產的比例來代表風險趨避程度的高低，我們定義風險愛好者投資在高風險與中風險資產上不超過100%;風險中立者投資在高風險與中風險資產上不超過70%;風險趨避者投資在高風險與中風險資產上不超過50%。這也代表了風險愛好者不需要將資金放在銀行中;風險中立者起碼要放30%的資金在銀行中; 風險趨避者起碼需要放50%的資金在銀行中。由於上一節三資產的數值解可代表風險愛好者的投資行為，因此這邊只需要再找出風險中立者與風險趨避者的投資行為即可。. . 29 .

(36) 首先觀察風險中立者的投資行為，高風險資產與中風險資產投資不超過 70%。模擬後透過每期狀態變數相對應的決策表，我們可以獲得期初高風險資產的最適比例為0.224，中風險資產的最適比例為0.298。接著觀察風險趨避者的投資行為，高風險資產與中風險資產投資不超過 50%。模擬後透過每期狀態變數相對應的決策表，我們可以獲得期初高風險資產的最適比例為0.196，中風險資產的最適比例為0.304。以下是風險趨避程度之間的數據結果比較：風險愛好者. 風險中立者. 風險趨避者. 期初投資高風險資產比例. 0.232. 0.224. 0.196. 期初投資中風險資產比例. 0.297. 立. 政治大0.298. 0.304. 0.0101. 0.0046. 低於退休時轉換年金機率. 0.1578. 0.1890. 0.2285. 期末價值到達目標機率. 0.0264. 0.0225. 0.0178. 期末價值50分位數. 83.363=>1.401b. 82.141=>1.381b. 79.037=>1.329b. 期末價值95分位數. 89.033=>1.497b. 88.974=>1.496b. 88.888=>1.494b. Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. 0.0141. 破產機率. io. er. 表七：三資產模型下風險程度的各項數據比較. al. 我們可以看到越風險趨避的投資者會降低其投資在高風險資產比例，投資. n. v i n Ch 在中風險性資產比例則變動不大。在破產機率方面，由於風險趨避的投資者在 engchi U 高風險資產的比例較少，因此破產機率也是風險趨避的人較低。在投資效益方面，越風險愛好的投資者其期末價值能達到目標的機率也越高，而轉換年金時所得的年金給付低於退休時轉換年金所得的年金給付的機率也較低。期末價值分位數也是偏風險愛好的投資者來得高。因此我們可以知道，風險趨避的投資者較容易規避破產風險，但投資效益並沒有比偏風險愛好的投資者來得好，甚至投資結果轉換年金後的年金給付反而會低於退休時轉換年金的年金給付，因此風險趨避的投資者可以考慮在退休時點轉換年金，或許是個更好的選擇。. . 30 .

(37) . 第六節、改變目標函數針對一開始所設立的目標函數進行修正以提昇投資效益。. 帳戶變異數控制對於原目標函數，加上控制帳戶價值變異數的限制式，預期可以使破產機率降低，而投資效益也會相對降低。由於此目標函數有可能會受變異數影響較多，所以使用係數控制。我們分別使用係數 α = 1、0.1、0.05的係數來界定控制的多寡來分析模擬結果，首先觀察兩資產數值結果： 1 政治係數=大 0.118 立0.234 € 原數值結果. 期初最適投資比例. 係數= 0.1. 係數= 0.05. 0.229. 0.263. 0.0173. 0.0187. 0.2052. 0.1972. 0.0001. 0.0005 76.874=>1.292b. 0.0026. 低於退休時轉換年金機率. 0.2273. 0.3871. 期末價值到達目標機率. 0.0019. 0. 期末價值50分位數. 76.765=>1.290b. 63.353=>1.065b. 75.481=>1.269b. 77.739=>1.307b. 86.736=>1.458b. io. y. sit. ‧ 國. 87.730=>1.475b. ‧. Nat. 期末價值95分位數. 學. 0.0359. 破產機率. 87.360=>1.468b. n. al. er. 表八：兩資產模型下控制帳戶變異數係數的各項數據比較. 三資產數值結果：. Ch. i n U. engchi. v. 原數值結果. 係數= 1. 係數= 0.1. 係數= 0.05. 期初投資高風險資產比例. 0.232. 0.138. 0.202. 0.211. 期初投資中風險資產比例. 0.297. 0.227. 0.317. 0.326. 破產機率. 0.0141. 0.0016. 0.0120. 0.0125. 低於退休時轉換年金機率. 0.1578. 0.2139. 0.1642. 0.1583. 期末價值到達目標機率. 0.0264. 0. 0.0119. 0.0229. 期末價值50分位數. 83.363=>1.401b. 71.666=>1.205b. 81.886=>1.376b. 82.853=>1.393b. 期末價值95分位數. 89.033=>1.497b. 83.628=>1.406b. 88.774=>1.492b. 88.974=>1.496b. 表九：三資產模型下控制帳戶變異數係數的各項數據比較 . 31 .

