簡易而精確的伯努力定律實驗

簡易而精確的伯努力定律實驗

林峻瑋 蘇益加 張瑞文 黃福坤 賈至達

* 國立臺灣師範大學 物理系

壹、前言

在 一 般 的 教 學 實 驗 中 ， 伯 努 力 定 律 相 關 的 實 驗 設 計 並 不 多 見 。 也 許 是 因 為 伯 努 力 定 律 是 與 流 體 相 關 ， 而 且 要 直 接 測 量 流 體 的 流 速 、 流 體 的 壓 力 等 相 關 物 理 量 ， 都 有 著 一 定 的 難 度 ， 且 容 易 造 成 測 量 上 有 很 大 的 誤 差 ， 可 能 是 相 關 實 驗 並 不 多 見 的 原 因 ！ 雖 然 描 述 伯 努 力 定 律 （Bernoulli Principle ） 的 公 式 是 以 理 想 流 體 為 出 發 點 ， 但 是 在 適 當 的 條 件 下 ， 日 常 生 活 中 隨 手 可 得 的 水 也 可 以 近 似 為 理 想 的 流 體 ！ 本 文 所 描 述 的 伯 努 力 定 律 實 驗 就 是 利 用 水 來 驗 證 的 。 近 年 來 由 於 電 腦 科 技 軟 硬 體 的 發

展 ， 尤 其 是 電 腦 Universal Serial Bus

（USB） 介 面 軟 硬 體 充 分 的 支 援 下 ， 許 多 簡 易 的 偵 測 器，都 能 夠 透 過 USB 的 介 面由 電 腦 直 接 擷 取 實 驗 的 量 測 數 據 。 使 得 原 本 是 一 件 複 雜 且 繁 瑣 的 實 驗 量 測 ， 能 夠 藉 由 電 腦 的 操 作 ， 有 效 地 簡 化 實 驗 的 步 驟 ， 減 少 人 為 操 作 可 能 造 成 的 誤 差 ， 並 且 縮 短 實 驗 所 需 花 費 的 時 間 。 另 一 方 面 ， 使 用 電 腦 來 輔 助 量 測 ， 使 得 單 位 時 間 內 可 以 取 得 的 實 驗 數 據 大 幅 增 加 ， 對 於 微 小 變 化 的 分 辨 能 力 增 加 ， 著 實 地 度 提 高 實 驗 的 精 確 度 。 * 為本 文 通 訊 作者 不 過 我 們 仍 然 要 強 調 一 件 重 要 的 概 念 ， 教 學 實 驗 的 目 標 絕 對 不 是 按 電 腦 按 鍵 就 可 以 達 成 的 ！ 在 物 理 實 驗 的 設 計 中 ， 訓 練 學 生 自 己 動 手 進 行 物 理 基 本 量 的 測 量 是 很 重 要 的 ， 也 就 是 三 個 基 本 量 ， 長 度 、 質 量 和 時 間 的 基 本 量 測 在 教 學 實 驗 的 設 計 中 是 非 常 根 本 的 ！ 更 重 要 的 是 ： 實 驗 的 誤 差 就 是 在 量 測 過 程 中 發 生 ， 因 此 學 生 可 以 根 據 所 使 用 的 量 具 的 精 確 度 ， 估 計 出 實 驗 誤 差 的 數 值 ， 驗 證 理 論 的 正 確 性 。 基 於 上 述 的 理 念 ， 本 文 所 描 述 的 實 驗 設 計 ， 將 利 用 以 上 所 述 這 些 特 點 ， 不 僅 僅 可 以 使 用 USB 介 面 偵 測 器 進 行 數 據 量 測 ； 也 可 以 使 用 傳 統 的 碼 錶 、 直 尺 等 簡 單 的 儀 器 ， 進 行 伯 努 力 定 律 的 驗 證 ， 而 且 精 確 度 也 不 差 ！ 上 述 兩 種 量 測 的 方 法 ， 可 以 適 用 於 不 同 層 次 的 學 習 ， 同 學 也 可 以 比 較 兩 者 的 差 異 ！ 實 驗 的 方 法 是 測 量 注 入 水 的 壓 克 力 圓 柱 筒 中 ， 在 其 下 方 有 小 孔 打 開 後 ； 記 錄 筒 中 液 面 下 降 的 高 度 與 時 間 的 關 係 ， 探 討 底 部 開 孔 大 小 與 液 面 隨 時 間 變 化 情 形 的 關 連 性 。 另 一 方 面 ， 以 連 續 方 程 式 及 伯 努 力 方 程 式 作 為 理 論 基 礎 ， 對 實 驗 數 據 進 行 分 析 ， 並 提 出 適 當 的 模 型 解 釋 實 驗 的 結 果 。