(38) 從上述兩表可看出有使用控制變異數的目標函數在破產機率方面確實有降低，係數越高，破產機率越低。但使用此目標函數，投資效益也會隨係數增加相對降低，造成投資的不效率，和一開始預期的一樣。係數為0.1和0.05時破產機率雖然比係數為1來得高，但轉換年金時的年金給付低於退休時即轉換年金的年金給付的機率可以降低，且低於原本無控制變異數的目標函數。係數1和0.1 的期末價值50分位數與95分位數都低於原目標函數，係數0.05的期末價值差異並不大。我們可看出當係數挑選適當，則可有效規避破產風險，轉換年金時的年金給付較容易高於退休時轉換的年金給付。因此想要規避破產機率的投資者可以使用此目標函數，雖然無法有效達到目標，但是可讓轉換後的年金給付較容. 治政易高於退休時轉換的年金給付，算是一個較穩定的選擇。需注意的是在係數的大立選擇上必須詳加考慮。 ‧ 國. 學. 控制帳戶差異部位. ‧. 在原目標函數加上控制實際帳戶低於目標帳戶部位，著重在實際價值小於. Nat. sit. y. 目標價值的差距，較不在意超過目標價值的部份。預期投資效益提升，破產機. n. al. 分析模擬結果，首先觀察兩資產的數值結果：. Ch. er. io. 率則無法確定。同樣地，使用係數來控制。我們分別使用係數 β = 2、1、0.5來. i n U. v. e n g c 係數= hi 1 €. 原數值結果. 係數= 2. 係數= 0.5. 期初最適投資比例. 0.234. 0.233. 0.251. 0.245. 破產機率. 0.0359. 0.0230. 0.0234. 0.0228. 低於退休時轉換年金機率. 0.2273. 0.1983. 0.2016. 0.2082. 期末價值到達目標機率. 0.0019. 0.0062. 0.0170. 0.0033. 期末價值50分位數. 76.765=>1.290b. 77.684=>1.306b. 78.195=>1.314b. 77.610=>1.305b. 期末價值95分位數. 87.730=>1.475b. 88.182=>1.482b. 88.590=>1.489b. 87.919=>1.478b. 表十：兩資產模型下控制帳戶差異部位係數的各項數據比較. . 32 .

(39) 三資產數值結果：原數值結果. 係數= 1. 係數= 2. 係數= 0.5. 期初投資高風險資產比例. 0.232. 0.227. 0.241. 0.235. 期初投資中風險資產比例. 0.297. 0.353. 0.310. 0.301. 破產機率. 0.0141. 0.0164. 0.0147. 0.0142. 低於退休時轉換年金機率. 0.1578. 0.1578. 0.1589. 0.1575. 期末價值到達目標機率. 0.0264. 0.0675. 0.1129. 0.0483. 期末價值50分位數. 83.363=>1.401b. 83.638=>1.406b. 84.433=>1.419b. 83.632=>1.406b. 期末價值95分位數. 89.033=>1.497b. 89.353=>1.502b. 89.601=>1.506b. 89.228=>1.500b. 政治大. 表十一：三資產模型下控制帳戶差異部位係數的各項數據比較. 立. 從上述兩表可看出，在控制帳戶差異部位下投資效益增加不少，尤其是在. ‧ 國. 學. 三資產的部份，且投資效益的增加並沒有影響到破產機率。在三資產的破產機率，有控制下比無控制稍微高一點，而在兩資產的破產機率，有控制下比無控. ‧. 制還來得低，因此控制帳戶差異部位對破產機率的影響並不高，卻可以達到有. io. sit. y. Nat. 效的投資。. er. 目標函數數值結果比較. al. n. v i n Ch 我們試著比較各目標函數的數值比較，首先觀察兩資產的數值結果： engchi U. . 期初最適投資比例. 破產機率. 原數值結果. 0.234. 0.0359. 控制帳戶變異數 α =1. 0.118. 0.0026. 控制帳戶變異數 α = 0.1. 0.229. 0.0173. 控制帳戶€ 變異數 α = 0.05. 0.263. 0.0187. 控制帳戶€差異部位 β = 2. 0.251. 0.0230. 控制帳戶 € 差異部位 β =1. 0.233. 0.0234. 控制帳戶差€ 異部位 β = 0.5. 0.245. 0.0228. € €. 33 .