貳、實驗儀器製作和測量的原理

本 文 所 描 述 的 實 驗 概 念 ， 主 要 是 根 據 流 體 動 力 學 中 主 要 的 兩 個 基 本 方 程 式 。 第 一 個 方 程 式 為「 連 續 方 程 式 」，是 描 述 一 個 不 可 壓 縮 流 體 的 特 性 ， 如 圖 一 所 示 ； 流 進 A 截 面 的 流 量 ， 會 等 於 流 出 B 截 面 的 流 量 ， 即

Av

_A

=

Bv

_B， 也 是 質 量 守 恆 的 一 個 特 例 。 第 二 個 方 程 式 為 「 伯 努 力 方 程 式 」， 描 述 一 個 不 可 壓 縮 的 流 體 ， 在 管 徑 不 均 勻 的 管 中 ， 流 體 的 力 學 能 量 關 係 ， 也 可 以 視 為 是 力 學 能 守 恆 的 一 個 特 例 ， 即 2 2 2 1 2 1 B B A A ρv gh P ρv P + +

ρ

= + 。 我 們 假 設 水 在 我 們 實 驗 的 壓 力 範 圍 內 ， 可 視 為 不 可 壓 縮 的 流 體 ； 因 此 以 連 續 方 程 式 作 為 基 礎 假 設 ， 我 們 可 以 設 計 一 簡 單 實 驗 來 驗 證 伯 努 力 定 律 ， 因 而 製 作 了 一 個 上 端 開 口 的 圓 柱 筒 ， 並 且 圓 柱 筒 底 部 鑽 有 小 圓 孔 。 在 不 可 壓 縮 的 假 設 下 ， 單 位 時 間 內 由 小 圓 孔 流 出 的 水 量 是 等 於 筒 內 液 面 下 降 的 體 積 ； 由 液 面 下 降 的 高 度 與 時 間 的 關 係 ， 我 們 就 可 以 輕 易 的 驗 證 伯 努 力 定 律 。 為 了 探 討 圓 柱 筒 內 液 面 下 降 的 速 率 與 底 部 小 圓 孔 半 徑 r 的 關 係， 我 們 準 備了 幾 組 不 同 半 徑 的 小 圓 孔 來 進 行 實 驗 ，r 的 變 化 範 圍 約 由 0.5 公 釐 到 4.5 公 釐 。 實驗 主 要 的 結 構 是 一 透 明 的 壓 克 力 製 圓 柱 筒 ， 主 體 是 由 一50 公 分 長、厚 度約 為 3 公 釐的 壓 克 力 圓 柱 管 。 圓 柱 管 的 內 直 徑 2R 為 14.435 公 分 （ 即 內 半 徑 為 R ＝ 7.218 公 分 ）。 圓 柱 管 底 部 用 直 徑20 公 分 而厚 度 為 1 公分 的 壓 克 力片 封 住 ， 而形 成 一 深 度約 為 50 公 分 的 圓柱 筒 ， 如 圖二(a)所 示 。為 了 讓 實 驗 能 夠 進 行 快 速 ， 我 們 在 圓 柱 筒 底 部 設 計 一 個 可 以 直 接 變 換 孔 徑 大 小 的 裝 置 ， 也 就 是 一 個 可 以 直 接 變 換 孔 徑 大 小 的 接 頭 ， 而 此 實 驗 最 大 的 困 難 點 在 於 如 何 去 設 計 一 個 能 夠 變 換 孔 徑 大 小 的 接 頭 。 此 接 頭 最 少 要 能 夠 承 受 50 公 分 水 柱 高 的 壓 力 ， 且 不 變 形 、 不 漏 水 。 最 後 經 由 不 斷 改 良 ， 最 終 接 頭 主 要 以 鋁 質 加 工 製 作 最 為 理 想，其 設 計 如 圖 二(b)。此 實驗 裝 置 能 滿足 我 們 實 驗 需 要 測 量 的 液 面 高 度 變 化 與 底 部 的 孔 洞 大 小 ， 並 且 可 以 依 據 我 們 的 需 要 任 意 的 改 變 孔 洞 的 大 小 ， 進 行 不 同 變 因 的 實 驗 。 在 實 驗 的 測 量 上 ， 我 們 採 取 了 兩 個 方 法 ； 第 一 種 方 法 是 利 用 碼 錶 進 行 人 為 觀 測 的 測 量 ， 因 此 在 圓 柱 筒 外 貼 上 皮 尺 ， 記 錄 液 面 高 度 隨 時 間 的 變 化 ， 如 圖 三(a)所 示 。 第 二 種 方 法 是 利 用 USB 距 離偵 測 器，在 圓 柱 筒 開 口 之 上 方 測 量 不 同 時 間 時 液 面 之 高 度 ， 如 圖 三(b)所示 。 截 面 積 截 面 積 圖 一 ： 不 可 壓 縮 流 體 之 連 續 方 程 式 示 意 圖。截 面 A 之 流 速 為 vA，而 截 面 B 之 流 速 為 vB， 兩 者 的 高 度 差 為h。 h vA vB

圖 二 ： 實 驗 用 的 管 柱 。(a)由 左 而 右 ， 為 整 個 實 驗 用 的 管 柱 之 簡 單 示 意 圖 、 實 驗 用 管 柱 的 照 片 、 底 座 結 構 圖 。 其 中 R 為 圓 柱 筒 的 內 半 徑 ( 2R 即 表 示 為 直 徑 )，r 為 小 圓 孔 的 半 徑，H 為 筒 內 液 面距 小 圓 孔 的高 度，v1為 液 面 下 降 的 速 度，v2為 由 小 圓 孔 流 出 的 液 體 流 速 。(b)則 為 底座 的 近 照 及俯 視 圖 。 鋁 版 座 底 座 有 孔 的 鋁 條 滑 動 槽 H 2R 2r v1 v2 二(b) 二(a) 碼 錶 壓 克 力 管 距 離 偵 測 器 (a) (b) 圖 三 ： 實 驗 裝 置 圖 （ 圖(a)為 方 法 一 ， 圖 (b)為 方法 二 ）

當 半 徑 為 R 的 圓 柱 筒 中 注 入 高 度 為 H0的 水 後，打 開 半 徑 為 r 小圓 孔 讓 水 由小 圓 孔 垂 直 流 下 ， 液 面 的 高 度 會 隨 著 時 間 逐 漸 下 降 。 實 驗 者 可 以 利 用 碼 錶 、 米 尺 等 ， 或 者 是 以 USB 介 面的 距 離 偵測 器（ Motion Sensor）， 記 錄 在 t 時 刻 時 筒 內 液 面 的 高 度 。 設 筒 內 液 面 下 降 的 速 率 為 v1，（ 即 圓 柱 筒 內 液 體 流 速 ），設 液 體 流 過 底 部 孔 洞 的 流 速 為v2； 則 由 連 續 方 程 式 可 得 ： 2 2 1 1

v

A

v

A

=

，

π

R

2

v

₁

=

π

r

2

v

₂ 2 1 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⇒

r

R

v

v

(1) 假 設 液 面 的 起 始 高 度 為H0，而 在 t 時 刻 時 ， 上 端 液 面 與 小 圓 孔 的 垂 直 距 離 為 H。 在 漏 水 的 過 程 中 ， 上 端 液 面 下 降 的 速 度 為

dt

dH

dt

dH

v

₁

=

=

−

；此 式 的 負 號 是 因 為 液 面 的 高 度 H 的 變 化 由一 起 始 高 度 H0 逐 漸 下 降 到 零 為 止 ， 故 有 負 號 。 由 小 圓 孔 流 出 的 液 體 ， 其 速 度 為 2 1 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

r

R

v

v

， 其 中 R 為 圓筒 的 內徑 ， 而 r 為圓 筒 下 方 漏水 小 圓 孔 的 半 徑 。 因 為 整 個 系 統 是 置 於 空 氣 中 ， 因 此 可 以 假 設 上 下 兩 端 的 液 體 的 所 受 的 大 氣 壓 力 相 同 （ 設 為 P0）， 由 伯 努 力 方 程 式 可 得 ： 2 2 0 2 1 0