(40) . 低於退休時轉換年金機率. 期末價值到達目標機率. 期末價值 50分位數. 期末價值 95分位數. 原數值結果. 0.2273. 0.0019. 1.290b. 1.475b. 控制帳戶變異數 α =1. 0.3871. 0. 1.065b. 1.307b. 控制帳戶變異數 α = 0.1. 0.2052. 0.0001. 1.269b. 1.458b. 控制帳戶€ 變異數 α = 0.05. 0.1972. 0.0005. 1.292b. 1.468b. 控制帳戶€差異部位 β = 2. 0.2016. 0.0170. 1.314b. 1.489b. 控制帳戶 € 差異部位 β =1. 0.1983. 0.0062. 1.306b. 1.482b. 控制帳戶差€異部位 β = 0.5. 0.2082. 0.0033. 1.305b. 1.478b. 政治大. 表十二：兩資產模型下目標函數類型的各項數據比較. €. 立. € 兩資產的情況下，控制帳戶變異數與控制帳戶差異部位的破產機率都比原. ‧ 國. 學. 目標函數來得低，控制帳戶差異部位的情況下破產機率會比控制帳戶變異數. io. 0.232. n. al. 控制帳戶變異數 α =1. Ch. e n g0.138 chi U. 破產機率. v 0.297 i n. 0.0141. 0.227. 0.0016. 控制帳戶變異數 α = 0.1. 0.202. 0.317. 0.0120. 控制帳戶€ 變異數 α = 0.05. 0.211. 0.326. 0.0125. 控制帳戶€差異部位 β = 2. 0.241. 0.310. 0.0147. 控制帳戶 € 差異部位 β =1. 0.227. 0.353. 0.0164. 控制帳戶差€ 異部位 β = 0.5. 0.235. 0.301. 0.0142. € €. . 期初投資中風險資產比例. sit. Nat 原數值結果. 期初投資高風險資產比例. er. 接下來比較三資產的數值結果：. y. ‧. 高。而在投資效益方面，控制帳戶差異部位的投資效益最佳。. 34 .

(41) . 低於退休時轉換年金機率. 期末價值到達目標機率. 期末價值 50分位數. 期末價值 95分位數. 原數值結果. 0.1578. 0.0264. 1.401b. 1.497b. 控制帳戶變異數 α =1. 0.2139. 0. 1.205b. 1.406b. 控制帳戶變異數 α = 0.1. 0.1642. 0.0119. 1.376b. 1.492b. 控制帳戶€ 變異數 α = 0.05. 0.1583. 0.0229. 1.393b. 1.496b. 控制帳戶€差異部位 β = 2. 0.1589. 0.1129. 1.419b. 1.506b. 控制帳戶 € 差異部位 β =1. 0.1578. 0.0675. 1.406b. 1.502b. 控制帳戶差€ 異部位 β = 0.5. 0.1575. 0.0483. 1.406b. 1.500b. €. 政治大. 表十三：三資產模型下目標函數類型的各項數據比較. 立. € 三資產的情況下，控制帳戶變異數的破產機率和其他目標函數比起來也. ‧ 國. 學. 是比較低，而不同於兩資產的情況是，控制帳戶差異部位的破產機率提高了，. ‧. 甚至大於原目標函數。這可能是因為資產增加，為了提昇投資效益而放入風險資產的比例過多所導致。而在投資效益方面，控制帳戶差異部位的投資效益相. y. Nat. io. sit. 當不錯，大幅提昇到達目標機率，而控制帳戶變異數的投資效益和兩資產一. n. al. er. 樣，都是低於原目標函數。. 目標函數決策圖比較. Ch. engchi. i n U. v. 我們比較控制帳戶變異數、控制帳戶差異部位與原目標函數每期的決策圖，原目標函數以直線表示，控制帳戶變異數以方塊表示，控制帳戶差異部位以圓圈表示。由於三種目標函數決策圖放在一起過於繁雜，因此將這三種目標函數分開比較，分別由控制變異數與控制帳戶差異部位兩種目標函數分別挑選出一組係數與原目標函數作比較，因為兩資產與三資產的決策圖比較下，兩資產的決策圖較具代表性，因此這邊只顯示兩資產的部份：. . 35 .