2

1

2

1

ρv

P

ρgH

ρv

P

+

+

=

+

(2) 將 第(1)式 代 入 第(2)式 中，則 可 以得 到 第 （3） 式 ， 即 ： 2 1 2 0 2 1 0

2

1

2

1

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

+

+

v

r

R

ρ

P

ρgH

ρv

P

，

H

a

r

R

gH

v

2

1

2

4 2 1

≡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

(3) 第 （3） 式 中 a 的 定義 為 ：

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≡

1

4

r

R

g

a

， (4) 因 為 a 與 H 無 關 僅 與 R/r 的 比 值 相 關 ， 也 就 是 當R 和 r 幾 何 關係 固 定 時 a 是 一 個 定 值 。 故 第(3)式 顯 示 ： 在 t 時 刻 時， 液 面 下 降 速 度 v1 的 平 方 和 當 時 液 面 的 高 度 H 成 正 比 。在 t=0 時 ，

v

₁ 值 為 最 大 ； 當 時 間 逐 漸 增 加 時，H 逐 漸變 小，

v

₁ 數 值 也 會 逐 漸 變 小 ， 直 到 為 H 和 v1均 變 為 0 為 止，如 圖 四 中 的(a)H−t 圖、(b)

H

−

t

圖 及(c)v1−t 圖 所 示 ， 最 後 的 數 值 都 會 等 於 0。這 就 有 如 物 體在 初 始 時 間 t＝0 時 ， 其 初 始 位 置 為 H0 ， 初 速 度 為

(

)

0 1

t

0

2

aH

v

=

=

−

；而 在 其 他 任 意 時 刻 t 時 ， 即 圖 四 (c) ， 速 度 為

( )

t

aH

a

t

v

₁

=

−

2

₀

+

⋅

，此 公 式 與 一 般 質 點 的 等 加 速 度 運 動 方 程 式 完 全 相 同 ， 而 且 由 上 式 可 以 預 測 將 水 完 全 漏 完 所 需 的 時 間 T

為

2

H

0

_a

_{； 預 測 的 T 數值 與 實 驗 上所 量} 測 到 的T 相 當 接近 。 因 此 第(4)式 中 的 a， 可 以 視 為 是 運 動 公 式 中 的 加 速 度；故 第(4) 式 表 示 水 在 漏 的 時 候 ， 筒 內 液 面 下 降 是 一 個 等 加 速 度 運 動 ， 而 且 是 一 個 加 速 度 與 液 面 下 降 速 度 方 向 相 反 的 等 加 速 度 運 動 ， 參 見 圖 四(c)。因 此使 得 在 漏 水的 時 候，漏水 的 速 度 隨 時 間 的 進 行 而 遞 減 。 我 們 可 以 經 由 實 驗 的 測 量 ， 測 得 筒 內 液 面 高 度 隨 時 間 變 化 的 數 值 ， 因 此 可 以 得 出 液 面 下 降 速 度 隨 時 間 變 化 的 圖 形 。 由 速 度 隨 時 間 變 化 的 圖 形 中（ 即 圖 四(c)）所 求 得的 斜 率 即 為實 驗 所 求 得 的 加 速 度 ， 也 就 是 aexp的 數 值 。 另 一 方 面 ， 我 們 也 可 以 用 游 標 尺 等 量 測 工 具 ， 精 確 的 得 知 r 與 R 的 數值 ， 因 此 依據 公 式(4) 也 可 以 推 算 出 可 能 的 加 速 度 數 值 ， 即 為 athe。 因 為 水 會 有 黏 滯 力 、 非 理 想 流 體 等 因 素 ， 所 以 所 求 得 的 aexp 和 athe 數 值 不 會 完 全 相 等 ， 但 是 數 值 應 該 會 相 近 且 有 相 關 性 。 將 實 驗 量 測 所 推 得 的 加 速 度 aexp代 入 第(4)式，可 以推 算 下方 小 圓 孔『 有 效 的 半 徑 』，reff， 也 就 是 ： 4 exp exp eff

a

g

a

R

r

+

=

(5) 利 用 第(5)式，所 推 算 出 有 效的 孔 徑 大 小 reff， 與 直 接 用 游 標 尺 去 測 量 半 徑 rreal 的 結 果 相 比 較 ， 兩 者 應 該 會 有 正 相 關 性 。 由 於 實 驗 過 程 中 水 壓 變 化 範 圍 並 不 大 ， 相 信 可 以 用 成 正 比 的 相 關 性 作 為 近 似 。

參、實驗結果與分析

一 、 手 動 測 量 及 用 距 離 偵 測 器 之 結

果比較

我 們 先 選 取 孔 洞 直 徑 （= 2 r） 為 1.09 公 釐、1.65 公 釐、2.44 公 釐的 三 孔，同 時 進 行 手 動 的 測 量 方 式 和 使 用 距 離 偵 測 器 的 測 量 方 式 ， 以 便 觀 察 兩 者 之 間 的 結 果 是 否 有 所 異 同 。 手 動 操 作 測 量 的 部 分 ， 我 們 於 圓 柱 筒 的 筒 壁 上 貼 上 皮 尺 ， 注 入 水 至 特 定 高 度 （ ～30 公 分）， 在 打 開 圓筒 下 方 小 圓 孔 的 同 時 開 始 計 時 ， 液 面 每 下 降 1 或 2 公 分 時 ， 記 錄 碼 錶 所 顯 示 的 時 間 ， 這 是 傳 統 的 量 測 方 式 ， 圖 五 中 顯 示 所 測 的 數 據 。 液 面 的 上 方 約 30 公 分 處 也 放 置 距 離 偵 測 器 ， 利 用 距 離 偵 測 器 測 量 液 面 下 降 的 高 度 與 時 間 的 關 係 ， 數 據 也 請 參 見 圖 五 。 因 為 兩 種 測 量 方 式 並 不 會 相 互 干 擾 ， 故 也 可 以 同 時 以 兩 種 不 同 的 方 式 進 行 測 量 。 圖 五 中 顯 示 不 同 小 圓 孔 半 徑 r（ 約由 0.55 公 釐～ 1.22 公 釐 ）所 得 到 的 實 驗 結 果 。 我 們 可 發 現，手 動 測 量 和 使 用 USB 介 面距 離 偵 測器 測 量 的 結 果 大 致 是 吻 合 的 ， 即 不 論 使 用 那 一 種 測 量 方 式 ， 都 可 以 得 到 相 同 的 結 果 。 然 而 採 用 人 為 測 量 時 ， 因 為 在 於 人 對 液 面 高 度 觀 察 上 的 誤 差 ， 以 及 按 碼 錶 時 需 要 有 反 應 的 時 間 ， 而 使 得 測 量 結 果 上 ， 有 著 高 度 和 時 間 的 準 確 度 和 精 確 度 上 的 誤 差 。 而 使 用 距 離 偵 測 器 測 量 ， 除 了 可 以 避 免 前 述 之 人 為 測 量 所 致 的 誤 差 外 ， 而 且 在 相 同 時 間 之 內 ， 能 取 得 的 數 據 之 數 量 更 是 遠 超 過 使 用 碼 錶 之 測 量 方 式 ， 且 因 為 距 離 偵 測 器 最 小 可 以 測 量 到 0.1 公 釐 ，所 以 得 到 的數

值 ， 會 比 手 動 得 到 的 數 據 精 確 許 多 。 由 圖 五 可 以 發 現 ： 半 徑 r 越 大 液 面 下 降 的 越 快 ， 也 就 是 筒 內 液 體 會 在 較 短 的 時 間 內 流 光 ！ 這 與 一 般 的 日 常 經 驗 是 相 符 ； 若 仔 細 觀 察 圖 五，可 以 發 現H−t 呈 現 一個 二 次曲 線 的 關 係 。 圖 六 是 將 圖 五 的 直 接 量 測 數 據 轉 換 成

H

−

t

的 圖，發 現 兩 者 呈 現 明 顯 的 線 性 關 係，也 就 是 說 H 與 t2_{成 正 比，圖 六 中 直} 線 的 意 義 就 是 ₀ 2

2

1

at

H

H

=

−

。 因 此 水 由 小 孔 完 全 流 出 所 需 的 時 間 等 於 a H0 2 _，與 前 一 節 的 理 論 預 測 相 同 。 圖 四 ： 當 漏 水 時(a)高 度 與 時 間 的 H−t 圖 、 (b)由 (a)數 據 轉 換 而 得 的

H

−t 圖 和 轉 換 成 (c) 水 面 下 降 速 度 的 v1−t 圖 。 由 此 三圖 中 我 們 可以 發 現 當 漏水 的 時 候 ，圓 柱 筒 內 的液 面 隨 時 間 的 變 化 情 形 。 圖 五 ： 手 動 測 量 和 使 用 距 離 偵 測 器 測 量 之 結 果 ， 由 右 而 左 分 別 表 示 為 r = 0.55mm、 r = 0.83mm、 r = 1.22mm、 r = 1.58mm、 r = 2.32mm、 及 r = 4.62mm 時 的 實 驗 結 果 。 實 心 的 線 是 用USB 介 面 距 離 偵 測 器測 量 的 結 果，{、…和 U所 顯 示 的 是以 碼 錶 測 量

的 結 果 。 手 動 （Stop Watch） 及 用 距 離 偵 測 器 （USB） 所 測 量 的 結 果 相當 吻 合 ， 且

H 和 時 間 t 呈 現 一 個 二次 曲 線 的 關係 。

t t

t

0 0

0

H

_H

_v

₁

(a)