(42) . 政治大. 圖五：兩資產下原目標函數與控制帳戶變異數係數0.1的每期投資決策圖. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖六：兩資產下原目標函數與控制帳戶差異部位係數2的每期投資決策圖. 在這邊可以看到控制帳戶變異數的決策只有在50分位數以下與原目標函數較為接近，而在75分位數與95分位數，都明顯低於原目標函數，造成這個現象發生的原因，可能是因為控制住帳戶之間的變異，因此不會在風險性資產投資過多導致帳戶變異過大，與從數值結果所預期的相同。而控制帳戶差異部位的決策，在第95分位數前期的決策都低於原目標函數，原因可能是不想讓前期投資過多的風險性資產使得帳戶價值變動過大，而 . 36 .

(43) 讓過低的帳戶價值必須投資更多的風險性資產比例，控制帳戶差異部位的目標函數更頃向有效分配每一期的投資比例使投資可以達到目標。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. 37 . i n U. v.

(44) . 第陸章結論與建議使用數值解方法來解決最適化的問題可以接近動態規劃的答案，且不需要封閉解才能解決，它可以直接針對問題的本身來設計模型，可以跳過繁雜的求解過程。首先使用Gerrard & Haberman (2004)的研究結果與我們的數值解結果作比較，接下來將模型作衍生，將投資資產增加，分別使用不同的目標函數來模擬投資結果。我們可以得到以下結論： (ㄧ)為了使模型更貼切現實市場，我們加入買空賣空的限制，使投資資產的比例介於0到1之間，結果可以發現對於有無買空賣空限制對於結果差異不大，. 治政但對於模型的衍生使用買空賣空的限制較恰當。大立 (二)對於投資資產我們從原本的風險性資產與無風險性資產衍生至高風險資 ‧ 國. 學. 產、中風險資產、無風險資產來觀察投資結果。可以看到在兩資產或三資產投. ‧. 資高風險資產比例雖然相差不多，但三資產能多投資在中風險資產的部份，讓投資可以有更多選擇，且投資三資產可以降低破產機率，提昇投資效益，投資. y. Nat. io. sit. 達到目標的機率也來得比兩資產高。因此若投資資產的選擇增加，投資效益也. n. al. er. 可以增加。而本研究也假設部份的投資者頃向將部份的錢放在無風險資產上，. Ch. i n U. v. 而不是將所有的錢都投資在風險性資產上，結果發現越風險趨避的投資者會降. engchi. 低其高風險資產的比例，增加中風險資產的比例。而越風險趨避的投資者破產機率越低，但其投資效益低於較風險愛好的投資者，且過於風險趨避的投資者，投資結束要轉換年金所得的年金給付較容易低於退休時即轉換年金的年金給付。因此過於風險趨避的投資者較適合退休時即轉換成年金。 (三)依照不同的目的修改目標函數，我們可以針對破產風險去控制帳戶的變異數、提昇投資效益而注重帳戶差異的部位等。結果看到控制帳戶變異數的目標函數有效地控制住破產風險，但由於控制帳戶變異數的方法是控制住帳戶彼此之間的變異，因此會將帳戶價值控制在某一範圍，無法達到有效率性的投 . 38 .