(b)

(c)

0

2aH

−

0

H

H

0

圖 六 ： 將 圖 五 中 的 數 據 轉 換 成

H

−

t

的 圖 ， 由 右 而 左 分 別 表 示 為 r = 0.55mm 、 r = 0.83mm、 r = 1.22mm、 r = 1.58mm、 r = 2.32mm、 及 r = 4.62mm 時 的 結 果 。 實 心 的 線 是 用 USB 介 面 距 離 偵 測 器 測 量的 結 果，{、…和 U所 顯 示 的 是 以 碼錶 測 量 的 結 果 ； 可 發 現

H

和 時 間 t 呈 現 明 顯 的 線性 關 係 。

二、用距離偵測器進行一系列測量

雖 然 手 動 和 用 距 離 偵 測 器 可 得 到 相 吻 合 的 結 果 ， 但 是 因 為 距 離 偵 測 器 得 到 的 數 據 量 多 、 精 確 度 高 之 特 性 ， 故 我 們 利 用 距 離 偵 測 器 ， 進 行 一 系 列 的 數 據 分 析 ， 來 探 討 孔 徑 大 小 與 流 速 隨 時 間 的 演 化 關 係 。 經 由 圖 五 實 驗 數 據 分 析 的 結 果 ， 發 現 實 驗 數 據H-t 圖 所 估算 的 孔 洞 半徑 大 小 reff，和 直 接 使 用 游 標 尺 去 測 量 得 到 的 小 圓 孔 半 徑 大 小 rreal相 比 之 下 ， 並 不 相 等 ， 而 且 在 我 們 量 測 結 果 均 是：rreal略 大 於reff。如 果 我 們 把 實 驗 所 推 算 reff對rreal作 圖，如 圖 七 所 示 ； 則 會 發 現 ， 無 論 孔 洞 的 大 小 為 何 ， 由 實 驗 結 果 代 入 第(5) 式 中 所 計 算 得 到 的 小 圓 孔 半 徑 reff與 rreal有 線 性 正 比 關 係，經 數 據 擬 合 發 現 reff＝0.87xrreal 的 倍 ， 也 就 是 說，水 流 出 時 所 對 應 到 的 孔 洞 大 小 reff，會 稍 小 於 實 際 孔 洞 的 大 小rreal。rreal在0～0.5 公 釐 之 間，無 論 rreal如 何 變 化，reff大 約 為 rreal的 0.87 倍 ，但 是 何 種 原因 使 得 reff比 rreal略 小 ？ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 r eff (mm) r_real(mm) 圖 七：實 驗 所 估 算 的 孔 徑 大 小(reff)與 直 接 測 量 的 孔 徑 大 小(rreal)之 關 係 。 real effect

=

(0.87

0.01)

r

r

±

由 圖 七 中 顯 示 reff會 略 小 於 rreal，表 示 水 載 往 下 流 出 時 ， 所 感 應 到 的 小 孔 半 徑 較 實 際 的 為 小 。 由 實 驗 中 的 觀 察 中 可 以 發 現 ， 水 的 流 動 並 不 是 只 有 由 上 往 下 的 流 動 ， 而 是 有 從 洞 的 旁 邊 往 洞 口 方 向 做 類 似 於 向 心 的 流 動 ， 如 圖 八 所 示 。 由 於 筒 內 的 水 會 向 洞 口 推 擠 ， 使 得 水 從 洞 口 流 出 的 時 候 ， 不 是 完 全 只 有 垂 直 方 向 的 速 度 ， 而 是 還 會 有 部 分 的 水 平 方 向 的 速 度 ， 因 為 會 使 得 在 實 驗 結 果 所 推 算 的 小 圓 孔 大 小 ， 略 低 於 直 接 用 游 標 尺 所 測 量 到 的 大 小 。 其 次 ， 在 實 驗 過 程 之 中 ， 我 們 也 觀 察 了 當 時 液 面 的 現 象 。 因 為 水 從 小 圓 孔 中 漏 出 的 時 候 ， 並 非 是 只 有 單 純 向 下 的 流 動 ， 而 有 水 平 方 向 的 流 動 。 由 於 科 氏 力 的 作 用 ， 使 得 水 流 產 生 了 旋 轉 ， 在 液 面 上 形 成 一 個 向 下 凹 陷 的 區 域 。 在 小 圓 孔 的 時 候 ， 水 也 是 以 旋 轉 向 下 的 方 式 流 出 小 圓 孔 。 使 得 在 能 量 的 轉 換 上 ， 原 本 估 計 應 該 只 有 垂 直 於 孔 面 方 向 的 速 度 ， 出 現 了 平 行 於 孔 面 方 向 的 速 度 分 量 ， 減 少 了 垂 直 於 孔 面 方 向 的 速 度 ， 使 得 由 實 驗 推 得 的 小 圓 孔 大 小 ， 會 比 直 接 測 量 的 結 果 略 低 。 當 我 們 進 行 理 論 的 分 析 時 ， 均 假 設 實 驗 所 用 的 流 體 是 理 想 流 體 ， 在 液 體 與 容 器 之 間 沒 有 存 在 著 黏 滯 的 作 用 。 如 圖 九 所 示 ， 實 際 上 這 個 作 用 確 實 是 存 在 的 ， 而 且 也 會 使 得 小 圓 孔 有 效 的 大 小 略 為 縮 小 。 再 加 上 上 面 所 述 水 在 小 圓 孔 附 近 的 平 行 流 動 ， 所 得 的 結 論 ， 均 使 得 在 實 驗 測 量 上 ， 由 水 漏 出 的 實 驗 所 推 算 小 圓 孔 的 大 小 ， 會 略 低 於 直 接 用 尺 測 量 得 到 的 大 小 。 圖 八 、 水 在 圓 柱 筒 內 的 流 動 圖 九 、 水 在 洞 口 的 黏 滯 效 應

肆、實驗在教學示範上的作用

就 製 作 成 本 而 言 ， 這 個 實 驗 ， 因 為 並 不 須 要 花 費 大 量 成 本 ， 同 時 也 不 具 危 險 性 ， 所 使 用 的 原 理 也 容 易 被 學 生 接 受 ， 所 以 非 常 合 適 作 為 教 學 性 的 實 驗 與 課 堂 上 的 教 學 示 範 實 驗 ， 因 此 適 合 各 高 中 職 學 生 或 者 是 大 學 一 年 級 的 普 通 物 理 實 驗 。 另 一 方 面 ， 由 於 實 驗 所 需 的 儀 器 ， 最 主 要 是 底 部 有 孔 的 柱 狀 容 器 ， 可 以 在 日 常 生 活 中 找 到 許 多 的 替 代 品 ， 例 如 盛 裝 飲 料 用 的 保 特 瓶 （ 如 圖 十 所 示 ）， 通 常 不 會 花 費 太 多 的 費 用；而 在 測 量 液 面 隨 時 間 變 化 上，若 是 R/r 的 比 值 足 夠 大 ， 也 可 以 用 碼 錶 記 錄 液 面 高 度 時 所 對 應 的 時 間 ， 不 一 定 非 用 昂 貴 的 儀 器 不 可 。 實 驗 儀 器 在 安 全 上 也 無 太 大 的 顧

慮 ， 因 此 學 生 也 可 以 在 家 中 自 己 進 行 類 似 實 驗 ， 以 驗 証 課 堂 上 所 學 ， 此 乃 本 實 驗 設 計 的 另 一 個 好 處 ！ 圖 十 ： 使 用 寶 特 瓶 進 行 實 驗 。 置 於 寶 特 瓶 上 方 的 即 為 距 離 偵 測 器 。