(45) 資，或許選擇適當的係數可以提昇一定程度的投資效益。控制帳戶差異部位的目標函數的結果則提昇了投資效益，使投資較容易達到目標，由於此目標函數注重在實際價值低於目標價值的部份，而對破產機率的改善則不明顯，在只有兩資產的投資破產機率較低，但三資產的投資則和原目標函數差異不大，同樣地需要使用適當的係數來控制，若對於較追求投資效益的投資者而言，可以使用較大的係數來追求投資效益。使用數值解方法以倒推的方式求解來取代動態規劃求解是一個較新的方式，它可以節省很多時間，相信以後此方式會是一個求解的新選擇，雖然此方法相較起來很方便，但它也是有缺點與需要改進的地方：. 治政 (一)由於此數值方法是以倒推的方式來模擬，最後一期的決策訂定好後，前大立一期就需要包含當期的決策與後面的決策，因此當投資的期數過多時會造成編 ‧ 國. 學. 寫程式碼的繁雜度，使得此方法更難架構。. ‧. (二)要使模擬出來的數值解更精確，則在建構每期投資決策表時，狀態變數的間隔需要再分的細一點，但這麼作也會使程式碼效率變得沒這麼好，而退休. y. Nat. io. sit. 後的資產配置方面投資帳戶起始值並不為0，所以會使狀態變數變廣，決策表建. n. al. er. 構也會變得太繁雜，因此在間隔的選擇需要找到一個平衡使數值方法準確且不會失去過多效率性。. Ch. engchi. i n U. v. (三)此方法另外一個問題在於每一期的決策是因應每一期的狀態而定，當期的決策並不受其他期的決策所影響，影響當期決策的只有當期的狀態。因此此方法目前還無法使用在有跨期的模型上。例如交易成本，若在市場上的交易是需要交易成本的，則每期的交易都是需要成本的。針對前一期的決策，當期調整比例高於前一期的決策可看成買進，低於前一期的決策可看成賣出，不管買進或賣出都會花費交易成本，因此每一期在調整比例時，都需要扣除交易成本。若此數值方法能改良成可跨期的話，那對於問題的解決一定會更加完善。. . 39 .

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(48) . 附錄一三資產投資的數值結果中風險. 第14年決策表高風險. 中風險. 第13年決策表高風險. 中風險. 1. 0. 35.0. 1. 0. 37.5. 1. 0. 37.5. 1. 0. 37.5. 1. 0. 40.0. 1. 0. 40.0. 0.935. 0.065. 40.0. 0.956. 0.044. 42.5. 0.956. 0.044. 42.5. 0.857. 0.143. 42.5. 0.879. 0.121. 45.0. 0.886. 0.114. 45.0. 0.788. 0.212. 45.0. 0.813. 0.187. 47.5. 0.824. 0.176. 47.5. 0.726. 0.274. 47.5. 0.753. 0.247. 50.0. 0.769. 0.231. 50.0. 0.670. 0.330. 50.0. 0.697. 0.303. 52.5. 0.713. 0.287. 52.5. 0.620. 0.380. 52.5. 0.646. 0.354. 55.0. 0.664. 0.336. 55.0. 0.574. 0.426. 55.0. 57.5. 0.618. 0.382. 57.5. 0.532. 0.468. 60.0. 0.575. 0.425. 60.0. 0.494. 0.506. 0.599 0.401 治政 57.5 0.556 0.444 大 60.0. 0.516. 0.484. 62.5. 0.538. 0.462. 62.5. 0.459. 0.541. 62.5. 0.481. 0.519. 65.0. 0.501. 0.499. 65.0. 0.426. 0.574. 65.0. 0.448. 0.552. 67.5. 0.468. 0.532. 67.5. 0.396. 0.604. 67.5. 0.417. 0.583. 70.0. 0.438. 0.562. 70.0. 0.363. 0.610. 70.0. 0.389. 0.611. 72.5. 0.588. 72.5. 0.311. 0.523. 72.5. 0.348. 0.575. ‧. 0.412. 75.0. 0.365. 0.530. 75.0. 0.263. 0.441. 75.0. 0.301. 0.498. 77.5. 0.318. 0.463. 77.5. 0.217. 0.365. 77.5. 0.257. 0.424. 80.0. 0.273. 0.396. 80.0. 0.175. 0.293. 80.0. 0.215. 0.352. 82.5. 0.230. 0.332. 82.5. 0.135. 0.226. 85.0. 0.187. 0.270. 85.0. 0.097. 0.163. 87.5. 0.146. 0.211. 87.5. 0.061. 0.103. 87.5. 0.099. 0.162. 90.0. 0.107. 0.155. 90.0. 0.028. 0.047. 90.0. 0.064. 0.105. 92.5. 0.071. 0.102. 92.5. 0. 0. 92.5. 0.031. 0.052. 95.0. 0.036. 0.052. 95.0. 0. 0.001. 97.5. 0.003. 0.004. 97.5. 0. 0. 100.0. 0. 0. io. n. 中風險. sit. Nat. 第12年決策表高風險. al. er. ‧ 國. 立. 學. 35.0. y. 第15年決策表高風險. v i 82.5 0.174 0.286 n Ch e n g c0.136 85.0 h i U0.222. 第11年決策表高風險. 中風險. 第10年決策表高風險. 中風險. 37.5. 1. 0. 37.5. 1. 0. 37.5. 1. 0. 40.0. 1. 0. 40.0. 0.933. 0.067. 40.0. 0.958. 0.042. 42.5. 0.941. 0.059. 42.5. 0.866. 0.134. 42.5. 0.899. 0.101. 45.0. 0.871. 0.129. 45.0. 0.805. 0.195. 45.0. 0.843. 0.157. . 42 .