伍、結語

本 文 內 中 所 述 的 實 驗 ， 主 要 為 流 體 動 力 學 中 伯 努 力 定 律 中 驗 證 的 實 驗 。 雖 然 此 實 驗 只 要 使 用 寶 特 瓶 、 皮 尺 、 和 碼 錶 即 可 進 行 實 驗 的 進 行 和 測 量 ， 但 是 我 們 仍 為 此 實 驗 製 作 了 如 圖 一 中 所 示 的 實 驗 裝 置 ， 及 使 用 了 距 離 偵 測 器 進 行 量 測 ， 以 達 到 大 量 取 得 數 據 及 測 量 微 小 變 化 情 形 。 經 測 量 的 結 果 ， 發 現 在 實 驗 的 範 圍 之 內 ， 由 實 驗 所 測 得 的 流 速 ， 均 比 理 論 計 算 出 來 的 流 速 要 略 低；即 由 流 速 所 換 算 得 的 孔 洞 半 徑 reff， 比 實 際 用 游 標 尺 量 得 的 rreal 要 小 ， 且 reff 大 約 為rreal的 0.87 倍。我 們推 論 可 能 的原 因 ， 是 因 為 我 們 所 使 用 的 水 ， 和 理 論 公 式 中 所 假 設 的 理 想 流 體 有 一 些 差 別 ， 即 為 水 在 洞 口 附 近 的 流 動 方 式 ， 和 水 在 洞 口 周 邊 的 黏 滯 作 用 ， 使 得 測 量 的 結 果 與 理 論 上 有 系 統 上 的 誤 差 。 這 實 驗 的 特 點 ， 是 即 使 不 用 距 離 偵 測 器 ， 單 是 用 碼 錶 和 尺 測 量 ， 只 要 把 人 為 的 誤 差 儘 量 縮 小 ， 仍 然 可 以 得 到 相 當 準 確 的 結 果 。 本 文 介 紹 使 用 USB 介 面 偵 測 器 進 行 數 據 量 測 ； 也 可 以 使 用 傳 統 的 碼 錶 、 直 尺 等 簡 單 的 儀 器 ， 進 行 伯 努 力 定 律 的 驗 證 ！ 傳 統 量 測 的 方 式 與 使 用 USB 介 面 偵 測 器 的 兩 種 量 測 方 式 ， 適 用 於 學 習 程 度 不 同 的 學 生 ， 不 過 重 要 的 是 都 可 以 用 以 證 明 伯 努 力 定 律 ， 而 且 兩 種 實 驗 的 方 法 所 得 到 的 誤 差 與 精 確 度 都 很 相 近 。 因 此 讓 學 生 使 用 兩 種 方 法 進 行 實 驗 ， 可 以 理 解 到 實 驗 如 果 設 計 適 當 、 量 測 方 法 正 確 ， 即 使 使 用 簡 便 的 量 測 儀 器 ， 依 然 可 以 獲 得 與 精 密 儀 器 量 測 相 當 的 精 確 度 ； 因 而 可 以 使 得 學 生 對 於 誤 差 的 概 念 會 更 理 解 ， 同 時 能 更 深 一 層 的 理 解 實 驗 精 神 。 另 一 方 面 ， 我 們 想 要 強 調 的 另 一 點 ， 是 實 驗 教 學 對 於 基 礎 科 學 教 育 ， 是 相 當 重 要 的 。 除 了 因 為 它 對 於 一 般 課 堂 上 內 容 的 理 解 ， 有 著 重 要 的 貢 獻 之 外 ； 由 實 驗 的 目 的 需 求 ， 自 行 動 手 設 計 、 製 作 實 驗 的 器 材 距 離 偵 測 器

和 工 具 ， 並 完 成 所 要 的 實 驗 ， 更 可 以 發 揮 且 創 作 的 思 考 能 力 ； 而 在 這 過 程 之 中 ， 將 克 服 因 難 、 解 決 問 題 的 能 力 ， 也 能 培 養 對 於 一 個 問 題 解 決 方 式 的 智 慧 。 這 些 重 要 能 力 的 培 育 ， 對 於 國 內 的 教 育 是 相 當 需 要 的 。 由 於 自 行 設 計 所 需 的 時 間 漫 長 ， 學 校 多 半 直 接 買 整 套 的 實 驗 組 件 ； 然 而 本 實 驗 所 設 計 的 伯 努 力 定 律 實 驗 ， 使 用 的 器 材 設 計 簡 單 ， 提 供 教 師 可 以 嘗 試 自 行 製 作 的 一 個 簡 單 又 精 確 的 實 驗 。 如 圖 十 所 示 ， 坊 間 可 得 的 寶 特 瓶 ， 也 可 以 進 行 相 似 的 實 驗 。 透 過 自 己 動 手 對 於 時 間 、 距 離 的 量 測 ， 以 及 測 量 結 果 的 處 理 分 析 ， 對 於 學 生 實 驗 裝 設 能 力 、 數 據 分 析 能 力 的 養 成 亦 有 所 助 益 。 伯 努 力 定 律 ， 通 常 在 高 中 時 就 有 機 會 學 到 ； 因 此 對 於 高 中 實 驗 課 而 言 ， 抑 或 大 學 的 普 通 物 理 實 驗 而 言 ， 本 文 所 描 述 都 是 一 個 相 當 好 的 實 驗 題 材 ， 其 實 驗 的 設 計 和 製 作 並 不 會 太 難 。 故 我 們 以 這 樣 的 一 個 實 驗 設 計 作 為 嚮 導 ， 冀 能 引 發 注 意 和 思 考 ， 而 出 現 更 多 有 趣 的 的 教 學 實 驗 設 計 及 製 作 ， 達 到 拋 磚 引 玉 之 效 。

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