(49) 0.807. 0.193. 47.5. 0.750. 0.250. 47.5. 0.790. 0.210. 50.0. 0.753. 0.247. 50.0. 0.699. 0.301. 50.0. 0.744. 0.256. 52.5. 0.701. 0.299. 52.5. 0.651. 0.349. 52.5. 0.707. 0.293. 55.0. 0.652. 0.348. 55.0. 0.611. 0.389. 55.0. 0.661. 0.339. 57.5. 0.605. 0.395. 57.5. 0.576. 0.424. 57.5. 0.623. 0.377. 60.0. 0.566. 0.434. 60.0. 0.541. 0.459. 60.0. 0.584. 0.416. 62.5. 0.527. 0.473. 62.5. 0.510. 0.490. 62.5. 0.547. 0.453. 65.0. 0.494. 0.506. 65.0. 0.479. 0.521. 65.0. 0.514. 0.486. 67.5. 0.461. 0.539. 67.5. 0.453. 0.547. 67.5. 0.484. 0.516. 70.0. 0.431. 0.569. 70.0. 0.429. 0.571. 70.0. 0.455. 0.545. 72.5. 0.406. 0.594. 72.5. 0.406. 0.594. 72.5. 0.431. 0.569. 75.0. 0.371. 0.568. 75.0. 0.384. 0.616. 0.408. 0.592. 77.5. 0.327. 0.504. 77.5. 77.5. 0.388. 0.612. 80.0. 0.287. 0.438. 0.363 0.631 政治大 80.0 0.324 0.561. 75.0 80.0. 0.353. 0.562. 82.5. 0.249. 82.5. 0.284. 0.493. 82.5. 0.316. 0.496. 85.0. 0.210. 0.316. 85.0. 0.246. 0.428. 85.0. 0.279. 0.435. 87.5. 0.173. 0.258. 87.5. 0.207. 0.363. 87.5. 0.243. 0.376. 90.0. 0.136. 0.201. 90.0. 0.170. 0.299. 90.0. 0.204. 0.314. 92.5. 0.101. 0.149. 92.5. 0.134. 0.236. 92.5. 0.167. 0.255. 95.0. 0.067. 0.099. 95.0. 0.098. 0.174. y. 95.0. 0.132. 0.201. 97.5. 0.035. 0.051. 97.5. 0.065. 0.115. 97.5. 0.097. 0.148. 100.0. 0.004. 0.005. io. 100.0. 0.033. 0.059. 100.0. 0.063. 0.097. 102.5. 0. 0. 102.5. 0.003. 0.005. 102.5. 0.031. 0.048. 105.0. 0.001. 0.001. 107.5. 0. n. 中風險. C105.0 h e n g c h0 i 第8年決策表高風險. er. Nat. 第9年決策表高風險. al. ‧. ‧ 國. 立 0.375. 學. 47.5. sit. . iv n U 0 中風險. 第7年決策表高風險. 中風險. 37.5. 1. 0. 37.5. 1. 0. 37.5. 40.0. 0.949. 0.051. 40.0. 1. 0. 40.0. 0.987. 0.013. 42.5. 0.886. 0.114. 42.5. 0.945. 0.055. 42.5. 0.918. 0.082. 45.0. 0.828. 0.172. 45.0. 0.884. 0.116. 45.0. 0.863. 0.137. 47.5. 0.774. 0.226. 47.5. 0.826. 0.174. 47.5. 0.818. 0.182. 50.0. 0.723. 0.277. 50.0. 0.778. 0.222. 50.0. 0.773. 0.227. 52.5. 0.677. 0.323. 52.5. 0.730. 0.270. 52.5. 0.722. 0.278. 55.0. 0.631. 0.369. 55.0. 0.691. 0.309. 55.0. 0.679. 0.321. . 43 . 1. 0. 0.

動態規劃數值解 ：退休後資產配置 - 政大學術集成

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